畢業(yè)論文-淺談構造法在高中數(shù)學解題中的應用.doc

學習中心編號： 學習中心名稱 西南大學網(wǎng)絡與繼續(xù)教育學院畢 業(yè) 論 文論文題目： 淺談構造法在高中數(shù)學解題中的應用學生姓名 學 號 類 型 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學（數(shù)學教育）層 次 指導教師 日 期 目 錄摘 要3一、緒 論4二、構造法概述42.1 構造法42.2 構造法的歷史42.3 構造法的特征52.4 構造法中常用到的思想方法52.5 構造法中常用到的類型62.6 構造法的優(yōu)點72.7 構造法的注意事項7三、構造法在解題中的應用73.1 構造向量73.2 構造函數(shù)83.3 構造數(shù)列93.4 構造方程103.5 構造幾何模型113.6 構造復數(shù)133.7 構造等價命題14四、結束語14參考文獻15致 謝15淺談構造法在高中數(shù)學解題中的應用摘 要構造法就是根據(jù)題設條件和結論所具有的特征和性質(zhì)，構造出一些新的滿足條件或結論的數(shù)學形式，并借助它來認識與解決原數(shù)學問題的一種思想方法。構造法作為一種重要的數(shù)學思想方法，在數(shù)學產(chǎn)生時就存在,歷史上有不少數(shù)學家都曾用構造法解決過數(shù)學上的很多難題。另外,構造法在中學數(shù)學教學中有著十分重要的地位，特別是在高中數(shù)學教學中，合理地運用構造法可以更快捷、更簡單的解決比較復雜的數(shù)學問題，提高解題效率,同時也能夠提高學生的思維能力、培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識?？梢姌嬙旆▽τ跀?shù)學理論的研究,發(fā)展和數(shù)學問題的解決都具有重要的意義，尤其在中學數(shù)學教學中，構造法的研究和學習顯得非常重要。本文主要分成兩個部分：第一部分主要是對構造法的概念、歷史 、特征 、常用到的思想方法和類型、優(yōu)點、注意事項作出簡單的介紹；第二部分是從構造向量、函數(shù)、數(shù)列、方程、幾何模型、復數(shù)、等價命題這些在高中數(shù)學中常見的構造出發(fā)，通過舉例分析來探討分析構造法在高中數(shù)學中的應用。關鍵詞 ：解題，構造法，應用，高中數(shù)學一、 緒 論 波利亞說過：“解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘?！苯鈹?shù)學問題時，常規(guī)的思考方法是由條件到結論的定向思考，但有些問題用常規(guī)的思維方式來尋求解題途徑卻比較困難，甚至無從著手。在這種情況下，經(jīng)常要求我們改變思維方向，換一個角度去思考從而找到一條繞過障礙的新途徑。構造法就是這樣的手段之一，它是一種新穎獨特、快捷靈活的解題方法。本文將對構造法及其在中學數(shù)學中的應用做簡單探討，通過示例，不斷加深對構造法的理解。二、構造法概述 2.1 構造法構造法就是綜合運用已有的知識和方法，根據(jù)題設條件和結論所具有的特征和性質(zhì)，構造出一些新的滿足條件或結論的數(shù)學形式，并借助它來認識與解決原數(shù)學問題的一種思想方法。其解題模式如下：對題設條件或所求結論進行充分細致的分析，然后通過創(chuàng)造性的思維構造出函數(shù)、圖形、方程、數(shù)列等相應的模型，最后進行推演，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化得出結論。2.2 構造法的歷史 構造法作為一種重要的數(shù)學思想方法，在數(shù)學產(chǎn)生時就存在，它的研究主要經(jīng)歷了三個階段：直覺數(shù)學階段、算法數(shù)學階段、現(xiàn)代構造數(shù)學階段。歷史上有不少數(shù)學家都曾用構造法解決過數(shù)學上的很多難題，如歐幾里得在幾何原本中證明“素數(shù)的個數(shù)是無限的”就是一個典型的范例。隨著科學技術的發(fā)展，計算機科學及現(xiàn)代數(shù)學將對數(shù)學的構造性提出新的要求，使構造性數(shù)學具有突出的重要地位。