量子力學(xué)表象變換與矩陣形式.ppt

第五章 量子力學(xué)的表象變換與矩陣形式,量子態(tài)的不同表象， 幺正變換 力學(xué)量的矩陣表示 力學(xué)量的表象變換,5.1.1 坐標(biāo)表象,通過(guò)坐標(biāo)變換,以引進(jìn)量子力學(xué)中的表象及表象變換的概念. 表象: 量子力學(xué)中的態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象.,平面上的任何一個(gè)矢量都可用它們來(lái)展開(kāi),（2）,A1和A2表示矢量A在兩個(gè)分量坐標(biāo)上的投影。,5.1量子態(tài)的不同表象， 幺正變換,（3）,寫成矩陣的形式,（5）,R（）稱為變換矩陣元，是兩個(gè)坐標(biāo)系基矢之間的標(biāo)積。當(dāng)R確定后，任何兩個(gè)坐標(biāo)系之間的關(guān)系也就確定了。,其轉(zhuǎn)置矩陣表示為,（6）,變換矩陣R與其轉(zhuǎn)置矩陣之間的關(guān)系為,因?yàn)镽=R，,（7）,5.1.2 Representation Theory (表象理論),一個(gè)粒子的態(tài)完全可由歸一化的波函數(shù)(r,t)來(lái)描述， 將(r,t)稱為坐標(biāo)表象。下面將討論用動(dòng)量為變量描述波函數(shù)。 將(r,t) 還可表示成,在整個(gè)動(dòng)量空間積分。c(p,t)為展開(kāi)系數(shù)， p(r )是動(dòng)量的本征函數(shù)。,（11）,（12）,顯然， c(p,t)描述的粒子態(tài)與(r,t)描述的粒子態(tài)同樣完整。 已知c(p,t)，就可以求出(r,t)，反之也一樣。即c(p,t)和(r,t)描述的是粒子態(tài)同一個(gè)狀態(tài)。因此，將c(p,t)稱為粒子態(tài)的動(dòng)量表象。,如果已知(r,t) 就可以通過(guò)上式得到c(p,t)，反過(guò)來(lái)也成立。,（13）,（14）,那么在動(dòng)量表象中，坐標(biāo)的平均值可以表示為,其它觀測(cè)量的平均值類似可表示出。,如果(x,t)描述的狀態(tài)是動(dòng)量p的自由粒子的狀態(tài),在動(dòng)量表象中，具有確定動(dòng)量p 的粒子波函數(shù)是函數(shù)。,例題：一維粒子運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)是,解：由于波函數(shù)為歸一化，首先要對(duì)波函數(shù)進(jìn)行歸一化,求1）粒子動(dòng)量的幾率分布； 2）粒子的平均動(dòng)量,動(dòng)量的幾率分布為,動(dòng)量的平均值為,考慮任意力學(xué)量Q本征值為1, 2, n,對(duì)應(yīng)的正交本征函數(shù) u1(x), u 2 (x), u n (x) , 則任意波函數(shù)（x）按Q的本征函數(shù)展開(kāi)為,下標(biāo)n表示能級(jí)，上式兩邊同乘以u(píng)*m(x), 并積分,粒子態(tài)完全由an完全集確定，即能量表象。,（16）,（17）,3. 能量表象,因?yàn)?所以,是對(duì)應(yīng)力學(xué)量Q取不同能量本征值的幾率,可表示成一列矩陣的形式,其共軛矩陣為一行矩陣,因?yàn)椴ê瘮?shù)是歸一化的，表示成,例題1：一維諧振子的能量表象中不同能量本征值的波函數(shù),n=0:,n=1:,因?yàn)橄到y(tǒng)的波函數(shù)是正交歸一的波函數(shù)，表示為,直角坐標(biāo)系中，矢量A的方向由i,j,k三個(gè)單位矢量基矢決定，大小由Ax,Ay,Az三個(gè)分量（基矢的系數(shù)）決定。,在量子力學(xué)中，選定一個(gè)F表象，將Q的本征函數(shù)u1(x), u2(x), un(x),看作一組基矢，有無(wú)限多個(gè)。大小由a1(t), a2(t), an(t),系數(shù)決定。 所以，量子力學(xué)中態(tài)矢量所決定的空間是無(wú)限維的空間函數(shù)，基矢是正交歸一的波函數(shù)。數(shù)學(xué)上稱為希爾伯特（Hilbert）空間.,常用的表象有坐標(biāo)表象、動(dòng)量表象、能量表象和角動(dòng)量表象,總結(jié),例題2 質(zhì)量為m的粒子在均勻力場(chǎng)f(x)=-F(F0)中運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)范圍限制在x0, 試在動(dòng)量表象中求解束縛態(tài)能級(jí)和本征函數(shù)。