ch2-網(wǎng)內(nèi)業(yè)務(wù)分析-4-一般排隊(duì)系統(tǒng).ppt

通信網(wǎng)理論 第2章 網(wǎng)內(nèi)業(yè)務(wù)分析-4,北京郵電大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院 劉雨 62283147-19 ,M/G/1問(wèn)題,到達(dá) 服務(wù) b() 任意 表示第i個(gè)顧客,設(shè)定兩個(gè)變量 kn表示第n個(gè)顧客離去時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)顧客數(shù) vn表示第n個(gè)顧客服務(wù)期間，到達(dá)的顧客數(shù) 存在下面的關(guān)系式 分兩種情況 Cn離開(kāi)時(shí)， Cn+1已到 Cn+1離去時(shí)人數(shù)=Cn離去時(shí)人數(shù)+Cn+1服務(wù)期到達(dá)數(shù)-1 (Cn+1離去) Cn離開(kāi)時(shí)， Cn+1未到 Cn+1去時(shí)人數(shù)= Cn+1服務(wù)期到達(dá)數(shù)(Cn離去時(shí)已空, kn =0),離去時(shí)的系統(tǒng)顧客數(shù),服務(wù)期內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù),一個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間 內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)為v 的條件概率應(yīng)為 服務(wù)時(shí)間 的概率密度函數(shù)為b( )，所以一個(gè)服務(wù)期間到達(dá)v個(gè)顧客的概率為 系統(tǒng)內(nèi)人數(shù)的轉(zhuǎn)移概率為,系統(tǒng)方程,令 表示第n個(gè)顧客離去時(shí)系統(tǒng)內(nèi)有k個(gè)顧客的概率 達(dá)到穩(wěn)態(tài)后， 將與n無(wú)關(guān)，可寫成,母函數(shù),把各式兩邊分別各乘以zk并求和 把qk的值代入,拉氏變換,令B(s)是 的拉氏變換，即 應(yīng)用概率歸一性求d0,B(0),拉氏變換的性質(zhì) 系統(tǒng)中無(wú)顧客的概率為 其中 是排隊(duì)強(qiáng)度，當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的,離去時(shí)的隊(duì)長(zhǎng)概率,離去時(shí)的隊(duì)長(zhǎng)分布 隊(duì)長(zhǎng)的均值 隊(duì)長(zhǎng)的方差,特例,對(duì)于M/M/1 對(duì)于M/D/1,，,，,其中： 第i顧客等待時(shí)間 第i顧客服務(wù)時(shí)間 第n顧客與第n+1顧客到達(dá)間隔,M/G/1等待時(shí)間W,等待時(shí)間,M|G|1系統(tǒng)的等待時(shí)間w的概率分布 w是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量。令wn是第n個(gè)顧客的等待時(shí)間， 是第n個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間，tn 是第n個(gè)顧客和第n+1個(gè)顧客到達(dá)時(shí)間間隔。 進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，w的分布與n無(wú)關(guān)?？砂褀n和wn+1 均記為w，令其概率密度函數(shù)為p(w),等待時(shí)間的分布,w是混合分布的變量。前一項(xiàng)表示w0時(shí)的連續(xù)變量的概率密度，而后一項(xiàng)表示w0的概率。,等待時(shí)間的分布,用拉氏變換法解方程 兩端進(jìn)行拉氏變換 由于p(w)的歸一性，G(0)=1，代入得,等待時(shí)間的均值與方差,w的概率密度的拉氏變換 平均等待時(shí)間 其中m2為的二階矩 方差為,特例,對(duì)于M|M|1問(wèn)題 對(duì)于M|D|1問(wèn)題,殘余壽命,當(dāng)隨機(jī)事件的發(fā)生和終止的過(guò)程中，該事件的壽命或持續(xù)時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量。 