概率論與數(shù)理統(tǒng)計期望.ppt

前兩章討論了隨機變量的分布函數(shù)，我們看到分布函數(shù)能夠完整地描述隨機變量的統(tǒng)計特征，但在一些實際問題中，隨機變量的分布函數(shù)并不容易求得；另一方面，在一些實際問題中，我們往往并不直接對分布函數(shù)感興趣，而只對分布的少數(shù)幾個特征指標感興趣，例如分布的中心位置，分散程度等等，一般稱之為隨機變量的數(shù)字特征，而這些數(shù)字特征在理論和實踐中都具有十分重要的意義。本章介紹隨機變量的常用數(shù)字特征：數(shù)學期望、方差、協(xié)方差、相關系數(shù)和矩。,第一節(jié) 數(shù)學期望,一、離散型隨機變量的數(shù)學期望,我們希望引進這樣一個特征數(shù)字，它能反映隨機變量X所取數(shù)值的集中位置，就象力學系統(tǒng)中的重心反映該系統(tǒng)質(zhì)量的集中位置一樣，在概率論中，這樣一個數(shù)字就是隨機變量的數(shù)學期望（也稱平均值）. 先看一個例子。,觀察一名射手20次射擊的成績?nèi)缦拢?人們常使用“平均中靶環(huán)數(shù)”來對射手的射擊水平作出綜合評價，記平均中靶環(huán)數(shù)為x, 則有：,我們知道，當試驗次數(shù)增大時，頻率的穩(wěn)定值就是概率，那么完整描述該射手真實水平的是其射中各環(huán)數(shù)的概率分布，相應地，觀察到的平均中靶環(huán)數(shù)x 隨試驗次數(shù)增大必將趨于一個穩(wěn)定值，設中靶環(huán)數(shù)X（觀察之前為隨機變量）的分布律為： PX=i=pi, i=0,1,2,10,定義中“絕對收斂”這一條件，是為了保證E(X)的值不因求和的次序改變而改變，期望公式(1)實際上是隨機變量X的取值以概率為權的加權平均，它也有一個物理的解釋。,例1 Xb(1,p), 求E(X) 解 因X有分布律,X的數(shù)學期望為E(X)=0(1-p)+1p=p.,例2 設Xp(l), 求E(X) 解 X的分布律為,X的數(shù)學期望為,例3 甲乙兩工人每天生產(chǎn)出相同數(shù)量同種類型的產(chǎn)品，用X1,X2分別表示甲、乙兩人某天生產(chǎn)的次品數(shù)，經(jīng)統(tǒng)計得以下數(shù)據(jù)：,試比較他們的技術水平的高低。,解 根據(jù)定義，X1的數(shù)學期望 E(X1)=00.3+10.3+20.2+30.2=1.3 E(X2)=00.2+10.5+20.3+30=1.1 所以甲的技術水平比乙低。,二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望,現(xiàn)在我們給出連續(xù)隨機變量的數(shù)學期望的定義。 設連續(xù)隨機變量X的概率密度為f(x), 隨機變量X落在小區(qū)間(x,x+Dx)內(nèi)的概率近似f(x)Dx, 所以，連續(xù)隨機變量的數(shù)學期望可以定義如下：,從幾何意義來說，連續(xù)型隨機變量X的數(shù)學期望E(X)就是概率分布曲線y=f(x)與x軸之間的平面圖形的重心的橫坐標，這是因為上述平面圖形的面積為,例4 設隨機變量X在區(qū)間(a,b)內(nèi)服從均勻分布，求E(X). 解 由題意知，X的概率密度為,于是有,例5 設X服從參數(shù)為l(l0)的指數(shù)分布，求E(X). 解 由題意知，X的概率密度為,則,例6 設隨機變量X服從柯西分布(Cauchy)，概率密度為,求E(X). 解 因為廣義積分,不收斂，所以E(X)不存在.,三、二維隨機變量的數(shù)學期望 對二維隨機變量(X,Y)，定義它的數(shù)學期望為E(X,Y)=(EX,EY). 設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為 PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2,. 則,設二維連續(xù)隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y),則,例7 設(X,Y)的密度函數(shù)為,求E(X), E(Y).,解 如圖所示,四、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 為了計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望，我們可以先求出隨機變量函數(shù)的分布律或概率密度，然后按公式(1)或(2)計算數(shù)學期望。