數(shù)學建模,如何客觀、合理的評價學生學習狀況.doc

如何客觀、合理的評價學生學習狀況摘要 現(xiàn)行的以考試成績衡量學生學習狀況的方法比較主觀，且評價方式單一，忽略了不同基礎(chǔ)水平的同學的進步程度，為了激勵優(yōu)秀學生努力學習取得更好的成績，同時鼓勵基礎(chǔ)相對薄弱的學生樹立信心，不斷進步，我們需要建立一個客觀，合理的評價學生狀況的數(shù)學模型?？紤]到以上情況，本文通過以下幾步來達到目的。步驟一：通過分析題目所給198名學生的整體成績情況，包括大一兩個學期每個學期的整體平均成績、及格率、方差、標準差等多項指標有關(guān)，通過所給數(shù)據(jù)，得到圖表。分析數(shù)據(jù)充分理解學生的學習情況，更有利于以下兩個模型的進行，為模型的建立提供參考。步驟二：對于全面、客觀、合理的評價學生的學習狀況，我們采用了二個模型：模型一：利用黑爾指數(shù)法求得的進步分數(shù)和層次分析法進行評價：設(shè)定適當?shù)臋?quán)系數(shù)，使最終成績更為合理。本專業(yè)為工科類專業(yè)，應更加重視專業(yè)學習能力，因此專業(yè)課程所占權(quán)系數(shù)較高，成績也能更好的選拔專業(yè)能力強的學生。同時為了激勵進步學生，進步分也占有部分權(quán)限，能夠起到很好的鼓勵作用。為此我們設(shè)置：最終成績Y=0.55*專業(yè)課程+0.4*其他課程+0.05*進步分數(shù)。模型二：采用成績標準化模型對成績進行評價：采用對數(shù)變換將負偏態(tài)的成績分布正態(tài)化，并用Matlab進行了正態(tài)檢驗。從而學生成績的差距分布更為合理，成績偏低的學生變換后將處于中等位置，得到適當?shù)墓膭?，改變了負偏態(tài)分布中較多學生成績集中在高分段或低分段的現(xiàn)象。然后，將正態(tài)分布歸一化為標準正態(tài)分布，消除每個學期評價考核體系的不穩(wěn)定性因素，得到每個學生各學期的“有效成績”。并基于有效成績提出了等級評定子模型，確定了等級分數(shù)線，更清楚的表明了每個學生在整體位置。關(guān)鍵詞： 黑爾指數(shù) 層次分析 成績標準化 有效成績 1 問題重述現(xiàn)行的評價方法相對比較局限、主觀、有失公允，只能對學習基礎(chǔ)好的學生產(chǎn)生激勵作用，而不能對所有學生尤其是后進學生起到激勵作用，這種評價弊端開始被越來越多的人關(guān)注。 評價學生學習狀況的目的是激勵優(yōu)秀學生努力學習取得更好的成績，同時鼓勵基礎(chǔ)相對薄弱的學生樹立信心，不斷進步。然而，現(xiàn)行的評價方式單純的根據(jù)“絕對分數(shù)”評價學生的學習狀況，忽略了基礎(chǔ)條件的差異；只對基礎(chǔ)條件較好的學生起到促進作用，對基礎(chǔ)條件相對薄弱的學生很難起到鼓勵作用。請通過科學合理的分析評價方法，設(shè)計合適的數(shù)學模型，對學生學習狀況做出全面、客觀、合理的整體評價。2 問題分析 根據(jù)統(tǒng)計學知識，這198名學生的整體情況應包括兩個學期整體的平均成績、極差、中位數(shù)、方差、標準差、偏度等多項指標。通過整理所給數(shù)據(jù)，可以得到兩個學期所需的相關(guān)指標，并進行正態(tài)性檢驗?？梢杂纱藢W生的整體情況進行全面、直觀的說明。 評價一個學生的學習情況可以有很多方面的因素，如智力因素、學習環(huán)境、學習基礎(chǔ)等。但我們只有學生兩學期的考試成績，如果考慮很多因素就不合現(xiàn)實，具有不可操作性，因此，只著眼于考試成績和進步狀況兩類因素。模型一：為了科學的評價學生的學習情況，必須按照學校專業(yè)的特點，制定合理的學習情況評價體系。由美國學者T.L.Satty提出的層次分析法把人的思維層次化、數(shù)量化，并用數(shù)學方法為分析評價或決策提供定量依據(jù)。我們借用該方法建立評價生成績的層次結(jié)構(gòu)如下。為了鼓勵基礎(chǔ)薄弱但是進步很大的學生，我們設(shè)置了進步分項目，在最終成績的評定中占有一定比例。我院為工科類院，注重專業(yè)素養(yǎng)的培養(yǎng)，因此專業(yè)課程成績十分關(guān)鍵。學習狀況的評價第一層進步得分專業(yè)課程其他課程第二層在第二層以下為第三層，是具體的課程或科目。設(shè)定適當?shù)臋?quán)系數(shù)，使最終成績更為合理。模型二：為了使得學生之間成績的差距分布更為合理，原來成績偏低的學生經(jīng)過變換后處于中等位置，從而使他們會得到適當?shù)墓膭?，樹立信心，不斷進步，并改變負偏態(tài)分布中有較多同學集中在高分段或低分段的情況，激勵成績較低的學生努力學習取得更好的成績，有必要將負偏態(tài)分布的學生成績通過數(shù)學手段變換為正態(tài)分布，而且變換成正態(tài)分布后，還會對數(shù)據(jù)處理帶來極大的方便。由于每個學期的評價體系存在一定的波動，例如考核中不可避免的難易程度的變化等因素會使各學期之間的同一學生成績?nèi)鄙僖欢ǖ谋容^性。為了消除學期之間的差異，為此將正態(tài)分布再經(jīng)過變換為標準正態(tài)分布，使得同一學生在不同學期的成績具有更可靠的可比性。