概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第三章第4節(jié)).ppt

1,第四節(jié) 隨機變量的函數(shù)的分布,很多實際問題常常要用以隨機變量為自變量的函數(shù)來描述, 當(dāng)這個函數(shù)滿足一定的條件時, 它也是隨機變量。,一般, 假定 X 或 ( X, Y ) 是已知分布的隨機變量, g(x) 或 G(x, y) 是實值的一元或二元函數(shù), 當(dāng) g(X) 或 G( X, Y ) 是隨機變量時, 希望通過已知的 X 或 ( X, Y ) 的分布去確定 g(X) 或 G( X, Y ) 的分布。,2,1. 離散型隨機變量的函數(shù)的分布律,當(dāng)X 或 ( X, Y ) 是離散型隨機變量時,它們的函數(shù)仍然是離散型的隨機變量。,例1. 設(shè)隨機變量 X 具有分布律,求: Y = 2X 以及 Z = sin X 的分布律。,3,解. 首先由 X 的可能取值確定 Y 及 Z 的取值:,X,Y = 2X,Z = sin X,1 0 1 0,得到隨機變量函數(shù) Y 及 Z的分布律為:,4,5,例2. 設(shè)隨機變量 ( X, Y ) 具有聯(lián)合分布律:,求: Z = X+Y 的分布律。,6,解. 對應(yīng)于 X, Y 取值的 Z = X+Y 的值是,1,0,1,1,2,3,得到 Z 的分布律為,7,記 Z = g(X) 或 Z = G( X, Y ), 求 Z 的分布律的一般步驟是：,(1) 確定 Z 的所有可能取值 zk, k = 1, 2, ;,(2) 計算概率值 P Z = zk , 有如下公式,zk = g(xi) 或 G(xi, yj),8, 當(dāng)Z = g(X) 時,9,當(dāng)隨機變量取整數(shù)值時, 可以得到如下更具體的公式:,設(shè)離散型隨機變量 X、Y 的可能取值是 0, 1, 2, 則 X+Y 的分布律是,如果 X,Y 相互獨立 還有,k = 0, 1, 2, ,10,例3. 設(shè)隨機變量 X、Y 相互獨立, 均服從泊松分布, X P(1) , Y P(2) , 證明: X+Y P(1+2),證: X、Y 的可能取值都是0, 1, 2, ,于是 X+Y 的可能取值也是0, 1, 2, 并且,11,所以, X+Y P(1+2) 。,C,i k,12,例3 的結(jié)論稱為泊松分布具有 “再生性”。還可以證明,二項分布也具有再生性,設(shè) X、Y 相互獨立, X B ( n1, p ), Y B ( n2, p ), 則有 X +Y B ( n1+n2, p )。,從二項分布的直觀背景也可解釋其再生性。而且, 利用數(shù)學(xué)歸納法, 還可以得到如下的重要結(jié)論。,13, 設(shè)隨機變量 X1, X2, , Xn 相互獨立, 均 服從同樣的 (0-1) 分布, 即 B( 1, p), 則 X1+X2+ +Xn B( n, p),直觀上, 考慮 n 重貝努里試驗, 以 Xi 表示第 i 次試驗時事件 A 的發(fā)生次數(shù), 則X1+X2+ +Xn 就是n 重貝努里試驗中事件A 發(fā)生的次數(shù), 服從 B( n, p)。,14,2. 連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布,當(dāng)X 或 ( X, Y ) 是連續(xù)型隨機變量, 它們的函數(shù) g(X) 或 G( X, Y ) 可以是連續(xù)型隨機變量, 也可以是離散型隨機變量。,15,解. X1, X2 的可能取值都是 0, 1; Y 的概率密度是,于是 PXk= 0= PYk =,exdx = 1 ek,PXk= 1= PY k =,exdx = ek,16,再求出(X1, X2)的聯(lián)合分布律,因為,P X1= 0, X2= 0 = PY1, Y2 ,1 e1,P X1= 0, X2= 1 = PY1, Y2 ,0,P X1= 1, X2= 0 = P 1Y2 ,e1 e2,P X1= 1, X2= 1 = PY1, Y2 ,e2,17,像例4 這種連續(xù)型隨機變量的函數(shù)是離散型隨機變量的題目, 其核心的運算是利用概率密度計算概率。,下面要解決的主要問題是:,當(dāng) g(X) 或 G( X, Y ) 為連續(xù)型隨機變量時, 由 X 或 ( X, Y ) 的概率密度去確定g(X) 或 G( X, Y ) 的概率密度。,18,例5. 已知隨機變量 X 的概率密度為連續(xù)函數(shù) fX (x) , 求: Y = X 2 的概率密度 fY ( y)。,求解思路: 首先確定分布函數(shù), 然后確定 概率密度。,解. FY (y) = PYy = P X 2y , 有,當(dāng) y0 時, FY (y) = 0;, Y = g(X) 的概率密度,19,當(dāng)y 0 時,對分布函數(shù) FY (y) 求導(dǎo), 即得到,20,一般的, Y = g(X) 時,FY (y) = PYy = P g(X)y ,求解的關(guān)鍵,解決問題 的出發(fā)點,想辦法將不等式 “ g(X)y ” 等價轉(zhuǎn)換為關(guān)于 X 的不等式 “ X ” , 再利用 X 的概率密度求出所需結(jié)果。,當(dāng)函數(shù) g(x) 滿足一定條件時, 上述等價轉(zhuǎn)換比較容易實現(xiàn)。