彈性力學講義(徐芝綸版).ppt

第四章 平面問題的極坐標解答,第一節(jié) 極坐標中的平衡微分方程,第二節(jié) 極坐標中的幾何方程及物理方程,第三節(jié) 極坐標中的應力函數(shù)與相容方程,第四節(jié) 應力分量的坐標變換式,第五節(jié) 軸對稱應力和相應的位移,第四章 平面問題的極坐標解答,第六節(jié) 圓環(huán)或圓筒受均布壓力,第八節(jié) 圓孔的孔口應力集中,第九節(jié) 半平面體在邊界上受集中力,第十節(jié) 半平面體在邊界上受分布力,例題,第七節(jié) 壓力隧洞,區(qū)別:直角坐標中, x和y坐標線都是直線,有 固定的方向, x 和y 的量綱均為L。 極坐標中, 坐標線（ =常數(shù)）和 坐標線（ =常數(shù)）在不同點有不同的方向;,相同:兩者都是正交坐標系。,直角坐標(x,y)與極坐標 比較：,坐標線為直線, 坐標線為圓弧曲線; 的量綱為L, 的量綱為1。這些區(qū)別將引 起彈性力學基本方程的區(qū)別。,對于圓形，弧形，扇形及由徑向線和環(huán)向圍成的物體，宜用極坐標求解。用極坐標表示邊界簡單，使邊界條件簡化。,應用,41 極坐標中的平衡微分方程,在A內(nèi)任一點（ ， ）取出一個微分體，考慮其平衡條件。,微分體-由夾角為 的兩徑向線和距離 為 的兩環(huán)向線圍成。,兩 面不平行，夾角為 ； 兩 面面積不等，分別為 ， 。 從原點出發(fā)為正， 從 x 軸向 y 軸方向 轉(zhuǎn)動為正。,注意：,平衡條件：,平衡條件,考慮通過微分體形心 C 的 向及矩的平衡，列出3個平衡條件:,注意：,-通過形心C的力矩為0，當 考慮到二階微量時，得,-通過形心C的 向合力為0，,整理，略去三階微量，得,同理，由 通過形心C的 向合力為0可得：,極坐標下的平衡微分方程：,幾何方程-表示微分線段上形變和位移之間的幾何關(guān)系式 。,42 幾何方程及物理方程,極坐標系中的幾何方程可以通過微元變形分析直接推得，也可以采用坐標變換的方法得到。下面討論后一種方法。根據(jù)直角坐標與極坐標之間的關(guān)系，有,注意：,可求得,根據(jù)張量的坐標變換公式,對平面問題：,幾何方程,由此可得 比較可知,極坐標中的物理方程,直角坐標中的物理方程是代數(shù)方程，且 x 與 y 為正交，,故物理方程形式相似。,物理方程,極坐標中的物理方程也是代數(shù)方程,且,與 為正交，,平面應力問題的物理方程：,物理方程,對于平面應變問題，只須作如下同樣變換，,邊界條件-應用極坐標時，彈性體的邊界面通常均為坐標面，即：,邊界條件,故邊界條件形式簡單。,平面應力問題在極坐標下的基本方程,物理方程,物理方程,對于平面應變問題，只須將物理方程作如下的變換即可。,以下建立直角坐標系與極坐標系的變換關(guān)系，用于：,43 極坐標中的應力函數(shù) 與相容方程,1、 物理量的轉(zhuǎn)換;,2、從直角坐標系中的方程導出極坐標 系中的方程。,函數(shù)的變換：將式 或 代入，,坐標變量的變換：,反之,1.從直角坐標系到極坐標系的變換,坐標變換,或,矢量的變換：位移,坐標變換,將對 的導數(shù)，變換為對 的導數(shù)：,可看成是 ，而 又是 的函數(shù)，即 是通過中間變量 ，為 的復合函數(shù)。,有:,坐標變換,導數(shù)的變換：,而,代入，即得一階導數(shù)的變換公式,一階導數(shù),，,。,展開即得：,二階導數(shù)的變換公式，可以從式(e) 導出。例如,二階導數(shù),拉普拉斯算子的變換：由式（f）得,二階導數(shù),3.極坐標中應力用應力函數(shù) 表示,可考慮幾種導出方法：,2.極坐標中的相容方程,從平衡微分方程直接導出（類似于 直角坐標系中方法）。,相容方程應力公式,(2) 應用特殊關(guān)系式，即當x軸轉(zhuǎn)動到與 軸重合時，有:,(3) 應用應力變換公式（下節(jié)）,應力公式,(4) 應用應力變換公式（下節(jié)），,而,代入式 ( f ) ，得出 的公式。