高中數(shù)學(xué)第一章1.2函數(shù)及其表示1.2.2函數(shù)的表示法（第2課時）學(xué)案（含解析）新人教A版.docx

第2課時分段函數(shù)學(xué)習(xí)目標1.會用解析法及圖象法表示分段函數(shù).2.給出分段函數(shù)，能研究有關(guān)性質(zhì).知識點分段函數(shù)思考集合AR，B，A中的有理數(shù)都對應(yīng)B中的元素0，無理數(shù)都對應(yīng)B中的元素1，這一對應(yīng)是函數(shù)嗎？答案是，因為符合函數(shù)定義梳理(1)一般地，分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)(2)分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集(3)作分段函數(shù)圖象時，應(yīng)分別作出每一段的圖象1分段函數(shù)各段上的自變量的取值范圍的并集為R.()2分段函數(shù)各段上的函數(shù)值集合的交集為.()3分段函數(shù)的圖象一定是不連續(xù)的()類型一建立分段函數(shù)模型例1如圖所示，已知底角為45的等腰梯形ABCD，底邊BC長為7，腰長為2，當垂直于底邊BC(垂足為F)的直線l從左至右移動(與梯形ABCD有公共點)時，直線l把梯形分成兩部分，令BFx，試寫出左邊部分的面積y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并畫出大致圖象考點分段函數(shù)題點求分段函數(shù)解析式解過點A，D分別作AGBC，DHBC，垂足分別是G，H.因為四邊形ABCD是等腰梯形，底角為45，AB2，所以BGAGDHHC2，又BC7，所以ADGH3.(1)當點F在BG上，即x0,2時，yx2；(2)當點F在GH上，即x(2,5時，y22x2；(3)當點F在HC上，即x(5,7時，yS五邊形ABFEDS梯形ABCDSRtCEF(73)2(7x)2(x7)210.綜合(1)(2)(3)，得函數(shù)的解析式為y圖象如圖所示：反思與感悟當目標在不同區(qū)間有不同的解析表達方式時，往往需要用分段函數(shù)模型來表示兩變量間的對應(yīng)關(guān)系，而分段函數(shù)圖象也需要分段畫跟蹤訓(xùn)練1某市“招手即?！惫财嚨钠眱r按下列規(guī)則制定：(1)5公里以內(nèi)(含5公里)，票價2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票價增加1元(不足5公里按照5公里計算)如果某條線路的總里程為20公里，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖象考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)應(yīng)用問題解設(shè)票價為y元，里程為x公里，定義域為(0,20由題意得函數(shù)的解析式為y函數(shù)圖象如圖所示：類型二研究分段函數(shù)的性質(zhì)命題角度1給x求y例2已知函數(shù)f(x)試求f(5)，f()，f的值考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值解5(，2，f(5)514.(2,2)，f()()22()32.(，2，f1(2,2)，ff22.引申探究本例中f(x)的解析式不變，若x5，求f(x)的取值范圍解當5x2時，f(x)x14，1；當2x4，所以f(5)523.因為30，所以f(f(5)f(3)341.因為08.考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)與不等式結(jié)合解(1)當x02時，由2x08，得x04，不符合題意；當x02時，由x28，得x0或x0(舍去)，故x0.(2)f(x)8等價于或解得x，解得x，綜合知f(x)8的解集為x|x反思與感悟已知函數(shù)值求變量x取值的步驟(1)先對x的取值范圍分類討論；(2)然后代入到不同的解析式中；(3)通過解方程求出x的解；(4)檢驗所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi)；(5)若解不等式，應(yīng)把所求x的范圍與所討論區(qū)間求交集，再把各區(qū)間內(nèi)的符合要求的x的值并起來跟蹤訓(xùn)練3已知f(x)(1)畫出f(x)的圖象；(2)若f(x)，求x的值；(3)若f(x)，求x的取值范圍考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)與不等式結(jié)合解(1)利用描點法，作出f(x)的圖象，如圖所示(2)f(x)等價于或解得x，解集為.當f(x)時，x.(3)由于f，結(jié)合此函數(shù)圖象可知，使f(x)的x的取值范圍是.1設(shè)f(x)則f(f(0)等于()A1B0C2D1考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值答案C2已知函數(shù)y則使函數(shù)值為5的x的值是()A2或2B2或C2D2或2或考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值答案C3已知函數(shù)f(n)則f(5)的值是()A4B48C240D1440考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值答案C解析因為f(n)所以f(5)5f(4)54f(3)543f(2)5432f(1)54321f(0)543212240.