如現(xiàn)在的組合數(shù)學、計算機科學中所涉及的數(shù)學，都應用了構造的思想，尤其是圖論，更是應用了構造的思想，此外，在拓撲學、維數(shù)理論等的研究中，許多數(shù)學家應用構造法來發(fā)展他們的理論。 2.3 構造法的特征構造思想方法作為一種常用的數(shù)學思想方法，具有其自身獨特的顯著特征，主要表現(xiàn)在：構造性、直觀性、可行性、靈活性以及思維的多樣性。 構造性體現(xiàn)在構造法是通過構造一個輔助問題而使原問題得到轉(zhuǎn)化； 直觀性體現(xiàn)在構造法解決問題的步驟比較直觀； 可行性體現(xiàn)在構造法不僅能判定某種數(shù)學對象的存在，而且在有限步驟內(nèi)能具體找到它； 靈活性體現(xiàn)在用構造法解題，針對某一具體問題，怎樣去進行構造，這與學生的數(shù)學基本功和解題經(jīng)驗都密切相關； 思維的多樣性體現(xiàn)在構造法不同于一般的邏輯方法，一步一步尋求必要條件，直至推導出結論，它屬于非常規(guī)思維，解題常要用到分析、綜合、觀察、比較、聯(lián)想、想象等多種思維形式。2.4 構造法中常用到的思想方法 構造法中常用到一些數(shù)學思想方法，例如： 類比構造：由于問題中研究對象有著形式上、本質(zhì)上的相同或相似，通過構造類似的數(shù)學形式，運用新數(shù)學形式的豐富內(nèi)涵達到解決問題的目的； 歸納構造：對于與有關的問題，直接不容易構造出，而以具體的特殊的如進而推進到等； 逆向構造：是指按逆向思維方式，向原有數(shù)學形式的相反方向去探求，通過構造(形式上，關系上或程度上)對立的數(shù)學形式來解決問題； 聯(lián)想構造：聯(lián)想是由一事物想另一事物的思維方式和過程，這種聯(lián)想通常是事物的形式、結構、范圍、關系等因素作用的結果。2.5 構造法中常用到的類型 下面介紹一些常用的構造方法： 構造數(shù)學命題法：如果遇到的數(shù)學問題直接證明有困難時，可構造其等價命題，并通過證明其等價命題成立從而使所論命題獲證； 構造數(shù)學關系法：由題設條件及所給的數(shù)量關系，構造一種新的函數(shù)、方程、多項式等具體數(shù)學關系，使問題在新的關系下實現(xiàn)轉(zhuǎn)化從而獲得解決的方法稱為構造數(shù)學關系法； 構造幾何圖形法：在解題時若以數(shù)形結合的思想作指導，對于某些較復雜的問題，通過構造圖形啟發(fā)思維，借助于圖形的直觀來解題往往使解題方法簡捷，幾何證題中的輔助線，代數(shù)方程應用題中的示意圖都屬于這一類； 構造結論法：就是按照命題的條件和要求構造出符合結論的數(shù)學對象，從而斷定命題正確性的證題方法。有些數(shù)學命題是斷言存在著某種具有某種性質(zhì)的數(shù)學對象，或者是斷言某種數(shù)學對象具有某種特定的性質(zhì)，對于這類型的數(shù)學命題，證明的關鍵往往是構造出符合要求的數(shù)學對象，用構造結論的辦法對數(shù)學命題作出證明，稱為“構造性證明”； 構造矛盾法：就是首先否定原命題，再利用否定后的命題構造出一個能夠明顯顯露其錯誤的對象，從而導出矛盾，使原命題得證； 構造復數(shù)法:由于復數(shù)具有代數(shù)、幾何、三角等多種表示形式以及它的特征性質(zhì)和運算法則，我們可以構造復數(shù)求解許多代數(shù)、幾何、三角方面的問題，它不但可以提高縱橫運用知識解題的技巧，而且可激發(fā)發(fā)散思維，有效地培養(yǎng)學生的能力，發(fā)展智力； 構造反例法：為了說明一個命題不真，常常選擇一個符合題設條件但命題不成立的反例，這個過程叫構造反例。選擇特殊值,常常是構造反例的關鍵。2.6 構造法的優(yōu)點構造法的優(yōu)點在于它使已知與未知、條件與結論很恰當?shù)慕Y合聯(lián)系起來，起到化簡、轉(zhuǎn)化和“橋梁”的作用。