2014高考百天仿真沖刺卷（理科數(shù)學(xué)試卷七）

第 1 頁 共 10 頁 2014 高考百天仿真沖刺卷 數(shù) 學(xué) (理 ) 試 卷 （ 七 ） 第 卷 （ 選擇題 共 40 分） 一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分 . 在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng) . 1.已知集合 0,1A ， 1, 0 , 3Ba ， 且 AB ，則 a 等于 （ A） 1 （ B） 0 （ C） 2 （ D） 3 2.已知 i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 23z i+ 2 i 3i所對應(yīng)的點(diǎn)落在 （ A）第一象限 （ B）第二象限 （ C）第三象限 （ D）第四象限 3.在 ABC 中，“ 0AB BC”是“ ABC 為鈍角三角形”的 （ A）充分不必要條件 （ B）必要不充分條件 （ C）充要條件 （ D）既不充分又不必要條件 4.已知六棱錐 P A B C D E F 的底面是正六邊形， PA 平面 ABC .則下列結(jié)論 不正確 的是 （ A） /CD 平面 PAF （ B） DF 平面 PAF （ C） /CF 平面 PAB （ D） CF 平面 PAD 5.雙曲線 221xyab的漸近線與圓 22( 2 ) 1xy 相切，則雙曲線離心率為 （ A） 2 （ B） 3 （ C） 2 （ D） 3 6.函數(shù) s i n ( ) ( 0 )yx 的部分圖象如圖所示，設(shè) P 是圖象的最高點(diǎn)， ,AB是圖象與 x 軸的交點(diǎn)，則 tan APB （ A） 10 （ B） 8 （ C） 87 （ D） 47 第 4 題圖 第 6 題圖 7已知數(shù)列 na的通項(xiàng)公式為 13nan，那么滿足1 1 9 102k k ka a a 的整數(shù) k （ A） 有 3 個 （ B） 有 2 個 （ C）有 1 個 （ D）不存在 8設(shè)點(diǎn) (1,0)A ， (2,1)B ，如果直線 1ax by與線段 AB 有一個公共點(diǎn)，那么 22ab （ A）最小值為 15 （ B）最小值為 55 （ C）最大值為 15 （ D）最大值為 55 第 卷（非選擇題 共 110 分） 二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分 . 9 在 ABC 中， 若 2BA ， : 1: 3ab ，則 A _. 10.在 521()xx 的展開式中， 2x 的系數(shù)是 _. 11如圖， AB 是圓 O 的直徑， P 在 AB 的延長線上， PD 切圓 O 于點(diǎn) C .已知圓 O 半徑為 3 ， 2OP ，則 O A B P D C x A B P y O 第 2 頁 共 10 頁 PC _； ACD 的大小為 _. 12.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn) (2, )2A 關(guān)于直線 : cos 1l 的對稱點(diǎn)的一個極坐標(biāo)為_. 13定義某種運(yùn)算 ， ab 的運(yùn)算原理如右圖所示 . 設(shè) ( ) ( 0 ) ( 2 )f x x x x . 則 (2)f _； ()fx 在區(qū)間 2,2 上的最小值為 _. 14.數(shù)列 na滿足1 1a，1 1nnnaan ，其中 R ， 12n ， ， 當(dāng) 0 時，20a _； 若存在正整數(shù) m ，當(dāng) nm 時總有 0na ，則 的取值范圍是 _. 三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分 . 解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟 . 15.（本小題滿分 13 分） 已知函數(shù) c o s 2()s i n ( )4xfxx . （）求函數(shù) ()fx 的定義域； （）若 4()3fx，求 sin2x 的值 . 16.（本小題滿分 13 分） 如圖，已知菱形 ABCD 的邊長為 6 ， 60BAD, A C B D O .將菱形 ABCD 沿對角線 AC 折起，使 32BD ，得到三棱錐 B ACD . （）若點(diǎn) M 是棱 BC 的中點(diǎn)， 求證 : /OM 平面 ABD ； （） 求二面角 A BD O的余弦值； （）設(shè)點(diǎn) N 是線段 BD 上一個動點(diǎn)，試確定 N 點(diǎn)的位置，使得 42CN ，并證明你的結(jié)論 . M ab 開始 輸入 ,ab 否 結(jié)束 Sb Sa 輸出 S 是 第 3 頁 共 10 頁 17.