,比較兩式的 的系數(shù)，便得出 的公式。,應力公式,當不計體力時應力用應力函數(shù)表示的公式,應力公式,4.極坐標系中按應力函數(shù) 求解，應滿足：,(1) A 內(nèi)相容方程,(2) 上的應力邊界條件（設全部為應 力邊界條件）。,(3) 多連體中的位移單值條件。,按 求解,應力分量不僅具有方向性，還與其作用面有關(guān)。,應力分量的坐標變換關(guān)系：,44 應力分量的坐標變換式,1、已知 ，求 。,（含 ）的三角形微分體，厚度為1，如下圖 A，考慮其平衡條件。,取出一個包含x、y面(含 )和 面,得,同理，由,得,類似地取出包含x 面,y 面和 面的三角形微分體，厚度為1，如圖B，考慮其平衡條件，,得,應用相似的方法，可得到,2、已知 ，求,3、可以用前面得到的求一點應力狀態(tài)的公式推出。,4、也可以用應力坐標變換公式得到,軸對稱，即繞軸對稱，凡通過此軸的任何面均為對稱面。,軸對稱應力問題：,45 軸對稱應力和相應的位移,軸對稱應力問題,應力數(shù)值軸對稱- 僅為 的函數(shù)， 應力方向軸對稱-,展開并兩邊同乘 得：,相應的應力函數(shù) ，所以 應力公式為：,（1）相容方程,的通解,(2) 應力通解：,（4-11）,分開變量，兩邊均應等于同一常量F,將 代入第三式，,由兩個常微分方程，,其中,代入 ，得軸對稱應力對應的位移通解，,I，K為x、y向的剛體平移， H 為繞o點的剛體轉(zhuǎn)動角度。,位移通解,（4-12）,說明,（2）在軸對稱應力條件下，形變也是軸對稱 的,但位移不是軸對稱的。,（3）實現(xiàn)軸對稱應力的條件是，物體形狀、 體力和面力應為軸對稱。,（1）在軸對稱應力條件下，(4-10、11、12),為應力函數(shù)、應力和位移的通解，適用于任何軸對稱應力問題。,說明,(4) 軸對稱應力及對應的位移的通解已滿足相容方程，它們還必須滿足邊界條件及多連體中的位移單值條件，并由此求出其系數(shù)A、B及C。,說明,(5) 軸對稱應力及位移的通解，可以用于求解應力或位移邊界條件下的任何軸對稱問題。,(6) 對于平面應變問題，只須將 換為,圓環(huán)(平面應力問題)和圓筒(平面應變問題)受內(nèi)外均布壓力，屬于軸對稱應力問題，可以引用軸對稱應力問題的通解。,46 圓環(huán)或圓筒受均布壓力,問題,問題,邊界條件是,邊界條件,考察多連體中的位移單值條件：,圓環(huán)或圓筒，是有兩個連續(xù)邊界的多連體。而在位移解答中，,式(b)中的 條件是自然滿足的，而其余兩個條件還不足以完全確定應力解答(a) 。,單值條件,是一個多值函數(shù)：對于 和 是同一點，但式(c)卻得出兩個位移值。由于同一點的位移只能為單值，因此,B = 0。,單值條件,由B=0 和邊界條件 (b) ，便可得出拉梅解答，,單值條件,(4-13),解答的應用：,（1）只有內(nèi)壓力,（2）只有內(nèi)壓力 且 ，成為 具有圓孔的無限大薄板（彈性體）。,（3）只有外壓力,單值條件,單值條件的說明：,（1）多連體中的位移單值條件，實質(zhì)上就 是物體的連續(xù)性條件（即位移連續(xù)性 條件）。,（2）在連續(xù)體中，應力、形變和位移都 應為單值。,單值條件,按位移求解時：取位移為單值，求形變（幾何方程）也為單值，求應力（物理方程）也為單值。,按應力求解時：取應力為單值，求形變（物理方程）也為單值，求位移（由幾何方程積分），常常會出現(xiàn)多值項。,所以，按應力求解時，對于多連體須要校核位移的單值條件。,單值條件,對于單連體，通過校核邊界條件等，位移單值條件往往已自然滿足；,對于多連體，應校核位移單值條件，并使之滿足。,47 壓力隧洞,本題是兩個圓筒的接觸問題，兩個均為軸對稱問題（平面應變問題）。,1.壓力隧洞-圓筒埋在無限大彈性體中，受有均布內(nèi)壓力。