由此我們最終得到了標準化的成績，稱之為“有效成績”，并運用該成績對學生的學生狀況進行評價。3 模型假設(shè)1.假設(shè)總成績總分都是100分；2.假設(shè)兩個學期的學生人數(shù)未發(fā)生改變；3.假設(shè)每位同學的學習考試環(huán)境相同；4.假設(shè)每位同學的學習能力基本保持不變；5.假設(shè)數(shù)據(jù)中的零是特殊情況導致的；6.假設(shè)影響學生成績的因素主要有真實成績與進步程度。4 符號說明與名稱解釋4.1符號說明i 第i個學生，i=1,2199j 第j個指標，j=1,2,7 學生第學期的成績 n=1,2 學生每學期的進步程度 學生的綜合評定指數(shù) 為實際學習成績 為學習成績進步度 表示第個學生第學期的成績 表示第個學生第學期的進步度4.2名稱解釋1. 黑爾指數(shù)轉(zhuǎn)換:用指數(shù)方差確定進步幅度和難度，并根據(jù)高低分的進步幅度，以不同的難度權(quán)重，最后根據(jù)粗測驗獲得的“進步分”的多少來進行評價。2. 層次分析：由美國學者T.L.Satty提出的層次分析法把人的思維層次化、數(shù)量化，并用數(shù)學方法為分析評價或決策提供定量依據(jù)。3. 成績標準化模型：采用對數(shù)變換將負偏態(tài)的成績分布正態(tài)化的模型。5 模型的建立與求解5.1對成績進行分析 利用所給13級大一成績進行統(tǒng)一，得到了學生成績總體分布的情況如圖所示。數(shù)據(jù)處理時把成績分為四個等級。80分及以上為優(yōu)秀，70分到80分之間為良好，60分到70分之間為合格，小于60分為不及格。 從結(jié)果可看出，成績優(yōu)秀和良好的同學居多。但是第二學期優(yōu)秀人數(shù)下降，良好人數(shù)上升。不及格人數(shù)也上升。說明專業(yè)課程難度增加，學生需要更努力才能更上專業(yè)課難度的上升。 利用Excel對統(tǒng)計的數(shù)據(jù)進行進一步分析，得到模型需要的相關(guān)數(shù)據(jù)。如下：Excel對統(tǒng)計后數(shù)據(jù)進一步分析計算得到的表格如下：由上表可以得出：一、二、學期的偏度為負，說明呈負偏態(tài)分布，即分數(shù)小于平均分的學生比大于平均分的學生多。同時我們還可以得到以下結(jié)論：（1）、兩個學期的及格率均在97%以上，可以肯定大部分學生的學習能力；（2）、第二學期的標準差較第一學期的大，說明第二個學期的分數(shù)較為分散，學生的差距較大；（3）、兩個學期中，分數(shù)大于90分的學生比較少，所以該學校應該加強尖子生這塊的培養(yǎng)；（4）、兩個學期的總平均成績在75分左右，學生的總體學習情況良好。5.2.評價學生的學習情況5.2.1所給成績數(shù)據(jù)處理進步得分的計算：黑爾指數(shù)轉(zhuǎn)換:用指數(shù)方差確定進步幅度和難度，并根據(jù)高低分的進步幅度，以不同的難度權(quán)重，最后根據(jù)粗測驗獲得的“進步分”的多少來進行評價。（1） 根據(jù)原始的黑爾指數(shù)表格回歸分析出T分與進步分公式，根據(jù)黑爾指數(shù)換算表回歸分析出T分與相應的進步分y的關(guān)系：y=0.09966*1.0473T ,得到進步分yij 。先是利用公式，其中xij 是第i個學生第j學期的成績，j ,xj 分別每個學期的學生的總體的平均分與標準差。利用這個公式將成績轉(zhuǎn)換為T分。將兩學期兩次額成績分別轉(zhuǎn)換成T分，然后將T分轉(zhuǎn)換為進步分，見附錄。MATLAB計算程序見附錄以下表是學號前二十位學生為例所求的T分和進步分層次分析法: 我們借用該方法建立評價生成績。為了鼓勵基礎(chǔ)薄弱但是進步很大的學生，我們設(shè)置了進步分項目，在最終成績的評定中占有一定比例。我院為工科類院，注重專業(yè)素養(yǎng)的培養(yǎng)，因此專業(yè)課程成績十分關(guān)鍵。在層次分析法中，同一層中的各項成績對上一層的貢獻程度不是均等的，帶有不同的權(quán)重，總成績按加權(quán)平均計算。以下為大一兩學期科目所對應字母設(shè)置：第一學期高等數(shù)學A計算機工程制圖大學計算機基礎(chǔ)電路分析abcd思想道德修養(yǎng)與法律基礎(chǔ)體育電子測量技能訓練軍訓和軍事理論大學外語Aefghi第二學期體育馬克思主義基本原理概論大學生職業(yè)發(fā)展與就業(yè)指導大學外語B中國近現(xiàn)代史綱要概率論與數(shù)理統(tǒng)計模擬電路大學物理C語言程序設(shè)計EFGHIABCD最終成績Y=0.55*專業(yè)課程+0.4*其他課程+0.05*進步分數(shù)以下權(quán)系數(shù)的設(shè)置根據(jù)本小組同學對本專業(yè)了解。專業(yè)課程和其他課程的分配也是本小組觀點，不代表學院分配。由于能力有限抑或是對本專業(yè)了解還不夠深入，權(quán)限系數(shù)的設(shè)置有待優(yōu)化。