數(shù)字邏輯與數(shù)字系統(tǒng).ppt

數(shù)字邏輯與數(shù)字系統(tǒng),自我介紹,昆明理工大學計算機系 袁梅宇,課程簡介大綱,“數(shù)字邏輯”是計算機專業(yè)必修的專業(yè)基礎(chǔ)課程。它主要講述如何應用數(shù)字電路來進行數(shù)字系統(tǒng)的邏輯設計的基本理論和方法，具體內(nèi)容包括：數(shù)字邏輯設計的基礎(chǔ)知識和數(shù)字網(wǎng)絡的分析和設計方法。對于從事計算機研制和應用的廣大科技工作者來說，熟練掌握數(shù)字邏輯設計的理論和方法是十分必要的，它不僅能使計算機專業(yè)學生了解數(shù)字系統(tǒng)的工作原理和設計方法，對于其它專業(yè)課程（如：計算機組成原理、接口技術(shù)等）的學習也會有很大幫助。,課程簡介,課程名稱 數(shù)字邏輯 總學時 32 總學分 2 課程類別 專業(yè)基礎(chǔ)課 專業(yè) 計算機科學與技術(shù),考試,最后一周當堂考試（開卷） 試卷類型 待定？ 如何學習 認真聽課 認真復習 不劃范圍 缺勤三分之一取消考試資格 比例 平時 40% 考試 60%,內(nèi)容,第一章 開關(guān)理論基礎(chǔ) 第二章 組合邏輯 第三章 時序邏輯,第一章 開關(guān)理論基礎(chǔ),開關(guān)理論是以二進制為基礎(chǔ)的理論，包括二進制為基礎(chǔ)的數(shù)制和碼制，描述邏輯電路的數(shù)學工具、圖形和符號語言。 奠定了計算機等現(xiàn)代數(shù)字系統(tǒng)的硬件構(gòu)造基礎(chǔ)。,1.1 二進制系統(tǒng),一、模擬信號與數(shù)字信號 模擬信號： 時間連續(xù)數(shù)值也連續(xù)的信號。如速度、壓力、溫度等。在時間、數(shù)值是平滑地、連續(xù)地變化。所以模擬信號在一定范圍內(nèi)的任意值必須測量其大小。缺點：很難度量； 容易受噪聲的干擾； 難以保存。,數(shù)字信號：在時間上和數(shù)值上均是離散的、不連續(xù)的。如電子表的秒信號，生產(chǎn)線上記錄零件個數(shù)的記數(shù)信號等。 用二元數(shù)0、1來表示，一個0或一個1稱為一比特（Bit），所以對數(shù)字信號只能計數(shù)其數(shù)目多少，而不需要大小。 數(shù)字電路：是工作在數(shù)字信號下的電路。,脈沖信號：是指一種持續(xù)時間極短的電壓、電流波形。（ 持續(xù)時間是與電路的暫態(tài)過渡歷程持續(xù)時間相比擬。） 從廣義講：凡按非正弦規(guī)律變化的電壓、電流波形都可以稱為脈沖信號。脈沖信號是屬于模擬信號范疇。 例如：方波、矩形波、尖脈沖、鋸齒波等。,數(shù)字信號的兩個狀態(tài)（高低電平）是由脈沖矩形波來表示的。所以說數(shù)字電路是工作在脈沖狀態(tài)下的電壓或電流。,脈沖電路：是用來產(chǎn)生和處理脈沖信號的電路。,工作在脈沖信號下的脈沖電路。 從波形上分為 工作在正弦信號下的模擬線性放大電路。,一個理想的周期性脈沖信號，可用以下幾個參數(shù)來描繪：,Vm信號幅度。 T信號的重復周期。 tW脈沖寬度。 Q占空比。其定義為：,P4例1,圖中所示為三個周期相同(T=20ms)，但幅度、脈沖寬度及占空比各不相同的數(shù)字信號。,數(shù)字電路的特點,極高的穩(wěn)定性與可靠性； 欲提高信號處理精度，可增加信號的長度（位數(shù)）； 具有智能； 可長期存儲； 功耗低。,數(shù)字系統(tǒng)的應用,1. 數(shù)字系統(tǒng)的設計 器件設計：完成簡單邏輯功能； 功能部件設計：實現(xiàn)某種功能的子系統(tǒng)； 系統(tǒng)設計： 如計算機、數(shù)控機床、控制器等。,2. 邏輯器件的設計,基本邏輯器件：SSIC、MSIC； 由軟件組成的大規(guī)模和超大規(guī)模集成邏輯器件如單片機、微處理器； 專用集成電路ASIC和可編程邏輯器件PLD。,3. 