概率論及數(shù)理統(tǒng)計多維隨機變量.ppt

第三章 多維隨機變量,一般地，我們稱n個隨機變量的整體X=(X1, X2, ，Xn)為n維隨機變量或隨機向量.,二維隨機變量及其分布,3.1,二維分布函數(shù),定義,性質(zhì),2.0 F(x,y) 1,1. F(x,y)是變量x,y的單調(diào)不減函數(shù)。,對于任意y,x1x2,F(x1,y) F(x2,y),對于任意x,y1y2,F(x,y1) F(x,y2),4. F(x,y)關(guān)于x,y右連續(xù)。,二維離散型隨機變量,性質(zhì),例1：設(shè)袋里有五個同類產(chǎn)品，其中有兩個是正品?，F(xiàn)依次有放回的抽取兩個。設(shè)X、Y份表示第一次、第二次抽取的產(chǎn)品。求（X,Y）的概率分布。,二維連續(xù)型隨機變量,性質(zhì),例1 設(shè)(X,Y)的分布密度是,求 (1) C的值； (2)分布函數(shù) (3)（X,Y）落在如圖三角形區(qū)域內(nèi)的概率。,常見的二維隨機變量的分布,均勻分布,例2：設(shè)（X,Y）在區(qū)域G（0y2x,0 x 2)上服從均勻分布，求 （X,Y）的分布密度、分布函數(shù)。 概率P(YX2),二維正態(tài)分布,邊緣分布與相互獨立性,3.2,二維隨機變量（X,Y）分布函數(shù)為F(x,y),而X,Y都是隨機變量，各自具有分布函數(shù)，分別記為FX(x)和FY(y),依次稱為（X,Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。,二維離散型隨機變量的邊緣分布密度,i, j =1,2, ,設(shè)（X,Y）為離散型隨機變量，,則(X,Y)關(guān)于X、Y的邊緣概率分布分別為,邊緣分布密度,X,Y,a1 a2 . . . ai . . .,b1 b2 . bj ,p11 p21 . . . pi1 . . .,p12 p22 . . . pi2 . . ., ,p1j p2j . . . pij . . .,pj,pi,p1 p2 pj ,p1 p2 . . . pi . . ., ,1,例1：設(shè)袋里有五個同類產(chǎn)品，其中有兩個是正品?，F(xiàn)依次抽取兩個,設(shè)X、Y份表示第一次、第二次抽取的產(chǎn)品。在無放回抽取和有放回抽取兩種情況下分別求（X,Y）的關(guān)于X,Y的邊緣分布密度。,設(shè)（X,Y）的分布密度為f(x,y),則關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布密度分別為,二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布密度,隨機變量的獨立性,離散型,連續(xù)型,例4：設(shè)（X,Y）在區(qū)域G（0y2x+2,-1x 0)上服從均勻分布，求（X,Y）關(guān)于X,Y的邊緣分布密度,并判斷X與Y是否獨立。,二維隨機變量函數(shù)的分布,3.3,i, j =1,2, ,離散型,設(shè)（X,Y）為離散型隨機變量，,例1：設(shè)（X,Y）聯(lián)合概率分布為：,X,Y,-1 2,-1 0 1 2,1/5 3/20 1/10 3/10,1/10 0 1/10 1/20,求X+Y,X-Y,XY的概率分布。,例2：設(shè)（X,Y）相互獨立，其分布密度為,求Z=X+Y的分布密度。,離散型 卷積公式,連續(xù)型,例4：設(shè)（X,Y）的分布密度為f(x,y), 邊緣分布密度分別為fX(x), fY(y),求Z=X+Y的分布密度。,分布函數(shù)法,連續(xù)型 卷積公式,例5：若X與Y是兩個獨立的隨機變量，都服從N(0,1)分布。證：Z=X+Y服從N(0,2)分布。,例6：若X與Y是兩個獨立的隨機變量，都服從N(0,1)分布。求 的分布。,例7:某元件由兩個相互獨立的元件A1,A2連接而成，其連接方式分別為：(1)串聯(lián);(2)并聯(lián)。設(shè)A1,A2的壽命分別為X,Y,已知它們的概率密度分別為,求兩種系統(tǒng)S1, S2的壽命的概率密度函數(shù)。,A1,A2,S1,A1,A1,S2,二維隨機變量的條件分布,3.4,離散型r.v的條件分布,定義1 設(shè) (X,Y) 是二維離散型隨機變量，對于固定的 j，若P(Y=yj)0，則稱,為在Y=yj條件下隨機變量X的條件概率函數(shù).,聯(lián)合分布,邊緣分布,條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質(zhì). 正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質(zhì).,例如：,i=1,2, ,X,Y,1 0,1 0,1/10 3/10,3/10 3/10,例1 已知（X,Y）的分布密度如下，分別求在 X=1和X=0條件下，Y的分布密度。,連續(xù)型r.v的條件分布,定義,同樣，對一切使 的 y, 定義,為已知 Y=y下，X的條件密度函數(shù) .,定義,例2：設(shè)二維隨機變量（X