專業(yè)課 = 一二學期平均第一學期專業(yè)課成績=0.3*a +0.2*b+0.2*c+o.3*d第二學期專業(yè)課成績=0.2*a +0.3*b+0.2*c+o.3*d其他課程= 一二學期平均第一學期其他課程成績=0.2*e +0.25*f+0.2*g+o.1*h+0.25*i第二學期其他課程成績=0.25*E +0.2*F+0.1*G+o.25*H+0.2*I以下表是學號前二十位學生為例所求的最終成績所有數(shù)據(jù)見附錄5.2.2成績標準化模型 原始成績的標準化下面講述如何將原始成績變換為標準化的成績。第一步：原始成績的正態(tài)化及其檢驗假設(shè)(i=1,2,612) 為612個學生的某一學期的原始成績,由將偏態(tài)分布變換為正態(tài)分布的對數(shù)變換法，令：此時這些學生的變換成績yi 滿足正態(tài)分布。由于該函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，原始成績高的反而變換成績低，為了與傳統(tǒng)習慣保持一致，再經(jīng)過下述變換 ， 此時的為正態(tài)化之后的成績。從頻次直方圖可以看出基本符合正態(tài)分布。為了進一步驗證成績分布是否為正態(tài)分布，我們用matlab進行了正態(tài)性檢驗，檢驗程序見附錄。檢驗結(jié)果如圖所示，從圖中可以看出實際觀測值與期望值在中央橫線的一段，坐標點落在中央橫線附近，在中央橫線的兩端則有一定的偏離，但絕大部分偏離值均小于0.05，僅有個別點偏離較大?？梢姡瑢W期1,2的成績呈現(xiàn)正態(tài)分布。 第二步：將正態(tài)分布標準化因為已是正態(tài)分布，因而可由正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布的相關(guān)公式，將轉(zhuǎn)化到服從標準正態(tài)分布，得：有效成績 i=1，2，612均值為 ，方差為 2 =。這就是我們所定義的有效成績。下表是我們應用EXCEL，由兩學期原始成績計算的有效成績(由于篇幅有限成績列表均只列出部分成績，所有成績見附錄)。圖為有效成績的頻次分布直方圖，可以看出它已很好的符合正態(tài)分布。標準正態(tài)化程序見附錄。由于篇幅有限，以下為學號前二十位同學的有效成績： 第一學期 第二學期 學號 正態(tài)分布成績 有效成績 正態(tài)分布成績 有效成績222013333210001153.6149-12.39978461142.1672-9.310990074222013333210002154.1093-0.971879522142.69040.64728808222013333210003154.0695-1.891844374142.4548-3.836982434222013333210004153.95-4.654050399142.4926-3.117519678222013333210005154.1508-0.012619689142.67490.352270283222013333210006154.1352-0.373208928142.71811.174513433222013333210007154.21071.371950527142.6188-0.715503808222013333210009154.1720.47741184142.93235.251469054222013333210010154.42286.274577287143.211710.56940276222013333210011154.32974.122599204142.86964.058074482222013333210012154.1508-0.012619689142.4487-3.953086213222013333210013154.21631.501392818142.94735.536970148222013333210014153.9205-5.335933894142.3891-5.087477226222013333210015154.0551-2.224695979142.75911.95488309222013333210016153.9246-5.241163646142.4579-3.777978875222013333210017154.29283.269666967142.88374.32644551222013333210018154.1404-0.253012515142.69040.64728808222013333210019154.0409-2.552924644142.3748-5.359654935222013333210020154.46557.261574754142.92735.156302023 此時應用有效成績已經(jīng)能夠?qū)W生的學習情況進行公平、合理的評價，因為原始分數(shù)沒有比較的參照點，故而不可比。而有效成績以學生整體的平均分數(shù)作為比較的基準，以標準差作為單位，而且它的基本形式都是平均數(shù)為零、標準差為1。因而無論不同學期成績的平均分和標準差多么不同，一經(jīng)轉(zhuǎn)換為均值為零和標準差為1的標準分數(shù)，則不同學期成績所處的相對地位是平行的，從而有了可比性。