高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.4等比數(shù)列第2課時學(xué)案新人教A版必修5.docx

2.4等比數(shù)列(第2課時)學(xué)習目標靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項公式;深刻理解等比中項的概念;熟悉等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì),并系統(tǒng)了解判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法.通過自主探究、合作交流獲得對等比數(shù)列性質(zhì)的認識.充分感受數(shù)列是反映現(xiàn)實生活的模型,體會數(shù)學(xué)是來源于現(xiàn)實生活,并應(yīng)用于現(xiàn)實生活的,數(shù)學(xué)是豐富多彩的而不是枯燥無味的,提高學(xué)習的興趣.合作學(xué)習一、設(shè)計問題,創(chuàng)設(shè)情首先回憶一下上一節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容:1.等比數(shù)列:如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示(q0),即:.2.等比數(shù)列的通項公式:.二、信息交流,揭示規(guī)律1.等比中項:如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項.即G=(a,b同號).如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,則,反之,若G2=ab,則,即a,G,b成等比數(shù)列.(1)在等比數(shù)列an中,是否有=an-1an+1(n2)?(2)如果數(shù)列an中,對于任意的正整數(shù)n(n2),都有=an-1an+1,那么an一定是等比數(shù)列嗎?分析:(1)由an是等比數(shù)列,知,所以有=an-1an+1(n2);(2)當數(shù)列為0,0,0,0,時,仍有=an-1an+1,而等比數(shù)列的任一項都是不為零的,所以不一定;若數(shù)列an中的每一項均不為零,且=an-1an+1(n2,nN),則數(shù)列an是等比數(shù)列,反之成立.2.幾個性質(zhì)(1)已知a1,a2,a3,an是公比為q的等比數(shù)列,新數(shù)列an,an-1,a2,a1也是等比數(shù)列嗎?分析:由等比數(shù)列的定義可得=q.所以=,由此可以看出an,an-1,a2,a1是從第2項起,每一項與它的前一項的比值都等于,所以是首項為,公比為的等比數(shù)列.(2)已知無窮等比數(shù)列an的首項為a1,公比為q.依次取出數(shù)列an的所有奇數(shù)項,組成一個新數(shù)列,這個數(shù)列還是等比數(shù)列嗎?如果是,它的首項和公比分別是多少?數(shù)列can(其中常數(shù)c0)是等比數(shù)列嗎?如果是,它的首項和公比分別是多少?分析:由=q,得an+1=anq,a3=a2q=a1q2,所以=q2;a5=a4q=a3q2,所以=q2;以此類推,可得,=q2,所以數(shù)列an的所有奇數(shù)項組成的數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.因為=q,所以數(shù)列can(c0)是首項為ca1,公比為q的等比數(shù)列.(3)已知數(shù)列an是等比數(shù)列.=a3a7是否成立?=a1a9成立嗎?=an-1an+1(n1)是否成立?=an-kan+k(nk0)是否成立?在等比數(shù)列中,m+n=p+k,am,an,ap,ak有什么關(guān)系呢?分析:設(shè)數(shù)列an的公比為q,則a3=a1q2,a5=a1q4,a7=a1q6,q8,a3a7=(a1q2)(a1q6)=q8,所以=a3a7,同理=a1a9.=an-1an+1(n1)成立.=an-kan+k(nk0)成立.由等比數(shù)列定義,得am=a1qm-1,an=a1qn-1,ap=a1qp-1,ak=a1qk-1,aman=qm+n-2,apak=qp+k-2,則aman=apak.結(jié)論:若m+n=p+k,則.三、運用規(guī)律,解決問題【例1】等比數(shù)列an中,(1)已知a2=4,a5=-,求數(shù)列an的通項公式;(2)已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.【例2】如果數(shù)列an,bn是項數(shù)相同的等比數(shù)列,那么anbn也是等比數(shù)列.【例3】設(shè)a,b,c,d成等比數(shù)列,求證:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.【例4】若a,b,c成等差數(shù)列,且a+1,b,c與a,b,c+2都成等比數(shù)列,求b的值.四、變式訓(xùn)練,深化提高變式訓(xùn)練1:等比數(shù)列an中,若a7a12=5,則a8a9a10a11=.變式訓(xùn)練2:等比數(shù)列an中,若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,則an=.變式訓(xùn)練3:已知數(shù)列an為等比數(shù)列,且an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,則a3+a5=.變式訓(xùn)練4:三個數(shù)成等比數(shù)列,它們的和為14,它們的積為64,求這三個數(shù).五、反思小結(jié),觀點提煉參考答案一、設(shè)計問題,創(chuàng)設(shè)情境1.=q(q0)2.an=qn-1(a1q0),an=qn-m(amq0)二、信息交流,揭示規(guī)律1.G2=abG=2.(1)an(2)a1q2(3)aman=apak(m,n,p,kN*)三、運用規(guī)律,解決問題【例1】解:(1)a5=a2q5-2,q=-.an=a2qn-2=4.(2)a3a5=,a3a4a5=8,a4=2.又a2a6=a3a5=,a2a3a4a5a6=32.【例2】解:設(shè)數(shù)列an的首項是a1,公比為q1;數(shù)列bn的首項為b1,公比為q2,那么數(shù)列anbn的第n項與第n+1項分別為a1b1與a1b1,即為a1b1(q1q2)n-1與a1b1(q1q2)n,因為=q1q2,它是一個與n無關(guān)的常數(shù),所以anbn是一個以a1b1為首項,以q1q2為公比的等比數(shù)列.【例3】證明:法一:a,b,c,d成等比數(shù)列,b2=ac,c2=bd,ad=bc,左邊=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2=2(b2-ac)+2(c2-bd)+(a2-2bc+d2)=a2-2ad+d2=(a-d)2=右邊.證畢.法二:a,b,c,d成等比數(shù)列,設(shè)其公比為q,則b=aq,c=aq2,d=aq3,左邊=(aq-aq2)2+(aq2-a)2+(aq3-aq)2=a2-2a2q3+a2q6=(a-aq3)2,=(a-d)2=右邊證畢.【例4】解:設(shè)a,b,c分別為b-d,b,b+d,由已知b-d+1,b,b+d與b-d,b,b+d+2都成等比數(shù)列,有整理,得所以b+d=2b-2d,即b=3d,代入,得9d2=(3d-d+1)(3d+d),9d2=(2d+1)4d,解之,得d=4或d=0(舍d=0),所以b=12.四、變式訓(xùn)練,深化提高變式訓(xùn)練1:解析:因為a7a12=a8a11=a9a10,又a7a12=5,所以a8a9a10a11=55=25.答案:25變式訓(xùn)練2:解析:由a1a2a3=8得=8,于是a2=2所以a1a3=4,由a1+a2+a3=7得a1+a3=5,由解得當時,q=2,an=2n-1,當時,q=,an=4=23-n.答案:2n-1或23-n變式訓(xùn)練3:解析:因