,解： 勢(shì)能為V（x）Fx， 總能量為,在動(dòng)量表象中，x的算符表示為,定態(tài)的薛定諤方程,E可由貝塞爾函數(shù)解出，基態(tài)能級(jí)為,習(xí)題4.1 求在動(dòng)量表象中角動(dòng)量Lx的矩陣元和L2x的矩陣元,解：Lx在動(dòng)量表象中的矩陣元,第一項(xiàng),第二項(xiàng)也可以導(dǎo)出，則Lx的矩陣元,4. 2算符的矩陣表示,設(shè)算符F有如下關(guān)系 ：,在Q表象中，Q的本征值分別為Q1，Q2，Q3，Qn, 對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)分別為u1(x), u2(x), un(x),.,將(x,t)和 (x,t)分別在Q表項(xiàng)中由Q的本征函數(shù)展開(kāi),代入上式，,兩邊同乘以u(píng)*n(x), 并在整個(gè)空間積分,利用本征函數(shù)un(x)的正交性,引進(jìn)記號(hào),（23）,矩陣Fnm的共軛矩陣表示為,因?yàn)榱孔恿W(xué)中的算符都是厄米算符，,若在轉(zhuǎn)置矩陣中，每個(gè)矩陣元素用它的共軛復(fù)數(shù)來(lái)代替，得到的新矩陣稱為F的共軛矩陣,Fnm的轉(zhuǎn)置矩陣為,例如,例如,例題 （習(xí)題4.2）求一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量在能量表象中的矩陣元,能量表象,如X在坐標(biāo)空間中可表示為,動(dòng)量p在動(dòng)量空間中表示為,結(jié)論：算符在自身的表象中是一個(gè)對(duì)角矩陣,一維無(wú)限深勢(shì)阱能量表象中能量的矩陣元,一維諧振子能量表象中能量的矩陣元,兩個(gè)矩陣的和為兩個(gè)矩陣的分量之和。設(shè)C為兩矩陣之和 Cmn=AmnBmn （42）,兩矩陣之積,矩陣Fpp是動(dòng)量空間。矩陣F（Fmnmn）稱為對(duì)角矩陣（diagonal matrix ）, 當(dāng)Fmn=1, 稱為單位矩陣（unit matrix）,表示為I(mn).,在動(dòng)量空間中，算符F的矩陣元,4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表述,1. 平均值公式,寫成矩陣形式,（51）,簡(jiǎn)寫為,例題 求一維無(wú)限深勢(shì)阱中，當(dāng)n=1和n=2 時(shí)粒子坐標(biāo)的平均值,解：,2. The Eigenvalue Problem,在量子力學(xué)中最重要的問(wèn)題是找算符的本征值和本征函數(shù)。,首先，算符F的本征函數(shù)滿足,（54）,（55）,有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零,（60）,這是一個(gè)線性齊次代數(shù)方程組,這是一個(gè)久期（secular）方程。將有1， 2 . n n個(gè)解,就是F的本征值。,例題： 求算符x在下面波函數(shù)中的本征值, -a,a區(qū)間,解：,則,3.矩陣形式的薛定諤方程 The Schrdinger Equation in Matrix Form,（81）,（82）,例題： 求在動(dòng)量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù),線性諧振子的總能量為,解法一：在動(dòng)量表象中，x的算符表示為：,則H算符表示為,定態(tài)的薛定諤方程寫為,c（p）是動(dòng)量表象中的本征函數(shù),仿照一維諧振子坐標(biāo)空間的求解方法可解出c(p)。,解法二,當(dāng)n0時(shí)，,討論從一個(gè)表象變換到另一個(gè)表象的一般情況。 設(shè)算符A的正交歸一的本征函數(shù)1(r ) ， 2(r )， n(r ); 設(shè)算符B的正交歸一的本征函數(shù)1(r ) ， 2(r )， n(r );,（64）,（66）,1. Unitary Transformation（幺正變換）,確定Fmn與F之間聯(lián)系的轉(zhuǎn)換矩陣。,將算符B的本征函數(shù)(x)用算符A的本征函數(shù)n(x)展開(kāi)。,（68）,同理,（70）,（71）,應(yīng)用厄密共軛矩陣性質(zhì),得到算符在兩個(gè)表象中的變換矩陣,簡(jiǎn)寫為,這就是力學(xué)量F從A表象變換到B表象的變換公式。,（72）,S與S+的積等于單位矩陣。即,SS+I, S+S-1,（74）,將滿足上式的矩陣稱為幺正矩陣, 由幺正矩陣表示的變換稱為幺正變換. 物理意義: 在不同的表象中幾率是守恒的。如果一個(gè)粒子在態(tài)n中的幾率為1， 在態(tài)n中的幾率為Sn2,那么, S12, S22, Sn2,給出粒子在態(tài)n中出現(xiàn)的幾率分布。下面的式子必定成立。