高數(shù)課件20常微分方程.ppt

常微分方程,在力學(xué)、物理學(xué)及工程技術(shù)等領(lǐng)域中為了對(duì)客觀(guān)事物運(yùn)動(dòng)的規(guī)律性進(jìn)行研究，往往需要尋求變量間的函數(shù)關(guān)系，但根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，常常只能得到待求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式，這種關(guān)系式在數(shù)學(xué)上稱(chēng)之為微分方程。微分方程又分為常微分方程和偏微分方程，本章討論的是前者。,常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，內(nèi)容十分豐富，作為一種有效的工具在電子科學(xué)、自動(dòng)控制、人口理論、生物數(shù)學(xué)、工程技術(shù)以及其它自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域中有著十分廣泛的應(yīng)用,由于學(xué)時(shí)有限，高等數(shù)學(xué)中的常微分方程僅包含幾種特殊類(lèi)型的一階微分方程的求解，可通過(guò)降階求解的高階微分方程，二階常系數(shù)齊次和非齊次線(xiàn)性微分方程及其解的結(jié)構(gòu)和特殊情況下的求解方法。,本章先從解決這類(lèi)實(shí)際問(wèn)題入手，引出微分方程的一些基本概念，然后著重討論一些特殊類(lèi)型的微分方程的求解方法。,重點(diǎn),五種標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型的一階方程的求解,可降階的高階方程的求解,二階常系數(shù)齊次和非齊次線(xiàn)性方程的求解,難點(diǎn),求解全微分方程,求常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程的通解,一、問(wèn)題的提出,解,解,代入條件后知,故,開(kāi)始制動(dòng)到列車(chē)完全停住共需,二、微分方程的定義,微分方程: 凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程.,例,實(shí)質(zhì): 聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.,分類(lèi)1: 常微分方程, 偏常微分方程.,微分方程的階: 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最 高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).,分類(lèi)2:,一階微分方程,高階(n)微分方程,分類(lèi)3: 線(xiàn)性與非線(xiàn)性微分方程.,分類(lèi)4: 單個(gè)微分方程與微分方程組.,三、主要問(wèn)題-求方程的解,微分方程的解: 代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù).,微分方程的解的分類(lèi)：,(1)通解: 微分方程的解中含有任意常數(shù),且獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.,(2)特解: 確定了通解中任意常數(shù)以后的解.,解的圖象: 微分方程的積分曲線(xiàn).,通解的圖象: 積分曲線(xiàn)族.,初始條件: 用來(lái)確定任意常數(shù)的條件.,初值問(wèn)題: 求微分方程滿(mǎn)足初始條件的解的問(wèn)題.,一階:,過(guò)定點(diǎn)的積分曲線(xiàn);,二階:,過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率為定值的積分曲線(xiàn).,解,所求特解為,補(bǔ)充:,微分方程的初等解法: 初等積分法.,求解微分方程,求積分,(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來(lái)),四、小結(jié),微分方程;,微分方程的階;,微分方程的解;,通解;,初始條件;,特解;,初