圓筒和無限大彈性體的彈性常數(shù)分別為,壓力隧洞,因為不符合均勻性假定，必須分別采用兩個軸對稱解答：,圓筒,無限大彈性體,壓力隧洞,應考慮的條件：,（1）位移單值條件：,（2）圓筒內(nèi)邊界條件：,（3）無限遠處條件，由圣維南原理,壓力隧洞,由（1）（4）條件，解出解答（書中式（4 -16）。,（4） 的接觸條件，當變形后兩彈性體 保持連續(xù)時，有,壓力隧洞,2.一般的接觸問題。,(1) 完全接觸：變形后兩彈性體在s上仍然保持連續(xù)。這時的接觸條件為：在s上,當兩個彈性體 ，變形前在s上互相接觸，變形后的接觸條件可分為幾種情況：,接觸問題,(2) 有摩阻力的滑動接觸：變形后在S上法向保持連續(xù)，而切向產(chǎn)生有摩阻力的相對滑移，則在S上的接觸條件為,其中C為凝聚力。,接觸問題,(4) 局部脫離：變形后某一部分邊界上兩彈性體脫開，則原接觸面成了自由面。在此部分脫開的邊界上，有,(3) 光滑接觸：變形后法向保持連續(xù)，但切向產(chǎn)生無摩阻力的光滑移動，則在s上的接觸條件為,接觸問題,在工程上，有許多接觸問題的實際例子。如機械中軸與軸承的接觸，基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)與地基的接觸，壩體分縫處的接觸等等。一般在接觸邊界的各部分，常常有不同的接觸條件，難以用理論解表示。我們可以應用有限單元法進行仔細和深入的分析。,接觸問題,3. 有限值條件,圖（a）,設圖（a）中半徑為r的圓盤受法向均布壓力q作用，試求其解答。,有限值條件,引用軸對稱問題的解答，并考慮邊界 上的條件，上述問題還是難以得出解答。這時，我們可以考慮所謂有限值條件，即除了應力集中點外，彈性體上的應力應為有限值。而書中式(4-11)的應力表達式中，當 時， 和 中的第一、二項均趨于無限大，這是不可能的。按照有限值條件， 當 時，必須有A=B=0。,有限值條件,在彈性力學問題中，我們是在區(qū)域內(nèi)和邊界上分別考慮靜力條件、幾何條件和物理條件后，建立基本方程及其邊界條件來進行求解的。一般地說，單值條件和有限值條件也是應該滿足的，但是這些條件常常是自然滿足的。而在下列的情形下須要進行校核：,(1)按應力求解時，多連體中的位移單值條件。,有限值條件,在彈性力學的復變函數(shù)解法中，首先排除不符合單值條件和有限值條件的復變函數(shù)，從而縮小求解函數(shù)的范圍，然后再根據(jù)其他條件進行求解。,(2)無應力集中現(xiàn)象時， 和 ，或 處的應力的有限值條件(因為正、負冪函數(shù)在這些點會成為無限大)。,有限值條件,工程結(jié)構(gòu)中常開設孔口最簡單的為圓孔。,本節(jié)研究小孔口問題，應符合,（1）孔口尺寸彈性體尺寸，,孔口引起的應力擾動局限于小范圍內(nèi)。,48 圓孔的孔口應力集中,小孔口問題,（2）孔邊距邊界較遠（1.5倍孔口尺寸）,孔口與邊界不相互干擾。,當彈性體開孔時，在小孔口附近，將 發(fā)生應力集中現(xiàn)象。,小孔口問題,1.帶小圓孔的矩形板，四邊受均布拉力q， 圖(a)。,雙向受拉,內(nèi)邊界條件為，,將外邊界改造成為圓邊界，作 則有,利用圓環(huán)的軸對稱解答，取,且Rr，得應力解答：,雙向受拉,（4-17）,2. 帶小圓孔的矩形板， x, y向分別受拉壓力 ，圖(b)。,所以應力集中系數(shù)為2。,內(nèi)邊界條件為,最大應力發(fā)生在孔邊，,作 圓，求出外邊界條件為,雙向受拉壓,應用半逆解法求解（非軸對稱問題）:,由邊界條件， 假設,代入相容方程，,由 關(guān)系，假設 ，所以設,雙向受拉壓,除去 ，為典型歐拉方程，通過與前面45相同的處理方式，可以得解,然后代回式（d),即可求出應力。,雙向受拉壓,校核邊界條件 (b) , (c) ，求出 A, B, C, D， 得應力解答：,在孔邊 ， ，最大、最小應力為 ，應力集中系數(shù)為 。