（本小題滿分 13 分） 甲班有 2 名男乒乓球選手和 3 名女乒乓球選手，乙班有 3 名男乒乓球選手和 1 名女乒乓球選手，學(xué)校計劃從甲乙兩班各選 2 名選手參加體育交流活動 . （）求選出的 4 名選手均為男選手的概率 . （）記 X 為選出的 4 名選手中女選手的人數(shù)，求 X 的分布列和期望 . 18.（本小題滿分 14 分） 已知函數(shù) ( ) (1 ) e ( 0 )xaf x xx ，其中 e 為自然對數(shù)的底數(shù) . （）當(dāng) 2a 時，求曲線 ()y f x 在 (1, (1)f 處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積； （）若函數(shù) ()fx 存在一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn)，且極大值與極小值的積為 5e ，求 a 的值 . 第 4 頁 共 10 頁 19.（本小題滿分 14 分） 已知橢圓 22:1xyMab( 0)ab的離心率為 223，且橢圓上一點(diǎn)與 橢圓的兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長為 246 （）求橢圓 M 的方程； （）設(shè)直線 l 與橢圓 M 交于 ,AB兩點(diǎn)，且以 AB 為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn) C ， 求 ABC 面積的最大值 20.（本小題滿分 13 分） 若mAAA , 21 為集合 2(,2,1 nnA 且 )n *N 的子集，且滿足兩個條件： 12 mA A A A； 對任意的 Ayx , ，至少存在一個 ,3,2,1 mi ，使 , xyxAi 或 y . 則稱集合組mAAA , 21 具有性質(zhì) P . 如圖，作 n 行 m 列數(shù)表，定義數(shù)表中的第 k 行第 l 列的數(shù)為)(0)(1llkl AkAka . （）當(dāng) 4n 時，判斷下列兩個集合組是否具有性質(zhì) P ，如果是請畫出所對應(yīng)的表格，如果不是請說明理由； 集合組 1：1 2 3 1 , 3 , 2 , 3 , 4 A A A ； 集合組 2：1 2 3 2 , 3 , 4 , 2 , 3 , 1 , 4 A A A . （）當(dāng) 7n 時，若集合組1 2 3,A A A具有性質(zhì) P ，請先畫出所對應(yīng)的 7 行 3 列的一個數(shù)表，再依此表格分別寫出集合1 2 3,A A A； （ ）當(dāng) 100n 時，集合組12, , , tA A A是具有性質(zhì) P 且所含集合個數(shù)最小的集合組，求 t 的值及12| | | | | |tA A A的最小值 .（其中 |iA表示集合iA所含元素的個數(shù)） 11a 12a ma1 21a 22a ma2 1na 2na nma 第 5 頁 共 10 頁 2013 高考 百天仿真沖刺卷 數(shù)學(xué) (理 )試卷（ 七 ）參考答案 一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分 . 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A D C B B A 二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分 . 9. 30 10. 5 11.1 ； 75 12.(2 2, )4（或其它等價寫法） 13. 2 ； 6 14.120； ( 2 1, 2 ) ,k k k*N. 注： 11、 13、 14 題第一問 2 分，第二問 3 分 . 三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分 .若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標(biāo)準(zhǔn)給分 . 15.（本小題滿分 13 分） 解：（）由題意， sin ( ) 04x ， 2 分 所以 ()4x k k Z， 3 分 第 6 頁 共 10 頁 所以 ()4x k k Z， 4 分 函數(shù) ()fx 的定義域?yàn)?xx ,4kk Z. 5 分 （） c o s 2 c o s 2()s i n ( ) s i n c o s c o s s i n4 4 4xxfxx x x 7 分 2 co s 2sin co sxxx 8 分 222 ( c o s s i n ) 2 ( c o s s i n )s i n c o sxx xxxx . 