以體驗(yàn)貫串解決函數(shù)教學(xué)難點(diǎn)——“實(shí)驗(yàn)型學(xué)習(xí)”案例研究之一.doc

以體驗(yàn)貫串解決函數(shù)教學(xué)難點(diǎn)“實(shí)驗(yàn)型學(xué)習(xí)”案例研究之一 【編者按】“實(shí)驗(yàn)型數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”是指，借鑒自然科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，盡可能調(diào)動(dòng)多種感官，使之協(xié)調(diào)一致，從而引發(fā)思維活動(dòng)， 克服內(nèi)容抽象、形式化給學(xué)習(xí)帶來(lái)的困難的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（教學(xué)）方式。本刊xx年第11期中學(xué)教育教學(xué)版刊登 的從感官到思維的體驗(yàn)和xx年第1期課堂觀察版刊登的通過(guò)“實(shí)驗(yàn)型學(xué)習(xí)”建立數(shù)學(xué)概念，都呈現(xiàn)了上海市金匯高級(jí)中學(xué)的蔣云鵬老師關(guān)于“實(shí)驗(yàn)型學(xué)習(xí)”的思考與探索。文章登出后受到很多讀者的歡迎，很多讀者覺(jué)得“實(shí)驗(yàn)型學(xué)習(xí)”這一提法內(nèi)涵豐富、啟發(fā)性強(qiáng)，不僅僅是簡(jiǎn)單的CAI。因此，從本期開(kāi)始，我們會(huì)在“專題研究”欄目中陸續(xù)呈現(xiàn)一些這方面的研究成果，以蔣云鵬老師的典型案例研究為主 。當(dāng)然，也希望廣大讀者踴躍來(lái)稿，積極參與研究、討論。 蔣云鵬 （上海市金匯高級(jí)中學(xué)，xx03） 一、函數(shù)教學(xué)中的主要困難及其成因 函數(shù)作為整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心內(nèi)容，在教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施中， 主要存在以下幾個(gè) 難以把握或解決的問(wèn)題：第一，函數(shù)概念的建立和形成比較困難，學(xué)生所學(xué)習(xí)的函數(shù)知識(shí)往往比較膚淺、零散，沒(méi)有達(dá)到和抓住本質(zhì)；第二， 缺乏對(duì)函數(shù)各種表達(dá)方式的價(jià)值分析及優(yōu)勢(shì)比較，特別是忽視函數(shù)對(duì)應(yīng)值列表的過(guò)程；第三，函數(shù)圖像的產(chǎn)生過(guò)程缺失或冗長(zhǎng)。 上述困難從表面上看，都是由于教學(xué)時(shí)間不夠所導(dǎo)致的； 但實(shí)際上， 都是因?yàn)楹鲆暳恕皩?shí)驗(yàn)型學(xué)習(xí)”的基本思路，或沒(méi)掌握“實(shí)驗(yàn)型學(xué)習(xí)”的主要策略。 傳統(tǒng)的函數(shù)教學(xué)，一般都是先給出某類 函數(shù)的 具體定義（解析式），再繪制其大致圖像，然后根據(jù)圖像說(shuō)明其性質(zhì)， 此后大部分時(shí)間則用于解題。在這樣的教學(xué)中，可感實(shí)例的呈現(xiàn)多數(shù)比較匱乏，對(duì)應(yīng)值列表常常作為繪制圖像的一個(gè)步驟被一帶而過(guò)，繪制圖像的過(guò)程往往比較粗糙。 有些教師認(rèn)為，這些內(nèi)容并不重要，只要講解一下，無(wú)需太多的體驗(yàn)與感悟， 也沒(méi)有必要花時(shí)間理解與鞏固；多數(shù)教師則是出于無(wú)奈，只能把函數(shù)的意義、列表、繪圖這些核心內(nèi)容 講解得“半生不熟”。 “實(shí)驗(yàn)型學(xué)習(xí)”的突出特點(diǎn)是：呈現(xiàn)大量的事實(shí)材料和現(xiàn)象，使學(xué)習(xí)主體 通過(guò)視覺(jué)感受對(duì)應(yīng)數(shù)值的計(jì)算、變化、聯(lián)系以及數(shù)值轉(zhuǎn)化成點(diǎn)的動(dòng)態(tài)變化，體會(huì)那些解釋不清或難以言表的“演繹”，從而經(jīng)歷學(xué)習(xí)的全部過(guò)程，并產(chǎn)生真實(shí)的深度體驗(yàn)； 同時(shí)，將大量的精確計(jì)算、描點(diǎn)這類沒(méi)有思維含量的操作交由計(jì)算機(jī)在幾秒鐘內(nèi)完成，從而留出時(shí)間用于對(duì)大量現(xiàn)象進(jìn)行觀察、思考和分析。 