大學數(shù)學函數(shù)的連續(xù)性.ppt

函數(shù)的連續(xù)性(continuity),氣溫的變化，河水的流動，植物的生長等都是連續(xù)地變化著，反映在函數(shù)關(guān)系上是函數(shù)的連續(xù)性。,當時間變化很微小時，氣溫的變化也很微小，一般的，當自變量改變很微小時，因變量也很微小，這個特性稱為連續(xù)性。,連續(xù)函數(shù)在圖像上是一條連續(xù)無間斷點的曲線。,自變量的增量,函數(shù)的增量,增量的概念,定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，,在區(qū)間(a,b)上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù),若在該區(qū)間左右端點處連續(xù),稱函數(shù)是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。,如果函數(shù)y=f(x)在x0點連續(xù),則必須同時滿足下列三個條件：(1)f(x)在x0的某個鄰域內(nèi)有定義極限值存在極限值與函數(shù)值相等,定義2設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量的增量x=x-x0趨于零時，對應(yīng)的函數(shù)的增量y=f(x0+x)-f(x0)也趨于零，即那末就稱函數(shù)y=f(x)在點x0連續(xù).,連續(xù)函數(shù)在幾何圖象上是一條連續(xù)不斷的曲線.,函數(shù)在一點處連續(xù)的本質(zhì)特征：當自變量改變很微小時，函數(shù)值變化也很微小,連續(xù)性舉例,1.討論絕對值函數(shù)在x=0處的連續(xù)性.,解因為,所以,所以絕對值函數(shù)在x=0處連續(xù),2.作為例子我們來證明函數(shù)y=sinx在區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的,由三角公式有,一般地,證明一個函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)連續(xù)時,宜使用等價定義式;若要證明函數(shù)在某點處連續(xù),則宜使用原定義式.,解因為,要使函數(shù)在點連續(xù),則應(yīng)有,所以,函數(shù)的間斷點discontinuity,Discontinuityatx=1andx=2,若函數(shù)有下列三種情形之一：,則稱函數(shù)在點處不連續(xù)，點稱為函數(shù)的間斷點。,不連續(xù)點即為間斷點,可去間斷點(1)第一類,點x=1是函數(shù)f(x)的可去間斷點,函數(shù)的間斷點的類型,可去間斷點(2)第一類,函數(shù)的間斷點的類型,例如,但不存在,點稱為函數(shù)的可去間斷點。,跳躍間斷點第一類,點x=0是函數(shù)f(x)的跳躍間斷點。,函數(shù)的間斷點的類型,函數(shù)的間斷點的類型,無窮間斷點第二類,振蕩間斷點第二類,點x=0是函數(shù)f(x)的振蕩間斷點。,函數(shù)的間斷點的類型,解這是一個初等函數(shù)，其定義域為,而,所以，x=1是函數(shù)的第一類的可去間斷點；x=2是函數(shù)的第二類的無窮間斷點。,例題,解,由的定義可知，函數(shù)在內(nèi)連續(xù),而,所以，x=1是函數(shù)的第二類間斷點(無窮間斷點)，x=0是函數(shù)的第一類間斷點(跳躍間斷點)。,解由連續(xù)性的定義可知，要使函數(shù)在x=0點連續(xù)，則應(yīng)有,而,連續(xù)函數(shù)在連續(xù)點處的極限值等于函數(shù)在該點處的函數(shù)值，即極限號lim與函數(shù)號f可以交換次序。,連續(xù)函數(shù)求極限法則,例如,一、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性,二、反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性,例,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).,定理1單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)仍是單調(diào)連續(xù)函數(shù)。即,例,定理2連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)。即,三、初等函數(shù)的連續(xù)性,基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.,一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.,初等函數(shù)求極限的方法代入法.,例1,解,例2,解,例3,解,例4求,解,如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),在右端點b左連續(xù),在左端點a右連續(xù),那么函數(shù)f(x)就是在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的,定義,閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),最值定理（Themax-mintheorem）,在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù),一定能取得它的最大值和最小值。,說明：可在區(qū)間內(nèi)部取得最值，也可在區(qū)間端點取得最值。,注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點,定理不一定成立.,介值定理Theintermediatevaluetheorem,根的存在定理,設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),且