數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文設(shè)計.doc

分類號 o123 陜西師范大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文圓錐曲線關(guān)于幾種特殊弦的探究 作 者 單 位 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 指 導(dǎo) 老 師 杜 麗 莉 作 者 姓 名 李 洪 濤 專 業(yè)、班 級 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)08級4班提 交 時 間 二o一二年五月 圓錐曲線關(guān)于幾種特殊弦的探究李洪濤(數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院2008級4班)指導(dǎo)教師 杜麗莉教授摘 要: 圓錐曲線中的焦點(diǎn)弦、直角弦、中點(diǎn)弦是幾個非常重要的幾何量, 是各類考試的重點(diǎn)和熱點(diǎn), ?？疾凰? 角度常變通常可以利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義或焦半徑公式求解,但一般由于運(yùn)算量較大,過程較復(fù)雜, 容易出錯, 導(dǎo)致丟分為此, 為了更好地解決此類問題,提高解題效率, 本文首先對焦點(diǎn)弦和直角弦給出了幾個定理及推論，并給以了證明，其次對中點(diǎn)弦?？嫉念}型給出了幾類求解的通法，最后結(jié)合近年的高考試題對定理加以運(yùn)用關(guān)鍵詞: 焦點(diǎn)弦; 直角弦; 中點(diǎn)弦; 圓錐曲線conic curve about several special string inquiryli hong-tao(class 4, grade 2008, college of mathematics and information science)advisor: professor du li-liabstract:inthestudyofconics,focalpointchord,rightanglechordandmidpointchord arethreeimportantgeometricsenses.heyarethemainandheatedtopicswhichconstantlyappearinvariousformsinallkindsofexams.ingeneral,thesequestionscanbeansweredbytheunifieddefinitionofconicortheformulaoffocalradius,butthemassarithmeticandthecomplexprocessoftenleadtostudentserrorsand loss of scores.in order to work out a better solution and improve the efficiency of solving such problems,the following article provides some geometrical theorems and extrapolations of focalpointchordaswellasrightanglechordandtheproofofthem,inaddition,itoffersseveraluniversalwaysofansweringthehighfrequentquestionsonmidpointchord,finally,it puts the theorems into practice according to the questions of cee(college entrance examination)in recent yearskey words: focalpointchord; ,rightanglechord; midpointchord; conics 圓錐曲線中的焦點(diǎn)弦、直角弦、中點(diǎn)弦是幾個非常重要的幾何量, 是各類考試的重點(diǎn)和熱點(diǎn), 常考不衰, 角度常變.通?？梢岳脠A錐曲線的統(tǒng)一定義或焦半徑公式求解,但一般由于運(yùn)算量較大,過程較復(fù)雜, 容易出錯, 導(dǎo)致丟分.