例1變速直線運動速度.pptVIP

例1. 變速直線運動的速度,物體作勻速直線運動時, 有,這一速度其實是物體走完某一段路程的平均速度，平均速度記作V.,由于勻速運動物,體的速度是不變的，因此,41 導(dǎo)數(shù)的概念,一、導(dǎo)數(shù)概念的引入,由于變速直線運動物體的速度 V(t) 是變的，因此，用這個公式算出的平均速度V不能真實反映物體在時刻 t0 的瞬時速度 V(t0).如何求V(t0)?,設(shè)一物體作變速直線運動，在0, t這段時間內(nèi)所走路程為 S = S(t). 下求V(t0),如圖,設(shè)物體在 t0 時，所走路程為 S(t0)，在 t0+t 時所走路程為 S(t0+t)，從而，物體在 t0, t0+t 這段時間內(nèi)所走路程為,S =,S (t0+t) S (t0),物體在 t0, t0+t 這段時間內(nèi)的平均速度為,t越小，近似值,就越接近精確值V(t0).,當(dāng)t無限變小時，近似值,就會無限接近,也就是,精確值V(t0).,例2. 曲線的切線斜率,圓的切線可定義為“與曲線(圓)只有一個交點的直線”，但對一般曲線而言. 這一定義是不合適的.如y=x2, x 軸和 y 軸與曲線都只有一個交點，以哪條直線作為切線呢？如圖,又如，y = x3, 如圖,又比如，y=sinx, 如圖,切線的一般定義：如圖,設(shè)有曲線C及C上一點M，在M點外任取C上一點N，作割線MN，當(dāng)點N沿曲線C趨向點M時，如果割線MN趨向于它的極限位置MT，則稱直線MT為曲線C在點M處的切線.,T,M,N,C,N,下面討論曲線C：y = f (x), 在點M(x0, y0)處的切線斜率問題.,設(shè)N的坐標(biāo)為 (x0+x, y0+y), 割線MN的傾角為, 切線MT的傾角為.,如圖,T,y=f (x),M,x,x0,x0+x,N,C,y0+y,y0,P,割線 MN 的斜率,當(dāng)x0 時, N 沿 C 趨于M, MN MT.,從而. 因此, tgtg.,P,所以切線MT的斜率：,P,定義：設(shè) y=f (x)在x0 的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義. 如果當(dāng)x0時，,的極限存在, 則稱這個極限值為f (x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f (x0), 即,二、導(dǎo)數(shù)的定義,存在，則稱,f (x)在x0可導(dǎo)(或稱f (x)在 x0 的導(dǎo)數(shù)存在). 否則，稱f (x)在x0不可導(dǎo)(或稱 f (x)在 x0的導(dǎo)數(shù)不存在). 特別,注1. 若,若記x=x0+x, 當(dāng)x0時, x x0,特別，取x0 = 0, 且若 f (0) = 0, 有,注2.導(dǎo)數(shù)定義還有其他等價形式,注3.對于例1, 有,對于例2, 曲線y = f (x)在點 M(x0, f (x0) 處切線斜率,注4.由于,稱為,f (x)在x0的右導(dǎo)數(shù).,稱為,f (x)在x0的左導(dǎo)數(shù).,有, f (x) 在x0可導(dǎo) f (x)在x0的左, 右導(dǎo)數(shù)存在且相等.,注5.若 y = f (x)在(a, b)內(nèi)每點可導(dǎo)，則稱 f (x)在(a, b)內(nèi)可導(dǎo).,此時，x(a, b)都有唯一確定的值f (x)與之對應(yīng)，所以導(dǎo)數(shù)是x的函數(shù).,稱為y=f (x)的導(dǎo)函數(shù),按定義，,f (x)就是x所對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值，這個式子就是導(dǎo)函數(shù)的表達式.,而f (x0)就是f (x)在x= x0處的函數(shù)值，即,另外，求,注6.,用定義求導(dǎo)數(shù)一般可分三步進行.,設(shè)y = f (x)在點x處可導(dǎo),(1) 求y=f (x+x) f (x),(2) 求比值,(3) 求極限,三、求導(dǎo)舉例,例3. 