因而“實(shí)驗(yàn)型學(xué)習(xí)”能有效地解決上述困難。 二、函數(shù)教學(xué)的典型案例 【案例1】函數(shù)概念起始課 課始，教師提問(wèn)：“誰(shuí)知道自己家汽車的耗油量？這個(gè)數(shù)量是怎樣測(cè)試出來(lái)的？”學(xué)生議論并大致回答后，教師出示表1，并說(shuō)明：“表中是某輛車在從上海駛往南京的過(guò)程中記錄下來(lái)的數(shù)據(jù)，你能知道該車的用油量嗎？你能填寫表中的空格嗎？”學(xué)生嘗試填寫后，教師寫出關(guān)系式y(tǒng)=12/100x，并讓學(xué)生寫出汽車行駛120千米、270千米時(shí)的用油量。學(xué)生嘗試計(jì)算后，教師總結(jié)道：“用油量y隨著汽車行駛路程x的變化而變化，對(duì)于每一個(gè)x的值，都能找到一個(gè)確定的y的值與之對(duì)應(yīng)，這種一個(gè)變量x的變化確定另一個(gè)變量y的變化的關(guān)系， 稱為函數(shù)關(guān)系?！?接著，教師舉例道：“再比如，一條線段的長(zhǎng)度r的變化確定了以此線段為半徑的圓的面積S的變化?！比缓?，教師打開(kāi)幾何畫(huà)板，作出一個(gè)圓；隨著教師拖動(dòng)圓的半徑，計(jì)算機(jī)自動(dòng)呈現(xiàn)了不同的半徑值，并計(jì)算出不同的半徑值對(duì)應(yīng)的圓的面積值，同時(shí)生成了對(duì)應(yīng)值表（如圖1）。由此，教師總結(jié)道：“同樣，S與r的關(guān)系也稱為函數(shù)關(guān)系，我們稱r為自變量，S是r的函數(shù)。” 此后，教師又舉例道：“再比如，某天某地的氣溫T隨時(shí)間t的變化而變化，正方體的體積隨棱長(zhǎng)的變化而變化”然后，教師再請(qǐng)學(xué)生舉例說(shuō)明自己所知道的函數(shù)關(guān)系 【案例2】二次函數(shù)概念起始課 在介紹了二次函數(shù)的定義后，教師提問(wèn)：“如何畫(huà)出函數(shù)y=x2的圖像？”學(xué)生回答：“列表、描點(diǎn)、連線?！比缓?，教師要求學(xué)生在事先準(zhǔn)備好的學(xué)習(xí)單（其中列有表2）上進(jìn)行填表、描點(diǎn)、連線。 填表、描點(diǎn)都進(jìn)行得很順利，但是，在連線時(shí)部分學(xué)生將所描的點(diǎn)按順序用直尺連成了折線。教師看到后糾正說(shuō)：“我們?cè)趯W(xué)習(xí)反比例函數(shù)時(shí)曾強(qiáng)調(diào)過(guò)，要用光滑的曲線連線，畫(huà)成幾條線段的都是錯(cuò)誤的，請(qǐng)同學(xué)們更正并牢記?！苯又?，教師打開(kāi)幾何畫(huà)板，利用“繪制新函數(shù)”功能，直接繪制出y=x2的圖像，讓學(xué)生對(duì)照。 三、解決函數(shù)教學(xué)中主要困難的思路和策略 （一）通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)漸進(jìn)地建構(gòu)函數(shù)的意義 函數(shù)概念形成的關(guān)鍵是將研究的對(duì)象由靜止、不變的現(xiàn)象轉(zhuǎn)移到運(yùn)動(dòng)、變化的現(xiàn)象上，將注意力由單個(gè)常量的大小轉(zhuǎn)移到兩個(gè)變量的關(guān)系上。由于學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中長(zhǎng)期面對(duì)的是獨(dú)立不變的量（常數(shù)），缺乏觀察變化情況、思考聯(lián)系情況的經(jīng)歷和體驗(yàn)，因此，要實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)變是比較困難的。 案例1的設(shè)計(jì)者正是基于這種考慮，在引入函數(shù)概念時(shí)，運(yùn)用了“實(shí)驗(yàn)型學(xué)習(xí)”的基本思路和策略：不急于下準(zhǔn)確定義，而是通過(guò)學(xué)生已熟知的、經(jīng)歷過(guò)的（耗油量）問(wèn)題，或當(dāng)場(chǎng)看得到的、能經(jīng)歷的（圓的半徑與面積）現(xiàn)象，讓學(xué)生通過(guò)想象或感官去體驗(yàn)兩個(gè)變量的關(guān)系；而且不惜舉出大量的例子（包括學(xué)生自己舉例）來(lái)說(shuō)明這種關(guān)系，目的就是讓學(xué)生增加一些經(jīng)歷，加深一些體驗(yàn)，產(chǎn)生“變量成對(duì)”的印象，為概念的形成奠定基礎(chǔ)。 