共邊定理典型題解析.doc

DAPB面積DAQB面積PMQMAAAABBBBPPPPQMMMM共邊定理圖：四種位置關(guān)系QQQ1如圖，ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的中點(diǎn)，用面積方法證明：DEBC且DEBC證明：D、E分別是AB、AC邊上的中點(diǎn)，ADEBDEADECDE11BDECDE DEBCDBCADE由共角定理得：ADE/ABCADDE/ABBC1/4ADAB DEBC這里，證明平行用到了平行的基本命題，證明線段的比值用到了共角定理傳統(tǒng)證法中，要用到全等三角形、平行四邊形或相似三角形，同時(shí)要作輔助線構(gòu)成全等、相似、或平行四邊形ABCDEF例2：(1983年美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)如圖的三角形ABC的面積為10，D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且BD2，DC3，若BCE與四邊形DCEF的面積相等，則這個(gè)面積是（ ）ACDB不確定解：由BCE與四邊形DCEF的面積相等，在四邊形BCEF中分別減去這兩個(gè)面積，得BFD與BFE同底且面積相等，所以BFDE，可以得到AB為邊的兩個(gè)三角形ABD與ABE面積相等，因?yàn)槿切蜛BC的面積為10，且BD2，DC3，所以ABD的面積等于4，即ABE面積等于4，所以BCE的面積等于1046，故選CABCDO這是一道由面積相等推知兩線平行的典型題目例3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明：OAOC，OBOD，由共角定理得：AOB/CODOAOBOCOD1即AOBCOD，共底的兩個(gè)三角形ACBCBD，ADBC；同理可證ABCD問：共邊定理怎么證線段相等？ABCDE答：常常是共邊與共角兩個(gè)定理都會(huì)用到。利用面積相等，并且面積比中有相等的線段，消去等量，于是剩下的也是等量之比。例4：(等腰三角形兩腰上的高相等)已知：如圖，ABAC，CEAB于E，BDAC于D，求證：BDCE解：由三角形面積定理得：SABCABCEACBDABAC，BDCE ；本題是直接用等底三角形面積相等推出高相等，相比于全等三角形證法要簡(jiǎn)潔得多。例5：如圖，已知AD平分BAC，BDAD，DEAC，DE交AB于F點(diǎn)AEBCDF求證：BEEC證明：連接C、F，由平行線性質(zhì)，得DFCDFA；由AD平分BAC，DFAC，可得FADFDA，AFFD由BDAD，得FBDFDB，BFDF；AFBFDFBDFA；DFCDFB；BEECDFCDFB11，即BEECCABDEF本題是用共邊三角形面積相等推出線段相等。例6：如圖，ABC中，ABAC，BDCE，求證：DFEF.證明：連接CD、BE，ABAC DBC與BCE互補(bǔ)，由共角三角形定理：DBCBCEBDBCCEBCABAC，BDCE，得DBCBCE，再由共邊定理得：DBCBCEDFFE11DFEF.本題先用共角三角形定理證得DBC與BCE面積相等，再由共邊定理推出線段相等。相比于先作平行線構(gòu)造全等三角形，再由全等三角形證線段相等的證法，面積法顯然更巧妙。例7：在等腰直角三角形的斜邊上取一點(diǎn)，使，作交于，求證：ABD321QNMHGEC證明：連結(jié)CF，由，得圖中兩個(gè)陰影三角形的面積之比為12，即：AFCAFB12，又由，等腰直角三角形的條件，得ABCDEFF123123290，13，由共角定理得：AFACABBFAFCAFB12AFBF12，由AFB與AEB相似，得AEAB12，ABAC AEEC本題先用CDDB12得到兩個(gè)陰影三角形的面積之比為12，再由共角三角形定理證得AFBF12，過程相當(dāng)簡(jiǎn)潔明了。