清北學(xué)堂 2014年寒假高一理科精英班導(dǎo)學(xué)1-物理學(xué)科專題講解+例題精講

2014 年寒假 高一理科精英班 導(dǎo)學(xué) （第 一 次） 資料 說(shuō)明 本 導(dǎo)學(xué)用于學(xué)員在實(shí)際授課 之 前 ，了解授課方向及重難點(diǎn)。 同時(shí) 還 附上部分知識(shí)點(diǎn) 的詳細(xì)解讀。每個(gè)班型導(dǎo)學(xué)共由 2 次書面資料構(gòu)成。此次發(fā)布的為第 一 次導(dǎo)學(xué)，后面的第 二次導(dǎo)學(xué) ， 將于 2013 年 12 月 25 日發(fā)布。在 2013 年 12 月 20 日，公司 還 會(huì)發(fā)布 相應(yīng)班型的詳細(xì)授課大綱，敬請(qǐng)關(guān)注。 自主招生郵箱： 數(shù)學(xué)競(jìng)賽郵箱： 物理競(jìng)賽郵箱： 化學(xué)競(jìng)賽郵箱： 生物競(jìng)賽郵箱： 理科精英郵箱： 清北學(xué)堂集中 培訓(xùn)課程 導(dǎo)學(xué)資料 （ 2014 年寒假集中培訓(xùn) 課程 使用 ） QBXT/JY/DX2013/12-3-3 2013-12-15 發(fā)布 清北學(xué)堂教學(xué)研究部 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 1 頁(yè) 2014 年寒假 高一理科精英班 導(dǎo)學(xué) (物理 部分 ) 目錄 知識(shí)框架 . 3 重點(diǎn)難點(diǎn) . 4 知識(shí)梳理 . 5 一、 運(yùn)動(dòng)學(xué) . 5 1. 運(yùn)動(dòng)的合成與分解 . 5 2. 相對(duì)運(yùn)動(dòng) . 5 3. 直線運(yùn)動(dòng) . 5 4. 曲線運(yùn)動(dòng) . 5 5. 剛體平動(dòng) . 7 6. 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng) . 7 二、 靜力學(xué) . 7 1. 力的種類與特性 . 7 2. 力的合成與分解 . 8 3. 共點(diǎn)力的平衡 . 8 4. 非共點(diǎn)力的平衡 . 8 5. 液體壓強(qiáng)與浮力 . 8 6. 液體表面張力 . 8 三、 動(dòng)力學(xué) . 8 1. 牛頓運(yùn)動(dòng)定律 . 8 2. 質(zhì)心和質(zhì)心參考系 . 9 3. 非慣性系 . 9 4. 慣性力 . 9 5. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 . 9 6. 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的牛頓運(yùn)動(dòng)定律 . 10 四、 能量、動(dòng)量和角動(dòng)量 . 10 1. 機(jī)械能守恒定律 . 10 2. 功能原理 . 10 3. 動(dòng)能定理 . 11 4. 動(dòng)量守恒 . 11 5. 碰撞問(wèn)題 . 12 6. 角動(dòng)量守恒定律 . 12 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 2 頁(yè) 五、 天體運(yùn)動(dòng) . 13 1. 萬(wàn)有引力 . 13 2. 開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律 . 13 3. 宇宙速度與軌道能量 . 13 六、 經(jīng)典方法歸納 . 14 1. 微元法 . 14 2. 等效法 . 14 3. 整體法和隔離法 . 14 4. 幾何法 . 14 5. 虛功原理 . 14 6. 摩擦角 . 15 例題選講 . 16 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 3 頁(yè) 知識(shí)框架 運(yùn)動(dòng)學(xué) 基本要求 運(yùn)動(dòng)的合成與分解 相對(duì)運(yùn)動(dòng) 直線運(yùn)動(dòng) 曲線運(yùn)動(dòng)（平拋、圓周） 拔高內(nèi)容 曲線運(yùn)動(dòng)（斜拋） 剛體平動(dòng) 和轉(zhuǎn)動(dòng) 經(jīng)典方法 微元法、作圖法、極限法、等效法、矢量法 靜力學(xué) 基本要求 力的種類與特性 力的合成與分解 力的平衡（共點(diǎn)力） 液體的靜壓強(qiáng)與浮力 拔高內(nèi)容 力矩問(wèn)題（非共點(diǎn)力） 液體表面張力 經(jīng)典方法 摩擦角、極限法、微元法、虛功原理 動(dòng)力學(xué) 基本要求 牛頓運(yùn)動(dòng)定律 質(zhì)心和質(zhì)心參考系 拔高內(nèi)容 非慣性系 慣性力 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的牛頓運(yùn)動(dòng)定律 經(jīng)典方法 整體法、隔離法、微元法 能量、動(dòng)量和角動(dòng)量 基本要求 機(jī)械能守恒定律 功能原理 動(dòng)能定理 動(dòng)量守恒 碰撞問(wèn)題 拔高內(nèi)容 角動(dòng)量守恒定律 天體運(yùn)動(dòng) 基本要求 萬(wàn)有引力 開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律 宇宙速度與軌道能量 常用 方法 能量守恒、角動(dòng)量守恒 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 4 頁(yè) 重點(diǎn)難點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)是高中物理最為基本的內(nèi)容，大部分理論內(nèi)容都列于高考考綱之內(nèi)，因此需要 熟練掌握 。