為此, 為了更好地解決這個問題,提高解題效率, 下面介紹幾個定理以及簡單的通法1.1 焦點(diǎn)弦經(jīng)過圓錐曲線焦點(diǎn)被圓錐曲線截得的線段叫焦點(diǎn)弦由于直線經(jīng)常和圓錐曲線連在一起考察，而焦點(diǎn)弦有許多重要的幾何性質(zhì)，所以成為近年考試的熱點(diǎn)1.1.1 焦點(diǎn)弦相關(guān)定理的闡述以及證明定理1 曲線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交圓錐曲線于兩點(diǎn)，若離心率為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則焦半徑，焦點(diǎn)弦長 定理可以利用直線的參數(shù)方程去進(jìn)行證明，也可以用極坐標(biāo)法去證明，還可以利用圓錐曲線統(tǒng)一定義和幾何性質(zhì)去證明，這里利用極坐標(biāo)法去證明證明：如圖(1)建立坐標(biāo)系， 圖(1) 圖(2)設(shè)圓錐曲線上任一點(diǎn)，由定義，因?yàn)?，所以，整理得?稱為三種圓錐曲線的統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程（注此時的為焦半徑于x軸正半軸的夾角）1) 當(dāng)表示橢圓2) 當(dāng)表示拋物線3) 當(dāng)表示雙曲線右支如圖(2)由得： 綜合得： 推論1 若圓錐曲線的弦mn經(jīng)過焦點(diǎn)f，則有兩焦半徑的倒數(shù)之和為一個定值，即：定理2 已知焦點(diǎn)在軸上的圓錐曲線，經(jīng)過其焦點(diǎn)的直線交曲線于、兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，則曲線的離心率滿足等式：其實(shí)從本質(zhì)上講可以利用定理1證明，這里不再闡述，下面給出另一種證法，以橢圓為例 證明：如圖(3)，弦過橢圓的左焦點(diǎn)，左準(zhǔn)線為，由可設(shè)，()，當(dāng)直線的傾斜角為銳角時，如圖()，顯然，分別過兩點(diǎn)作、，垂足分別為，過點(diǎn)作，由橢圓的第二定義可得：，在中，故，如果點(diǎn)、的位置互換，則，則有當(dāng)直線的傾斜角為鈍角時，如圖（），顯然，同理在中，可得，故，如果點(diǎn)、位置互換，則，則有 當(dāng)直線的傾斜角為直角時，顯然且，等式成立；當(dāng)直線的傾斜角時，弦為橢圓長軸，易得原等式也成立綜上，對以橢圓，等式恒成立證畢當(dāng)圓錐曲線為雙曲線（如圖4）時，同理可以證明等式成立；當(dāng)曲線為拋物線（如圖5）時，離心率，等式簡化為（其中）總之，對于任意圓錐曲線，其焦點(diǎn)弦所在直線的傾斜角為，焦點(diǎn)分對應(yīng)弦的比值（），總有等式成立，它將三個看似沒有關(guān)聯(lián)的量有機(jī)地結(jié)合在一起，顯得如此優(yōu)美、和諧，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力由于在解決具體的圓錐曲線問題時，通常遇到的焦點(diǎn)弦的斜率是存在且不為0，所以，根據(jù)直線傾斜角和斜率之間的關(guān)系，不難得出：推論1 已知焦點(diǎn)在軸上的圓錐曲線，經(jīng)過其焦點(diǎn)的直線交曲線于、兩點(diǎn)，直線的斜率為（），則曲線的離心率滿足等式當(dāng)圓錐曲線的焦點(diǎn)在軸上時，同理還可得：推論2 已知焦點(diǎn)在軸上的圓錐曲線，經(jīng)過其焦點(diǎn)的直線交曲線于、兩點(diǎn)，若直線的傾斜角為，斜率為（），則曲線的離心率滿足等式，1.1.2 焦點(diǎn)弦相關(guān)定理及推論在高考題中的運(yùn)用例1(2007年重慶)經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角的直線，交雙曲線兩點(diǎn)，求的值分析：本題恰好為過焦點(diǎn)的直線問題，本質(zhì)上屬于焦點(diǎn)弦問題，因而可以直接利用定理1的結(jié)論進(jìn)行求解，如果用一般方法求解相當(dāng)于把定理1推導(dǎo)一遍，計算和過程顯得過于繁瑣解：因?yàn)?，則由定理1得：例2（2008年寧夏）經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為2的直線交橢圓于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積 分析：本題求的面積，利用公式，關(guān)鍵問題只需求出的長度和，為焦點(diǎn)弦可以直接利用定理1中求解，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解解：因?yàn)?，又，則，所以由定理1得，又知直線的方程為，它到點(diǎn)的距離為，所以的面積例3設(shè)橢圓兩頂點(diǎn)、，若，過橢圓右焦點(diǎn)且斜率為的直線被橢圓截得的線段長為橢圓長軸長的，求橢圓方程分析：本題求橢圓方程，關(guān)鍵需要求出，的值，兩個未知數(shù)需要建立兩個方程，其中一個方程很明顯可得，對于第二個方程可以利用定理1中焦點(diǎn)弦長公式建立解：設(shè)直線的傾斜角，則，因?yàn)?