問：共邊定理怎么證比例線段？答：共邊定理最適合用來求同一直線上的兩條線段的比值，或反過來，已知同一直線上的兩條線段的比值求共邊三角形的面積比。由于共邊定理有四種位置圖形卻對(duì)應(yīng)同一個(gè)比值，所以怎樣選取最合適的兩個(gè)三角形就成為正確解題的關(guān)鍵。也因?yàn)閳D形選擇的差異，造成了不止一種解法。只有通過一定的練習(xí)量，才能做到迅速正確地選擇適當(dāng)?shù)墓策吶切?。ABCDEF例1圖例1：已知在ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，BE的連線交AC于F求證：AFAC解答：構(gòu)造以BF為公共邊的兩個(gè)三角形ABF和DBF，則由兩個(gè)中點(diǎn)的條件，得三個(gè)三角形ABF和DBF、DCF面積都相等，由圖易得，所以AFACABCDEF例2題圖1142例2：ABC中，D是BC上的一點(diǎn)，E為AD上一點(diǎn)，求，解答：構(gòu)造以BE為公共邊的兩個(gè)三角形ABE和CBE，則，由圖易得ABCDEF例2題圖26141構(gòu)造以AD為公共邊的兩個(gè)三角形BAD和FAD，則由，設(shè)FAD1,則FDC6，ADC7；由，得BAD14, 例3：(三角形角平分線性質(zhì)定理) 如圖，AD平分BAC，ABCD求證：證明：AD平分BAC，由共角三角形定理：ADBADCABADACADABAC又ADBADCBDCDABACBDDC問：全等和相似方法在新概念幾何中應(yīng)當(dāng)保留嗎？在新概念幾何中，可以由面積法先推導(dǎo)出正弦定理和余弦定理，再推出全等三角形判定定理和相似三角形判定定理，實(shí)際上，新教材中可以完全不用全等和相似方法但作為歐式幾何的寶貴遺產(chǎn)，在許多問題中它們有明顯的優(yōu)勢(shì)，為了讓兩種教材更好地兼容，各取所長(zhǎng)，減少新幾何推廣的阻力，張景中也是主張保留全等和相似方法的ABCDEF例如下面這道題目，三種解法就各有利弊1在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC分別交對(duì)邊于X、Y、Z點(diǎn)求證：1 ABPZYXCYP證明：這是一道用共邊定理證明的典型好題，在傳統(tǒng)證法難以入手的題中，正好是共邊定理一個(gè)極其簡(jiǎn)單的直接應(yīng)用，只要用P點(diǎn)與各邊分成的每一個(gè)小三角形與大三角形相比再相加，立即得到結(jié)論！1例(梅涅勞斯定理)：在ABC的兩邊取X、Y，直線XY與BC的延長(zhǎng)線交于Z點(diǎn)BXYZCA求證：1證明：1也是一步！CABDMKLFG2著名數(shù)學(xué)大師華羅庚在1978 年全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題解前言中，給出了這樣的一道幾何題：如圖，凸四邊形ABCD 的兩邊DA、CB 延長(zhǎng)后交于K，另外兩邊AB、DC延長(zhǎng)后交于L，對(duì)角線DB、AC 延長(zhǎng)后分別與KL 交于F、G求證：證明：(以BD為公共邊的兩個(gè)三角形的面積比)(乘以同一個(gè)三角形KBL，化為兩組面積的比)(化為兩組線段的比)(化為有同一個(gè)三角形DAC的兩組面積的比)(消去公共三角形，化為線段的比)這道題的的難點(diǎn)在于沒有全等，沒有相似，也沒有給定的比值，按照傳統(tǒng)方法步驟相當(dāng)多，也不易理解，所以20多年沒有人給出簡(jiǎn)單巧妙的解在熟悉了共邊定理以后，這一類題真的變簡(jiǎn)單了問：怎樣用面積法證面積題？