應用： 例如測量電機轉(zhuǎn)速的數(shù)字系統(tǒng),光電轉(zhuǎn)換,脈沖放大整形,門 電 路,秒信號 發(fā)生器,計 數(shù) 器,顯示譯碼,數(shù)碼顯示,1.2 數(shù)制與碼制,數(shù)制是計數(shù)進位制的簡稱 1.2.1 進位計數(shù)制 (1). 十進制(Decimal) (2). 二進制(Binary) (3). 十六進制(Hexadecimal)與八進制（Octal）,十進制： 是用 0、1、2、3、 9 這十個數(shù)碼按一定規(guī)律排列而成。其按位權(quán)值展開為： 數(shù)碼（系數(shù)）： 0、1、2、3、 9 這十個數(shù)字； 位權(quán)值：10的冪（10i ），i為位值；以10為基數(shù)的數(shù)制； 加權(quán)系數(shù)：系數(shù) * 位權(quán)值。 十進制數(shù)值 = 各加權(quán)系數(shù)之和（位權(quán)值展開）,4 3 2 1, , , ,103、102、101、100稱為十進制的權(quán)。各數(shù)位的權(quán)是10的冪。,同樣的數(shù)碼在不同的數(shù)位上代表的數(shù)值不同。,任意一個十進制數(shù)都可以表示為各個數(shù)位上的數(shù)碼與其對應的權(quán)的乘積之和，稱權(quán)展開式。,即：(4321)104103 310221011100,又如：(209.04)10 2102 0101910001014 102,二進制： 是用 0、1這兩個數(shù)碼按一定規(guī)律排列而成。其按位權(quán)值展開為：,數(shù)碼（系數(shù)）： 0、1這兩個數(shù)字； 位權(quán)值：2的冪（2i ），i為位值；以2為基數(shù)的數(shù)制； 加權(quán)系數(shù)：系數(shù) * 位權(quán)值。按 位 權(quán) 值 展 開：,如：(101.01)2 122 0211200211 22 (5.25)10,各數(shù)位的權(quán)是的冪,八進制和十六進制 八進制： 0、1、2、 7 這八個數(shù)碼，位權(quán)值為8i ； 十六進制： 0、1、2、 9、A、B、C、D、E、F 這 十六個數(shù)碼，位權(quán)值為16i 。,1.2.2 不同數(shù)制之間的相互轉(zhuǎn)換 1將R進制轉(zhuǎn)換成十進制 只要將R進制按位權(quán)值展開，再按十進制運算規(guī)則計算。,例 將二進制數(shù)10011.101轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)。 解：將每一位二進制數(shù)乘以位權(quán)，然后相加，可得 (10011.101)B124023022121120121 022123 （19.625)D,例：(207.04)8 282 0817800814 82(135.0625)10,例：(D8.A)16 13161 816010 161(216.625)10,2將十進制轉(zhuǎn)換成R進制 將十進制數(shù)分為: ( 整數(shù))10 和 ( 小數(shù))10 兩部分。然后分別進行：,( 整數(shù) )10 ( 整數(shù) )2 ( 小數(shù) )10 ( 小數(shù) )2,( 整數(shù) 小數(shù))2,(整數(shù))10 (整數(shù))2 ： 采用逐次除以基數(shù)R取余數(shù)的方法（倒除法）,(小數(shù))10 (小數(shù))2 ： 采用將小數(shù)部分逐次乘以R取乘積整數(shù)部分。,例 將十進制數(shù)23轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)。 解： 用“除2取余”法轉(zhuǎn)換:,則（23)D =（10111)B,3十六進制 二進制 八進制,二進制 十六進制 以小數(shù)點為起點向左（整數(shù)）和向右（小數(shù)）將4位二進制數(shù)分為一組，對應于1 位十六進制數(shù)。反之成立。