高考數(shù)學求遞推數(shù)列通項公式的十種策略例析(全面).doc

1遞推數(shù)列通項公式的探求例析遞推數(shù)列的題型多樣，求遞推數(shù)列的通項公式的方法也非常靈活，往往可以通過適當?shù)牟呗詫栴}化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題加以解決，亦可采用不完全歸納法的方法，由特殊情形推導出一般情形，進而用數(shù)學歸納法加以證明，因而求遞推數(shù)列的通項公式問題成為了高考命題中頗受青睞的考查內容。筆者試給出求遞推數(shù)列通項公式的十種方法策略，它們是：公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、對數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學歸納法、換元法、不動點法、特征根的方法。仔細辨析遞推關系式的特征，準確選擇恰當?shù)姆椒?，是迅速求出通項公式的關鍵。一、利用公式法求通項公式例1已知數(shù)列an滿足nn1n23a2a，2a1，求數(shù)列an的通項公式。解：nn1n23a2a兩邊除以1n2，得232a2ann1n1n，則232a2ann1n1n，故數(shù)列2ann是以1222a11為首，以23為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得23)1n(12ann，所以數(shù)列an的通項公式為nn2)21n23(a。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式nn1n23a2a轉化為232a2ann1n1n，說明數(shù)列2ann是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出23)1n(12ann，進而求出數(shù)列an的通項公式。二、利用累加法求通項公式例2已知數(shù)列an滿足1a1n2aa1n1n，求數(shù)列an的通項公式。解：由1n2aan1n得1n2aan1n則112232n1n1nnna)aa()aa()aa()aa(a1)1(2)1(21)1(12)2()1(21)112()122(1)2(21)1(2nnnnnnnn所以數(shù)列an的通項公式為2nna評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式1n2aan1n轉化為1n2aan1n，進而求出112232n1n1nna)aa()aa()aa()aa(，即得數(shù)列an的通項公式。例3已知數(shù)列an滿足3a132aa1nn1n，求數(shù)列an的通項公式。2解：由132aann1n得132aann1n則112232n1n1nnna)aa()aa()aa()aa(a3)1()3333(23)132()132()132()132(12211221nnnnn所以1n32n31332annn評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式132aann1n轉化為132aann1n，進而求出112232n1n1nna)aa()aa()aa()aa(，即得數(shù)列an的通項公式。例4已知數(shù)列an滿足3a132a3a1nn1n，求數(shù)列an的通項公式。解：132a3ann1n兩邊除以1n3，得1nnn1n1n31323a3a，則1nnn1n1n31323a3a，故3a)3a3a()3a3a()3aaa()aa3a(3a111223n3n2n2n2n2n1n1n1n1nnnnn33)3132()3132()3132()3132(22n1nn1)3131313131(3)1n(222n1nnn因此n1nnnn321213n2131)31(313)1n(23a，則213213n32annn評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式132a3ann1n轉化為1nnn1n1n31323a3a，進而求出)3a3a()3a3a()3a3a(3n3n2n2n2n2n1n1n1n1nnn+a)3a3a(11122，即得數(shù)列3ann的通項公式，最后再求數(shù)列an的通項公式。三、利用累乘法求通項公式例5已知數(shù)列an滿足3aa5)1n(2a1nn1n，求數(shù)列an的通項公式。解：因為3aa5)1n(2a1nn1n，所以0an，則nn1n5)1n(2aa，則112232n1n1nnnaaaaaaaaaa35)11(25)12(25)12n(25)11n(2122n1n3523)1n(n212)2n()1n(1n所以數(shù)列an的通項公式為!n523a2)1n(n1nn3評注：本題解題的關鍵是把遞推關系nn1na5)1n(2a轉化為nn1n5)1n(2aa，進而求出112232n1n1nnaaaaaaaaa，即得數(shù)列an的通項公式。例6已知數(shù)列an滿足)1n(a3a2aa1a321n1，)2n(a)1n(1n，則an的通項2n2!n1n1an，解：因為)2n(a)1n(a3a2aa1n321n所以n1n3211nnaa)1n(a3a2aa所以式式得nn1nnaaa則)2n(a)1n(an1n則)2n(1naan1n所以2232n1n1nnnaaaaaaaa22a2!na34)1n(n由)2n(a)1n(a3a2aa1n321n，取n=2得212a2aa，則12aa，又知1a1，則1a2，代入得2!nn5431an。