偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用.ppt

一、空間曲線的切線與法平面,二、曲面的切平面與法線,第七節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用,三、小結(jié),四、作業(yè),設(shè)空間曲線的方程,(1)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo).,1. 空間曲線的方程為參數(shù)方程,一、空間曲線的切線與法平面,考察割線趨近于極限位置,上式分母同除以,割線 的方程為,切線的過(guò)程,曲線在M處的切線方程,切向量,法平面,切線的方向向量稱(chēng)為曲線在點(diǎn) M 處的切向量.,過(guò)M點(diǎn)且與切線垂直的平面.,解.,切線方程,法平面方程,例1.,即,設(shè)曲線直角坐標(biāo)方程為,法平面方程為,2. 空間曲線的方程為,曲線的參數(shù)方程是,由前面得到的結(jié)果,在M(x0, y0, z0)處,令,切線方程為,x為參數(shù),兩個(gè)柱面,的交線,例2. 在拋物柱面 與 的交線上, 求對(duì)應(yīng) 的點(diǎn)處的切向量.,x為參數(shù),于是,解.,所以交線上與,對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切向量為:,交線的參數(shù)方程為,取,設(shè)空間曲線方程為,3.空間曲線的方程為,確定了隱函數(shù),(此曲線方程仍可用方程組,兩邊分別對(duì),表示.),x求全導(dǎo)數(shù):,兩個(gè)曲面,的交線,利用2.結(jié)果,法平面方程為,切線方程為,在點(diǎn) M(x0, y0, z0)處的,解.,例3.,切線方程和法平面方程.,切線方程,將所給方程的兩邊對(duì)x求導(dǎo),法一,法平面方程,法二,法三 公式法,設(shè)曲線,證.,因原點(diǎn),即,于是,證明此曲線必在以原點(diǎn)為,的法平面都過(guò)原點(diǎn),在任一點(diǎn),中心的某球面上.,曲線過(guò)該點(diǎn)的法平面方程為,故有,在法平面上,任取曲線上一點(diǎn),例4.,今在曲面上任取一條,1. 設(shè)曲面的方程為,的情形,隱式方程,二、曲面的切平面與法線,函數(shù),的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同 時(shí)為零.,點(diǎn)M 對(duì)應(yīng)于參數(shù),不全為零.,過(guò)點(diǎn)M 的曲線,設(shè)其參數(shù),方程為,由于曲線在曲面上,所以,在恒等式兩端對(duì)t 求全導(dǎo)數(shù),并令,則得,若記向量,曲線在點(diǎn)M處切線的方向向量記為,則式可改寫(xiě)成,即向量,垂直.,因?yàn)榍€是曲面上過(guò)點(diǎn)M的任意一條曲線,所有這些曲線在點(diǎn)M的切線都與同一向量,垂直,因此這些切線必共面,稱(chēng)為曲面在點(diǎn)M的,過(guò)點(diǎn)M且垂直于切,法線,又是法線的方向向量.,向量,稱(chēng)為曲,法向量.,切平面,由切線形成的這一,平面,平面的直線稱(chēng)為曲面在,點(diǎn)M的,面在點(diǎn)M的,曲面在M(x0, y0 , z0)處的法向量:,切平面方程為,法線方程為,所以曲面上在點(diǎn)M的,解.,令,切平面方程,法線方程,例5.,2. 曲面方程形為 的情形,曲面在M處的切平面方程為,曲面在M處的法線方程為,令,或,顯式方程,其中,法向量,表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它與,z 軸的正向所成的角,是銳角,則法向量的,方向余弦為,注釋1：關(guān)于,因?yàn)?(第三個(gè)分量為負(fù)),求旋轉(zhuǎn)拋物面 在任意點(diǎn)P(x, y, z)處向上的法向量(即與z軸夾角為銳角的法向量).,解.,而,為向下的法向量,故向上的法向量應(yīng)為:,例6.,因?yàn)榍嬖贛處的切平面方程:,全微分的幾何意義,表示,切平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量.,切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量,注釋2：,例7.,解.,過(guò)直線L的平面束方程為,即,其法向量為,求過(guò)直線L,且與曲面,相切之切平面方程.,設(shè)曲面與切平面的切點(diǎn)為,則,因而,故,所求切平面方程為,或,即,或,解.,令,得到的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn),處的指向外側(cè)的,單位法向量為( ).,旋轉(zhuǎn)面方程為,練習(xí),空間曲線的切線與法平面,曲面的切平面與法線,三、小結(jié),(空間曲線三種不同形式方程的切線與法平面的求法. 當(dāng)空間曲線方程為一般式時(shí),求切向量可采用公式法、