泊松過程的生成及其統(tǒng)計(jì)分析.doc

泊松過程的生成及其統(tǒng)計(jì)分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告 班級(jí)：6041姓名：韓麗媛 學(xué)號(hào)：3116036015 一、實(shí)驗(yàn)題目假設(shè)一個(gè)交換系統(tǒng)有M部電話，每個(gè)用戶在很短的時(shí)間（單位時(shí)間內(nèi)）呼叫一次的概率為P；用戶間呼入的時(shí)刻相互獨(dú)立，當(dāng)M很大，P很小時(shí)，時(shí)間t內(nèi)到達(dá)交換機(jī)的呼叫次數(shù)構(gòu)成泊松過程N(yùn)(t)。1、 確定此泊松過程的參數(shù)。2、 利用計(jì)算機(jī)仿真N(t)的生成過程。注意合理選擇M和P，時(shí)間分辨率為一個(gè)單位時(shí)間。3、 為了比較生成的N(t)與理論模型的吻合程度。取N(t)的多個(gè)樣本并選取3個(gè)典型時(shí)間,，得到,三個(gè)隨機(jī)變量的樣本，在一張圖上畫出其直方圖及理論分布曲線，并將兩者對(duì)照。比較M選取不同時(shí)的效果。注意：樣本個(gè)數(shù)足夠多。4、 驗(yàn)證N(t)的增量平穩(wěn)性。5、 畫出任意相鄰兩次呼叫間隔的直方圖，和理論值進(jìn)行對(duì)照。驗(yàn)證其與其它相鄰兩次呼叫間隔隨機(jī)變量的獨(dú)立性。二、實(shí)驗(yàn)過程1、確定此泊松過程的參數(shù)由題目容易知道，在很短的時(shí)間內(nèi)M個(gè)用戶的呼叫一次的概率為MP，而由定義知道，時(shí)間內(nèi)到達(dá)交換機(jī)的呼叫一次的概率為，故有 （1）從而有。2、利用計(jì)算機(jī)仿真N(t)的生成過程對(duì)每個(gè)用戶，在時(shí)間內(nèi)呼叫一次的概率P很小，可以用rand函數(shù)生成一組0,1的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)隨機(jī)數(shù)小于P時(shí)，則認(rèn)為有呼叫，將其置為1，否則認(rèn)為沒有呼叫，置為0；有M部電話，則生成M組0,1的隨機(jī)數(shù)，對(duì)每組隨機(jī)數(shù)用上訴方法得到一個(gè)只有0和1的邏輯矩陣，用來表示某一時(shí)刻是否有呼叫。下面是,M=3000,總時(shí)間為T=5的實(shí)驗(yàn)結(jié)果：圖1 N(t)的生成結(jié)果可以看到呼叫的計(jì)數(shù)過程，是遞增的，并且可以計(jì)算，時(shí)間T=5內(nèi)呼叫總次數(shù)平均為,多次時(shí)間結(jié)果最后的呼叫次數(shù)都在15次左右。程序：clcclearclose allp=10(-6);M=3000;dt=0.001;T=5;x=rand(M,T/dt);y=;for i=1:M for j=1:T/dt if x(i,j)p x(i,j)=1; else x(i,j)=0; end endendy=(sum(x)=0);m=;m(1)=0;for i=1:T/dt m(i+1)=m(i)+y(i);endt=1:T/dt+1;t=t*dt;plot(t,m)此外，matlab中還有二項(xiàng)分布生成函數(shù)binornd，可以用x=binornd(1,p,M,T/dt)代替中間的兩個(gè)for循環(huán)，這個(gè)函數(shù)的功能是對(duì)一個(gè)發(fā)生概率為P的事件隨機(jī)試驗(yàn)一次，若發(fā)生置為1，不發(fā)生置為0，此實(shí)驗(yàn)要對(duì)M個(gè)電話實(shí)驗(yàn)T/dt次，故生成的是M行，T/dt的矩陣，運(yùn)行結(jié)果是一樣的。3、比較生成的N(t)與理論模型的吻合程度（1）,的統(tǒng)計(jì)直方圖和理論分布曲線下面是,M=3000,總時(shí)間為T=1.2，選取時(shí)間t1=0.3，t2=0.6，t3=0.9作2000次試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果：圖2 ,的統(tǒng)計(jì)直方圖和理論分布曲線在圖2中，圓圈代表的統(tǒng)計(jì)直方圖，正方形代表的統(tǒng)計(jì)直方圖，五角星代表的直方圖。