求 y = C (常數(shù))的導(dǎo)數(shù).,解：(1) y = f (x+x) f (x) = C C = 0,(2),(3),故(C ) = 0, 即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0.,例4. 設(shè) y = f (x) = xn. n為正整數(shù)，求f (x).,解：(1) y = f (x+x) f (x),= (x+x)n xn,(2),(3),即 (xn)= nx n1,比如，(x)=1,(x2)=2x,(x3)=3x2,一般，對冪函數(shù)y=x, 為實數(shù),有 (x) = x1,比如,例5. 求y = sinx的導(dǎo)數(shù).,解：(1) y = sin (x+x) sinx,(2),(3),即 (sinx) = cosx,類似 (cosx) = sinx,例6. 求y = ax的導(dǎo)數(shù)，其中a0, a1.,解：,從而,即 (ax) = axlna,特別，取a = e, 則 (ex)= ex,例7. 求y=logax 的導(dǎo)數(shù)，其中a0, a1, x0, 并求y|x=1.,解：,即,特別，取a = e, 則,從而,由例2知, 函數(shù)y=f (x)在x0處的導(dǎo)數(shù) f (x0)就是曲線y = f (x)在點M(x0, f (x0)處切線的斜率，即 k = f (x0).,法線方程為,一般, 若f (x0)存在, 則y=f (x)在點M(x0, f (x0)處切線方程為,四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,特別，(i)當(dāng)f (x0)=0時，即k = 0.,從而切線平行于,x軸. 因此，法線垂直于x軸.,如圖,切線方程：y = f (x0).,法線方程：x = x0.,(2) 當(dāng)f (x0)=(不存在). 即k = tg =. 故,從而切線垂直于x軸，而法線平行于x軸.,切線方程： x = x0.,法線方程： y = f (x0).,如圖,單位圓在(1, 0)處切線方程: x = 1.,法線方程: y = 0.,又如圖,由于在原點(0,0)處,x,y,0,(不存在),從而切線方程: x=0, 法線方程: y = 0.,例8. 求過點(2, 0)且與曲線y=ex相切的直線方程.,解：由于點(2, 0)不在曲線y=ex上，故不能直接用公式 y f (x0) = f (x0)(x x0).,由于(ex)=ex,因切線過點(2, 0), 代入, 得,得x0 = 3.,所求切線為y e3 = e3(x3),定理. 若y=f (x)在 x0可導(dǎo)，則y=f (x)在 x0必連續(xù).,證： 因f (x)在 x0可導(dǎo)，即,五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系,由極限與無窮小量的關(guān)系，有,或,故,定理的逆命題不成立，即, 若y=f (x)在x0連續(xù)，y=f (x)在x0不一定可導(dǎo).,例. 討論f (x)=| x |在 x=0 處的可導(dǎo)性和連續(xù)性.,解：由于,故| x |在x=0連續(xù).,但|x|在x=0不可導(dǎo). 因f (x)=|x|=,x, x0,x, x0,=1,= 1,由于左、右導(dǎo)數(shù)不相等, 故|x|在x=0不可導(dǎo).,如圖,一般, 函數(shù)在尖點(角點)處不可導(dǎo).,x,y,0,定理1. 設(shè)函數(shù)u=u(x),v=v(x)在點x處可導(dǎo)，則,均在x處可導(dǎo).,且,4 2 求導(dǎo)法則,一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則,證：(1) 記 y=u (x)v(x),從而,從而,(2) 要證,記,故,因u、v可導(dǎo), 從而連續(xù), 故當(dāng)x 0時, V0.,證略,定理中的(1)、(2)都可推廣到有限多個的情形.,如，(u+v+w) = u+v+w,(uvw) = uvw+uvw+uvw,推論：若f (x)在x處可導(dǎo)，c為常數(shù)，則 cf (x)在 x 處可導(dǎo)，且,例1. 