，所以，又，所以。由定?，有，即：，整理得：，所以有，解得：，即所求方程為：例4（2008年全國卷）已知是拋物線的焦點(diǎn)，過且斜率為1的直線交于，兩點(diǎn)設(shè)，則與的比值等于 分析：本題求兩個焦半徑的比值，所以根據(jù)定理2，求得，即為所求解：焦點(diǎn)弦所在直線的傾斜角為，則由定理2可得，所以，即：例5（2009年全國卷）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線交于兩點(diǎn)，若，則的離心率為 （ ） a b c d 分析：此題條件完全符合定理2的推論1，所以直接利用求解解：由定理2的推論1得，故選a例6（2010全國卷文理）已知是橢圓的一個焦點(diǎn)，是短軸的一個端點(diǎn)，線段的延長線交于點(diǎn)，且，則的離心率為 分析：本題為焦點(diǎn)弦問題，由定理2得，有根據(jù)題目中焦點(diǎn)弦又過頂點(diǎn)，所以，從來可以求解得解：如圖4，由題意可得，設(shè)直線的傾斜角為，則，由定理可得，所以在近年高考中此類題目（過焦點(diǎn)直線問題）較多卻用常規(guī)方法有一定的難度，由此可見，本文的結(jié)論在解決與圓錐曲線焦點(diǎn)弦相關(guān)的問題時非?？旖?，既避免了繁瑣的代數(shù)運(yùn)算，又節(jié)省了不少時間，可謂是圓錐曲線有力工具之一1.2 直角弦. 自圓錐曲線上一點(diǎn),引兩條相互垂直的弦、,則稱為點(diǎn)的直角弦，簡稱直角弦.直角弦在近年高考題中出現(xiàn)不是太多，但是一旦出現(xiàn)其運(yùn)算量會很大，下面介紹幾個直角弦相關(guān)方面的幾個定理，以備不時之需1.2.1 直角弦相關(guān)定理的闡述以及證明定理3 設(shè)為橢圓上一個定點(diǎn)，是動弦，則為直角弦時過定點(diǎn)定理4 設(shè)為雙曲線上一個定點(diǎn)，是動弦，則為直角弦時過定點(diǎn)證明：這里統(tǒng)一設(shè)橢圓和雙曲線的方程為，當(dāng)，為橢圓，當(dāng)，為雙曲線設(shè)，由得到： 設(shè)直線的方程為（斜率不存在時容易證明） 又因?yàn)樵跈E圓上,所以 同理可得： 將兩式代入到得:因?yàn)辄c(diǎn)不在直線ab上，所以：所以：整理得：所以當(dāng)，為橢圓時，直線過定點(diǎn)，當(dāng)，為雙曲線，直線過定點(diǎn)即定理1，2得證定理5 設(shè)為拋物線上一個定點(diǎn)，是動弦，則為直角弦時過定點(diǎn)由于證明思想與定理1,2中的思想一樣，這里就不在累述，留給讀者自己下去證明1.2.2 定理在近年考試題中的運(yùn)用例1（2007年山東文）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)上，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離最大值為3，最小值為1(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)）,且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)求證：直線過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)分析：本題第一問是比較常規(guī)的求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，第二問如果采用常規(guī)方法則需要利用定理1的證明思想計算，計算量較大，如果直接采用定理1結(jié)論則可直接得出結(jié)果。下面直接利用定理1求解解：(1)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (2)：，橢圓的右頂點(diǎn),因?yàn)椋钥梢岳枚ɡ?直線過定點(diǎn)，即例2 已知是拋物線上的一點(diǎn)，直線相交于上的，兩點(diǎn)，且,求直線過定點(diǎn) 分析：本題如果采用常規(guī)方法，計算量可能會比較大，但是題目中的條件恰好滿足定理3中的條件.