10 分 因?yàn)?4()3fx，所以 22c o s s i n3xx. 11 分 所以， 2s i n 2 1 ( c o s s i n )x x x 12 分 811 99 . 13 分 16.（本小題滿分 13 分） （） 證明：因?yàn)辄c(diǎn) O 是 菱形 ABCD 的對角線的交點(diǎn)， 所以 O 是 AC 的中點(diǎn) .又點(diǎn) M 是棱 BC 的中點(diǎn)， 所以 OM 是 ABC 的中位線， /OM AB . 1 分 因?yàn)?OM 平面 ABD , AB 平面 ABD , 所以 /OM 平面 ABD . 3 分 （）解：由題意， 3O B O D， 因?yàn)?32BD ， 所以 90BO D， OB OD . 4 分 又因?yàn)榱庑?ABCD ，所以 OB AC ， OD AC . 建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz ，如圖所示 . ( 3 3 , 0 , 0 ) , ( 0 , 3 , 0 ) ,AD( ,0,3)B . 所以 ( 3 3 , 0 , 3 ) , ( 3 3 , 3 , 0 ) ,A B A D 6 分 設(shè)平面 ABD 的法向量為 n ( , , )x y z ， 則有 0,0ABAD nn即： 3 3 3 0 ,3 3 3 0xzxy 令 1x ，則 3 , 3yz，所以 n (1, 3, 3) . 7 分 因?yàn)?,A C O B A C O D,所以 AC 平面 BOD . 平面 BOD 的法向量與 AC 平行， 所以平面 BOD 的法向量為0 (1, 0, 0)n. 8 分 00017c o s ,717 nnnnnn， 因?yàn)槎娼?A BD O是銳角， A B C O D x y z M 第 7 頁 共 10 頁 所以二面角 A BD O的余弦值為 77. 9 分 （）解：因?yàn)?N 是線段 BD 上一個動點(diǎn)，設(shè)1 1 1( , , )N x y z， BN BD ， 則1 1 1( , , 3 ) ( 0 , 3 , 3 )x y z ， 所以1 1 10 , 3 , 3 3x y z ， 10 分 則 ( 0 , 3 , 3 3 )N ， ( 3 3 , 3 , 3 3 )CN ， 由 42CN 得 222 7 9 ( 3 3 ) 4 2 ，即 29 9 2 0 ， 11 分 解得 13或 23， 12 分 所以 N 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (0,2,1) 或 (0,1,2) . 13 分 （也可以答是線段 BD 的三等分點(diǎn)， 2BN ND 或 2BN ND ） 17.（本小題滿分 13 分） 解：（）事件 A 表示“選出的 4 名選手均為男選手” .由題意知 232254()CPACC 3 分 1 1 11 0 2 2 0 . 5 分 （） X 的可能取值為 0,1,2,3 . 6 分 23225431( 0 )1 0 6 2 0CPXCC ， 7 分 1 1 2 12 3 3 322542 3 3 3 7( 1 )1 0 6 2 0C C C CPXCC ， 9 分 213322543 3 3( 3 )1 0 6 2 0CCPXCC ， 10 分 ( 2 ) 1 ( 0 ) ( 1 ) ( 3 )P X P X P X P X 920 . 11 分 X 的分布列： X 0 1 2 3 P 120 720 920 320 12 分 1 7 9 3 1 7( ) 0 1 2 32 0 2 0 2 0 2 0 1 0EX . 13 分 18、 （本小題滿分 14 分） 解：（） 22( ) e xx a x afx x ， 3 分 當(dāng) 2a 時， 2222( ) e xxxfx x ， 121 2 2(1 ) e e1f ， (1) ef ， 所以曲線 ()y f x 在 (1, (1)f 處的切線方程為 e 2eyx ， 5 分 切線與 x 軸、 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為 (2,0) ， (0, 2e) ， 6 分 第 8 頁 共 10 頁 所以，所求面積為 1 2 2 e 2 e2 . 7 分 （）因?yàn)楹瘮?shù) ()fx 存在一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn)， 所以，方 程 2 0x a x a 在 (0, ) 內(nèi)存在兩個不等實(shí)根， 8 分 則 2 4 0 ,0.aaa 9 分 所以 4a . 