求y = x2+5sinx的導(dǎo)數(shù),解：,例2. 求 y = ax cos x的導(dǎo)數(shù),解：,例3. 求,的導(dǎo)數(shù),解：, 其中f (x)可導(dǎo), f (x) 0,例4. 求y = tgx的導(dǎo)數(shù),解：,故,類似,例5. 求 y = secx 的導(dǎo)數(shù),解：,即,類似,比較公式,我們知道 .,？,這是因為sin2x是復(fù)合函數(shù)，不能直接用前面的公式求導(dǎo)數(shù),定理2. 若u=(x)在x處可導(dǎo)，而y=f(u)在對應(yīng)點u=(x)處可導(dǎo)，則復(fù)函數(shù)y=f (x)在x處可導(dǎo)，且,證：記,二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,由于y=f (u)在點u可導(dǎo)，從而,存在,故,從而當(dāng)u=0時，有y=f (u+ u)f (u)=0，上式右端也為0.,規(guī)定：當(dāng)u=0時，=0，,總有,從而, x0時，u0(可導(dǎo)必連續(xù))，而當(dāng)u0時0.,公式也可寫成,公式還可推廣到多次復(fù)合的情形.,如 y = f (u)，u = (v), v = g(x), 則,例6.求y = sin2x的導(dǎo)數(shù),解：y = sin2x是由y = sinu，u = 2x復(fù)合而成,按公式,例7. 求y = (3x2+1)100的導(dǎo)數(shù),解： y = u100，而 u = 3x2+1,由公式,例8.,解：,例9.,解：,的導(dǎo)數(shù).,例10. 求y = x，(x0,實數(shù))的導(dǎo)數(shù),解： y = e lnx,例11. 求y = sinnxsinnx的導(dǎo)數(shù)，n為常數(shù).,解：,定理3.若x=(y)在某區(qū)間Iy內(nèi)嚴(yán)格單調(diào), 可導(dǎo),(y) 0, 則它的反函數(shù)y=f (x)在對應(yīng)區(qū)間Ix內(nèi)也可導(dǎo), 且,證：由于x=(y)在Iy內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)、連續(xù). 從而它的反函數(shù)y=f (x)存在, 并在Ix內(nèi)有相同的單調(diào)性, 同時, y=f (x)在Ix內(nèi)連續(xù).,即,下證,三、反函數(shù)求導(dǎo)法則,xIx, 給改變量x0, 相應(yīng)的函數(shù)y=f (x)有改變量,由于 x = (y)和 y = f (x)互為反函數(shù)，,即，,即x也就是函數(shù)x=(y)的改變量.,因y=f (x)連續(xù)，故當(dāng)x0時，y0，且(y) 0,例11. 證明,證：y=arc sinx是x=siny的反函數(shù). x=siny在,內(nèi)單調(diào)，可導(dǎo)，且(siny)=cosy 0,所以在對應(yīng)區(qū)間(1,1)內(nèi)，有,例12. 證明,證：y=arc tgx是x=tg y在,上的反函數(shù),x=tg y在,內(nèi)單調(diào)，可導(dǎo)，且,例13. 設(shè),解：,=,當(dāng) x 0且| x | a時,當(dāng)x a 時,=,P106 P107,四、導(dǎo)數(shù)公式表,說明：公式12,(1) 當(dāng) x 0時，,(2) 當(dāng) x 0時，,綜合(1)、(2)有,公式17,因為,類似得公式18,例14.,解:,例15. 