注冊巖土工程師基礎考試培訓資料--微分學.ppt

,一、函數(shù)、極限、連續(xù),三、多元函數(shù)微分學,二、導數(shù)與微分,微分學,四、微分學應用,一、 函數(shù)、極限、連續(xù),1. 一元函數(shù),顯函數(shù),定義域：使表達式有意義的實數(shù)全體或由實際意義確定。,隱函數(shù),參數(shù)方程所表示的函數(shù),函數(shù)的特性,有界性 ,單調性 ,奇偶性 ,周期性,復合函數(shù)(構造新函數(shù)的重要方法),初等函數(shù),由基本初等函數(shù),經有限次四則運算與有限次,復合而成且能用一個式子表示的函數(shù).,基本初等函數(shù):,常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù),2 極限,極限定義的等價形式,(以 為例 ),極限運算法則,無窮小,無窮小的性質 ;,無窮小的比較 ;,常用等價無窮小:,兩個重要極限,等價無窮小代換,存在 (或為 ),定理,(洛必達法則),說明: 定理中,換為,之一,條件 2) 作相應的修改 , 定理仍然成立.,洛必達法則,3. 連續(xù)與間斷,函數(shù)連續(xù)的定義,函數(shù)間斷點,第一類（左右極限存在）,第二類（左右極限至少有一個不存在）,可去間斷點,跳躍間斷點,無窮間斷點,振蕩間斷點,重要結論：初等函數(shù)在定義區(qū)間內連續(xù),例1. 設函數(shù),在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = .,提示:,二、 導數(shù)和微分,導數(shù) 定義:,當,時,為右導數(shù),當,時,為左導數(shù),微分 :,關系 :,可導,可微,導數(shù)幾何意義:切線斜率,1. 有關概念,2.導數(shù)和微分的求法,正確使用導數(shù)及微分公式和法則 （要求記?。。?高階導數(shù)的求法(逐次求一階導數(shù)）,例2. 求函數(shù),的導數(shù),解：,例3. 求函數(shù),在x處的微分,解：,三、多元函數(shù)微分法,1. 多元顯函數(shù)求偏導和高階偏導,2. 復合函數(shù)求偏導,注意正確使用求導符號,3. 隱函數(shù)求偏導,將其余變量固定，對該變量求導。,4. 全微分,5. 重要關系:,例4. 已知,解:,為正常數(shù)），求,解：設,則,例5. 設,四、 導數(shù)與微分的應用,1.導數(shù)的幾何意義,例6.求曲線,上切線平行于x軸的點。,解：由,解得,得,代入,所求點為：,函數(shù)單調性的判定及極值求法,若,定理 1. 設函數(shù),則 在 I 內單調遞增,(遞減) .,在開區(qū)間 I 內可導,2. 函數(shù)的性態(tài):,注意:,1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質.,2) 對常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導數(shù)為 0 或不存在的點.,極值第一判別法,且在空心鄰域,內有導數(shù),極值第二判別法,二階導數(shù) , 且,則 在點 取極大值 ;,則 在點 取極小值 .,例7. 求函數(shù),的極值 .,解: 1) 求導數(shù),2) 求駐點,令,得駐點,3) 判別,因,故 為極小值 ;,又,故需用第一判別法判別.,定理2.(凹凸判定法),(1) 在 I 內,則 在 I 內圖形是凹的 ;,(2) 在 I 內,則 在 I 內圖形是凸的 .,設函數(shù),在區(qū)間I 上有二階導數(shù),凹弧凸弧的分界點為拐點,例8. 求曲線,的凹凸區(qū)間及拐點.,解:,1) 求,2) 求拐點可疑點坐標,令,得,對應,3) 列表判別,故該曲線在,及,上向上凹,向上凸 ,點 ( 0 , 1 ) 及,均為拐點.,凹,凹,凸,的連續(xù)性及導函數(shù),例9. 填空題,(1) 設函數(shù),其導數(shù)圖形如圖所示,單調減區(qū)間為 ;,極小值點為 ;,極大值點為 .,提示:,的正負作 f (x) 的示意圖.,單調增區(qū)間為 ;,說明: 使偏導數(shù)都為 0 的點稱為駐點 .,極值必要條件,函數(shù),偏導數(shù),但駐點不一定是極值點.,且在該點取得極值 ,則有,存在,多元函數(shù)極值與最值問題,極值的必要條件與充分條件,時, 具有極值,極值充分條件,的某鄰域內具有一階和二階連續(xù)