清華微積分高等數學第八講微分中值定理.pptVIP

2019/7/16,1,作業(yè),P88 習題4.1 5(1). 7. 8(2)(4). 9(1). 10(3). P122 綜合題: 4. 5.,復習：P8088 預習：P8995,2019/7/16,2,應用導數研究函數性態(tài),局部性態(tài) 未定型極限 函數的局部近似,整體性態(tài) 在某個區(qū)間上 函數的單調性、函數的極值 函數的凸性、漸近性、圖形,2019/7/16,3,微分中值定理，包括： 羅爾定理、拉格朗中值定理、 柯西中值定理、泰勒中值定理,微分中值定理是微分學的理論基礎。是 利用導數研究函數性質的理論依據。,微分中值定理的共同特點是： 在一定的條件下，可以斷定在所給區(qū)間 內至少有一點，使所研究的函數在該點具有 某種微分性質。,2019/7/16,4,第八講 微分中值定理,一、費爾馬 ( Fermat )定理,二、羅爾 ( Rolle )定理,三、拉格朗日(Lagrange )定理,四、柯西 (Cauchy )定理,2019/7/16,5,一、費爾馬 ( Fermat )定理,（一）極值的定義：,2019/7/16,6,極值的研究是微積分產生的主要動力之一,2019/7/16,7,（二）費爾馬定理 (極值必要條件),2019/7/16,8,2019/7/16,9,證,2019/7/16,10,2019/7/16,11,微分中值定理的引入,2019/7/16,12,2019/7/16,13,2019/7/16,14,2019/7/16,15,二、羅爾 ( Rolle )定理,2019/7/16,16,怎樣證明羅爾定理 ？,先利用形象思維 去找出一個C點來！,想到利用閉區(qū)間上連續(xù)函數 的最大最小值定理！,2019/7/16,17,羅爾定理的證明：,2019/7/16,18,2019/7/16,19,三、拉格朗日(Lagrange )定理,2019/7/16,20,怎樣證明拉格朗日定理 ？,拉格朗日定理若添加條件:,則收縮為羅爾定理；,羅爾定理若放棄條件:,則推廣為拉格朗日定理。,知識擴張所遵循的規(guī)律之一就是將欲探 索的新問題轉化為已掌握的老問題。,因此想到利用羅爾定理！,2019/7/16,21,滿足羅爾定理條件,弦線與f(x)在端點處相等,設,函數,2019/7/16,22,拉格朗日定理的證明：,構造輔助函數,拉格朗日中值公式,2019/7/16,23,拉格朗日公式各種形式,有限增量公式,2019/7/16,24,2019/7/16,25,推論1：,證,2019/7/16,26,推論2：,推論3：,推論4：,2019/7/16,27,四、柯西 (Cauchy )定理,2019/7/16,28,柯西中值定理的證明：,構造輔助函數,2019/7/16,29,費爾馬定理,羅爾定理,拉格朗日定理,柯西定理,2019/7/16,30,零點問題,以下證明恰好有三個根,該方程實根個數 就是兩條曲線,2019/7/16,31,首先證明至少有三個根,計算表明,根據介值定理,因此方程至少有三個根,然后證明方程最多有三個根,用反證法,2019/7/16,32,根據洛爾定理,矛盾！,綜上所述，方程恰好有三個實根,35,2019/7/16,33,直觀觀察可以啟發(fā)思路,所以最小值一定在區(qū)間內部達到,2019/7/16,34,證,2019/7/16,35,證明思路直觀分析,例3,2019/7/16,36,證,根據連續(xù)函數的最大最小值定理,2019/7/16,37,證,2019/7/16,38,44,2019/7/16,39,證,2019/7/16,40,2019/7/16,41,證,2019/7/16,42,2019/7/16,43,2019/7/16,44,證,2019/7/16,45,2