此外，案例1的設(shè)計(jì)者在這節(jié)函數(shù)概念起始課中，自始至終都沒(méi)有給函數(shù)下精確的定義，而力求使學(xué)生在經(jīng)過(guò)對(duì)大量的實(shí)例的觀察、思考后，在所歸納出的“描述性定義”的輔助下，大致形成對(duì)函數(shù)意義的初步認(rèn)識(shí)，即意識(shí)到：（1）兩個(gè)變量之間會(huì)有確定的關(guān)系，一個(gè)變量會(huì)隨另一個(gè)變量的變化而變化；（2）由于變量表示的事物有特定的意義，所以變量有一定的限制范圍；(3)兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)值可以利用表格列出；(4)其中的規(guī)律可以利用代數(shù)式表達(dá)，從而簡(jiǎn)化和精準(zhǔn)。 這種通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)（豐富直接的感官體驗(yàn)引發(fā)的思維活動(dòng)）漸進(jìn)地構(gòu)建新概念的意義的做法，因符合學(xué)生本身的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)和認(rèn)知習(xí)慣而顯得自然，因在大量的可感事實(shí)的基礎(chǔ)上獲得認(rèn)識(shí)而顯得合理，是解決函數(shù)概念教學(xué)困難的有效思路和策略。 （二）突出對(duì)應(yīng)值列表的過(guò)程，認(rèn)清各種表示方式的價(jià)值和優(yōu)勢(shì) 對(duì)應(yīng)情況（值）列表是一般人實(shí)際生活、工作和研究中最常用、最習(xí)慣的方法，也是最直接、最容易理解的函數(shù)表達(dá)形式。學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)出現(xiàn)的概念模糊、思路狹隘、方法呆板等問(wèn)題，往往都與忽視對(duì)應(yīng)值列表的過(guò)程有關(guān)。很多學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)很長(zhǎng)時(shí)間后， 仍然不知道各種函數(shù)的圖像從何而來(lái)，而僅僅記住了它們的樣子，導(dǎo)致了因果關(guān)系混亂。而且，很多學(xué)生在后面學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)，也不會(huì)列出項(xiàng)數(shù)與其對(duì)應(yīng)值的表格以從中找到規(guī)律，甚至連“數(shù)列也是函數(shù)”“用函數(shù)方法研究數(shù)列問(wèn)題”都需要專門花時(shí)間來(lái)教學(xué)。這些顯然都是忽視函數(shù)對(duì)應(yīng)值列表的過(guò)程而造成的惡果。 案例1的設(shè)計(jì)者正是基于這種考慮，每舉一個(gè)例子后，都進(jìn)行了對(duì)應(yīng)值列表（實(shí)驗(yàn)）其中有些數(shù)據(jù)是間接知道的，有些數(shù)據(jù)是借助計(jì)算機(jī)直接測(cè)量、計(jì)算出來(lái)的。這給學(xué)生的感覺(jué)是，他們看到的都是事實(shí)，沒(méi)有強(qiáng)加的成分。最關(guān)鍵的是，對(duì)應(yīng)值列表清晰地反映出變量變化的規(guī)律如增還是減（單調(diào)性）、有無(wú)對(duì)稱特點(diǎn)（奇偶性）、有無(wú)重復(fù)特點(diǎn)（周期性）等，都一目了然。對(duì)列表中數(shù)據(jù)的觀察、分析充分了，圖像的輪廓也就自然地在頭腦中形成了；而經(jīng)過(guò)分析、歸納發(fā)現(xiàn)的圖像，無(wú)須強(qiáng)記，就會(huì)牢牢地固著在記憶中。這種主動(dòng)的發(fā)現(xiàn)，比記住圖像后反過(guò)來(lái)“利用圖像說(shuō)明性質(zhì)”，學(xué)習(xí)效果要好得多。同時(shí)， 從思想方法的角度看，各種函數(shù)的部分特殊（自變量取正整數(shù)）對(duì)應(yīng)值列表過(guò)程，實(shí)際上就是各種數(shù)列的研究過(guò)程。此過(guò)程處理得好，數(shù)列的學(xué)習(xí)就會(huì)容易得多，方法就會(huì)通透得多。 實(shí)際上，“實(shí)驗(yàn)型學(xué)習(xí)”能使函數(shù)對(duì)應(yīng)值列表自然、高效地實(shí)現(xiàn)，并讓學(xué)生自主地進(jìn)行觀察、分析，因而，特別有利于學(xué)生認(rèn)清函數(shù)各種表達(dá)方式（列表、圖像、解析式）之間的關(guān)系，并感受到對(duì)應(yīng)值列表在實(shí)際研究中的必要性和優(yōu)勢(shì)。 （三）優(yōu)化繪制圖像的過(guò)程 如何描繪圖像，一組對(duì)應(yīng)變量由數(shù)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)體現(xiàn)了什么思想，圖像為什么是“光滑的曲線”而非折線等，都是函數(shù)教學(xué)中極為重要的問(wèn)題，事關(guān)整個(gè)函數(shù)思想和方法的形成。而這些問(wèn)題在二次函數(shù)的教學(xué)中尤為突出，因?yàn)槎魏瘮?shù)是初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與核心內(nèi)容，也是初中生第一次比較系統(tǒng)地借助函數(shù)圖像研究函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容。 案例2的設(shè)計(jì)者似乎也注意到了這些問(wèn)題，但其具體的做法有以下幾點(diǎn)不妥：（1）在繪制圖像前，沒(méi)有讓學(xué)生明白圖像的意義，把握操作的過(guò)程。事先列表并規(guī)定了5個(gè)特殊的自變量值，忽視了學(xué)生的思考動(dòng)因，限制了學(xué)生的思考空間。如果讓學(xué)生自己取值，他們未必會(huì)只取這5個(gè)值，也未必會(huì)取得這么均勻、對(duì)稱；而只有出現(xiàn)多種取值情況，才能比較、反襯出以上取值方法的合理性。（2）糾正學(xué)生錯(cuò)誤的方法不妥，問(wèn)題 的關(guān)鍵出在講解反比例函數(shù)時(shí)，只“強(qiáng)調(diào)”了要用光滑的曲線連線，而沒(méi)有解釋為什么?！爸v了多次，仍記不住”是許多教師共同的煩惱；而學(xué)生之所以總是記不住，就是因?yàn)樗麄兛偸遣恢馈盀槭裁础?，卻要勉強(qiáng)地“記住”。（3）利用幾何畫(huà)板直接繪制出y=x2的圖像，與在黑板上手繪圖像、利用掛圖或PPT等展示圖像都一樣，沒(méi)有呈現(xiàn)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程，只是告知預(yù)設(shè)的結(jié)果，使學(xué)生沒(méi)有思考的機(jī)會(huì)，更沒(méi)有質(zhì)疑的余地，被動(dòng)接受，當(dāng)然難學(xué)難記。 結(jié)合上述分析，可以對(duì)案例2作如下改進(jìn)和優(yōu)化：首先，利用幾何畫(huà)板設(shè)置自變量x，計(jì)算出y=x2，然后，順次選取 x、x2，列出動(dòng)態(tài)表格。這里，教師可以通過(guò)鍵盤任意輸入不同的x的值，x2的對(duì)應(yīng)值將自動(dòng)生成在動(dòng)態(tài)表格中（如果硬件條件許可，學(xué)生可以在自己的移動(dòng)終端上進(jìn)行這些及以下操作）。當(dāng)感覺(jué)表格中的數(shù)據(jù)夠了時(shí)，就可以利用“繪制表格數(shù)據(jù)”功能將表格中的所有點(diǎn)（x，x2）繪制在坐標(biāo)系中。此時(shí)可讓學(xué)生觀察點(diǎn)的分布情況，并嘗試說(shuō)出（或畫(huà)出）函數(shù)的圖像。如果出現(xiàn)折線圖，教師則只需讓 意見(jiàn)不同的學(xué)生相互討論，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、自主質(zhì)疑、自主建構(gòu)。 改進(jìn)和優(yōu)化后的教學(xué)較好地體現(xiàn)了“實(shí)驗(yàn)型學(xué)習(xí)”的優(yōu)勢(shì)。利用計(jì)算機(jī)快速、準(zhǔn)確地完成了較多數(shù)據(jù)的計(jì)算、列表和描點(diǎn)，因而有效地簡(jiǎn)化和優(yōu)化了繪制圖像這一重要的過(guò)程。通過(guò)自主學(xué)習(xí)，學(xué)生可能在剛剛描出的折線圖上，讓計(jì)算機(jī)再生成一些新的點(diǎn)（x，x2），結(jié)果發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)都不在折線圖的各線段上，因此否定了折線圖。盡管這樣的推斷缺乏嚴(yán)格的邏輯支持，但“眼見(jiàn)為實(shí)”會(huì)讓學(xué)生對(duì)自己利用實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象證實(shí)的結(jié)論確信無(wú)疑。同時(shí)，這其中還隱含了學(xué)生對(duì)“否定一個(gè)命題，只需舉出一個(gè)反例”的認(rèn)識(shí)。學(xué)生還可能產(chǎn)生這樣的想法：“既