設(shè),sinx, x 0 ex1, 0 x ln3 2x2, ln3 x,求 f (x) 的導(dǎo)數(shù), 并指出 f (x)的不可導(dǎo)點.,解: 當(dāng) x 0時, f (x) = (sinx) = cosx.,當(dāng) 0 x ln3時, f (x) = (ex1) = ex.,當(dāng) ln3 x時, f (x) = (2x2) = 4x.,f (x) =,考慮分段點 x = 0, ln3處的導(dǎo)數(shù).,= 1 (當(dāng)x 0時, f (x) = sinx),= 1 (當(dāng) 0 x ln3時, f (x) = ex1),由于 f (0) = f +(0) = 1, 故 f (0) = 1.,由于當(dāng) 0x ln3時, f (x) = ex1. 當(dāng) ln3 x時, f (x) = 2x2. 故 f (ln3) = eln31 = 2.,從而,所以 f (x) = ln3 處不可導(dǎo).,綜合, f (x) =,cosx, x0,1, x=0,ex, 0 x ln3,4x, ln3 x,不存在, x = ln3.,或由,知 f (x) 在 x = ln3 處不連續(xù), 故必不可導(dǎo).,例16. 求常數(shù) a, b的值, 使,x2 + 2x + 3, x 0 ax + b, x 0,在 (, +)內(nèi)可導(dǎo).,解: 由于可導(dǎo)必連續(xù), 故要使 f (x) 可導(dǎo), 必先使 f (x)連續(xù).,由于 f (0) = 3,故 a = 2, b = 3時, f (x)在 (, +)可導(dǎo).,得 b = 3.,f (x) =,以前所接觸到的函數(shù)通常是y=f (x)的形式, 即左邊是y ,而右邊是一個不含y的表達式.,如,我們稱為顯函數(shù),根據(jù)函數(shù)的概念，一個函數(shù)也可以不以顯函數(shù)的形式出現(xiàn).,五、隱函數(shù)求導(dǎo)法則,比如，給二元方程,y3+2x21=0,任給一個x，都可根據(jù)上面的方程，解出,唯一的一個y來即，任給一個x都有唯一的一,個y與之對應(yīng)，因此, y是x的函數(shù).,稱y為由方程,y3+2x21=0所確定的隱函數(shù).,定義：設(shè)有二元方程F(x, y)=0，如果對任意的 xIx , 存在唯一的y滿足方程F(x, y)=0, 則稱方程F(x, y)=0在Ix上確定了一個隱函數(shù)y = y(x).,有些隱函數(shù)很容易表成顯函數(shù)的形式.,如，由y3+2x21=0，解得,把一個隱函數(shù)化為顯函數(shù)的形式，稱為隱函數(shù)的顯化.,有些隱函數(shù)不一定能顯化或者很難顯化.,如 yx siny=0 (0 1), e y = xy,下面介紹不必顯化，就能直接求出隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法.,例17.求e y+xy2e=0所確定的隱函數(shù)y=y(x)的導(dǎo)數(shù)y.,解：(1)方程兩邊同對x求導(dǎo).,注意到y(tǒng)是x的函數(shù),ey, y2都是x的復(fù)合函數(shù).,e yy + y2 + 2xy y = 0,(2) 解出y. (ey+2xy )y = y2,故,例18. 求由y5 +2y x 3x7 = 0所定隱函數(shù)y = y(x) 在 x = 0的導(dǎo)數(shù) y (0).,解: (1)兩邊同時對x求導(dǎo), 注意到y(tǒng)是x的函數(shù). y5 是x的復(fù)合函數(shù).,從而 5y4 y + 2y 121x6 = 0,(2) 解出y ,(3) 注意到在原方程中, 當(dāng)x=0時, y=0. 代入得,例19.,解:,(1) 方程兩邊同對x求導(dǎo), 注意y是x的函數(shù).,(2),(3) 當(dāng)x=2，,(4) 切線方程,或,設(shè)參數(shù)方程,確定了平面上一條曲線，從而也就確定了y是x的函數(shù) (當(dāng)是一一對應(yīng)時),