結(jié)構(gòu)動力學問題的有限元法.ppt

5 動態(tài)分析有限元法,工程中受動載荷的產(chǎn)品：受道路載荷的汽車；受風載的雷達； 受海浪沖擊的海洋平臺；受偏心離心力作用的旋轉(zhuǎn)機械等。 動態(tài)分析的必要性：當產(chǎn)品受到隨時間變化的動載荷時，需 要進行動態(tài)分析，以了解產(chǎn)品動態(tài)特性。,固 有 頻 率,振 型,位 移 響 應,速 度 響 應,加 速 度 響 應,動 應 變,動 應 力,固有特性：是一組模態(tài)參數(shù)構(gòu)成，它由結(jié)構(gòu)本身（質(zhì)量與剛度 分布）決定，而與外部載荷無關，但決定了結(jié)構(gòu)對動載荷的響應； 響應分析：是計算結(jié)構(gòu)對給定動載荷的各種響應特性。,第一節(jié) 動態(tài)分析有限元法的特點,一、載荷特點 結(jié)構(gòu)所受的載荷是隨時間變化的動載荷。 這是與靜力分析的一個根 本區(qū)別。 二、位移特點 1、節(jié)點位移q不僅是坐標的函數(shù)，而且也是時間的函數(shù)。仍以節(jié) 點位移q作為基本未知量。 2、節(jié)點具有速度 加速度。,3、利用節(jié)點位移插值表示單元內(nèi)任一點的位移 一般仍采用與靜力分析相同的形函數(shù)，N。當單元數(shù)量較多時，上述 插值可以得到較好的插值精度。 4、在線彈性條件下，單元內(nèi)的應變和應力與節(jié)點位移的關系仍為 但這時的位移、應變和應力都是某一時刻的瞬時值，它們都是隨時間t 變化的函數(shù)。,5、由于節(jié)點具有速度和加速度，結(jié)構(gòu)將受到阻尼和慣性力的作用。 根據(jù)達朗伯原理，引入慣性力和阻尼力之后結(jié)構(gòu)仍處于平衡狀態(tài)，因 此動態(tài)分析中仍可采用虛位移原理來建立單元特性方程，然后再集成。 整個結(jié)構(gòu)的平衡方程為 式又稱運動方程，它不再是靜力問題那樣的線性方程，而是一個二階 常微分方程組。,求解過程復雜，建立有限元模型時要特別注意控制模型規(guī)模。,第二節(jié) 動態(tài)分析有限元法的一般步驟,一、結(jié)構(gòu)離散 該步驟與靜力分析完全相同，只是應該分析內(nèi)容不同，對網(wǎng)格形式的要求 有可能不一樣。 靜力分析：要求在應力集中部位加密網(wǎng)格； 動態(tài)分析：由于固有頻率和振型主要與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度分布有關，要求 整個結(jié)構(gòu)采用盡可能均勻的網(wǎng)格形式。,二、單元分析 單元分析的任務仍是建立單元特性矩陣，形成單元特性方程。 動態(tài)分析中，單元特性矩陣：剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。 動態(tài)分析中，仍采用虛位移原理建立單元特性矩陣。,在動載荷作用下，對于任一瞬時，設單元節(jié)點發(fā)生虛位移 ，則單元 內(nèi)也產(chǎn)生相應的虛位移 和虛應變 。單元內(nèi)產(chǎn)生的虛應變能為:,單元除受動載荷外，還有加速度和速度引起的慣性力 和阻尼力 ，其中為材料密度，v是線性阻尼系數(shù)。外力所做的虛功為：,式中，Pv、Ps、Pc分別為作用于單元上的動態(tài)體力、動態(tài)面力和動態(tài) 集中力；V為單元面積；A為單元面積。,由于 且形函數(shù)僅為坐標x、y、z的函數(shù)，與時間無關，因此有,根據(jù)虛位移原理，有,代入經(jīng)整理，可得單元運動方程為,式中,分別稱為單元的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣，它們就是決定單元動態(tài)性能的 特性矩陣。,稱為單元節(jié)點動載荷列陣，它是作用在單元上的體力、面力和集中力向單元節(jié) 點移置的結(jié)果。,在動態(tài)分析和靜力分析中，單元的剛度矩陣是相同的，外部載荷的移置原理也一樣。,在動態(tài)分析中，單元的質(zhì)量矩陣通常采用以下兩種形式。 1、一致質(zhì)量矩陣 按 形成的單元質(zhì)量矩陣稱為一致質(zhì)量矩陣，因為 它采用了和剛度一致的形函數(shù)。這種質(zhì)量矩陣取決于單元的類型和形函 數(shù)的形式。