解：，,且，由定理3得直線過定點(diǎn)，即：1.3 中點(diǎn)弦對于給定點(diǎn)和給定的圓錐曲線，若上的某條弦過點(diǎn)且被點(diǎn)平分，則稱該弦為圓錐曲線上過點(diǎn)的中點(diǎn)弦中點(diǎn)弦問題，是解析幾何中的重要幾何量之一，也是高考的一個熱點(diǎn)問題之一這類問題通常有以下3種類型：（1）求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題；（2）求中點(diǎn)弦所在直線方程問題；（3）求解弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問題其解法有代點(diǎn)設(shè)而不求法、相減法、參數(shù)法、中心對稱變換法及待定系數(shù)法等下面我們結(jié)合實(shí)例給出中點(diǎn)弦?guī)最悊栴}的通法1.3.1 求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題例1 過橢圓上一點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn)，求中點(diǎn)的軌跡方程解法一：設(shè)弦中點(diǎn)為，弦的兩個端點(diǎn)為，則有，兩式相減得，又因?yàn)?，所以，所以，而，故化簡可?（）解法二：設(shè)弦中點(diǎn)為，由，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，所以中點(diǎn)的軌跡方程為 （）1.3.2 求中點(diǎn)弦所在直線方程問題例2 過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在的直線方程解法一：設(shè)所求直線方程為，代入橢圓方程并整理得：又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，則是方程的兩個根，于是：又m為ab的中點(diǎn)，所以，解得，故所求直線方程為：解法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，為的中點(diǎn)，所以，又a、b兩點(diǎn)在橢圓上，則，兩式相減得：，所以，即，故所求直線方程為：解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點(diǎn)為a()，由于中點(diǎn)為m（2，1），則另一個交點(diǎn)為b(4-)，因?yàn)閍、b兩點(diǎn)在橢圓上，所以有，兩式相減得：，由于過a、b的直線只有一條，故所求直線方程為：1.3.3 弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問題例3 求直線被拋物線截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)解法一：設(shè)直線與拋物線交于， ，其中點(diǎn)，由題意得，消去y得，即，所以，即中點(diǎn)坐標(biāo)為解法二：設(shè)直線與拋物線交于， ，其中點(diǎn)，由題意得，兩式相減得，所以，所以，即，即中點(diǎn)坐標(biāo)為總結(jié)，本文主要介紹了三種特殊弦的一些相關(guān)結(jié)論和性質(zhì)，對于焦點(diǎn)弦和直角弦不能只是單單記結(jié)論，因?yàn)樵诟呖即箢}中不能直接使用以上結(jié)論，要學(xué)會掌握結(jié)論的推導(dǎo)過程，以不變應(yīng)萬變當(dāng)然對于三種特殊弦還有許多結(jié)論這里沒有給出，但是以上結(jié)論得出過程也給了我們一些啟示，在給定一些特定條件的數(shù)學(xué)問題，通常會有一些特殊的結(jié)論，這也是我們平時在研究數(shù)學(xué)問題的一些思想方法，因此希望大家在平時研究數(shù)學(xué)問題時要善于大膽歸納、猜想、證明得出更多的優(yōu)美的數(shù)學(xué)結(jié)論參考文獻(xiàn)1 宋波高考中有關(guān)圓錐曲線焦點(diǎn)弦問題的一種統(tǒng)一解法j河北理科教學(xué)研究, 2011,(04) :54-56 2 解永良圓錐曲線的弦對頂點(diǎn)張直角的一個性質(zhì)j中學(xué)數(shù)學(xué)月刊, 2005,(12) :36-383 林新建橢圓與雙曲線一個性質(zhì)的推廣j. 福建中學(xué)數(shù)學(xué), 2007,(06) :43-444 玉葉圓錐曲線焦點(diǎn)弦的幾個重要性質(zhì)j河北理科教學(xué)研究, 2004,(02) :46-485 郭建斌,汪瓊高考題(圓錐曲線)中弦張直角時的“必然”一組優(yōu)美的結(jié)論j. 中學(xué)數(shù)學(xué), 2008,(07) :23-24 6 張文虎與中點(diǎn)弦有關(guān)的幾個重要結(jié)論j學(xué)周刊, 2011,(15) :32-347 鄭達(dá)平中點(diǎn)弦問題的解法思考j數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究(教研版), 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