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式)2n(a)1n(an1n轉化為1naan1n（n2），進而求出2232n1n1nnaaaaaaa，從而可得當n2時na的表達式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。四、利用待定系數(shù)法求通項公式例7已知數(shù)列an滿足6a53a2a1nn1n，求數(shù)列an的通項公式。解：設)5xa(25xann1n1n將nn1n53a2a代入式，得nn1nnn5x2a25x53a2，等式兩邊消去na2，得n1nn5x25x53，兩邊除以n5，得x25x3，則x=1，代入式，得)5a(25ann1n1n4由1565a110及式，得05ann，則25a5ann1n1n，則數(shù)列5ann是以15a11為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則1nnn215a，故n1nn52a。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式nn1n53a2a轉化為)5a(25ann1n1n，從而可知數(shù)列5ann是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列5ann的通項公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。例8已知數(shù)列an滿足1a425a3a1nn1n，求數(shù)列an的通項公式。解：設)y2xa(3y2xann1n1n將425a3ann1n代入式，得)y2xa(3y2x425a3nn1nnn整理得y32x3y42)x25(nn。令y3y4x3x25，則2y5x，代入式，得)225a(3225ann1n1n由013121225a11及式，得0225ann，則3225a225ann1n1n，故數(shù)列225ann是以13121225a11為首項，以3為公比的等比數(shù)列，因此1nnn313225a，則225313an1nn。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式425a3ann1n轉化為)225a(3225ann1n1n，從而可知數(shù)列225ann是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列225ann的通項公式，最后再求數(shù)列an的通項公式。例9已知數(shù)列an滿足1a5n4n3a2a12n1n，求數(shù)列an的通項公式。解：設z)1n(y)1n(xa21n)zynxna(22n將5n4n3a2a2n1n代入式，得z)1n(y)1n(x5n4n3a222n)zynxna(22n，則zynxnazyxnyxnxann2222)5()42()3(2225等式兩邊消去na2，得z2yn2xn2)5zyx(n)4yx2(n)x3(22，則得方程組z25zyxy24yx2x2x3，則18z10y3x，代入式，得18)1n(10)1n(3a21n)18n10n3a(22n由0323111811013a21及式，得018n10n3a2n則218n10n3a18)1n(10)1n(3a2n21n，故數(shù)列18n10n3a2n為以323111811013a21為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此1n2n23218n10n3a，則18n10n32a24nn。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式5n4n3a2a2n1n轉化為)18n10n3a(218)1n(10)1n(3a2n21n，從而可知數(shù)列18n10n3a2n是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列18n10n3a2n的通項公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。五、利用對數(shù)變換法求通項公式例10已知數(shù)列an滿足5nn1na32a，7a1，求數(shù)列an的通項公式。解：因為7aa32a15nn1n，所以0a0a1nn，。