兩個隨機變量的函數的分布.ppt

第五節(jié) 兩個隨機變量的函數的分布,Z=X+Y的分布 Z=YX及Z=XY的分布 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 課堂練習,在第二章中，我們討論了一維隨機變量函數的分布，現在我們進一步討論:,當隨機變量 X, Y 的聯合分布已知時，如何求出它們的函數 Z = g ( X, Y ) 的分布?,例1 若 X、Y 獨立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求 Z=X+Y 的概率函數.,解,=a0br+a1br-1+arb0,由獨立性,r=0,1,2, ,一、 的分布,解 依題意,例2 若 X 和 Y 相互獨立,它們分別服從參數為 的泊松分布, 證明Z=X+Y服從參數為,于是,i = 0 , 1 , 2 , ,j = 0 , 1 , 2 , ,的泊松分布.,r = 0 , 1 , ,即Z服從參數為 的泊松分布.,例3 設X和Y的聯合密度為 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,這里積分區(qū)域 D=(x, y): x+y z,解,Z=X+Y的分布函數是:,它是直線 x+y =z 及其左下方的半平面.,化成累次積分,得,固定z和y,對方括號內的積分作變量代換, 令 x=u-y,得,變量代換,交換積分次序,由概率密度與分布函數的關系, 即得Z=X+Y的概率密度為:,由X和Y的對稱性, fZ (z)又可寫成,以上兩式即是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式.,特別地，當 X 和 Y 獨立，設 (X,Y) 關于 X , Y 的邊緣密度分別為 fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為:,下面我們用卷積公式來求Z=X+Y的概率密度.,卷積公式,為確定積分限,先找出使被積函數不為 0 的區(qū)域,例4 若 X 和Y 獨立, 具有共同的概率密度,求 Z=X+Y 的概率密度 .,解 由卷積公式,也即,暫時固定,故,當 或 時 ,當 時 ,當 時 ,于是,例5 若X和Y 是兩個相互獨立的隨機變量 , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,解 由卷積公式,令,得,可見 Z=X+Y 服從正態(tài)分布 N(0,2).,用類似的方法可以證明:,若X和Y 獨立,結論又如何呢?,此結論可以推廣到n個獨立隨機變量之和的情形,請自行寫出結論.,若X和Y 獨立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 則Z=X+Y 服從正態(tài)分布 N(0,2).,有限個獨立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布. 即,更一般地, 可以證明:,若 相互獨立，則,二、Z=YX, Z=XY的分布,設(X,Y)的概率密度為f(x,y)，則Z=YX的密 度函數為,當 X, Y 獨立時,解,例6,三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,設 X，Y 是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分 布函數分別為FX(x) 和 FY(y),我們來求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函數.,FM(z)=P(Mz),=P(Xz,Yz),由于 X 和 Y 相互獨立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布函數為:,1. M = max(X,Y) 的分布函數,即有 FM(z)= FX(z)FY(z),即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),2. N = min(X,Y) 的分布函數,由于 X 和 Y 相互獨立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布函數為:,設 X1,Xn 是 n 個相互獨立的隨機變量,它們的分布函數分別為,我們來求 M=max(X1,Xn) 和N=min(X1,Xn)的分布函數.,(i = 1, , n),用與二維時完全類似的方法，可得,N=min(X1,Xn)的分布函數是,M=max(X1,Xn)的分布函數為:,特別地，當X1,Xn相互獨立且具有相同分布函數F(x)時，有,例7 設系統 L 由兩個相互獨立的子系統 連接而成,連接的方式分別為 (i) 串聯, (ii) 并聯, (iii) 備用 (當系統 損壞時, 系統 開始工作) , 如下圖所示.設 的壽命分別為 已知它們的概率密度分別為,其中 且 試分別就以上三種連接方式寫出 的壽命 的概率密度.,解,(i) 串聯的情況,由于當系統 中有一個損壞時, 系統 L 就停止工作,所以此時 L 的壽命為,因為 X 的概率密度為,所以 X 的分布函數為,當 x 0 時 ,當 x 0 時 ,故,類似地 ,可求得 Y 的分布函數為,于是 的分布函數為,= 1-1-FX(z)1-FY(z),的概率密度為,(ii) 并聯的情況,由于當且僅當系統 都損壞時, 系統 L 才停止工作,所以此時 L 的壽命為,故 的分布函數為,于是 的概率密度為,(iii) 備用的情況,因此整個系統 L 的壽命為,由于當系統 損壞時, 系統 才開始工作,當 z 0 時 ,當 z 0 時 ,當且僅當,即 時,上述積分的被積函數不等于零.,故,于是 的概率密度為,解,需要指出的是，當X1,Xn相互獨立且具有相同分布函數F(x)時, 常稱,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),為極值 .,由于一些災害性的自然現象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實用價值.,三、課堂練習,設 是相互獨立的隨機變量, 它們都服從正 態(tài)分布 .試驗證隨機變量 具有概率密度,1,設隨機變量,且滿足PX1X2=0=1，求 （1）(X1 ,X2)的聯合概率分布； （2） PX1 X2； （3） PX1 =X2。,2.設隨機變量X與Y獨立，其中X的概率分布為,而Y的概率密度為f(y)，求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u).,3.設二維隨機變量(X,Y) 的概率分布為,已知隨機事件 與 相互獨立， 則有（B） (A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1 (C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4,4.設隨機變量X與Y獨立分布, 且X的概率分布為,記,求(U, V)的概率分布;,解 易知U, V 的可能取值均為: 1, 2. 且,5. 設X1 ,X2 獨立同分布，且X1的分布律為,X1 1 2 3 4,P 0.1 0.2 0.3 0.4,Y=maxX1 ,X