這時學生學習狀況的評定不再是簡單的絕對分的比較，名次的提高，也即進步成為了決定學生成績的重要因素。有的同學雖然總分不高，但是根據(jù)有效成績卻排名靠前，充分肯定了學生的進步。圖5 第三步：基于有效成績的等級評定在將原始成績化為符合標準正態(tài)分布的數(shù)據(jù)之后，我們將建立一種評分制度標準化分數(shù)為基礎(chǔ)的成績標準化評價模型。：為總體算術(shù)平均值 ：為總體標準差我們根據(jù)落入和內(nèi)外的概率來確定成績的等級，取落人內(nèi)的概率為68，落入外的概率為10.075 ，落入余下的概率為21.5，則可確定優(yōu)秀、不合格各占50 ，良好、臺格各占10.075，中等占69.35。各等級的對應分數(shù)線為概率等級分數(shù)線（DP），經(jīng)對數(shù)變換的成績數(shù)據(jù)還原成原始分數(shù)，即為各等級的分數(shù)。經(jīng)計算可得各等級分數(shù)線表，如下所示：以第一學期的為例，原始分數(shù)高于85的認定為優(yōu)秀，而低于71.11的認定為不合格，但在這種評定標準中優(yōu)秀與不合格所占比例較小，大部分的人集中在中等層次，從來相對于一般的評定標準更多的人上升到了合格或中等。但這一評定標準是建立在整體成績?yōu)檎龖B(tài)分布的基礎(chǔ)上的，從而當出現(xiàn)因為試卷人為的過于簡單而了導致大量學生的成績偏高時，運用該評定方法則可以提高不合格或合格的分數(shù)線，維持整體的正態(tài)分布，從而保證了評價的合理、公平。6 模型的評價與推廣模型的評價：學生學習狀況評價模型:模型一：層次分析法優(yōu)點：層次分析法可以提高學生學習情況綜合評價指標權(quán)重值的科學性和可信性，從而能夠很好地反映學生的實際學習情況，避免了傳統(tǒng)的將各項分數(shù)相加求和的不合理性做法，從而使教育管理者能更好的了解學生學習狀態(tài)，有效的實施教學管理。特別對于專業(yè)性要求很高的工科專業(yè)，此方法更有利于選拔專業(yè)素養(yǎng)好的學生。同時也對進步大的學生有所鼓勵，激起他們對學習的興趣。缺點：仍在一定程度受主觀因素的影響，各項指標權(quán)重的確定方式有待進一步的改進。模型二：成績標準化模型優(yōu)點：通過標準化過程，使學生成績呈正態(tài)分布，讓一些成績靠后的學生能進入中間水平，同時各個學期的成績經(jīng)過標準化之后具有了可加性，相加的最終結(jié)果能正確的反映學生的整體水平，而不是在絕對分數(shù)中只靠幾次突出的成績就能提高得到好的名次，從而更加公平、合理。缺點：正態(tài)化的方法還要進一步探討，從而讓結(jié)果能有更好的正態(tài)性。參考文獻周凱等人 編著數(shù)學建模競賽輔導教程浙江大學出版社 2009年8月第一版;姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學建模(第三版) M,北京：高等教育出版社，2003，224-229。茆詩松，程依明，濮曉龍，概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程，北京：高等教育出版社，2004.7韓中庚，數(shù)學建模的方法及其應用M ,北京：高等教育出版社，2006。于廣華，李信梅，考試成績的描述統(tǒng)計分析及其評定A，1-2頁，2000，No.7。馬引弟,黎延海,基于模糊層次分析法的高校課堂教學質(zhì)量綜合評價模型，1-3頁，2009年第八卷第3期。翁潔靜，標準分制度在成績統(tǒng)計過程中的應用A，1-3頁，（2009）04-0027-03。附錄：MATLAB程序第一學期原始數(shù)據(jù)第二學期原始數(shù)據(jù)T分、進步分的計算程序 正態(tài)化計算程序標準正態(tài)化計算程序附錄一T分和進步分第1 學期第2學期學號T分進步分T分進步分22201333321000118.18940.23123.530.295722201333321000248.92430.956152.3481.1222201333321000346.97040.873541.21380.669522201333321000440.62590.651543.17870.733122201333321000550.87811.046451.69311.086622201333321000650.15371.01253.49421.180922201333321000753.55651.184349.2370.9722201333321000951.84411.094261.35361.698122201333321001061.85491.737969.37682.460322201333321001158.43011.483559.2251.53922201333321001250.87811.046440.88630.659422201333321001353.7981.197661.84481.737122201333321001438.93540.602637.61150.566822201333321001