比如, g(x) 為單調(diào)函數(shù)時, 有如下的公式:,21,當(dāng) g(x) 為單調(diào)遞增函數(shù), g(X)y , Xg 1(y) ,反函數(shù),此時, FY (y) = FX g 1(y) ,當(dāng) g(x) 為單調(diào)遞減函數(shù), g(X)y , Xg 1(y) ,-此時, FY (y) = 1FX g 1(y) ,22,例6. 已知隨機變量 X 的概率密度為連續(xù)函數(shù) fX (x) , 求: Y = a X+ b (a0) 的概率密度 fY ( y)。,解. 當(dāng)a0 時,當(dāng)a0 時,23,對 y 求導(dǎo)得到,24,由 的結(jié)論, 可得到一個重要性質(zhì):,例6,例7. 設(shè)隨機變量 X N(, 2), 則 X 的線性函數(shù)Y = a X+ b (a0) 服從正態(tài)分布 N(a +b, a 2 2)。,所以, Y N(a +b, a 2 2)。,解:,25,特別地,此時, Y 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0, 1)。,標(biāo)準(zhǔn)化 變換,結(jié)論: 正態(tài)分布的線性函數(shù)仍然 服從正態(tài)分布; 任意的正 態(tài)分布可以通過標(biāo)準(zhǔn)化變 換, 變成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。,26, Z = G( X, Y )的概率密度,設(shè) ( X, Y ) 的聯(lián)合概率密度為 f (x, y),求解的出發(fā)點是,FZ (z) = P Zz = P G( X, Y )z ,27,注: 如果能將不等式 G( X, Y )z 等價轉(zhuǎn)換為關(guān)于 X, Y 的不等式 X和 Y, 則剩下的工作將不太困難。,例8. 設(shè)隨機變量X1, X2, , Xn 相互獨立, 服從同樣的區(qū)間(0, a) 上的均勻分布, 求,(1) max( X1, X2, ,Xn )的概率密度 fmax(z);,(2) min( X1, X2, ,Xn )的概率密度 fmin(z);,28,解. (1) 設(shè) X1, X2, , Xn 的分布函數(shù)和概率密度分別為FX(x)與fX(x), 有 Fmax(z) = P max( X1, X2, , Xn )z ,= P X1z, X2z, , Xnz ,= P X1z P X2z P Xnz,= FX(z) n,于是 fmax(z) = n FX(z)n1 fX(z),隨機變量 極大值分布 計算公式,29,因為X1, X2, , Xn 服從區(qū)間(0, a) 上的均勻分布, 有,因此,30,(2) 類似地, 有,Fmin(z) = P min( X1, X2, , Xn )z ,= 1P min( X1, X2, , Xn ) z ,= 1P X1 z, X2 z, , Xn z ,= 1PX1 z PX2 z PXn z ,= 1 1FX(z) n,于是,fmin(z) = n 1FX(z) n1 fX(z),隨機變量 極小值分布 計算公式,31,因此得到,計算 Z = G( X, Y )的概率密度, 更多的時候是由 通過積分運算而得到。,公式,32,隨機變量之和的分布,設(shè)隨機變量 ( X, Y ) 的聯(lián)合概率密度為 f (x, y), Z = X+Y , 則有,FZ(z) = P X+Yz ,如圖所示,x+y = z,x,y,o,33,變換, 令 x = uy, 則,34,于是 FZ(z) =,=,由連續(xù)型隨機變量定義 FZ(z) =,得到,fZ (z) =,35,作積分變量替換, 令 y = ux, 然后可得到,fZ (z) =,當(dāng)隨機變量X, Y 相互獨立時, 上述兩 個公式變化為,36,fZ (z) =,或者,fZ (z) =,這兩個公式又稱為卷積公式。,利用卷積公式, 可以證明,37,正態(tài)分布具有再生性,設(shè)隨機變量X, Y 相互獨立, 并且 X N (1, 12) , Y N (2, 22) 則有 X +Y N (1 + 2, 12 + 22 ) 。,38,例9. 設(shè)隨機變量X, Y 相互獨立, 均服從區(qū)間 (a, b) 上的均勻分布, 求: Z = X+Y 的概率密度 fZ (z)。,解: 由卷積公式, 有,由于,39,因此, 被積函數(shù) fX(x) fY(zx) 當(dāng)不等式 a x b 與 a zx b 同時成立時不為 0, 否則均為 0; 滿足這個條件的 (x, z) 的區(qū)域如下圖所示。,40,x,o,z,z - x = a,z - x = b,a,b,2a,2b,a+b,當(dāng) z2a 或 z2b 時,當(dāng)2aza+b,當(dāng)a+bz2b,41,因此, 當(dāng) z2a 或 z2b 時,當(dāng) 2aza+b 時,當(dāng) a+bz2b 時,42,所以, X+Y 的概率密度為,43,X+Y 的概率密度曲線如下:,o,z,fZ (z),2a,a+b,2b,1 ba,這個分布稱為 辛普生分布,44,隨機變量的商的分布,設(shè)隨機變量 ( X, Y ) 的聯(lián)合概率密度為 f (x, y), 設(shè),Z =,則有,=,45,如圖所示:,x,o,y,= z,故 F