另外，如果我們能掌握構造法并能運用于其解決數(shù)學問題,那么不但可以提高我們的解題能力,而且可以從敏銳的觀察力、創(chuàng)造性的想象、獨特的知識結構及解題靈感這些方面訓練學生的思維，使學生的思維由單一型轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘟嵌?，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造性意識，激發(fā)學生學習的熱情。2.7 構造法的注意事項 運用構造法時要注意以下兩點： 如何恰當?shù)貞脴嬙焖枷虢忸}的關鍵：一要有明確的方向，即為什么目的而構造；二是要弄清條件的本質(zhì)特點，以便重新進行邏輯組合； 在運用構造法時，構造出的數(shù)學模型要保證能反映出原命題的本質(zhì)特征，且構造出的數(shù)學模型所獲得的結果，一定是原命題的解題目標，并經(jīng)過檢驗，對于不符合原命題解題目標的結果應予以舍棄。三、構造法在解題中的應用 3.1 構造向量 向量問題是高中數(shù)學教學中非常重要的內(nèi)容，它不僅反映數(shù)量關系，而且體現(xiàn)位置關系，這種特點使得向量具有廣泛的應用，利用向量模型可以解決代數(shù)、幾何以及三角等數(shù)學問題。而許多學生只是單純地把向量當做一個知識點來記憶而忽視了它與其它知識點之間的聯(lián)系，所以高中數(shù)學教師應該向?qū)W生強化向量的概念并引導學生利用向量來解決相應的問題。 例1 已知為正數(shù)，求函數(shù)的最小值。 解 構造向量 ,，則原函數(shù)就可化為,所以 。 例2 設是平面上的單位向量，且，則的最小值為 解 設，則=，所以當時，取得最小值，為。3.2 構造函數(shù) 函數(shù)在我們整個中學數(shù)學是占有相當?shù)膬?nèi)容，學生對于函數(shù)的性質(zhì)也比較熟悉。選擇熟悉的內(nèi)容來解決不熟悉的題目，同時也達到了訓練學生的思維，增強學生的思維的靈活性、創(chuàng)新性。 例3 已知函數(shù)，當有實數(shù)根時,的范圍為 解 令 ,則與的函數(shù)圖像有交點時，函數(shù)有實根。 因為，所以當時，此時，則在點的切線方程為。 所以當時，與的圖像相切，當時，與的圖像有交點。因此。 例4 求函數(shù)的最大值。解 由根號下的式子看出且,故可聯(lián)想到三角函數(shù)關系式并構造 。所以 。當即時，。3.3 構造數(shù)列近幾年來的高考題中經(jīng)常出現(xiàn)與自然數(shù)n有關的數(shù)學問題尤其是不等式證明題，解這類問題時，一般根據(jù)題目的特征，通過替換、設想等構造出一個與求證問題相聯(lián)系的數(shù)列，并對該數(shù)列的特征進行分析，?？色@得解題的途徑。如果從分析問題所提出的信息知道其本質(zhì)與數(shù)列有關，那么該問題就可以考慮運用構造數(shù)列的方法來解。例5 求證：(其中) 解 欲證含有與自然數(shù)有關的和的不等式,可以構造數(shù)列模型,只需證明數(shù)列是單調(diào)遞增，且構造數(shù)列 ,則有 ,所以數(shù)列為遞增數(shù)列 又因，故 (其中)，即原不等式得證 例6 求自然數(shù)的最大值，使不等式對一切自然數(shù)恒成立。解 令，對任意， ，所以，是單調(diào)遞增數(shù)列（），則的最小值為，其中。 故對一切自然數(shù)使得成立的條件是，即。 因此所求自然數(shù)的最大值是3。3.4 構造方程方程，作為高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，與代數(shù)式、函數(shù)、不等式等知識密切相關。一般根據(jù)已知條件中的數(shù)量關系和結構特征，構造出一個新的方程，然后利用方程中的知識解決問題，使解答簡潔、合理。通過構造方程解題的步驟如下：首先將所面臨的問題轉(zhuǎn)化為方程問題；然后解這個方程或討論這個方程的有關性質(zhì)（常用判別式與韋達定理），得出相應結論；最后將方程的相應結論再返回為原問題的結論。 例7 求的值域。 分析 求函數(shù)的值域的方法很多,判別式法是常用的一種,它的理論依據(jù)是將化為關于的二次方程,那么方程有實數(shù)解時,判別式0,由此可求得函數(shù)的值 解 將變形為關于的方程,當時,解得；當時,。 