546.2460.844855.13161.273722201333321001639.17690.609341.37750.674522201333321001756.98121.387459.71621.574322201333321001850.39521.023352.3481.1222201333321001945.52150.816936.79290.545822201333321002063.32581.860161.18891.685322201333321002148.92430.956146.78090.865922201333321002257.22271.40357.91511.448622201333321002357.94721.450763.97341.916622201333321002435.75220.520140.55880.649522201333321002540.38440.644347.92710.91322201333321002654.03941.2145.14350.802822201333321002749.16580.966845.30730.808922201333321002834.54470.491935.15550.50622201333321002955.02731.267652.67551.13722201333321003042.82120.721139.41270.61622201333321003145.2580.80753.49421.180922201333321003230.1540.401635.48290.513722201333321003326.48780.33929.86130.396222201333321003456.23481.340354.47661.235722201333321003563.56731.88163.80971.902222201333321003658.69361.501659.881.586322201333321003742.82120.721152.83921.145722201333321003854.03941.21160.04371.598322201333321003958.69361.501659.55251.562422201333321004044.05060.763250.21941.01522201333321004148.92430.956151.20181.062222201333321004261.61341.718651.52931.078422201333321004355.26881.281851.52931.078422201333321004446.72890.863851.36561.070222201333321004541.61380.68245.96220.833722201333321004656.98121.387463.6461.887822201333321004750.87811.046456.44151.353222201333321004856.73971.37256.27771.34322201333321004964.05021.923466.26582.130822201333321005055.02731.267656.27771.34322201333321005153.55651.184351.85681.094822201333321005258.93511.518555.95031.322822201333321005347.45340.893246.12590.840122201333321005454.30291.225949.89190.999822201333321005544.29210.771847.59960.899322201333321005655.99331.325566.26582.130822201333321005741.37230.674439.57640.620722201333321005852.10751.107660.37121.622722201333321005957.70751.434656.1141.332922201333321006037.22310.556734.1730.483522201333321006146.2460.844844.32480.77322201333321006248.44130.93549.07320.962722201333321006353.3151.171151.69311.086622201333321006553.3151.171151.03811.054222201333321006657.70571.434658.40631.481822201333321006759.4181.552844.8160.970722201333321006862.09641.757448.41830.93422201333321006942.82120.721143.01490.727622201333321007051.36111.0753.82171.198922201333321007140.38440.644350.21941.01522201333321007246.72890