故選C.4設(shè)f(x)g(x)則f(g()的值為_考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值答案05已知函數(shù)f(x)則f(f(4)_.答案2對分段函數(shù)的理解(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)而非幾個函數(shù)分段函數(shù)的定義域是各段上“定義域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集(2)分段函數(shù)的圖象應(yīng)分段來作，特別注意各段的自變量取值區(qū)間端點處函數(shù)的取值情況，以決定這些點的虛實情況一、選擇題1已知f(x)則f(f(f(2)等于()AB0C2D1考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值答案D解析f(2)0，f(0)，f()12設(shè)函數(shù)f(x)若f()4，則實數(shù)等于()A4或2B4或2C2或4D2或2考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值答案B解析當0時，f()4，得4；當0時，f()24，得2或2(舍)4或2.3設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)f(1)2，則a等于()A3B3C1D1考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值答案D解析f(1)1.f(a)f(1)f(a)12.f(a)1，即或解得a1，解得a1.a1.4函數(shù)f(x)的值域是()ARB0，)C0,3Dx|0x2或x3考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)的定義域、值域答案D解析值域為0,23,2x|0x2或x35已知函數(shù)f(x)若f(f(x)2，則x的取值范圍是()AB1,1C(，1)(1，) D21,1考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值答案D解析若x1,1，則f(x)2，f(f(x)f(2)2，符合題意；若x1，則f(x)x，f(f(x)f(x)x2，此時只有x2符合題意；若x1，則f(x)x，f(f(x)f(x)x2，但因為x10.令2mx10m16m，解得x13(立方米)7著名的Dirichlet函數(shù)D(x)則D等于()A0B1C.D.考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值答案B解析D(x)0,1，D(x)為有理數(shù)，D1.8設(shè)函數(shù)f(x)若f(f(a)3，則實數(shù)a的取值范圍是()A(， B，)C， D(，答案D解析令f(a)t，則f(t)3等價于或解得t3，則f(a)3等價于或解得a，則實數(shù)a的取值范圍是(，故選D.二、填空題9函數(shù)f(x)的定義域是_考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)的定義域、值域答案0，)解析定義域為0,1(1,2)2，)0，)10分段函數(shù)f(x)可以表示為f(x)|x|，分段函數(shù)f(x)可表示為f(x)(x3|x3|)，仿照上述式子，分段函數(shù)f(x)可表示為f(x)_.考點題點答案(x6|x6|)解析因為f(x)可表示為f(x)(x3|x3|)，其分界點為3，從而式子中含有x3與x3，并通過|x3|前面的“”構(gòu)造出需要的結(jié)果的形式所以，對于分段函數(shù)f(x)其分界點為6，故式子中應(yīng)含有x6與x6.又x6時f(x)6，故|x6|的前面應(yīng)取“”因此f(x)(x6|x6|)11已知f(x)則不等式xf(x)x2的解集是_考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)與不等式結(jié)合答案x|x1解析當x0時，f(x)1，代入xf(x)x2，解得x1，0x1；當x0時，f(x)0，代入xf(x)x2，解得x2，x0.綜上可知x1.三、解答題12已知函數(shù)f(x)(1)求f，f，f，f；(2)若f(a)6，求a的值考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值解(1)(，1)，f23.1,1，f2.又2(1，)，ff(2)224.(1，)，f29.(2)經(jīng)觀察可知a1,1，否則f(a)2.若a(，1)，令2a6，得a3，符合題意；若a(1，)，令2a6，得a3，符合題意a的值為3或3.13如圖，動點P從邊長為4的正方形ABCD的頂點B開始，順次經(jīng)C，D，A繞邊界運動，用x表示點P的行程，y表示APB的面積，求函數(shù)yf(x)的解析式考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)應(yīng)用問題解當點P在BC上運動，即0x4時，y4x2x；當點P在CD上運動，即4x8時，y448；當點P在DA上運動，即80；(3)若直線ya與f(x)的圖象無交點，求實數(shù)a的取值范圍考點分段函數(shù)題點分段函