,二進制 八進制 以小數(shù)點為起點向左（整數(shù)）和向右（小數(shù)）將3位二進制數(shù)分為一組，對應于1 位八進制數(shù)。反之成立。,例：(1100101110.0110101) B = ( 32E . 6A ) H = ( 1456 . 324 ) O,1 1 1 0 1 0 1 0 0 . 0 1 1,(0 0 0,0)2, (1D4.6)16,= (1010 1111 0100 . 0111 0110),(AF4.76)16,4二進制算術(shù)運算,加法運算,減法運算,乘法運算,除法運算,1.2.3 二進制編碼,一、編碼： 用若干文字字符表示特定對象的過程，叫編碼。,代碼：利用數(shù)碼（數(shù)字符號）來作為某一特定信 息的代號。,二進制碼：用二進制數(shù)碼中0、1來作為代碼的符號。（用二進制數(shù)中 0、1 這兩個數(shù)字符號來表示特定對象的代號。）,注：二進制碼不一定表示二進制數(shù)（大?。?。,BCD碼：用二進制代碼（0、1）來表示十進制的09 這十個數(shù)。,要用二進制代碼來表示十進制的09十個數(shù)，至少要用4位二進制數(shù)。 4位二進制數(shù)有16種組合，可從這16種組合中選擇10種組合分別來表示十進制的09十個數(shù)。 所以共有2.9*1010 種方案，這就形成了不同的BCD碼。,二、二 十進制碼（ BCD碼）,有權(quán)BCD碼：如：8421碼、2421碼、5121碼,無權(quán)BCD碼：如：余3碼、格雷碼,1.3 邏輯函數(shù)及其描述工具,1.3.1 邏輯函數(shù)的基本概念,基本概念,邏輯門電路：在數(shù)字電路中，實現(xiàn)邏輯運算功能的電路。如：與門、或門、非門。,邏輯狀態(tài)：在數(shù)字電路中；把一個狀態(tài)分為兩種，一種狀態(tài)叫邏輯1，另一種狀態(tài)叫邏輯0 。 (注：“1”或“0”是表示兩種不同的符號，沒有數(shù)量意思。),高低電平：表示電壓大小范圍，分為高電壓狀態(tài)和低電壓狀態(tài)，不是一個固定的電壓數(shù)值。,真值表：將輸入、輸出用0、1表示，完整地列出所有可能輸入、輸出邏輯關(guān)系的表格。,邏輯函數(shù)：如果輸入邏輯變量A、B、C、D 的取值（1或0）確定以后、輸出邏輯變量 Z 的值也被唯一的確定。 稱Z 是A、B、C、D 的邏輯函數(shù)。 Z = F（ A, B, C, D, ）,邏輯函數(shù)相等： F（ A, B, C, D , ）和G（ A, B, C, D, ），如果輸入變量A、B、C、D 的任意一組狀態(tài)組合取值，使F 和G 輸出狀態(tài)相同。稱F和G是相等。 F = G 它們的真值表相等,布爾代數(shù)中的變量往往用字母A、B、C表示。每個變量只取“0”或“1”兩種情況，即變量不是取“0”，就是取“1”，不可能有第三種情況。它相當于信號的有或無，電平的高低，電路的導通或截止。這使布爾代數(shù)可以直接用于二值邏輯系統(tǒng)電路的研究。,1.3.2 邏輯函數(shù)的描述工具 布爾代數(shù)法 邏輯真值表法 邏輯圖法 卡諾圖法 波形圖法 硬件描述語言法 （跳過，后面部分細說）,1.3.3 基本的邏輯運算 與 或 非 （P11表1.3）,邏輯代數(shù),一、基本邏輯：與邏輯、或邏輯、非邏輯,與邏輯：某事成立，必須是它成立的所有條件都滿足要求時，才成立。,如：串聯(lián)開關(guān)電路,P,邏輯符號和表達式,P = A B C=AB C = A B C,A B C,真值表：列出輸入的所有狀態(tài)和輸出值。,邏輯1: 表示開關(guān)”閉”,燈的”亮”. 邏輯0: 表示開關(guān)”斷”,燈的”滅”.,與邏輯也稱邏輯乘運算，相當于集合中的交集，根據(jù)交集的概念，不難確定邏輯乘法的運算規(guī)則：,A B = P 0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1,或邏輯：要使某事成立，只要滿足它至少成立的一個條件時，則成立。