10 分 設(shè)12,xx為函數(shù) ()fx 的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)， 則12x x a，12x x a， 11 分 因?yàn)椋?512( ) ( ) ef x f x ， 所以，12 512e e exxx a x axx， 12 分 即122 51 2 1 212() eexxx x a x x axx ， 22 5eeaa aa ， 5eea ， 解得， 5a ，此時 ()fx 有兩個極值點(diǎn)， 所以 5a . 14 分 19.（本小題滿 分 14 分） 解：（）因?yàn)闄E圓 M 上一點(diǎn)和它的兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長為 246 ， 所以 24622 ca ， 1 分 又橢圓的離心率為 223，即 223ca ，所以 223ca， 2 分 所以 3a ， 22c . 4 分 所以 1b ，橢圓 M 的方程為 19 22 yx . 5 分 （）方法一：不妨設(shè) BC 的方程 ( 3 ) , ( 0 )y n x n ，則 AC 的方程為 )3(1 xny. 由 22( 3),19y n xx y 得 0196)91( 2222 nxnxn， 6 分 設(shè) ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ， 因?yàn)?22 28 1 93 91nx n ，所以 19 327222 nnx ， 7 分 同理可得221 9327 n nx ， 8 分 所以19 61| 22 nnBC，222961|nnnnAC ， 10 分 964)1()1(2|212 nnnnACBCSABC， 12 分 設(shè) 21 nnt， 第 9 頁 共 10 頁 則22 2 36 4 6 4 899tStt t ， 13 分 當(dāng)且僅當(dāng)38t時取等號， 所以 ABC 面積的最大值為83. 14 分 方法二：不妨設(shè)直線 AB 的方程 x ky m. 由 22,1,9x ky mx y 消去 x 得 2 2 2( 9 ) 2 9 0k y k m y m ， 6 分 設(shè) ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ， 則有12 22 9kmyy k ， 212 299myy k . 7 分 因?yàn)橐?AB 為直徑的圓過點(diǎn) C ，所以 0CA CB. 由 1 1 2 2( 3 , ) , ( 3 , )C A x y C B x y ， 得 1 2 1 2( 3 ) ( 3 ) 0x x y y . 8 分 將1 1 2 2,x k y m x k y m 代入上式， 得 221 2 1 2( 1 ) ( 3 ) ( ) ( 3 ) 0k y y k m y y m . 將 代入上式 ，解得 125m或 3m （舍） . 10 分 所以 125m（此時直線 AB 經(jīng)過定點(diǎn) 12( ,0)5D，與橢圓有兩個交點(diǎn)）， 所以121 | | | |2ABCS D C y y 221 2 1 2 221 3 9 2 5 ( 9 ) 1 4 4( ) 42 5 5 2 5 ( 9 )ky y y yk . 12 分 設(shè)211,099ttk ， 則 29 1 4 45 2 5ABCS t t . 所以當(dāng) 2 5 1( 0 , 2 8 8 9t 時，ABCS取得最大值83. 14 分 20.（本小題滿分 13 分） （）解：集合組 1 具有性質(zhì) P . 1 分 所對應(yīng)的數(shù)表為： 3 分 集合組 2 不具有性質(zhì) P . 4 分 因?yàn)榇嬖?2 , 3 1, 2 , 3 , 4 ， 有1 2 3 2 , 3 2 , 3 , 2 , 3 2 , 3 , 2 , 3 A A A ， 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 第 10 頁 共 10 頁 與對任意的 Ayx , ，都至少存在一個 1, 2,3i ，有 , xyxAi 或 y 矛盾，所以集合組1 2 3 2 , 3 , 4 , 2 , 3 , 1 , 4 A A A 不具有性質(zhì) P . 5 分 （） 7 分 1 2 3 3 , 4 , 5 , 7 , 2 , 4 , 6 , 7 , 1 , 5 , 6 , 7 A A A . 8 分 （注：表格中的 7 行可以交換得到不同的表格，它們所對應(yīng)的集合 組也不同） （）設(shè)12, , , tA A A所對應(yīng)的數(shù)表為數(shù)表 M ， 因?yàn)榧辖M12, , , tA A A為具有性質(zhì) P 的集合組， 所以集合組12, , , tA A A滿足條件和， 由條件：12 tA A A A， 可得對任意 xA ，都存在 1, 2 , 3, , it 有iAx， 所以