經(jīng)濟系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述.ppt

第三章 經(jīng)濟系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析,第一節(jié) 離散時間函數(shù)與Z變換原理 第二節(jié) 離散時間經(jīng)濟系統(tǒng)的描述 第三節(jié) 離散時間經(jīng)濟系統(tǒng)的求解,第一節(jié) 離散時間函數(shù) 與Z變換原理,3,一、離散時間函數(shù),在離散時間系統(tǒng)中存在一個取整數(shù)值的變量k (k=0、1、2)，而系統(tǒng)中的其它變量隨k的變化而變化，即為k的函數(shù)，表示為x(k)。,如：x(0) 、x(1)、 x(2) 表示向量x(k)在k=0、1、2時的值，此時，K稱為時間，X(K)稱向量函數(shù)X在k時刻的值。,4,二、Z變換的定義和性質(zhì),解：,5,二、Z變換的定義和性質(zhì),6,1、線性定理,Z變化是一種線性變化,滿足齊次性和疊加性,式中，c1、c2為任意常數(shù)， f1(k)、 f2(k)是任意的可求Z變化的 時間序列離散函數(shù)。,7,2時移定理（位移定理）,如果f(k)的Z變化是F(z)，則f(k+N)的Z變化為：,8,2時移定理（位移定理）,如果f(k)的Z變化是F(z)，則f(k+N)的Z變化為：,9,2時移定理（位移定理）,n=1、2、3,如果f(k)的Z變化是F(z)，則f(k+N)的Z變化為：,10,3初值定理,11,4終值定理,有了初值定理和終值定理可以在不求出Z反變換的條件下，得到f(k)的初值和終值。,12,例2：,解：,13,三、離散時間系統(tǒng)的控制元件,14,（1）向量延遲器,15,（2）向量函數(shù)發(fā)生器,特別注意函數(shù)關(guān)系,16,（3）矩陣增益放大器,17,（4）向量求和器,第二節(jié) 離散時間經(jīng)濟系統(tǒng)描述,19,一、離散系統(tǒng)的輸入輸出描述,20,設k為現(xiàn)在時刻， 已知與現(xiàn)在時刻k相鄰的前j個時刻的輸出值y(k-1)、y(k-2) y(k-j)； 已知現(xiàn)在時刻及與現(xiàn)在時刻相鄰的前i個時刻的輸入值u(k)、u(k-1) 、u(k-2) u(k-i)； 則可唯一地確定現(xiàn)在時刻k的輸出值y(k)。,表達式含義：,21,線性定常輸入輸出方程,22,例1：儲蓄貸款問題,某人每月初到銀行存一定 數(shù)量的錢，第k個月的存款額 為u(k)元，銀行每月支付利息 的利率為i，按復利方式計息。 求：該儲戶在第k個月初的本 利和y(k)？,調(diào)查,23,解：,第k個月初的本利和y(k)的構(gòu)成,24,二、 經(jīng)濟系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,現(xiàn)代控制理論研究系統(tǒng)內(nèi)部的變化特征，故提出下列概念： 狀態(tài) 狀態(tài)變量 狀態(tài)空間 狀態(tài)空間描述,1、狀態(tài)： 系統(tǒng)過去、現(xiàn)在和將來的運行狀態(tài)。,25,2、狀態(tài)變量,指能夠用來描述系統(tǒng)狀態(tài)的個數(shù)最少的一組變量 。,n表示變量的個數(shù),26,系統(tǒng)狀態(tài)變量的特點：,（滿足兩個條件）,當初始狀態(tài)給定， 時，系統(tǒng)在輸入u(k)作用下的行為就完全由狀態(tài)變量確定。,對任何給定的時刻 k0， 能表示系統(tǒng)在k0時刻的狀態(tài)，稱初始狀態(tài)。,27,狀態(tài)變量的表示：,28,3、狀態(tài)空間,是以狀態(tài)變量 為坐標所構(gòu)成的n維空間。,狀態(tài)向量x(k)在給定時刻k0時的值x(k0) 是狀態(tài)空間中的一個點。,29,4、狀態(tài)方程,描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階差分方程組（離散時間系統(tǒng)）稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。,5、輸出方程,描述系統(tǒng)輸出變量與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間關(guān)系的代數(shù)方程稱為輸出方程。,30,6、狀態(tài)空間描述,用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)的 “輸入狀態(tài)輸出”,狀態(tài)方程： x(k+1) = fx(k),u(k) 輸出方程： y(k)=gx(k),u(k),狀態(tài)空間法既研究系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)又研究系統(tǒng)的外部作用。,31,注意：,對于同一個系統(tǒng)，狀態(tài)空間的描述不是唯一的，即狀態(tài)方程和輸出方程可以有多種形式，但維數(shù)是相同的，它們反應同一個系統(tǒng)。,使用狀態(tài)空間模型時，并不要求每一個狀態(tài)分量都具有直接的經(jīng)濟解釋。