2019_20學年高中數學第一章立體幾何初步1.6.1垂直關系的判定課件北師大版.pptx

6 垂直關系,6.1 垂直關系的判定,1.直線與平面垂直 (1)直線與平面垂直的定義 如果一條直線和一個平面內的任何一條直線都垂直,那么稱這條直線和這個平面垂直. (2)畫法:當直線與平面垂直時,通常把表示直線的線段畫成和表示平面的平行四邊形的橫邊垂直.如圖所示.,(3)直線與平面垂直的判定定理 文字敘述:如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直,那么該直線與此平面垂直. 符號表示:若直線a,直線b,直線la,lb,ab=A,則l.,圖形表示:,作用:線線垂直線面垂直.,【做一做1】 垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關系是( ) A.垂直 B.斜交 C.平行 D.不能確定 解析:梯形的兩腰所在的直線相交,根據線面垂直的判定定理可知選項A正確. 答案:A,名師點撥理解線面垂直的判定定理注意以下幾點: (1)定理可表述為“線線垂直,則線面垂直”. (2)“兩條相交直線”是關鍵詞,一定不要忽視這個條件,否則將導致結論錯誤,即“線不在多,相交就行”. (3)要證明一條直線與一個平面垂直,只需在平面內找到兩條相交直線和該直線垂直即可,至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點無關緊要. (4)線面垂直的判定定理與線面垂直的定義往往在證題過程中要反復交替使用.,2.二面角及其平面角 (1)半平面的定義:一個平面內的一條直線,把這個平面分成兩部分,其中的每一部分都叫作半平面. (2)二面角的定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角,這條直線叫作二面角的棱,這兩個半平面叫作二面角的面. (3)二面角的記法: 以直線AB為棱,半平面,為面的二面角,記作二面角-AB-. (4)二面角的平面角: 以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角. (5)直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角.,【做一做2】 給出下列命題: 兩個相交平面組成的圖形叫作二面角; 異面直線a,b分別和一個二面角的兩個面垂直,則a,b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補; 二面角的平面角是從棱上一點出發(fā),分別在兩個面內作射線所成的角; 二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系. 其中正確的是( ) A. B. C. D. 解析:由二面角的定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角,可知不對.畫出圖形,可知正確.中所作的射線不一定垂直于二面角的棱,故不對.由定義知正確.故選B. 答案:B,3.平面與平面垂直 (1)兩個平面互相垂直的定義:兩個平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直. (2)畫法:在畫兩個垂直的平面時,通常把表示直立平面的平行四邊形的豎邊畫成和表示水平平面的平行四邊形的橫邊垂直.如圖所示.,(3)平面與平面垂直的判定定理 文字敘述:如果一個平面經過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面互相垂直. 符號表示:,圖形表示:,作用:線面垂直面面垂直.,【做一做3】 已知直線m,n與平面,下列可能使成立的條件是( ) A., B.=m,mn,n C.m,m D.m,m 解析:選擇適合條件的幾何圖形觀察可得,A中或與相交,B中,相交,但不一定垂直,C中或與相交. 答案:D,名師點撥理解面面垂直的判定定理注意以下幾點: (1)定理可簡記為“線面垂直,則面面垂直”,因此要證明平面與平面垂直,只需在其中一個平面內找另一個平面的垂線,即證“線面垂直”. (2)兩個平面垂直的判定定理,不僅僅是判定兩個平面垂直的依據,而且是找出垂直于一個平面的另一個平面的依據. (3)要證,可證經過的某一條垂線,也可證明經過的某一條垂線.,思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“”,錯誤的打“”. (1)若直線l垂直于平面內無數條直線,則有l(wèi). ( ) (2)若直線l垂直于平面內任意直線,則有l(wèi). ( ) (3)若直線l垂直于內的一個凸五邊形的兩條邊,則有l(wèi). ( ) (4)一個二面角的平面角有且只有一個. ( ) (5)若直線l與平面交于點O,且l與不垂直,l,則與一定不垂直. ( ),探究一,探究二,易錯辨析,探究一線面垂直及其判定 【例1】 如圖所示,在三棱錐A-BCD中,BC=AC,AD=BD,作BECD,E為垂足,作AHBE于點H.求證:AH平面BCD.,探究一,探究二,易錯辨析,證明:取AB的中點F,連接CF,DF,因為AC=BC,所以CFAB. 同理可得,DFAB. 又CFDF=F, 所以AB平面CDF. 因為CD平面CDF, 所以ABCD. 又BECD,且BEAB=B,所以CD平面ABE. 因為AH平面ABE,所以CDAH. 又AHBE,BECD=E,所以AH平面BCD.,探究一,探究二,易錯辨析,反思感悟證明線面垂直的關鍵是分析幾何圖形,尋找隱含的和題目中推導出的線線垂直關系,進而證明線面垂直.