在學(xué)習(xí)中重點(diǎn)要訓(xùn)練的是如何變換角度和思路，靈活快速解題。非慣性參照系、斜拋運(yùn)動(dòng)以及剛體的知識(shí)都不在高考考綱的范圍之內(nèi)，知識(shí)點(diǎn)也較有難度。不過(guò)在競(jìng)賽及自主招生考試中經(jīng)常容易出現(xiàn)，需要特別注意。 靜力學(xué)是高中物理力學(xué)部分的基礎(chǔ)，需要熟練掌握并理解 物理過(guò)程 。靜力學(xué)中的平衡問(wèn)題是高考乃至競(jìng)賽中的重點(diǎn)，受力分析是難點(diǎn)。 動(dòng)力學(xué)中解題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確 分析物體的受力 。受力分析的方法在靜力學(xué)中已經(jīng)重點(diǎn)訓(xùn)練過(guò)，需要在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中 靈活運(yùn)用 。在競(jìng)賽或自招考試中，較常見(jiàn)對(duì)于非慣性系和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的考查，應(yīng)該作為難點(diǎn)進(jìn)行攻克。 能量、動(dòng)量和角動(dòng)量部分，如何基于物體的受力分析判斷出適用的守恒定律，并列出方程是需要訓(xùn)練的重點(diǎn)。 在守恒定律不能封閉方程組的情況下要從 運(yùn)動(dòng)學(xué) 角度尋找其他方程。這部分問(wèn)題的難點(diǎn)通常在應(yīng)用 動(dòng)量守恒定律 方面， 碰撞問(wèn)題 是 考查 重點(diǎn)。此外，角動(dòng)量部分也需要熟悉并能在涉及轉(zhuǎn)動(dòng)的問(wèn)題中靈活使用動(dòng)量守恒和 角動(dòng)量守恒 定律。 天體運(yùn)動(dòng)中， 開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律 是重點(diǎn)，要結(jié)合 角動(dòng)量守恒定律 進(jìn)行求解。 巧妙地運(yùn)用經(jīng)典方法能夠很大程度上縮短解題的時(shí)間，提高解題的準(zhǔn)確度。因此在求解力學(xué) 問(wèn)題時(shí)常用的 幾種經(jīng)典 方法也應(yīng)該作為重點(diǎn)和難點(diǎn)掌握。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 5 頁(yè) 知識(shí)梳理 一、 運(yùn)動(dòng)學(xué) 1. 運(yùn)動(dòng)的合成與分解 a) 包括 位移 、 速度 和 加速度 的合成與分解； b) 遵守矢量合成法則 平行四邊形法則 ； c) 注意分運(yùn)動(dòng)和合運(yùn)動(dòng)在 時(shí)間上的同一性 ； d) 要根據(jù) 實(shí)際的運(yùn)動(dòng)效果 選擇分量的方向 。 2. 相對(duì)運(yùn)動(dòng) a) 絕對(duì)運(yùn)動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)對(duì)地或?qū)Φ孛骒o止物體的運(yùn)動(dòng)； b) 相對(duì)運(yùn)動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)對(duì)運(yùn)動(dòng)參照系的運(yùn)動(dòng)； c) 牽連運(yùn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng)參照系對(duì)地的運(yùn)動(dòng)； d) 三者的關(guān)系（以速度矢量為例） 牽連相對(duì)絕對(duì) vvv ； e) 注意三者的方向性關(guān)系。 3. 直線運(yùn)動(dòng) （ 1） 勻速直線運(yùn)動(dòng) vts （ 常數(shù)v 0a ） （ 2） 勻變速直線運(yùn)動(dòng) 1) 勻變速直線運(yùn)動(dòng)的一般規(guī)律 a) 速度表達(dá)式 ： atvvt 0 。 b) 位移表達(dá)式 ： 20 21 attvs 。 c) 速度與位移的關(guān)系 ： asvvt 2202 。 2) 自由落體運(yùn)動(dòng) gtvt 221gts 3) 豎直拋體運(yùn)動(dòng) 1 豎直下拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律：規(guī)定 拋出點(diǎn)為原點(diǎn) ，豎直 向下為正方向 ，公式為 gtvvt 0 20 21 gttvs 2 豎直上拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律：規(guī)定 拋出點(diǎn)為原點(diǎn) ，豎直 向上為正方向 ，公式為 gtvvt 0 20 21 gttvs 4. 