,32,線性定常離散時間系統(tǒng) 狀態(tài)空間描述的標準模型：,x(k+1)=fx(k),u(k)=Ax(k)+Bu(k) 系統(tǒng)的狀態(tài)方程 y(k)=gx(k),u(k)=Cx(k)+Du(k) 系統(tǒng)的輸出方程 式中： x(k)時刻k的狀態(tài)向量 u(k)時刻k的輸入向量，又稱控制向量 y(k)時刻k的輸出向量，又稱測量向量,33,線性定常離散時間系統(tǒng),A稱為系統(tǒng)矩陣， B稱為輸入矩陣， C稱為輸出矩陣， D稱為前饋矩陣。,34,方框圖,35,例1：五日移動平均價格原理,狀態(tài)方程：,輸出方程：,36,寫成矩陣形式：,37,五日移動平均價格控制方框圖,38,例2： 動態(tài)乘數(shù)加速數(shù)模型,加速原理：是凱恩斯的繼承者漢森對乘數(shù)原理的發(fā)展，研究了國民收入的增加對投資的影響，即引致投資。,39,加速系數(shù)：,40,設：,Y(k)表示第k期的國民收入 C(k)表示第k期的消費 I (k)表示第k期的投資 U(k)表示第k期的政府支出,政府收入的來源,41,四個變量之間有如下關(guān)系：,a加速系數(shù)，已知常數(shù)，a0，反應國民收入對投資的作用； b邊際消費傾向，已知常數(shù)，0b1，表示消費對收入的比率； C0自發(fā)消費； I0 自發(fā)投資。,式中：,Y(k)=C(k)+I(k)+U(k),42,取狀態(tài)變量：,狀態(tài)變量的取法不惟一。,43,寫成矩陣形式：,狀態(tài)方程：,輸出方程：,44,畫結(jié)構(gòu)圖：,45,結(jié)論：,動態(tài)乘數(shù)加速數(shù)模型，是包 含兩個狀態(tài)變量，一個輸入變量 和一個輸出變量的線性定常離散 系統(tǒng)。,例宏觀經(jīng)濟模型之一 經(jīng)濟學中薩繆爾森乘數(shù)加速模型。 設y(k)，c(k)，I(k)，g(k)分別表示第k期的國民收入、消費水平、投資水平和政府財政支出。薩繆爾森乘數(shù)加速模型如下：,其中a，b為常數(shù)，a為加速數(shù)，b為邊際消費傾向，a0,0b1.,該經(jīng)濟系統(tǒng)的輸入為g(k)，輸出為y(k)，將（1）的后兩式代入第一式，整理得差分方程,上式為系統(tǒng)的輸入輸出方程。,如果取控制變量為u(k)=g(k)，狀態(tài)變量x1(k)=c(k),x2(k)=I(k)，輸出變量為y(k)，則該離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,48,三、輸入輸出描述和 狀態(tài)空間描述的關(guān)系,區(qū)別： 輸入輸出描述僅給出了系統(tǒng)的外部變換規(guī)律； 狀態(tài)空間描述同時給出了系統(tǒng)的內(nèi)部和外部的變換規(guī)律。,由于描述著同一個系統(tǒng)，故兩者之間必然存在一定的聯(lián)系。,49,狀態(tài)空間描述與輸入輸出描述的轉(zhuǎn)換,從狀態(tài)方程和輸出方程中, 消去狀態(tài)變量x(k)， 得到系統(tǒng)的輸入輸出描述。,根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出描述求解系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述稱之為系統(tǒng)的狀態(tài)空間實現(xiàn)。,求出狀態(tài)變量個數(shù)最少時的A，B，C，D，稱為最小實現(xiàn)。,第三節(jié) 線性離散時間系統(tǒng)的解,51,設有離散線性定常系統(tǒng),解狀態(tài)方程,問題的提出：,若已知系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)和所有 時刻的輸入u(k) ,k=0,1,2， 要求系統(tǒng)任何時刻的y(k),k=0,1,2,52,一、 迭代法求解差分方程,（1）首先討論齊次解 令 u(k)0，k=0,1,2，不考慮輸入,用迭代法： x(1)=Ax(0) x(2)=Ax(1)=A2x(0) x(3)=Ax(2)=A3x(0) ,k0，1，2,線性定常離散系統(tǒng)的齊次解,53,討論：,a若x(0)=0，則x(k)0， k=0，1，2,b若k、L為任意時刻，且kL ，則,54,(2)非齊次線性定常離散系統(tǒng)的解,假設系統(tǒng)有非零的輸入u(k)，此時，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,用迭代法：,55,(2)非齊次線性定常離散系統(tǒng)的解,系統(tǒng)對輸入作用的響應,系統(tǒng)對初始狀態(tài)的響應,56,子女上學費用：,按月存100元，年息3， 1歲開始存，6歲上學使用。 K512（月） U(k)=100元/月 i=3%/12 （月） Y(60)=(1+3%/12)Y(59)+100,如何計算？,57,用迭代法：,y(0)=0 y(1)=（1.0025）y(0)+100 y(2)=（1. 0025 ）y(1) +100 y(3)=（1. 0025 ）y(2)+100 y(4)=（1. 0025 ）y(3)+100 y(60)= （1. 0025 ）y(59)+100= 6464.67 完畢,58,二、 用Z變化法求解差分方程,設有：非齊次線性定常離散系統(tǒng),初始條件為x(0)已知。,兩邊同時取Z變換：,移項整理得：,59,假設(zI-A)可逆，則:,求Z反變換：,二、 用Z變化法求解差分方程,60,例1： x(k+1)-0.8x(k)=1， x(0)=2,解：取Z變換,代入初值合并，移項整理,得,求Z反變換，得到差分方程解的表達式為,61,例2：人口遷移問題,62,解：,則有：,初始條件：,63,寫成矩陣形式：,64,用Z變化求方程的解:,65