,（75）,例題： 求轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣R(）的特征值、特征矢量和幺正變換矩陣.,解：設(shè)在A表象中,代入原方程，求解b1、b2,當(dāng),變換矩陣,下面討論態(tài)矢量 u(x,t)從A表象變換到B表象的公式,b=S+a,總結(jié)：幺正變換的性質(zhì),2）幺正變換下， 矩陣的跡（trace) 不變。用TrF表示，定義為矩陣的對(duì)角單元之和。那么,TrFA=TrFB, 矩陣的積不依賴于特別的表象。,5.4 狄喇克符號(hào),在經(jīng)典力學(xué)中，體系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與所選取的坐標(biāo)是無(wú)關(guān)的，坐標(biāo)是為了處理問(wèn)題方便才引進(jìn)的。 同樣，在量子力學(xué)中，粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與選取的表象無(wú)關(guān)，表象的選取是為了處理問(wèn)題方便。,在經(jīng)典力學(xué)中，常用矢量的形式討論問(wèn)題，并不指明坐標(biāo)系。 同樣，量子力學(xué)中描述態(tài)和力學(xué)量，也可以不用坐標(biāo)系。 這樣一套符號(hào)稱為狄喇克符號(hào)。,1.右矢 (ket) 和左矢（bra） ,左矢 的共軛態(tài)矢。 的共軛態(tài)矢。,量子體系的一切可能的態(tài)構(gòu)成一個(gè)Hilbert空間， Hilbert是一個(gè)以復(fù)量為基的一個(gè)有限的或無(wú)限的、完全的矢量空間。, ,一個(gè)量子態(tài)用右矢 來(lái)表示。例如用 表示波函數(shù)描述的狀態(tài)。,標(biāo)積運(yùn)算規(guī)則：,若 0，則稱正交。 若 1，則稱為歸一化態(tài)矢。,表示態(tài)矢是正交歸一的完備系,例題：軌道角動(dòng)量l=rp，證明在lz的任何一個(gè)本征態(tài)下，lx和ly的平均值為零,證明：設(shè)m為lz=的本征態(tài)，屬于本征值狀態(tài)為m,因?yàn)閷?duì)易關(guān)系,類似地，利用對(duì)易關(guān)系,可以證明,|A在Q表象中的分量為a1(t), a2(t), B|在Q表象中的分量為b1(t), b2(t),顯然，,若算符F的本征組態(tài)矢是正交歸一的，本征值分別為Fi,Fj,若算符F的本征態(tài)矢是連續(xù)譜，,2. 態(tài)矢在具體表象中的狄喇克表示方法,坐標(biāo)x的本征態(tài)矢正交歸一的條件是，,動(dòng)量p的本征態(tài)矢正交歸一的條件是，,波函數(shù)的歸一化性表示為,因?yàn)椴ê瘮?shù)（x,t）可以用一組基矢展開(kāi),因?yàn)?這種性質(zhì)稱為本征值n的封閉性。,用狄喇克形式表示為,展開(kāi)系數(shù)為,稱為投影算符或單位算符,在連續(xù)譜的情況下，求和應(yīng)換為積分,例題：兩個(gè)態(tài)矢|A 和| B在同一個(gè)表象Q中的標(biāo)記,3. 算符在具體表象中的狄喇克表示方法,設(shè)算符F存在如下關(guān)系,將態(tài)矢A、B分別在Q表象中展開(kāi),用|m左乘上式，再利用正交性,兩邊左乘以 k |,例題：對(duì)于（l2,lz）的共同本征態(tài)Ylm(,), 計(jì)算lx2 ly2的平均值，,對(duì)易關(guān)系,解：,由于,兩邊取復(fù)共軛,5.5 諧振子的升降算符,（44）,H多項(xiàng)式有如下關(guān)系存在,（46）,（45）,（44）與（47）式相加減，得,（48）,將稱為降冪算符(lowering operator), 將 + 稱為升冪算符.,由于本征值n是諧振子波函數(shù)的指數(shù)因子,因而我們定義一個(gè)數(shù)算符N(number operator),（52）,的本征值是n, 本征函數(shù)是n,（51）,2. Properties of the Operators and +,（52）,（54）,通過(guò)進(jìn)行 +n運(yùn)算,我們可以計(jì)算從基態(tài)開(kāi)始的所有本征函數(shù),（57）,兩式相加、減,由此可計(jì)算出能量本征值,例題 對(duì)于諧振子的能量本征態(tài)|n，計(jì)算x, p，x2，p2的平均值及x、p。,解：因?yàn)?