,如：并聯(lián)開關(guān)電路,邏輯符號和表達式,P = A + B+ C,A B C,真值表：,或邏輯也稱邏輯加運算，相當于集合中的并集，根據(jù)并集的概念，不難確定邏輯加的運算規(guī)則：,A+B = P 0+ 0 = 0 0+ 1 = 1 1+ 0 = 1 1+ 1 = 1,小結(jié) 與邏輯：有低 出低 ；全高 出高 。 或邏輯：有高 出高；全低 出低 。,非運算非邏輯：當一事件的條件滿足時，該事件不會發(fā)生，條件不滿足時，才會發(fā)生，這樣的因果關(guān)系稱為“非”邏輯關(guān)系。,與非、或非邏輯,與非,或非,與非： 全高 出低 ；有低 出高 。 或非： 全低 出高 ；有高 出低 。,與或非,異或、同或邏輯,異或: 二個輸入變量狀態(tài)不同，輸出為高；二個輸入變量狀態(tài)相同，輸出為低 。,注：一次異或邏輯運算只有二個輸入變量，多個變量的異或運算，必須二個二個變量分別進行。,同或：二個輸入變量狀態(tài)不同，輸出為高；二個輸入變量狀態(tài)相同，輸出為低 。,各種邏輯符號圖,1.4 布爾代數(shù),1.4.1 布爾代數(shù)的基本定理,邏輯代數(shù)的基本定律,1. 變量與常量之間的關(guān)系 ：變量與常量之間的關(guān)系又可分為與邏輯形式及或邏輯形式兩種。實際上“與”和“或”之間是有對應關(guān)系的，我們將在稍后給予指出。,定理1 A0=0 ， A+1=1 定理2 A1=A ，A+0=A,2. 變量自身之間的關(guān)系： 變量自身之間的關(guān)系也有兩對公式，它們之間也是互相對應的。,定理3 AA=A ， A+A=A 定理4 =0 ， A+ =1 定理5：還原律,3. 在對邏輯表達式進行變換時，可以使用普通的交換律、結(jié)合律和分配律來變換其形式。,定理6 ：交換律,AB = BA A+B= B+A,定理7 ： 結(jié)合律,(A+B)+C =A+(B+C) (AB)C = A(BC),定理8 ：分配律,A(B+C) = AB+AC A+BC = (A+B)(A+C),4. 特殊公式和定理：,定理9 ：吸收律,A+AB = A ， A(A+B) = A A+ B = A+B，A( +B ) = AB,定理10：反演律 （狄摩根定律）,定理1 ：恒等式,在 “與或”邏輯式中，一個與項包含了另外兩個含有互為反變量的與項的其余部分，則該與項是多余的（項）。,基本定律總結(jié),1.4.2 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則,基本公式中的公式l 和公式2 就互為對偶 式。,1 .代入規(guī)則 對于任何一個邏輯等式，以某個邏輯變量或邏輯函數(shù)同時取代等式兩端任何一個邏輯變量后，等式依然成立。 例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，則新的等式仍成立：,2 .對偶規(guī)則 將一個邏輯函數(shù)L進行下列變換： ： ， ： 0 1 ， 1 0,所得新函數(shù)表達式叫做L 的對偶式，用 表示。,3 .反演規(guī)則,在應用反演規(guī)則求反函數(shù)時要注意以下兩點： （1）保持運算的優(yōu)先順序不變，必要時加括號表明； （2）變換中，幾個變量（一個以上）的公共非號保持不變。,利用反演規(guī)則，可以非常方便地求得一個函數(shù)的反函數(shù),解：,解：,將一個邏輯函數(shù)L進行下列變換： ： ， ； ： 0 1 ， 1 0 ； ：原變量 反變量， 反變量 原變量。,所得新函數(shù)表達式叫做L的反函數(shù)，用 表示。,例 求函數(shù) 的反函數(shù)：,例 求函數(shù) 的反函數(shù)：,展開規(guī)則： 展開規(guī)則也叫展開定理，主要有二個公式。,展開規(guī)則二：,展開規(guī)則一：,上述兩個展開規(guī)則可以看成下列四個等式：,四、異或、同或的運算規(guī)則,異或：F=AB,A+B=A B AB,A B=A B （A+B）,A（BC）= AB AC,等式兩邊可以相互交換： 如 AB= C；則AC= B,同或：F=AB,A+B =A B AB,A B=A B (A+B）,等式兩邊可以相互交換： 如 A B= C；則A C= B,A+(BC)=(A+B) ( A+C),如常量1 的個數(shù)為奇數(shù)，則輸出為 1 。