答：已知比例求面積的題目，傳統(tǒng)證法往往不易找到思路，所以成了難題，往往在中小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中出現(xiàn)其實(shí)，這類題使用共邊定理是最好的方法4：ABCDO第7題圖236？如圖，四邊形ABCD中，AOD面積2，DOC面積3COB面積6，求AOB面積解法1：AOD面積DOC面積23AOOCAOB面積COB面積，COB面積6 AOB面積4解法2：AOD面積DOC面積AOOCAOB面積COB面積，AOB面積DOC面積COB面積AOD面積這里得到一個(gè)新的定理：四邊形對(duì)角線分成的四個(gè)三角形中，相對(duì)的兩個(gè)三角形面積的乘積與另一組相對(duì)的兩個(gè)三角形面積的乘積相等用上這個(gè)定理，就可以跳過共邊定理直接用最后一步解題了 AOB面積26345（17屆希望杯全國(guó)賽初二第二試19題）：ABCEDP如圖，等腰ABC中，ABAC，P點(diǎn)在BC邊上的高AD上，且，BP的延長(zhǎng)線交AC于E，若10，則_；_；AEEC_解：APPD12 即122，10，2；4；AEEC14BCEDPA6ABC中，D點(diǎn)在BC邊上，且，P點(diǎn)在BC邊上的高AD上，且BP的延長(zhǎng)線交AC于E，若18，則_，_AEEC_解：123則_3_，_6_AEEC_15_7如圖：ABC中，E為中點(diǎn)，ADDC21，EBF面積是15，求ABC的面積ABCDEF156015解：連結(jié)CF，E為中點(diǎn)且EBF面積是15；ECF面積EBF面積15； ADDC21 AFB面積FCB面積21 AFB面積60 ，E為中點(diǎn) ACF面積AFB面積60ABC的面積15+15+60+601508：ABCDEF如圖所示，已知在平行四邊形ABCD中，AEEB 12（1）求AEF與CDF的周長(zhǎng)比；（2）如果SABCD 6平方厘米，求SADE解答：AEEB 12 AEAB AECD13，由AEFCDF，可得它們的周長(zhǎng)比為13 ；SADESABDSABCD SABCD 6 平方厘米 SADE1平方厘米；例11：如圖所示，BD，CF將長(zhǎng)方形ABCD分成4塊，DEF的面積是4cm2，CED的面積是6cm2問：四邊形ABEF的面積是多少平方厘米？ABCDEF46解：連結(jié)BF，則BDF面積CDF面積10，BEF面積6；設(shè)面積為x，則有：4x66，x9；BDC面積15，長(zhǎng)方形ABCD面積30 四邊形ABEF的面積是15411平方厘米ABCDEF9如圖，F(xiàn)B、AD、EC互相平行，ABC的面積為1，求FDE的面積。解：由ADEC，得ADCADE，同理ABDAFD，得ADEAFDABC1又由FBEC，得ECBECF，ABCACEAEFACE即ABCAEF1FDEAEFADEAFD2ACBDEF 10如圖，已知三角形ABC面積為1，延長(zhǎng)AB至D，使BDAB，延長(zhǎng)BC至E，使CE2BC，延長(zhǎng)CA至F，使AF3AC，求三角形DEF的面積。解：連結(jié)BD，EC，由已知條件可得，DAB1，DBE2，CBE2，F(xiàn)CE6，F(xiàn)CD6，DEF11226618這題也是面積法最基本的題型.11在的三邊BC、CA、AB上分別取點(diǎn)D、E、F，使BD3DC，CE3AE，AF3FB，連AD、BE、CF相交得三角形PQR，已知三角形ABC的面積為13cm2，求三角形PQR的面積ABCDEP圖2圖1ABCDEFRPQ解：由圖1得：PQRABC(ABPBCQCAR)；觀察圖2，連結(jié)PC，由CE3AE，得APECPE13，又由BD3DC，得APBAPC31設(shè)APE1，則CPE3，APB12，ABE13；由CE3AE，