任取一時(shí)刻，該事件正在出現(xiàn)，并已過(guò)了 -y的時(shí)間，則y稱為該事件的殘余壽命，這也是一個(gè)隨機(jī)變量。 當(dāng)某顧客到達(dá)時(shí)，窗口正在為某一顧客服務(wù)。設(shè)服務(wù)時(shí)間為，而到達(dá)時(shí)刻已被服務(wù)了-y ，y就是新到顧客須等待的時(shí)間，也就是正在被服務(wù)過(guò)程的殘余壽命。 現(xiàn)在來(lái)研究一下殘余壽命y的分布規(guī)律。,殘余壽命的概率密度,純隨機(jī)的觀察時(shí)刻落在壽命為的區(qū)間內(nèi)的概率應(yīng)與b() 成正比，即等于 b() 。其中c是待定常量，b()是壽命為的概率密度。 由歸一性，可知 同時(shí)，觀察時(shí)刻在內(nèi)的條件下，殘余壽命為y的條件概率密度應(yīng)為 ，即y是0與 之間的均勻分布。 因此殘余壽命的概率密度為,平均殘余壽命,平均殘余壽命 負(fù)指數(shù)分布的殘余壽命分布 可見(jiàn)此時(shí)壽命y與殘余壽命有同樣的分布，亦即平均殘余壽命等于平均壽命。 但是，對(duì)于其它非指數(shù)分布，則不具有這種性質(zhì)。,殘余壽命與平均等待時(shí)間,對(duì)于M|G|1問(wèn)題，從殘余壽命的概念也可推導(dǎo)出平均等待時(shí)間。 這包括兩部分，一為顧客到達(dá)時(shí)正在被服務(wù)的殘余壽命 ，這不包括隊(duì)長(zhǎng)為零的情況 另一部分是其余k-1個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間m1 即,Little公式,在顧客是泊桑流時(shí)，到達(dá)時(shí)刻的隊(duì)長(zhǎng)概率rk 應(yīng)與隨機(jī)觀察時(shí)的隊(duì)長(zhǎng)概率pk一致。 極短時(shí)間內(nèi)無(wú)二人到達(dá)和無(wú)二人離開(kāi)，使得離去時(shí)刻概率dk也等于rk，則前面所得的平均隊(duì)長(zhǎng)dk就是系統(tǒng)數(shù)。 顧客在系統(tǒng)內(nèi)停留時(shí)間s應(yīng)為等待時(shí)間和服務(wù)時(shí)間之和，由于兩者之間相互獨(dú)立，所以s的概率密度的拉氏變換應(yīng)為,Little公式,平均系統(tǒng)時(shí)間為 由此可得 可得,G|M|1問(wèn)題,現(xiàn)在來(lái)討論服務(wù)時(shí)間為指數(shù)分布的G|M|1排隊(duì)問(wèn)題。 取顧客到達(dá)時(shí)刻的隊(duì)長(zhǎng)k作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量 kn是第n個(gè)顧客Cn到達(dá)時(shí)系統(tǒng)內(nèi)的隊(duì)長(zhǎng)(不含Cn ) tn是Cn與Cn+1之間的時(shí)間間隔。 qn是tn內(nèi)服務(wù)完畢離開(kāi)的顧客數(shù),到達(dá)時(shí)間間隔,tn 是任意分布，與n無(wú)關(guān)，設(shè)其密度函數(shù)是a(t) ；服務(wù)時(shí)間是指數(shù)分布，即 則在內(nèi)有qn個(gè)顧客離開(kāi)的概率為 (2-81) 其中,系統(tǒng)方程,設(shè)rk表示顧客到達(dá)時(shí)隊(duì)長(zhǎng)為k的概率。 達(dá)到穩(wěn)態(tài)后， rk與n無(wú)關(guān)，可寫出G|M|1的系統(tǒng)方程為 這是一個(gè)線性差分方程，可令通解為,通解,若從上式能得小于1的 ，則可用歸一條件可求出 ，即 把這樣算出的 代入通解，即得顧客到達(dá)時(shí)刻的隊(duì)長(zhǎng)為 的概率為,系統(tǒng)參量,平均隊(duì)長(zhǎng) (2-85) 等待時(shí)間 的概率密度 (2-86) 平均等待時(shí)間 (2-87) 系統(tǒng)內(nèi)平均停留時(shí)間,特例,對(duì)于M|