連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析.ppt

第二章 LTI連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析,21 系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子,一、微分算子、積分算子與微分算子方程:,引入如下算子：,微分算子:,積分算子:,則：,對(duì)于微分方程,算子形式,微分算子方程：,它是微分方程的一種表示，含義是在等式兩邊分別對(duì)變量y(t)和f(t)進(jìn)行相應(yīng)的微分運(yùn)算。形式上是代數(shù)方程的表示方法?？捎脕碓跁r(shí)域中建立與變換域相一致的分析方法。,微分算子的運(yùn)算性質(zhì)：,性質(zhì)1 以p的正冪多項(xiàng)式出現(xiàn)的運(yùn)算式，在形式上可以像代數(shù)多項(xiàng)式那樣進(jìn)行展開和因式分解。,性質(zhì)2 設(shè)A(p)和B(p)是p的正冪多項(xiàng)式，則,如：,性質(zhì)3 微分算子方程等號(hào)兩邊p的公因式不能 隨便消去。,例如：p y(t)= p f(t) y(t)= f(t)+c(c為常數(shù)) y(t)= f(t),性質(zhì)4 設(shè)A(p)、B(p) 和D(p)都是p的正冪多項(xiàng)式,但是 ：,例如：,函數(shù)乘、除算子p的順序不能隨意顛倒，對(duì)函數(shù)進(jìn)行“先除后乘”算子p的運(yùn)算時(shí)，分式的分子與分母中公共p算子(或p算式)才允許消去。,二、LTI連續(xù)系統(tǒng)的算子方程與系統(tǒng)的傳輸算子,電路元件伏安關(guān)系(VAR)的微分算子形式稱為 算子模型，電壓、電流比為算子感抗和算子容抗,電路元件的算子模型,電路系統(tǒng)微分算子方程的建立方法:,LpL;C 1/pC畫出算子模型，按照電路理論中的列寫方程方法列寫。,例1：電路如圖(a)所示，激勵(lì)為f(t)，響應(yīng)為i2(t)。試列寫其微分算子方程。,解：畫出其算子模型電路如圖(b)所示。由回路法可列出方程為 ：,化簡微分方程組時(shí)要考察電路的階數(shù)以便確定公共因子是否可消去。,化簡后所求微分算子方程為：,對(duì)于激勵(lì)為f(t)，響應(yīng)為y(t)的n階LTI連續(xù)系統(tǒng)，其微分算子方程為：,將其在形式改寫為,式中：,它代表了系統(tǒng)將激勵(lì)轉(zhuǎn)變?yōu)轫憫?yīng)的作用，或系統(tǒng)對(duì)輸入的傳輸作用，故將H(p)稱為響應(yīng)y(t)對(duì)激勵(lì)f(t)的傳輸算子或系統(tǒng)的傳輸算子,系統(tǒng)傳輸算子與系統(tǒng)微分算子方程是對(duì)系統(tǒng)的等價(jià)表示。它們之間可以可以轉(zhuǎn)化。,22 LTI連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng),LTI的全響應(yīng)可作如下分解：,1、y(t) = 自由響應(yīng) + 強(qiáng)制響應(yīng)；,2、y(t) = 瞬態(tài)響應(yīng) + 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；,3、y(t) = 零輸入響應(yīng)yx(t) + 零狀態(tài)響應(yīng)yf (t),一、系統(tǒng)初始條件,y(0-)= yx(0-)+yf(0-),y(0+)= yx(0+)+yf(0+),對(duì)于因果系統(tǒng)：,yf(0-)=0,對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)：,yx(0+)= yx(0-),y(0-)= yx(0-)= yx(0+)；,y(0+)= y(0-)+ yf(0+),y (j)(0-)= y(j)x(0-)= y(j)x(0+)；,y (j)(0+)= y (j)(0-)+ y (j) f(0+),二、通過系統(tǒng)微分算子方程求零輸入響應(yīng),零輸入下LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程為:,要使上式成立，需滿足D(p)=0（特征方程）,針對(duì)特征根兩種情況來求yx(t),1特征根為n個(gè)單根p1 , p2 , , pn (可為實(shí)根、虛根或復(fù)根),將yx(0-)、yx (0-)、yx(n-1)(0-)代入上式，確定積分常數(shù)A1、A2、An 。