,如常量0 的個數(shù)為偶數(shù)，則輸出為 1 。,公式的證明方法：,（1）用簡單的公式證明略為復雜的公式。,例 證明吸收律,證：,例3.1.2 用真值表證明反演律,1 1 1 0,1 1 1 0,（2）用真值表證明，即檢驗等式兩邊函數(shù)的真值表是否一致。,證: (1),(2),所以 x = y,邏輯函數(shù)的表示方法總結(jié),描述邏輯問題時，經(jīng)常使用真值表、邏輯函數(shù)的表達式、邏輯圖或卡諾圖等方法來研究、處理邏輯問題。并且它們之間完全等價,一真值表：其特點為：,直觀明瞭； 由實際問題抽象成數(shù)學問題時，使用真值表最方便； 變量較多時，真值表過于繁瑣。,例如： 設計三個不同地點的開關(guān)控制一盞燈的電路。,解：首先分析題意，令A、B、C 表示三個開關(guān) ，F(xiàn) 為燈；1 和 0 表示開關(guān)或燈的兩個狀態(tài)。然后列出真值表如下：,二邏輯函數(shù)的表達式 Z = F（A，B，C，）,1 . 由真值表求函數(shù)表達式的方法,標準“與-或”式（“積之和”式）,把真值表中函數(shù)為1 的輸入變量取值組合選出； 輸入變量為1的寫成原變量；為0 的寫成反變量，然后寫成一個乘積項（與項）； 將所有函數(shù)值為1的乘積項相加 標準“與-或”式。,例：根據(jù)上例子的真值表得到函數(shù)的表達式如下：,由真值表得到的函數(shù)的表達式是標準的“與-或”式。,標準“或-與”式（“和之積”式）,選真值表中函數(shù)為0 的輸入變量取值組合； 輸入變量為1的寫成反變量；為0 的寫成原變量，然后寫成一個和項； 將這些和項相乘 標準“ 或- 與” 式。,2 . 最小項、最大項,最小項：包含全部輸入變量，每個輸入變量或以原變量或以反變量形式出現(xiàn)，組合僅僅出現(xiàn)一次，這樣的乘積項。,標準“與-或”式：由最小項相加而成的函數(shù)表達式。,n個變量的最小項的數(shù)目是2n 個，最小項用 mi 表示。下標用最小項對應的二進制碼相應的十進制數(shù)表示。例如,A B 0 0 0 1 1 0 1 1,最大項：包含全部輸入變量的和項。最大項用Mj表示。最大項的下標與對應的最小項下標之間有一定關(guān)系:,i 是最小項的下標數(shù)； j 是最大項的下標數(shù)。,A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1,最小項,非標準“與-或”式 標準“與-或”式,解：,例： 將函數(shù) 轉(zhuǎn)換成最小項表達式。,= m7+m6+m3+m1 = m（1,3,6,7）,解：,=m7+m6+m3+m5=m（3,5,6,7）,例： 將函數(shù) 轉(zhuǎn)換成標準“與-或”式 。,最小項和最大項的性質(zhì)：,1. 最小項的反是最大項, 最大項的反是最小項;,2. 全部最小項之和恒等于“1” ;,3.全部最大項之積恒等于“0” ;,4. 一部分最小項之和的反等于另外那些最小項之和;,5. 兩最小項之積恒等于“0” ;,6. 兩最大項之和恒等于“1” ;,7. 與或標準型 Y=mi = m(0,1,4,6,7)= m0 +m1 +m4 +m6 +m7,8. 或與標準型 Y=Mi = M (0,1,4,6,7)= M0 M1 M4 M6 M7,3 . 函數(shù)表達式的特點,簡潔方便，高度抽象概括地表示邏輯問題； 便于進行運算、變換和化簡； 便于邏輯圖實現(xiàn)。,三邏輯圖： 用邏輯符號表示基本單元電路已及由這些基本單元電路組成的部件之后，所得到的圖。它具有比較接近工程實際的突出優(yōu)點，和信號流電路接口清晰等特點。,1.4.3 代數(shù)法化簡邏輯函數(shù),1邏輯函數(shù)式的常見形式: 一個邏輯函數(shù)的表達式不是唯一的，除了與或式外，還有或與式、與非與非式、或非或非及與或非式?？