從圖中可以看出，雖然有較小的誤差，但是生成的N(t)和理論模型還是基本吻合的。程序中主要用到了直方圖統(tǒng)計(jì)函數(shù)hist，生成max(Nt1)-min(Nt1)個(gè)直方條間的間隔剛好是1，此時(shí)的坐標(biāo)分別為0.5、1.5、2.5，并且0.5的直方條包括了0次呼叫和1次呼叫的的概率，1.5、2.5、3.5等等依次代表的是2次、3次、4次呼叫的概率，因而有了程序中的相關(guān)修正。程序：clcclearclose allp=5*10(-6);M=3000;dt=0.003;a=M*p/dt;T=1.2; loop=2000;t1=0.3;t2=0.6;t3=0.9;for k=1:loop %作loop次試驗(yàn) x=rand(M,T/dt); for i=1:M for j=1:T/dt if x(i,j)p x(i,j)=1; else x(i,j)=0; end end end tt=dt*find(sum(x)=0)=1); %每次試驗(yàn)各個(gè)呼叫發(fā)生的時(shí)刻 Nt1(k)=sum(ttt1); %每次試驗(yàn)在時(shí)間（0，t1）內(nèi)呼叫的次數(shù) Nt2(k)=sum(ttt2); Nt3(k)=sum(ttt3);endN1,index1=hist(Nt1,max(Nt1)-min(Nt1); %（0，t1）內(nèi)呼叫次數(shù)的統(tǒng)計(jì)直方圖N2,index2=hist(Nt2,max(Nt2)-min(Nt2);N3,index3=hist(Nt3,max(Nt3)-min(Nt3);index1=min(Nt1),index1+0.5; %作相關(guān)修正index2=min(Nt2),index2+0.5;index3=min(Nt3),index3+0.5;N1=sum(Nt1=min(Nt1),N1(1)-sum(Nt1=min(Nt1),N1(2:end);N2=sum(Nt2=min(Nt2),N2(1)-sum(Nt2=min(Nt2),N2(2:end);N3=sum(Nt3=min(Nt3),N3(1)-sum(Nt3=min(Nt3),N3(2:end);p1=;p2=;p3=;for k=1:length(index1) p1=p1,(a*t1)index1(k)*exp(-a*t1)/factorial(index1(k); %理論值endfor k=1:length(index2) p2=p2,(a*t2)index2(k)*exp(-a*t2)/factorial(index2(k);endfor k=1:length(index3) p3=p3,(a*t3)index3(k)*exp(-a*t3)/factorial(index3(k);endstem(index1,N1/loop,r);hold onplot(index1,p1,r)hold on stem(index2,N2/loop,bs);hold onplot(index2,p2,b)hold on stem(index3,N3/loop,gp);hold onplot(index3,p3,g)hold on（2）比較M不同時(shí)的實(shí)驗(yàn)效果 對(duì)于上面的參數(shù)，我們選擇t2時(shí)刻，M分別取1000、2000、3000得到的統(tǒng)計(jì)直方圖如圖3所示，圓形對(duì)應(yīng)的是M=1000，正方形對(duì)應(yīng)的是M=2000，五角星對(duì)應(yīng)的是M=3000，從圖3中可以看到，當(dāng)M值增大時(shí)，直方圖和；理論曲線都往右移動(dòng)，從理論上分析，在P和不變時(shí)，M值越大，強(qiáng)度常數(shù)越大，相同時(shí)間內(nèi)呼叫的次數(shù)更多，所以在呼叫次數(shù)多的地方概率更大，曲線往右移動(dòng)。