所以，則的值域是 例8 若，求證:成等差數(shù)列。 解 本題證明方法很多，可以用構造法證明。注意到條件中的等式右邊代數(shù)式的結構特點，容易聯(lián)想起一元二次方程根的判別式，為此可構造以為判別式的一元二次方程。由題可知, , 所以方程有兩個相等實根。 又因為把代入，可得,所以為方程的一個根，從而。 由韋達定理得:,從而，命題得證。3.5 構造幾何模型華羅庚曾說過“數(shù)離開形少直觀，形離開數(shù)難入微”，可見數(shù)形結合的思想是研究數(shù)學的基本思想之一，數(shù)與形是密不可分的。對于本身不具備圖形的一些數(shù)學問題，如果問題條件中的數(shù)量關系有明顯的或隱含的幾何意義與背景，或能以某種方式與幾何圖形建立起聯(lián)系，則可考慮通過構造幾何圖形將題設中的數(shù)量關系直接以圖形的形式表示，然后借助幾何圖形的性質(zhì)在所構造的圖形中尋求問題的結論。 例9 求函數(shù)的值域。解 ，其幾何意義是平面內(nèi)動點到兩定點和的距離之和（如圖1）。 為求其值域只要求其最值即可， 易知當三點共線（即在線段上）時，取得最小值， ，無最大值，故得函數(shù)的值域為 。 例10 若 求證：。解 注意到觀察題目特點，從聯(lián)想到余弦定理，可以構造三角形，同理，另外兩個根式也可構造三角形，利用幾何圖形進行證明。 表示以x，y為邊,夾角為的三角形的第三邊，同理，也有類似的幾何意義。這樣，我們構作頂點為的四面體（如圖2），使得 ， 則有 ,。 由于在中，所以 。 圖1 圖23.6 構造復數(shù) 復數(shù)是高中數(shù)學中的一個重要的知識點，它是實數(shù)的延伸,一些難以解決的實數(shù)問題通過構造轉(zhuǎn)化為復數(shù)問題，雖然數(shù)的結構會變復雜,但常使問題簡明化。 例11 求證：。 分析 若注意到根號里各式子的特點:都是兩個數(shù)的平方和,可以聯(lián)想到復數(shù)的模,構造復數(shù),再運用三角不等式便迅速得解。證明 設，則=,所以有：成立。例12 求函數(shù)的最小值。分析 可以看作的模，可以看作的模，然后利用復數(shù)模的性質(zhì)求解。解 設，則 。因為 ，所以=。當，同向時，即時，有時，的最小值為。3.7 構造等價命題 如果某些命題的表達比較抽象復雜、直接求解比較困難時，可以構造一個表達方式較為通俗易懂且和原命題等價的新命題，比如構造原命題的逆否命題、構造矛盾命題等。例13 方程的正整數(shù)解的組數(shù)是（ ） A.24 B.72 C.144 D.165分析 原命題等價于把12個相同的小球分成4堆。解 先把12個小球排成一行，在形成的11個空中插入3塊隔板，共有=165種，故方程的正整數(shù)解的組數(shù)是165，選D。變式 方程的非負整數(shù)解的組數(shù)是多少？解 設，則，原問題轉(zhuǎn)化為方程有多少正整數(shù)解，由例13易知答案為=455。四、結束語 通過上述的例子可見運用構造法解題可以把問題由繁化簡，由難化易，由抽象化轉(zhuǎn)化為具體，使問題更快地得到解答。此外，構造法在解題中的應用還有許多，須針對不同的數(shù)學問題需靈活采用相應的構造法，所以我們還需要加強對構造法補充和完善，對其進行深入和廣泛的研究并進行教學實踐，這樣才能將構造法應用于更多的數(shù)學題中，且對于迅速發(fā)展的今天培養(yǎng)創(chuàng)新型人才有著非常重要的意義。參考文獻1顏立平. 運用構造法進行教學,培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力J. 教師.2011(31) 2石富華,張姍姍,董永紅. 淺談構造法在高等數(shù)學解題中的運用J. 九江學院學報.2009(03) 3劉良華.數(shù)學構造思想方法的探索與實踐D.華中師范大學,20044劉亦雄,胡典順. 巧用構造復數(shù)法解題J. 數(shù)學通訊.2007(12)5童其林. 構造法實現(xiàn)解題轉(zhuǎn)化的重要方法J. 中學生數(shù)