梢杂卸喾N形式，并且能互相轉(zhuǎn)換。例如：,與或表達式,或與表達式,與非與非表達式,或非或非表達式,與或非表達式,其中，與或表達式是邏輯函數(shù)的最基本表達形式。,2邏輯函數(shù)的最簡“與或表達式” 的標準,3用代數(shù)法化簡邏輯函數(shù): 即運用形式定理和基本規(guī)則進行化簡。所以必須熟練掌握這些定理和規(guī)則，否則十分容易與一般代數(shù)相混。,并項法：運用公式 將兩項合并為一項，消去一個變量。,例：,與項最少，即表達式中乘積項最少。 每個乘積項中的變量數(shù)最少。,吸收法：運用吸收律 A+AB=A，消去多余的與項。,例：,例：,消去法：運用吸收律 消去多余因子。,例：,配項法：先通過乘以 或加上 ， 增加必要的乘積項，再用以上方法化簡。,在化簡邏輯函數(shù)時，要靈活運用上述方法，才能將邏輯函數(shù)化為最簡。邏輯函數(shù)的化簡結(jié)果不是唯一的。,例 化簡,解：,（利用A+AB=A）,（利用 ）,例 化簡：,（消去一個多余項 ）,（再消去一個多余項 ）,（消去一個多余項 ）,（再消去一個多余項 ）,例：化簡,（利用A+AB=A）,（配項法）,代數(shù)化簡法： 優(yōu)點：不受變量數(shù)目的限制。 缺點：沒有固定的步驟可循；需要熟練運用各種公式和定理；需要一定的技巧和經(jīng)驗；不易判定化簡結(jié)果是否最簡。,1.5 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡,一、卡諾圖 ：把真值表形式變換成方格圖的形式，并按循環(huán)碼來排列變量的取值組合。,卡諾圖建立：,把輸入變量分為兩組，并寫出每組變量的所有可能取值；,每組變量的取值按循環(huán)碼來排列；,0 0 0 1 1 1 1 0,000 001 011 010 110 111 101 100,兩變量,四變量,三變量,卡諾圖是最小項按一定規(guī)律排列的方格圖，每一個最小項占有一個小方格。因為最小項的數(shù)目與變量數(shù)有關(guān)，設變量數(shù)為n，則最小項的數(shù)目為2n,小方格數(shù)目也為2n 。,這兩組變量組合構(gòu)成2n個方格，每個方格代表個最小項。,四變量卡諾圖,卡諾圖具有很強的相鄰性： 直觀相鄰性，只要小方格在幾何位置上相鄰（不管上下左右），它代表的最小項在邏輯上一定是相鄰的。 對邊相鄰性，即與中心軸對稱的左右兩邊和上下兩邊的小方格也具有相鄰性。,卡諾圖的特點幾何相鄰必邏輯相鄰,一個小方格代表一個最小項，用小方格幾何位置上的相鄰性來表示最小項邏輯上的相鄰性。,卡諾圖性質(zhì)和運算：,卡諾圖中所有小方格均為0時，其輸出函數(shù)F=0 。,卡諾圖中所有小方格均為1時，其輸出函數(shù)F=1 。,兩卡諾圖中相加（或），對應每小方格中的0、1按邏輯加運算。,兩卡諾圖中相乘（與），對應每小方格中的0、1按邏輯乘運算。,用卡諾圖反演求反函數(shù)：將原函數(shù)卡諾圖中的01、1 0；即可得到反函數(shù)的卡諾圖。,卡諾圖的對偶, 求對偶函數(shù)F* ，其方法：,由F函數(shù)的最小項，求反函數(shù)F ；,如 F（A，B，C ） = m（i ） 則 （A，B，C ） = m（j ）,其中j 為2n 個號碼中除去 i 以外的所有最小項號碼。,由反函數(shù)，求對F*偶函數(shù)= m（k）；,那么 k=（ 2n 1） j ； （k 的個數(shù)與 j 相同 ）,如 n = 3，k=（ 23 1） j = 7 j n= 4，k=（ 24 1） j = 15 j,例: F（A，B，C ） = m（0，2，6 ） （A，B，C ） = m（1，3，4，5，7 ）,F* (A，B，C) = m（0，2，3，4，6 ）,二、用卡諾圖表示邏輯函數(shù),1從真值表到卡諾圖 例 已知某邏輯函數(shù)的真值表，用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。