圖3 M不同時(shí)的實(shí)驗(yàn)效果對(duì)比4、驗(yàn)證N(t)的增量平穩(wěn)性 增量平穩(wěn)性數(shù)學(xué)表示為，對(duì)任何s和t，PN(s+t)-N(s)=n=PN(t)=n，即在相同時(shí)間內(nèi)呼叫n次的概率相等。下圖是取了三個(gè)相等的時(shí)間間隔進(jìn)行的呼叫次數(shù)的直方圖統(tǒng)計(jì)結(jié)果：圖4 增量平穩(wěn)性驗(yàn)證曲線由于只需要相同時(shí)間內(nèi)呼叫相同次數(shù)的概率相同，為了簡(jiǎn)化程序和計(jì)算量，在直方圖統(tǒng)計(jì)中沒有對(duì)第一個(gè)直方條進(jìn)行修正，并不影響實(shí)驗(yàn)的結(jié)論，從圖4中可以看到，三個(gè)相等的時(shí)間間隔呼叫次數(shù)的概率分布曲線基本重合，說明相同時(shí)間間隔內(nèi)呼叫次數(shù)相同的概率基本相同，從而驗(yàn)證了增量平穩(wěn)性。程序：clcclearclose allp=5*10(-6);M=3000;dt=0.003;T=1.8;loop=2000;for k=1:loop x=rand(M,T/dt); for i=1:M for j=1:T/dt if x(i,j)p x(i,j)=1; else x(i,j)=0; end end end y=(sum(x)=0); m=; m(1)=0; for i=1:T/dt m(i+1)=m(i)+y(i); end Nt1(k)=m(201)-m(1); Nt2(k)=m(401)-m(201); Nt3(k)=m(601)-m(401);endN1,index1=hist(Nt1,max(Nt1)-min(Nt1);N2,index2=hist(Nt2,max(Nt2)-min(Nt2);N3,index3=hist(Nt3,max(Nt3)-min(Nt3);plot(index1,N1/loop,r);hold on;plot(index2,N2/loop,b);hold on;plot(index3,N3/loop,g);hold on;5、（1）畫出任意相鄰兩次呼叫間隔的直方圖，和理論值進(jìn)行對(duì)照。由理論可知，任意兩次的呼叫間隔的概率分布函數(shù)為負(fù)指數(shù)分布：， 下面是,M=3000,總時(shí)間為T=3，選取第二次和第一次呼叫的時(shí)間間隔得到的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果：圖5 呼叫時(shí)間間隔分布直方圖從圖5中可以看出，相鄰兩次呼叫間隔滿足負(fù)指數(shù)分布，與理論相符。編程時(shí)，將時(shí)間間隔平均分在50個(gè)直方條中，在求理論值時(shí)，需要對(duì)負(fù)指數(shù)型概率密度函數(shù)在每個(gè)直方條中求積分，需要注意的是積分的區(qū)間。程序：clcclearclose allp=5*10(-6);M=3000;dt=0.003;a=M*p/dt;T=3;loop=3000; for k=1:loop x=rand(M,T/dt); for i=1:M for j=1:T/dt if x(i,j)p x(i,j)=1; else x(i,j)=0; end end end y=sum(x)=0; tt=dt*find(y=1);% for i=1:length(tt)-1% b(i)=tt(i+1)-tt(i);% end b(k)=tt(2)-tt(1); c(k)=tt(4)-tt(3);end N1,index1=hist(b,50);dh=(max(b)-min(b)/100; stem(index1,N1/loop,r);hold onfor i=1:50 t=(index1(i)-dh):0.001:(index1(i)+dh); l=a*exp(-a*t); q(i)=trapz(t,l);endplot(index1,q)Eb=sum(b)/length(b);Ec=sum(c)/length(c);Ebc=sum(b.*c)/length(b);Db=sum(b.*b)/length(b)-Eb2;Dc=sum(c.*c)/length(c)-Ec2;Covbc=Ebc-Eb*Ec;