例題與探究（§5.1數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入）

高手支招3綜合探究1.含有參數(shù)形式的復數(shù)何時表示實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù).此類問題是涉及到復數(shù)的分類及各自概念,在理解的基礎上注意它們的聯(lián)系與區(qū)別,以此作為判斷它們?yōu)閷崝?shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的條件.復數(shù)z=a+bi當且僅當b0時為虛數(shù),當且僅當b=0時為實數(shù),當且僅當a=0,b0為純虛數(shù),當且僅當a=0,b=0時為0.下面以3m+9+(m2+5m+6)i,m為何值時表示實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)為例說明.(1)若表示實數(shù)則:m2+5m+6=0(即虛部必須為零);(2)若表示虛數(shù)則:m2+5m+60(即虛部不能為零);(3)若表示純虛數(shù)則:3m+9=0且m2+5m+60(即實部必須為零,虛部不能為零).2.兩個復數(shù)相等的充要條件及應用時應特別注意的問題.因為復數(shù)可以用向量來表示,所以可以結合向量相等來理解.在向量坐標表示中,兩個向量相等則對應坐標要相等.兩個復數(shù)相等的充要條件是實部與虛部分別相等.在兩個復數(shù)相等的充要條件中,注意前提條件是a、b、c、dR,即當a、b、c、dR時,a+bi=c+di但忽略條件后,則不能成立,因此解決復數(shù)相等問題,一定要把復數(shù)的實部與虛部分離出來.再利用復數(shù)相等的充要條件,化復數(shù)問題為實數(shù)問題.3.復系數(shù)一元二次方程根的問題與實系數(shù)一元二次方程根的問題.利用復數(shù)相等可解決復系數(shù)方程根的問題,如果復系數(shù)方程有實根,我們將其中的未知數(shù)視為等式中的一個實數(shù),將方程變形化簡為a+bi=0(a,bR)的形式,然后利用復數(shù)相等即可解決相關問題.這里要特別注意,方程有實根務必注意不能用判別式0來處理方程的根的問題,否則出錯. 如果復系數(shù)一元二次方程無實根,則同樣不能用0來處理.此時,方程有復數(shù)根,可設方程的根為z=m+ni(m,nR),然后,化簡方程,使方程變形化簡為a+bi=0(a,bR)的形式,然后利用復數(shù)相等即可解決相關問題.另外,當實系數(shù)一元二次方程無實根時,方程的判別式0,此時雖無實根,但有虛數(shù)根,如實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,cR)無實根,則其有兩個虛根,分別為:x=. 當然,也可以設方程的根為z=m+ni(m,nR),然后,化簡方程,使方程變形化簡為s+ti=0(s,tR)的形式,然后利用復數(shù)相等即可解決相關問題.高手支招4典例精析【例1】 如果用C、R和I分別表示復數(shù)集、實數(shù)集和純虛數(shù)集,其中C為全集,那么有（ ）A.CRI B.RI C.RCI D.RI思路分析:復數(shù)系的構成是復數(shù)z=a+bi(a,bR)由此不難判斷正確答案為D項.答案:D【例2】 若z1=sin2+icos,z2=cos+isin,當z1=z2時的值為（ ）A.k B.2k+C.2k D.2k+(以上kZ)思路分析:由已知z1=z2,利用復數(shù)相等的充要條件,然后解三角方程即得.z1=z2,=2k+（kZ）.故選D項.答案:D【例3】 m為何實數(shù)時,復數(shù)z=+(m2+3m-10)i(1)是實數(shù);(2)是虛數(shù);(3)是純虛數(shù).思路分析:利用復數(shù)分類,是實數(shù),只要令復數(shù)z的虛部為零即可;是虛數(shù),只要令復數(shù)z的虛部不為零即可;是純虛數(shù),只要令復數(shù)z的實部為零,虛部不為零即可.解:(1)令m2+3m-10=0,得m=2或m=-5.分母m2-250,m-5.m=2;(2)令m2+3m-100,又分母m2-250,得m2,且m-5,且m5;(3)令m2+3m-100,得m=.【例4】 當實數(shù)m為何值時,復數(shù)(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在復平面中的對應點(1)位于第四象限;(2)位于x軸的負半軸上:思路分析:復數(shù)a+bi(a,bR)在復平面內的對應點：對于(1)應滿足對于(2)應滿足解:(1)由已知-7m3.(2)由已知解之得:m=4.【例5】 已知aR,問復數(shù)z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所對應的點在第幾象限？復數(shù)z對應點的軌跡是什么？思路分析:根據(jù)復數(shù)與復平面上點的對應關系知,復數(shù)z對應的點在第幾象限,與復數(shù)z的實部和虛部的符號有關.所以本題的關鍵是判斷a2-2a+4與-(a2-2a+2)的符號.而求復數(shù)z對應點的軌跡問題,首先把z表示成z=x+yi的形式,然后尋求x,y之間的關系,但要注意參數(shù)限定的條件.解:a2-2a+4=(a-1)2+33,-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1-1.由此可知,z的實部為正數(shù),z的虛部為負數(shù).復數(shù)z的對應點在第四象限.