,解： 該函數(shù)為三變量，先畫出三變量卡諾圖，然后根據(jù)真值表將8個最小項L的取值0或者1填入卡諾圖中對應的8個小方格中即可。,2從邏輯表達式到卡諾圖,如不是最小項表達式，應先將其先化成最小項表達式，再填入卡諾圖。也可由“與或”表達式直接填入。,如果表達式為最小項表達式，則可直接填入卡諾圖。,解： 寫成簡化形式：,解：直接填入：,例 用卡諾圖表示邏輯函數(shù):,然后填入卡諾圖：,例 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：,三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,1卡諾圖合并最小項的規(guī)律 : 在卡諾圖中處于相鄰位置的最小項均可以合并為一項，而合并后的乘積項由沒有0、1變化的變量組成，消去了有變化的變量。,4個相鄰的最小項可以合并，消去2個取值不同的變量。,2個相鄰的最小項可以合并，消去1個取值不同的變量。,8個相鄰的最小項可以合并，消去3個取值不同的變量。,總之，2n個相鄰的最小項可以合并，消去n個取值不同的變量。,16個相鄰的最小項可以合并，消去4個取值不同的變量。,2卡諾圖化簡邏輯函數(shù)（畫圈合并最小項）,化簡最簡“與-或”式方法：（圈 1） 找出最小項為1的相鄰項進行合并； 盡量畫大圈，即乘積項中變量最少。 圈的個數(shù)盡量少，即乘積項少； 在每一個新畫的圈組中至少要含有一個末被圈過的1方格（函數(shù)值為1的最小項），否則該圈組是多余的； 卡諾圖中所有取值為1的方格均要被圈過（圈完）。,最簡“與-或”式為,乘積項個數(shù) = 合并圈的數(shù)目（圈少）,乘積項中含變量因子的多少取決于合并圈大?。ㄈΥ螅?例 化簡邏輯函數(shù)： F（A,B,C,D）=m（0,1, 7,8,9,10,11,12,13,14,15）,解：a. 由表達式畫出卡諾圖。,b. 畫圈， 合并最小項， 得簡化的 與或表達式:,解：由表達式畫出卡諾圖。,注意：圖中的綠色圈是多余的，應去掉 。,例 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)：,合并最小項，得簡化的“與或”表達式:,例 已知某邏輯函數(shù)的真值表，用卡諾圖化簡該函數(shù)。,解：由真值表畫出卡諾圖; 畫合并最小項。有兩種畫圈的方法,由此可見，一個邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，卡諾圖也是唯一的，但化簡結(jié)果有時不是唯一的。,（a）：寫出表達式：,（b）：寫出表達式：,動畫1,動畫2,4卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的另一種方法圈0法,例 已知邏輯函數(shù)的卡諾圖如圖示，分別用“圈1法”和“圈0法”寫出其最簡與或式。,b. 用圈0法，得：,解：a. 用圈1 法，得：,對F取非得：,四、具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡,1無關(guān)項: 在有些邏輯函數(shù)中，輸入變量的某些取值組合不會出現(xiàn)，或者一旦出現(xiàn)，邏輯值可以是任意的。這樣的取值組合所對應的最小項稱為無關(guān)項、任意項或約束項。,解：設控制旋轉(zhuǎn)方向開關(guān)分別用A、B 表示，右 左旋轉(zhuǎn)用 L 、R 表示 列出該函數(shù)的真值表。,帶有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的最小項表達式為： F=m（ ）+d（ ） 如本例函數(shù)可寫成 L=m（1）+d（3）； R=m（2）+d（3）,顯而易見，在這個函數(shù)中，有一個最小項為無關(guān)項。,例：設計電動機旋轉(zhuǎn)的控制電路。,2具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡,化簡具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)時