,共軛復(fù)根時(shí)歐拉公式cos t = 0.5(ejt + e jt )及sint = j0.5(e jt ejt )化簡為三角實(shí)函數(shù),2特征根含有重根,設(shè)特征根p1為r重根，其余特征根為單根，,則yx(t)的通解表達(dá)式為：,確定積分常數(shù)的方法同前。,3求解零輸入響應(yīng)yx(t)的基本步驟：,(1)通過微分算子方程得D(p)求系統(tǒng)的特征根;,(2)寫出yx(t)的通解表達(dá)式;,(3)由系統(tǒng)的0-狀態(tài)值與0-瞬時(shí)的零輸入系統(tǒng)求得初始條件yx(j )(0-), j=0, 1, 2, , n-1。,(4) 將0-初始條件代入yx(t)的通解表達(dá)式,求得積分常數(shù)A1, A2, , An 。,(5) 寫出所得的解yx(t)，畫出yx(t)的波形。,例2 電路如圖(a)所示，已知uC (0-) = 1V，iL(0-) = -1A，求t0時(shí)的零輸入響應(yīng)uCx(t)。,解 (1)畫出算子模型電路,由節(jié)點(diǎn)法列出方程為,化簡可得 :,解得特征根: p1=-2，p2=-3,(2)0-瞬時(shí)的等效電路,代入初始條件,23 LTI連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),一、零狀態(tài)響應(yīng),零狀態(tài)LTI連續(xù)系統(tǒng)H(p),非齊次微分方程的解由通解和特解組成，f(t)的形式簡單（直流、交流）特解還易確定，如形式復(fù)雜，則特解很難確定。一般情況下零狀態(tài)響應(yīng)可通過將f(t)分解為更為簡單的單元信號(hào)，將各單元激勵(lì)下的響應(yīng)進(jìn)行疊加來求解。,信號(hào)的時(shí)域分解：,將f(t)分解為無窮多個(gè)寬度為的矩形脈沖信號(hào)之和fa(t),任意信號(hào)可分解為無窮多個(gè)不同時(shí)刻出現(xiàn)的沖激強(qiáng)度為該時(shí)刻函數(shù)值的沖激信號(hào)之和,零狀態(tài)響應(yīng)的求解過程,零狀態(tài)LTI,零狀態(tài)LTI,零狀態(tài)LTI,零狀態(tài)LTI,沖激響應(yīng),時(shí)不變性,齊次性,疊加性,由上述過程可看出求解零狀態(tài)響應(yīng)可通過下列兩步完成：,（1）求單位沖激響應(yīng)h(t),（2）求,卷積積分,二、沖激響應(yīng)h(t),h(t)定義：,零狀態(tài)LTI H(p),通過多項(xiàng)式的長除法，H(p)可以化為某個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)有理真分式之和。,據(jù)D(p)的根的不同有理真分式H(p)可展開為不同的部分分式,1當(dāng)D(p) 有n個(gè)單特征根p1 , p2 , , pn (可為實(shí)根、虛根或復(fù)根),令第j項(xiàng)為,（一階微分方程）,沖激響應(yīng)h(t)為,2當(dāng)D(p)特征根有重根時(shí)：,設(shè)p1為r重根，其余(n-r)個(gè)為單根pj(j=r+1, r+2, , n)，則有理真分式H(p)可展開為：,重根相關(guān)的部分分式項(xiàng)的沖激響應(yīng),3、H(p)為某個(gè)關(guān)于pj多項(xiàng)式時(shí)：,求解單位沖激的步驟：,（1）據(jù)算子微分方程求出轉(zhuǎn)移算子H(p),（2）長除法化為多項(xiàng)式與有理真分式之和。,（3）有理真分式部分分式展開；,（4）據(jù)D(p)根的不同確定分式中的系數(shù)；,（5）對(duì)照不同情況寫出單位沖激響應(yīng)。表2-2,例：求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)：,注：當(dāng)D(p)有共軛復(fù)數(shù)根時(shí)：,三 卷積積分,上述積分可看作f(t),h(t)經(jīng)過如下過程完成,(1)將f(t),h(t)的自變量t換為， f(),h()波形不變；,(2)將h()折疊，得到h(-)；,(3)將h(-)沿軸平移t， t為參變量，得到h-(-t) 即h(t-), t 0為右移， t 0為左移；,(4)將f() 與h(t-) 相乘得到相乘信號(hào)f() h(t-) ；,(5)將f() h(t-) 在區(qū)間（-，+）上積分得到(*)。