,2、集中質(zhì)量矩陣 集中質(zhì)量矩陣將單元的分布質(zhì)量按等效原則分配在各個節(jié)點上，等效原則 就是要求不改變原單元的質(zhì)量中心，這樣形成的質(zhì)量矩陣稱為集中質(zhì)量矩 陣。集中質(zhì)量矩陣是一個對角陣，,集中質(zhì)量矩陣：是一個對角陣，因而可簡化動態(tài)計算，減小存儲容量。利 用這種矩陣計算出的結(jié)構(gòu)固有頻率偏低。不過有限元模型本身比實際結(jié)構(gòu) 偏剛，兩者相互補償，計算出的固有頻率反而更接近真實值。 一致質(zhì)量矩陣：由于分布較合理，因此可以求得更精確的振型，另外，整 個模型的質(zhì)量分布還受網(wǎng)格劃分形式的影響。,三、總體矩陣集成 總體矩陣集成的任務是將各單元特性矩陣裝配成整個結(jié)構(gòu)的特性矩陣， 從而建立整體平衡方程，即,式中，q為所以節(jié)點位移分量組成的n階列陣，n為結(jié)構(gòu)總自由度數(shù)； （i為節(jié)點數(shù)），稱為節(jié)點載荷列陣；K、M、C 分別為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。,其中K與靜力分析中的總剛度矩陣完全相同，矩陣M、C也采用與 K相同的集成方式，即,矩陣K、M和C均為n階對稱陣。,四、固有特性分析 結(jié)構(gòu)的固有特性由結(jié)構(gòu)本身決定，與外部載荷無關，它由一組模態(tài)參數(shù) 定量描述。包括：固有頻率、模態(tài)振型、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度和模態(tài)阻尼比等。 固有特性分析就是對模態(tài)參數(shù)進行計算，其目的一是避免結(jié)構(gòu)出現(xiàn)共振和有害的振型，二是為響應分析提供必要依據(jù)。,由于固有特性與外載荷無關，且阻尼對固有頻率和振型影響不大，因此可通過無阻尼自由振動方程計算固有特性。,式中，為簡諧振動圓頻率；為節(jié)點振幅列向量。,由于自由振動可分解為一系列簡諧振動的疊加，因此上式的解可設為,將解代入振動方程中，同時消去因子ejt，可得,振型i是結(jié)構(gòu)按頻率i振動時各自由度方向振幅間的相對比例關系， 它反映了結(jié)構(gòu)振動的形式，并不是振幅的絕對大小。,上式為一廣義特征問題。根據(jù)線性代數(shù)可知，求解該問題可以求出n個特 征值 和相對應的n個特征向量 。其中特 征值i(i=1,2,n)就是結(jié)構(gòu)的i階固有頻率，特征向量i i(i=1,2,n)就是結(jié)構(gòu) 的i階模態(tài)振型。,固有特性分析實際上就是求解廣義特征值問題。求解的數(shù)值方法主要有 1、變換法 基本思想是通過一系列矩陣變換，將矩陣MK化為對角陣， 變換后的特征值不變，即原問題與特征值問題 具有相同的特征值。先求特征值，再求特征向量，而且是一次性求出所以特征值和特征向量。該方法主要用于一些小型問題的求解。,2、迭代法 是對一選取的初始向量 和迭代公式 求一向量序列 使它收斂于與 絕對值最大的特征值相應 的特征向量，在滿足收斂精度時，以 作為 的特征量，再求出相應的特征值。 先求特征向量，再求特征值，且從低階到高階依次求出各階特征對，該法只適合求解35個低階特征對。 子空間迭代法，求大型結(jié)構(gòu)的少數(shù)特征對。,五、響應分析 響應分析的目的是計算結(jié)構(gòu)在動載荷作用下，節(jié)點位移、速度和加速度 的變化規(guī)律。因此響應分析的任務就是求解二階常微分方程組，,求解主要有1、振型疊加法 根據(jù)結(jié)構(gòu)振動理論，在動載荷作用下，結(jié)構(gòu)動態(tài)響應可以表示為其各階 主模態(tài)振型的線性疊加，即 2、直接積分法 是一種純粹的數(shù)值方法。 連續(xù)時間區(qū)域 離散 為n1離散點 時間間隔T/n 每個時間間隔上的狀態(tài)向量,瞬態(tài)分析- 術語和概念 求解方法,求解運動方程,直接積分法,模態(tài)疊加法,隱式積分,顯式積分,完整矩陣法,縮減矩陣法,完整矩陣法,縮減矩陣法,五、約束處理和求解線性方程組,制作振型動畫： PlotCtrls Animate Mode Shape.,循環(huán)對稱結(jié)構(gòu)的