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2.2 解析函數和調和函數,1、共軛調和函數,由復變函數的可微的充要條件，函數可微必須滿足C-R條 件，即： 。而由C-R條件有：,顯然有：,定義1(調和函數)：如果實函數u(x,y)在區(qū)域D中有二階連續(xù)偏 導數，并且滿足： ，則稱u(x,y)為區(qū)域D中的調和 函數。 稱為Laplace方程。,定理1：在區(qū)域D中解析的復變函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其實部 和虛部都是該區(qū)域上的調和函數。,* 若u(x,y),v(x,y)是任意選取的兩個調和函數，則f(z)卻不一定解析。,例1、驗證u(x,y)=x3-3xy2是二維平面上的調和函數，并求以它 為實部的解析函數。,解：,顯然： ， u(x,y)為調和函數。,若以u(x,y)為實部，則函數解析必須滿足C-R條件，所以：,由方程(1)解得：,將其帶入到(2)中有：,解得：,最后可以將解析函數表示為：,* 顯然一個解析的復變函數的實部和虛部并不是獨立的任意選 取的實函數，而是由C-R條件聯(lián)系在一起的一對共軛實調和 函數。,定理2：在區(qū)域D中解析的復變函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其實部 和虛部為該區(qū)域上的共軛調和函數。,2、共軛調和函數的幾何意義,在區(qū)域D中解析的復變函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若f(z)0，并分 別取u(x,y),v(x,y)的等值線：,可以證明，兩條曲線在交點處正交。,證明：若令兩個曲線的交點為(x0,y0)，則：,實部函數和虛部函數的梯度場函數為：,所以，在交點處兩個等值線的法向量為：,現(xiàn)在做兩個向量的內積：,很顯然，兩個共軛調和函數的等值曲線在交點處正交。,例2，在復平面上的

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