.863847.59960.899322201333321007353.7891.197650.87441.046222201333321007448.68280.945443.99730.761422201333321007546.2460.844852.02051.103122201333321007658.69361.501665.28332.036222201333321007767.71652.278663.15471.845522201333321007940.14290.637143.17870.733122201333321008044.29210.771838.75770.597622201333321008146.2460.844853.0031.154422201333321008263.80871.902169.21312.441822201333321008316.9820.218526.64110.341422201333321008443.32610.738145.30730.808922201333321008558.18871.46755.78651.312922201333321008655.02731.267657.26021.405422201333321008753.55651.184363.80971.902222201333321008852.10751.107657.58761.426822201333321008951.60261.08247.10840.879122201333321009057.70571.434657.91511.448622201333321009151.84411.094249.56450.984822201333321009263.80871.902155.62281.30322201333321009368.44092.356270.5232.594122201333321009459.65951.570259.06131.527422201333321009546.2460.844856.44151.353222201333321009652.8321.145353.0031.154422201333321009761.85491.501664.79211.990522201333321009858.69360.556756.1141.332922201333321009937.22311.296247.27210.885822201333321010055.51031.40350.38311.022722201333321010157.22271.587848.90950.955422201333321010259.9011.923463.80971.902222201333321010364.05021.340364.79211.990522201333321010456.23481.171153.98541.20822201333321010553.3150.977647.76330.906122201333321010649.40730.630140.06760.634922201333321010739.90140.854234.8280.498422201333321010846.48740.595350.05571.007422201333321010938.6720.674536.13790.529522201333321011034.54470.491942.19620.700622201333321011142.57970.713140.88630.659422201333321011246.48740.854248.09080.919922201333321011355.51031.296251.36561.070222201333321011455.02731.267650.54691.030522201333321011561.13041.680662.66351.80422201333321011652.3491.1248.90950.955422201333321011753.55651.184353.82171.198922201333321011940.14290.637139.90390.630122201333321012063.56731.88151.69311.086622201333321012148.92430.956143.34240.738722201333321012239.90140.630141.54130.679722201333321012349.16580.966843.50610.744322201333321012452.59051.132646.28970.846522201333321012548.68280.945451.85681.094822201333321012668.68242.382655.78651.312922201333321012855.02731.267649.40070.977322201333321012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第一學期 第二學期 平均 學號專業(yè)其他專業(yè)其他