利用正交性，同樣得到,利用正交性，得到,對(duì)于基態(tài)，n=0，剛好是測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的下限,4. Interpretation of and +,我們知道諧振子的能量是等間隔的, n所具有的能量大于n, 將該能量分成n份，一份稱為聲子(phonons), 那么將n稱為n聲子態(tài)(n-phonon state),（66）,解釋: 如果 作用于波函數(shù), 則湮滅(annihilate)了一個(gè)聲子, 因而稱為湮滅算符; +作用于函數(shù), 則產(chǎn)生一個(gè)聲子, +產(chǎn)生算符.,由于,稱為聲子數(shù)算符(phonon number operator),（67）,諧振子波場(chǎng)中的量子正是聲子. 如果與光子相類比的話, 就更清楚了.,計(jì)算a,a+, a,a+a, a+,a+a,5.6力學(xué)量隨時(shí)間的演化,（1）,因?yàn)椴ê瘮?shù)和算符都是時(shí)間相關(guān)的， 則平均值也是時(shí)間相關(guān)的。,（2）,第一項(xiàng)表示算符L的瞬時(shí)偏導(dǎo)數(shù)的平均值， 第二項(xiàng)積分則利用,（3）,應(yīng)用算符H的厄密性得到,H=E ,（4）,結(jié)論： 平均值隨時(shí)間的變化就等于 的平均值。,若 L 不顯含時(shí)間，即,（6）,如果,則,6.2 Ehrenfests Theorem,考慮坐標(biāo)、動(dòng)量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)都不顯含時(shí)間，則下式成立,對(duì)其它分量， 有類似的成立。為了考察它們的對(duì)易性，我們考慮粒子在一個(gè)勢(shì)壘中，其哈密頓量為,位置和動(dòng)量之間的關(guān)系與經(jīng)典力學(xué)中的坐標(biāo)與動(dòng)量之間的關(guān)系一致。,形式與經(jīng)典的牛頓方程相似。,對(duì)三維的位置和動(dòng)量，有,這就是Ehrenfests theorem,6.3 Laws of Conservation,則該算符對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為零，其運(yùn)動(dòng)可視為常數(shù), 即勻速運(yùn)動(dòng)。,如果一個(gè)算符本身不顯含時(shí)間， 即,它又與H對(duì)易，,算符H是總能量算符，顯然H與它本身對(duì)易。即使它顯含時(shí)間, 其運(yùn)動(dòng)仍為常量，這就是能量守恒定律。,勻速運(yùn)動(dòng)的算符對(duì)我們量子力學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)非常重要。,1. 守恒量,動(dòng)量算符P不顯含時(shí)間，如果Vx=0, 則,稱為動(dòng)量守恒定律.,對(duì)中心力, 勢(shì)能只是半徑r的函數(shù), 角動(dòng)量算符,與勢(shì)能V(r )對(duì)易。整個(gè)哈密頓量為,因此 有,角動(dòng)量守恒定律成立。,還可得出,2. The Virial Theorem,位力定律是從動(dòng)能算符和勢(shì)能的平均值得到的公式,既在經(jīng)典力學(xué)中成立，又在量子力學(xué)中成立。在經(jīng)典力學(xué)中，,的瞬時(shí)平均值在周期運(yùn)動(dòng)中為零。,時(shí)間導(dǎo)數(shù),在量子力學(xué)中， 我們考慮,的表觀值。,最后一個(gè)等式證明如下,得到位力定律。,我們注意到，從 得到的結(jié)果一樣，因?yàn)樗鼈兌寂cH算符對(duì)易。如果是勢(shì)能為球?qū)ΨQ勢(shì)阱。有位力定理得到,對(duì)所有的n都成立,當(dāng)然的表觀值存在.,The Schrdinger Representation,前面我們應(yīng)用了與時(shí)間相關(guān)的態(tài)函數(shù)(r,t)描述物理系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化，這樣，我們將不顯含時(shí)間 的力學(xué)量的平均值及幾率分布隨時(shí)間的演化，完全歸為波函數(shù)隨之間的演化。而力學(xué)量算符則不隨時(shí)間變化， 因而應(yīng)用算符來(lái)描述不顯含時(shí)間的物理量，我們將這種描述方式稱為薛定諤表象或薛定諤圖像。,波函數(shù)和算符不是實(shí)際觀測(cè)的對(duì)象，實(shí)際觀測(cè)的對(duì)象為波函數(shù)的幾率分布和平均值的變化。,為了解釋這兩種不同的表象，我們有時(shí)也稱為圖像。我們來(lái)看算符L的矩陣元,在描述一個(gè)系統(tǒng)時(shí)，這兩個(gè)表象是完全等價(jià)的。它們有同樣的表觀值、同樣的譜。從一個(gè)