但是，也可以用下面介紹的幾個定理直接計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望。,例8 設隨機變量X的分布律為,求隨機變量函數(shù)Y=X2的數(shù)學期望.,求隨機變量函數(shù)Y=X2的數(shù)學期望 解 用兩種方法計算 方法 先求Y的分布律為,由公式(1)得E(Y)=00.25+10.40+40.25+90.10=2.30,求隨機變量函數(shù)Y=X2的數(shù)學期望 解 用兩種方法計算 方法2 由公式(7)得 E(Y)=(-2)20.10+(-1)20.20+020.25+ 120.20+220.15+320.10 =2.30,例9 設隨機變量X在區(qū)間(0,p)內(nèi)服從均勻分布，求隨機變量函數(shù)Y=sinX的數(shù)學期望. 解 仍用兩種方法計算： 方法1 先利用分布函數(shù)法求得Y的概率密度為,再由公式(2)得,例9 設隨機變量X在區(qū)間(0,p)內(nèi)服從均勻分布，求隨機變量函數(shù)Y=sinX的數(shù)學期望. 解 仍用兩種方法計算： 方法2 由題意知，X的概率密度為,由公式(8)得,例10 設XN(0,1), 求E(X),E(X2). 解,定理3 設二維離散隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為P(X=xi,Y=yj)=pij,i=1,2,j=1,2, g(x,y)是實值連續(xù)函數(shù)，且級數(shù),絕對收斂，則隨機變量函數(shù)g(X,Y)的數(shù)學期望為,定理4 設二維連續(xù)隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y), g(x,y)是實值連續(xù)函數(shù)，且廣義積分,絕對收斂，則隨機變量函數(shù)g(X,Y)的數(shù)學期望為,例12 設隨機變量X與Y相互獨立，概率密度分別是,求隨機變量函數(shù)Z=X+Y的數(shù)學期望. 解 仍用兩種方法. 方法1 首先求出Z的概率密度為,則,方法2 因為隨機變量X與Y是相互獨立的，所以二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為,按公式(10)得,五、數(shù)學期望的性質(zhì) 數(shù)學期望的幾個重要性質(zhì): 1 設C是常數(shù)，則有E(C)=C. (11) 2 設X是一個隨機變量，C是常數(shù)，則有 E(CX)=CE(X) (12) 3 設X,Y是兩個隨機變量, 則有 E(X+Y)=E(X)+E(Y) (13) 這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個隨機變量的情況. 4 設X,Y是相互獨立的隨機變量，則有 E(X,Y)=E(X)E(Y) (14),證 1,2,3證明略. 只證明4. 設X,Y為相互獨立的連續(xù)型隨機變量，其邊緣概率密度分別為fX(x), fY(y), 則聯(lián)合概率密度為 f(x,y)=fX(x)fY(y). 故有,例13 設XN(m,s2), 求E(X).,例14 設Xb(n,p), 求E(X) 解 引入計數(shù)隨機變量Xi, 當?shù)趇次試驗中事件A發(fā)生時，Xi取值1，否則取值0，i=1,2,n. 其中P(A)=p, Xi為(0-1)分布，E(Xi)=p, 且X=X1+X2+Xn, 所以 E(X)=E(X1+X2+Xn)= =E(X1)+E(X2)+E(Xn) =p+p+p=np. 即X的數(shù)學期望為np.,如果直接利用數(shù)學期望的定義,計算結果也為np, 但計算較繁。 本例的計算方法具有一般性，引入計數(shù)隨機變量可使計算簡單化，請再看一例：,例15 一民航送客車載有20位旅客自機場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達一個車站沒有旅客下車就不停車，以X表示停車的次數(shù)，求E(X). (設每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設旅客是否下車相