,定義:,卷積積分簡稱卷積.,卷積積分上下限的確定是關(guān)鍵，討論如下：,(1)若f(t),h(t) 都為因果信號(hào)積分上下限為(0-, t),(2)若f(t) 為因果信號(hào),h(t) 為無時(shí)限信號(hào),積分上下限為(0-,),(3)若f(t) 為無時(shí)限信號(hào),h(t) 為因果信號(hào),積分上下限為(-, t),(4)若f(t), h(t)都為時(shí)限信號(hào)則卷積后仍為時(shí)限信號(hào)，其左邊界為原兩左邊界之和，右邊界為原兩右邊界之和,例3：求圖示f1(t)， f2(t)的卷積,(1) t0時(shí), f1() f2(t-)=0,(2) 0t1時(shí),(3) 1t2時(shí),(4) 2t3時(shí),(5) t3時(shí),（1）卷積的運(yùn)算規(guī)律,據(jù)卷積的定義和積分的性質(zhì)，可推知卷積有如下的運(yùn)算規(guī)律 :,1交換律:,2分配律:,3結(jié)合律,（2）卷積的主要性質(zhì),1f(t)與奇異信號(hào)的卷積,(1) f(t)*(t)=f(t),即f(t)與(t)卷積等于f(t)本身,(2) f(t)*(t)=f(t) ,即f(t)與(t)卷積等于f(t)導(dǎo)數(shù)。,(3),2卷積的微分和積分：,(1) 積分 f1(t)*f2(t) -1 = f1-1(t)*f2(t)= f1(t)*f2-1(t),(3) 微分-積分:,f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2-1(t)=f1-1(t)*f2(t),則(2) 微分 f1(t)*f2(t) = f1(t)*f2(t)= f1(t)*f2(t),若f1(t)，f2(t)左收斂，,3卷積時(shí)移：,設(shè)f1(t)*f2(t)=y(t)，則：,f1(t)*f2(t-t0)=f1(t-t0)*f2(t)=y(t-t0),f1(t-t1)*f2(t-t2)=y(t-t1-t2);,推論：,f(t-t1)*(t-t2)=f(t-t1-t2),(t-t1)*(t-t2)=(t-t1-t2);,利用卷積性質(zhì)求解較復(fù)雜的卷積 （表2-3）,例7:例3已知:,解：,卷積時(shí)的(t)的存在只是確定被積信號(hào)的起始位置，卷積結(jié)果要考慮起始位置,即加(上限-下限),若f1(t)，f2(t)收斂，將被卷積的一個(gè)信號(hào)盡量化為沖激信號(hào)以及其延時(shí)，可使計(jì)算簡化。,例8 試計(jì)算常數(shù)K與信號(hào)f(t)的卷積積分,解 直接按卷積定義，可得 ：,用微分-積分性質(zhì)來求解將導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果,常數(shù)K 不收斂且任意信號(hào)f(t)也并非一定收斂。,例9 已知某系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=sint(t)，激勵(lì)f(t)的波形如圖所示，試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。,可用微分-積分性來求,解：,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求解,例10:圖示電路,激勵(lì),求:零狀態(tài)響應(yīng)uc(t),解：列方程,圖示電路，其輸入電壓us(t)波形如圖示，試用卷積積分法求零狀態(tài)響應(yīng)uc(t),解：,解法2、利用卷積的性質(zhì),四、系統(tǒng)全響應(yīng)的求解方法：,（1）求單位沖激響應(yīng)h(t),（2）求卷積積分,（3）求零輸入響應(yīng)yX (t),零狀態(tài)響應(yīng)yf (t),（4）全響應(yīng)：,例11 圖示電路已知i1(0-) = i2(0-) =1A， f1(t) = t (t)，f2(t) = (t)(t1)，求全響應(yīng)y(t) 。,解：1)先求系統(tǒng)的傳輸算子及沖激響應(yīng)。,2）卷積積分求零狀態(tài)響應(yīng)y