,雙向受拉壓,（4-18）,3.帶小圓孔的矩形板，只受x向均布拉力q。,單向受拉,應用圖示疊加原理（此時令 ） 得應力解答:,單向受拉,（4-19）,討論：,（1）孔邊應力，,最大應力 3q ，最小應力-q。,單向受拉,（2) y軸 上應力，,可見，距孔邊1.5D處 ，由于孔口引起的應力擾動5%。,單向受拉,（3） x 軸 上應力，,同樣，距孔邊1.5D處 ，由于孔口引起的應力擾動5%。,單向受拉,4.小孔口的應力集中現(xiàn)象,（1）集中性-孔口附近應力遠處的應力，,孔口附近應力無孔時的應力。,（2）局部性-應力集中區(qū)域很小，約在距孔邊,1.5倍孔徑（D）范圍內(nèi)。此區(qū)域外的應力擾動，一般5%。,應力集中現(xiàn)象,（3）凹角的角點應力高度集中，曲率半徑愈小，應力愈大。,因此，工程上應盡量避免接近直交的凹角出現(xiàn)。,如正方孔 的角點，,角點曲率半徑,應力集中現(xiàn)象,5.一般小孔口問題的分析：,（1）假設無孔，求出結(jié)構(gòu)在孔心處的 、 、 。,（2）求出孔心處主應力,（3）在遠處的均勻應力場 作用下， 求出孔口附近的應力。,小孔口解法,當然，對于左右邊界受均勻拉力作用帶孔平板的應力集中問題，還可以用如下方法求解,單向受拉,對于無孔板，板中的應力為,與之相應的應力函數(shù)為,轉(zhuǎn)為極坐標表示為,單向受拉,現(xiàn)參照上述無孔板的應力函數(shù)來選取一個應力函數(shù)，使它適用于有孔板。即,代入相容方程得：,解得：,單向受拉,由此求得應力分量為：,解得：,單向受拉,應力分量為：,應用彈性力學問題的復變函數(shù)解法，已經(jīng) 解出許多各種形狀的小孔口問題的解答。復變 函數(shù)解法是一種求解彈性力學解答的解析方法， 它將復變函數(shù)的實部和虛部(均為實函數(shù))分別 表示彈性力學的物理量，將彈性力學的相容方 程(重調(diào)和方程 )也化為復變函數(shù)方程，并結(jié)合 邊界條件進行求解。,6. 其他小孔口問題的解答,為了了解小孔口應力集中現(xiàn)象的特性和便 于工程上的應用，我們把遠處為 (壓應 力場)作用下，橢圓類孔口、矩形類孔口和廊道 孔口的應力解答表示在下圖中，它們的應力分 布情況如下。,-4,3/2,b,a,1,1,-2.23,1,2/3,-1,1,0,1,-3,1,1.00,-2.5,-1.35,（1）在 (壓應力場)下，孔口的最大 拉應力發(fā)生于孔頂和孔底。橢圓類孔口均為 ,矩形類孔口的 ,標準 廊道孔口為0.90和0.92q。,1.8r,-1.7,(c) 標準廊道孔口,r,0.90,0.92,（2）在 （壓應力場）下，孔口的最大壓應力發(fā)生在孔側(cè)。橢圓類孔口（垂直半軸為b，水平半軸為a）中，當 成為一條裂 縫時， ；當 ；當 ， 。矩形類孔口 從 ， 越小，則壓應力集中系數(shù)越接近1。標準廊道 左右。,半平面體在邊界上受集中力作用如圖。,它是下圖所示 問題當 的特殊情況。,49 半平面體在邊界上 受集中力,半逆解法,用半逆解法求解。,（1）假設應力： F為單位寬度上的力，按量綱分析，應力 應為:,半逆解法,（2）推測 應為,（3）代入 ，得,求出 f 之解，代入 ，,其中前兩項即Ax+By ，與應力無關(guān)，刪去。 則取應力函數(shù)為,（5）考慮邊界條件,因有集中力作用于原點，,故邊界條件應考慮兩部分：,（4）由 求應力,(b)在原點 O附近，我們可以看成是一段 小邊界。在此小邊界附近，有面力的作 用,而面力可以向原點o簡化為作用于O 點的主矢量F，和主矩為0的情形。 將小邊界上的應力邊界條件應用圣維南 原理來進行處理。圣維南原理的應用可 以有兩種方式：,(a) 不包含原點O，則在 顯然這條件是滿足的。,即 ,(1)在同一小邊界上，使應力的主矢量和主矩,分別等于對應面力的主矢量和主矩 (數(shù)值相等，方向一致)，共有3個條件。 (2) 取出包含小邊界