設復數(shù)z=x+yi(x,yR),則消去a2-2a得y=-x+2(x3),復數(shù)z對應點的軌跡是一條射線,其方程為y=-x+2(x3).【例6】 用復數(shù)表示下圖各題的陰影部分.思路分析:本題關鍵在于要設出復數(shù)z=x+yi(x,yC),并利用其坐標在復平面內的范圍寫出用復數(shù)表示平面區(qū)域中陰影部分的圖形.解:設復數(shù)z=x+yi(x,yR),則有:(1)z|z=x+yi,1x3;(2)z|z=x+yi,x3,y1;(3)z|z=x+yi,1|z|2,x0,y0;(4)z|z=x+yi,|y|x,x0.宋以后，京師所設小學館和武學堂中的教師稱謂皆稱之為“教諭”。至元明清之縣學一律循之不變。明朝入選翰林院的進士之師稱“教習”。到清末，學堂興起，各科教師仍沿用“教習”一稱。其實“教諭”在明清時還有學官一意，即主管縣一級的教育生員。而相應府和州掌管教育生員者則謂“教授”和“學正”。“教授”“學正”和“教諭”的副手一律稱“訓導”。于民間，特別是漢代以后，對于在“?！被颉皩W”中傳授經學者也稱為“經師”。在一些特定的講學場合，比如書院、皇室，也稱教師為“院長、西席、講席”等?！纠?】 設z1=-i,z2=-i,zC.若全集I=z|z|z1|,zC,A=z|z|z2|,zC,那么中所有z在復平面上對應的點的集合是什么圖形？思路分析:解決復數(shù)在復平面上對應的幾何圖形問題,要熟練掌握兩點:復數(shù)z=x+yi(x,yR)在復平面上對應點Z(x,y);|z|的幾何含義為z在復平面上對應點Z與原點的距離.本題關鍵是求出|z|的取值范圍,就可確定z在復平面上的圖形.解:由已知:|z1|=3,|z2|=1,I=z|z|3,zC,A=z|z|1,zC,=z|1|z|3,zC,中的z在復平面上對應的點Z的集合應是與原點距離大于1而不大于3的所有點.中的所有z在復平面上對應的點的集合是以原點為圓心,以1和3為半徑的圓所夾的圓環(huán),但不包括小圓的邊界(如圖).【例8】 設zC,滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？(1)|z|=2;(2)2|z|3.解:(1)因為|z|=2,即|=2,如果設z=x+yi(x,yR）,所以滿足|z|=2的點Z的集合是以原點為圓心,以2為半徑的圓.(2)不等式2|z|2的點的集合是圓|z|=2外部所有的點組成的集合,滿足不等式|z|3的點的集合是圓|z|=3內部所有的點組成的集合,這兩個集合的交集就是上述不等式組的解所對應點的集合.因此,滿足條件2|z|3的點Z的集合是以原點為圓心,分別以2和3為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán),但不包括圓環(huán)的邊界.如下圖所示.高手支招5思考發(fā)現(xiàn)1.對于復數(shù)用非標準形式給出,應先化成標準形式a+bi的形式,使復數(shù)問題實數(shù)化,這是解復數(shù)問題的基本思想,也是化歸思想的重要表現(xiàn).2.對于復數(shù)分類問題的求解,主要包含四類:是實數(shù),是虛數(shù),是純虛數(shù),是零.是實數(shù)就必須使復數(shù)的虛部為零;是虛數(shù)就必須使復數(shù)的虛部不為零;是純虛數(shù)就必須使復數(shù)的虛部不為零,同時要使復數(shù)的實部為零;是零就必須使復數(shù)的實部和虛部均為零.3.對于涉及到利用復數(shù)相等的問題,求解時關鍵是要抓住兩個復數(shù)相等的充要條件,從而將復數(shù)問題轉化為實數(shù)問題的主要方法.此外,要明確由一個復數(shù)等式可得到兩個實數(shù)等式這一性質,并在解題中會運用它.語文課本中的文章都是精選的比較優(yōu)秀的文章,還有不少名家名篇。如果有選擇循序漸進地讓學生背誦一些優(yōu)秀篇目、精彩段落,對提高學生的水平會大有裨益?，F(xiàn)在,不少語文教師在分析課文時,把文章解體的支離破碎,總在文章的技巧方面下功夫。結果教師費勁,學生頭疼。分析完之后,學生收效甚微,沒過幾天便忘的一干二凈。造成這種事倍功半的尷尬局面的關鍵就是對文章讀的不熟。常言道“書讀百遍,其義自見”,如果有目的、有計劃地引導學生反復閱讀課文,或細讀、默讀、跳讀,或聽讀、范讀、輪讀、分角色朗讀,學生便可以在讀中自然領悟文章的思想內容和寫作技巧,可以在讀中自然加強語感,增強語言的感受力。久而久之,這種思想內容、寫作技巧和語感就會自然滲透到學生的語言意識之中,就會在寫作中自覺不自覺地加以運用、創(chuàng)造和發(fā)展。4.在設復數(shù)的過程中常設為z=a+bi(a,bR);在有關的解決軌跡問題中常設z=x+yi從而與解析幾何聯(lián)系起來;當復數(shù)的模為1時也可以設為z=cos+isin用三角函數(shù)解決相關最值等.家庭是幼兒語言活動的重要環(huán)境，為了與家長配合做好幼兒閱讀訓練工作，孩子一入園就召開家長會，給家長提出早期抓好幼兒閱讀的要求。我把幼兒在園里的閱讀活動及閱讀情況及時傳遞給家長，要求孩子回家向家長朗誦兒歌，表演故事。我和家長共同配合，一道訓練，幼兒的閱讀能力提高很快。5.復數(shù)相等是解決復數(shù)問題常用的方法,這是一個將復數(shù)問題實數(shù)化的過程,轉化后再用實數(shù)范圍內的相關方法來解.6.在判定復系數(shù)一元二次方程根的問題時不能用判定實系數(shù)一元二次方程根的問題的方法來解決,否則就會出錯.如果復系數(shù)一元二次方程有實根,那么就將未知數(shù)視作實數(shù),將方程化為a+bi=0(a,bR)的形式,然后利用復數(shù)相等的充要條件解之.其實,任何一門學科都