三角形全等、等腰三角形底邊上的中線、梯形的高、菱形和正方形的對角線、三角形中的勾股定理等都是找線線垂直的方法.,變式訓練1如圖所示,AB是圓O的直徑,PA垂直于圓O所在的平面,C是圓O上的點.求證:BC平面PAC. 分析:由AB是圓O的直徑可知ACBC,再結合PA平面ABC,即可證明BC平面PAC.,探究一,探究二,易錯辨析,證明:由AB是圓O的直徑,得ACBC. 由PA平面ABC,BC平面ABC,得PABC. 又PAAC=A,PA平面PAC,AC平面PAC, 所以BC平面PAC.,探究一,探究二,易錯辨析,探究二面面垂直的判定 【例2】 如圖所示,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=PA=2,CD=2 ,E,F分別是AB,PD的中點.,求證:(1)AF平面PCE; (2)平面PCE平面PCD.,探究一,探究二,易錯辨析,分析:(1)要證AF平面PCE,只需證明AF平行于平面PCE內的一條直線即可,取PC的中點G,則該直線為GE. (2)要證明平面PCE平面PCD,只需證明GE平面PCD,而由(1)知GEAF,故只需證明AF平面PCD即可.,探究一,探究二,易錯辨析,證明:(1)取PC的中點G,連接FG,EG,F為PD的中點,E為AB的中點, FG= CD,且FGCD,AE= CD,且AECD, FG=AE,且FGAE, 四邊形AEGF為平行四邊形,AFGE. GE平面PEC,AF平面PCE,AF平面PCE. (2)PA=AD=2,AFPD. PA平面ABCD,CD平面ABCD,PACD. ADCD,PAAD=A, CD平面PAD.AF平面PAD,AFCD. PDCD=D,AF平面PCD, GE平面PCD. GE平面PEC,平面PCE平面PCD.,探究一,探究二,易錯辨析,反思感悟怎樣證明平面與平面垂直 1.證明面面垂直的方法:(1)證明兩個半平面構成的二面角的平面角為90;(2)證明一個平面經過另一個平面的一條垂線,將證明面面垂直的問題轉化為證明線面垂直的問題. 2.利用判定定理證明兩個平面垂直時,一般方法是先從現有的直線中尋找平面的垂線,若圖形中不存在這樣的垂線,則可通過作輔助線來解決,而作輔助線則應有理論根據并且要有利于證明.,探究一,探究二,易錯辨析,變式訓練2已知正方形ABCD的邊長為1,分別取邊BC,CD的中點E,F,連接AE,EF,AF,以AE,EF,FA為折痕,折疊使點B,C,D重合于一點P.求證: (1)APEF; (2)平面APE平面APF.,探究一,探究二,易錯辨析,證明:(1)APE=APF=90, APPE,APPF. PEPF=P,PA平面PEF. EF平面PEF,PAEF. (2)APE=EPF=90, PEAP,PEPF. APPF=P,PE平面APF. PE平面APE, 平面APE平面APF.,探究一,探究二,易錯辨析,對空間中線面關系理解不透徹而致誤 【典例】 如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,則截面ACB1與對角面BB1D1D垂直嗎? 錯解如圖所示,設AC與BD的交點為O,連接B1O, 則B1O是截面ACB1與對角面BB1D1D的交線. B1O不與底面垂直, 截面ACB1不可能與對角面BB1D1D垂直.,探究一,探究二,易錯辨析,糾錯心得1.因為B1O與底面不垂直,就斷定截面ACB1不可能與對角面BB1D1D垂直,這是毫無根據的. 2.要克服上述錯誤,一定要將有關定理或性質的適用條件及內涵把握清楚,不能憑想當然進行毫無邏輯的論證.,正解:四邊形ABCD是正方形,ACBD. BB1底面ABCD,ACB1B. B1BBD=B,AC對角面BB1D1D. AC截面ACB1,截面ACB1對角面BB1D1D.,1,2,3,4,5,1.下列各種情況中,一條直線垂直于一個平面內的:三角形的兩條邊;梯形的兩條邊;圓的兩條直徑;正六邊形的兩條邊.不能保證該直線與平面垂直的是( ) A. B. C. D. 解析:三角形的任何兩邊都相交;圓的任何兩條直徑都相交;但梯形中任意兩邊不一定相交,也可能平行;正六邊形中也存在平行的兩條邊,因此不能保證該直線與平面垂直的是.故選C. 答案:C,1,2,3,4,5,2.在空間四邊形ABCD中,若ADBC,BDAD,則( ) A.平面ABC平面ADC B.平面ABC平面ADB C.平面ABC平面DBC D.平面ADC平面DBC 解析:如圖所示,ADBC,ADBD,BCBD=B, AD平面BDC. 又AD平面ADC, 平面ADC平面DBC. 答案:D,1,2,3,4,5,3.如圖所示,BCA=90,PC平面ABC,則在ABC,PAC的邊所在的直線中, (1)與PC垂直的直線有 ; (2)與AP垂直的直線有 . 解析:(1)因為PC平面ABC,AB,AC,BC平面ABC, 所以與PC垂直的直線有AB,AC,BC. (2)BCA=90,即BCAC. 又BCPC,ACPC=C, 所以BC平面PAC,PA平面PAC.所以BCAP. 答案:(1)AB,AC,BC (2)BC,1,2,3,4,5,4.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,M,N分別為A1D1和AA1的中點,則下列說法正確的個數為( ) C1MAC; BD1AC; BC1與AC所成的角為60; CD與BN為異面直線. A.1 B.2 C.3 D.4,1,2,3,4,5,解析:由正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為A1D1和AA1的中點,可知:在中,ACA1C1,A1C1C1M=C1,C1M與AC是異面直線,故錯誤; 在中,ACDD1,ACBD,BDDD1=D, AC平面BDD1. 又BD1平面BDD1, BD1AC,故正確; 在中,ACA1C1,BC1=A1C1=