差商及Newton插值多項式.ppt

3 差商及Newton插值多項式,一、差商及其性質(zhì),Lagrange 插值多項式的優(yōu)點是格式整齊規(guī)范，但其缺點是：當(dāng)需要增加節(jié)點時，其基函數(shù)都要發(fā)生變化，需要重新計算，這在實際計算中會影響效率。下面介紹的Newton插值法會彌補這一不足。,1.差商的定義,設(shè)y=f(x)在n+1個互異點 x0 , x1 , , xn 處的函數(shù)值為：,一般地，稱k-1 階差商的一階差商,為f(x)關(guān)于點 的 k 階差商。,可以求得,2.差商的性質(zhì),其中,證明：以k=2進行證明。由,得到,由,得到,從而,證明：以k=1 為例,性質(zhì)2:差商具有對稱性,即k階差商 fx0 , x1 , , xk-1 , xk 中，任意調(diào)換 xi , xj 的次序，其值不變。,以k=2為例,所以,性質(zhì)3：若f(x)為n 次多項式，則f x,x0為關(guān)于x 的n-1次多項式。,證明：已知,故,類似的可以得到：,也就是說，對多項式求一次差商，次數(shù)降低一次。,由于 是 的根，所以,3.差商的計算,為構(gòu)造 Newton 插值多項式方便起見，計算差商時，采用列表的方式進行。,例 2.2 已知函數(shù) y=f(x) 的如下離散數(shù)據(jù)(1,0)、(2,2)、(4,12)、 (5,20)、(6,70)，試求其各階差商.,解：列差商表計算,2,5,8,50,1,1,21,0,5,1,二、Newton 插值多項式,對于區(qū)間a,b內(nèi)的離散點 及相應(yīng)的函數(shù)值 ，計算如下差商：,可以求得：,依次類推得到：,令：,則可以將函數(shù) f(x) 表示成：,容易驗證,因此 Nn(x) 滿足插值條件，是一個 n 次插值多項式。,并稱,為n次Newton插值多項式。,如果 f(x) Nn(x),則誤差為：,驗證,驗證,因,所以,依此類推,證畢,關(guān)于Newton插值多項式，有以下幾個特點：,1 Newton插值多項式與同次Lagrange插值多項式相同，因而誤差相同,因為Newton插值多項式與Lagrange插值多項式滿足相同的插值條件，由插值多項式的存在唯一性知,因此，Newton插值多項式與Lagrange插值多項式的誤差相同。這樣，由,Nn(x)=Ln(x),得到,這個表達式給出了 n+1 階差商與 n+1 階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式。,解：由差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式,得到,2. Newton插值多項式具有遞推式,由,可知,所以，具有遞推公式：,由此可知：當(dāng)求出n次插值多項式后，再增加一個節(jié)點時，只需要增加一項的計算即可。,由Newton插值多項式的結(jié)構(gòu)可以看出，在構(gòu)造Newton插值多項式時，必須首先計算各階差商。,3. Newton插值多項式的構(gòu)造,例4 已知f(x) 的五組數(shù)據(jù)(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、(5,116),求 N4 (x)。如果再增加一個節(jié)點(6,282),求出N5(x)，并計算 N4(1.5)、N5(1.5).,解：先由前五組數(shù)據(jù)列差商表,1 0 2 2 3 12 4 42 5 116,2 10 30 74,4 10 22,2 4,0.5,得到：,如果，再增加一點(6, 282),就在上表中增加一行計算差商。,6 282,166,46,8,1,0.1,由Newton公式的遞推式得到：,得到：,練習(xí)題：已知離散數(shù)據(jù)(1,0)、(2,2)、(4，12）、(5,20) 求三次Newton插值多項式，增加一點(6,70)后， 再求出四次Newton插值多項式。,本節(jié)(3 )要點,1.掌握差商及其性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與差商的關(guān)系 2.掌握Newton 插值多項式的構(gòu)造方法及具體結(jié)構(gòu) 3.掌握Newton插值多項式的誤差結(jié)果 4.編寫Newton插值多項式計算程序進行實際計算,思考題： 如何實現(xiàn)差商表和Newto