在5nn1na32a式兩邊取常用對數(shù)得2lg3lgnalg5algn1n設)yxna(lg5y)1n(xalgn1n11將式代入11式，得)yxna(lg5y)1n(x2lg3lgnalg5nn，兩邊消去nalg5并整理，得y5xn52lgyxn)x3(lg，則y52lgyxx5x3lg，故42lg163lgy43lgx代入11式，得42lg163lg)1n(43lgalg1n)42lg163lgn43lga(lg5n126由042lg163lg143lg7lg42lg163lg143lgalg1及12式，得042lg163lgn43lgalgn，則542lg163lgn43lgalg42lg163lg)1n(43lgalgn1n，所以數(shù)列42lg163lgn43lgalgn是以42lg163lg43lg7lg為首項，以5為公比的等比數(shù)列，則1nn5)42lg163lg43lg7(lg42lg163lgn43lgalg，因此42lg63lgn43lg5)42lg163lg43lg7(lgalg1nn1n4161415)2lg3lg3lg7(lg)233lg(5)2337lg(2lg3lg3lg411614n1n4116141411614n1n41161415)2337lg()237lg()2337lg()233lg(415161n4n51n541516154n51n5411614n1n1n1n1n，則415161n4n55n1n1n237a。評注：本題解題的關鍵是通過對數(shù)變換把遞推關系式5nn1na32a轉化為)42lg163lgn43lga(lg542lg163lg)1n(43lgalgn1n，從而可知數(shù)列42lg163lgn43lgalgn是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列42lg163lgn43lgalgn的通項公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。六、利用迭代法求通項公式例11已知數(shù)列an滿足5aaa12)1n(3n1nn，求數(shù)列an的通項公式。解：因為n2)1n(3n1naa，所以1n2n1n2n32)1n(32n2n31nnaaa2)1(1)1()2()3(211)1()2()3(3)1()2(23)1()2(22!312)1()2(32312)1)(2(332)1(32)2(332)1(32nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaa又5a1，所以數(shù)列an的通項公式為2)1n(n1n2!n3n5a。評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式，即先將等式n2)1n(3n1naa兩邊取常用對數(shù)得nn1nalg2)1n(3alg，即nn1n2)1n(3algalg，再由累乘法可推知72)1n(n1n2!n3112232n1n1nnn5lgalgalgalgalgalgalgalgalgalgalg，從而2)1n(n2!n3n1n5a七、利用換元法求通項公式例13已知數(shù)列an滿足1a)a241a41(161a1nn1n，求數(shù)列an的通項公式。解：令nna241b，則)1b(241a2nn故)1b(241a21n1n，代入)a241a41(161ann1n得b)1b(24141161)1b(241n2n21n即2n21n)3b(b4因為0a241bnn，故0a241b1n1n則3bb2n1n，即23b21bn1n，可化為)3b(213bn1n，所以3bn是以2312413a2413b11為首項，以21為公比的等比數(shù)列，因此2n1nn)21()21(23b，則2nn)21(b+3，即3)21(a2412nn，得31)21()41(32annn。評注：本題解題的關鍵是通過將na241的換元為nb，使得所給遞推關系式轉化23b21bn1n形式，從而可知數(shù)列3bn為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列3bn的通項公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。八、利用不動點法求通項公式例14已知數(shù)列an滿足4a1a424a21a1nn1n，求數(shù)列an的通項公式。解：令1x424x21x，得024x20x42，則3x2x21，是函數(shù)1x424x21)x(f的兩個不動點。因為91327a926a13)1a4(324a21)1a4(224a2131a424a2121a424a213a2annnnnnnnnn1n1n。3a2ann，所以數(shù)列3a2ann是以234243a2a11為首項，以913為公比的等比數(shù)列，故3a2ann1n)913(2，則31)913(21a1nn。評注：本題解題的關鍵是先求出函數(shù)1x424x21)x(f的不動點，即方程1x424x21x的兩個根3x2x21，進而可推出3a2a9133a2ann1n1n，從而可知數(shù)列3a2ann為等比數(shù)列，再求出數(shù)列3a2ann8的通項公式，最后求出數(shù)列an的通項公式。例15已知數(shù)列an滿足2a3a22a7a1nn1n，求數(shù)列an的通項公式。解：令3x22x7x，得02x4x22，則x=1是函數(shù))x(f7x41x3的不動點。因為3a25a513a22a71annnn1n，所以1a11n521a1)1a251(521a23a525a53a2nnnnnn，所以數(shù)列1a1n是以11211a11為首項，以52為公差的等差數(shù)列，則52)1n(11a1n，故3n28n2an。評注：本題解題的關鍵是先求出函數(shù)7x41x3)x(f的不動點，即方程3x22x7x的根1x，進而可推出521a11a1n1n，從而