曲線運(yùn)動(dòng) （ 1） 拋體運(yùn)動(dòng) 1) 平拋運(yùn)動(dòng) a) 分位移： tvx 0 221gty 。消去參數(shù) t ，得 軌跡方程 ： 2202 xvgy。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 6 頁(yè) 位移公式 ： )21()( 22022 gttvyxs 。 位移 s 和 x 軸方向夾角 ：02arctan vgt 。 b) 分速度 ： 0vvx gtvy 。 速度公式 ： 222022 tgvvvv yx 。 速度 v 與 x 軸方向夾角 ：0arctan vgt 。 c) 加速度 ： 0xa gay 。 2) 斜拋運(yùn)動(dòng) 整體思路 ： 將 斜拋的 初速度 分解為 水平初速度 和 豎直初速度 ，在水平和豎直方向上分別為 勻速直線運(yùn)動(dòng) 和有初速度的 勻變速直線運(yùn)動(dòng) （豎直加速度為 ）?？梢哉f(shuō)，平拋運(yùn)動(dòng)是斜拋運(yùn)動(dòng)的一個(gè)特例（ 平拋 = 0）。 分速度公式 ： cos0vvx gtvv y sin0 ， 斜上拋運(yùn)動(dòng) ， 斜下拋運(yùn)動(dòng) 。 分位移公式 ： tvx cos0 20 21s in gttvy ， 斜上拋運(yùn)動(dòng) ， 斜下拋運(yùn)動(dòng) 。 軌跡方程 ： 2220 c o s2ta n xv gxy ， 斜上拋運(yùn)動(dòng) ， 斜下拋運(yùn)動(dòng) 。 斜上拋運(yùn)動(dòng) 的幾個(gè) 特征量 ：飛行時(shí)間gvT sin2 0射高gvH 2sin220 射程gvs 2sin20 （ 2） 圓周運(yùn)動(dòng) 1) 勻速圓周運(yùn)動(dòng) 線速度、角速度及其關(guān)系 ： tsv t rv ，其中 s 為弧長(zhǎng)， 為圓心角。 加速度 ：切向加速度 0ra ；法向加速度 rrvan 22 ， 指向圓心 。 2) 變速圓周運(yùn)動(dòng) 合加速度的方向 不指向圓心 ，加速度可分解為 向心 加速度 和 切向 加速度 兩個(gè)分量。 即： rn aaa 22 rn aaa nraatan 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 7 頁(yè) （ 3） 一般曲線運(yùn)動(dòng) 每一 光滑平面曲線 中任何一個(gè) 無(wú)限小部分 均可屬于某一 圓 ，此圓稱為曲線在該部位的 曲率圓 ，其半徑稱為 曲率半徑 ，常記為 ，運(yùn)動(dòng)速度 v 及向心加速度 na 與曲率半徑 間有關(guān)系式： 2n va 5. 剛體平動(dòng) 在任何情況下都 不發(fā)生形變 的物體稱為 剛體 。 剛體平動(dòng)的 特點(diǎn) 是：剛體上 各點(diǎn) 在空間運(yùn)動(dòng)的軌跡通過(guò)平移可以 完全重合 ，同一時(shí)刻剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度都相同。因此， 整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)可以視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 。 6. 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 特點(diǎn) 是：剛體上的 各點(diǎn) 都在 與轉(zhuǎn)軸垂直的平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng) ，各點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的 半徑可以不相等 ，但各點(diǎn)的 轉(zhuǎn)過(guò)的角度都相同 。 轉(zhuǎn)動(dòng)涉及的運(yùn)動(dòng)學(xué)變量為 角位移 、 角速度 、 角加速度 ，這些概念可以分別與直線運(yùn)動(dòng)中的 位移 、 速度 、 加速度 類比。 當(dāng) 為常量時(shí)，為勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。類似于勻變速直線運(yùn)動(dòng)，有： = 0 + = 0 +0 +122 2 02 = 2(0) 對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上的某點(diǎn)，以 R 表示該點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離，則該點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的 線速度 v、 切向加速度 和 法向加速度 ，分別表示為： = = = 2 二、 靜力學(xué) 1. 力的種類與特性 （ 1） 重力 a) 重力由 地球引力 引起； b) 在計(jì)算中一般認(rèn)為重力方向 豎直向下 ，作用在物體 重心 上； c) 重力為 非接觸力 。 （ 2） 彈力 a) 彈力產(chǎn)生必要條件為 相互接觸且有形變 ； b) 彈力為 接觸力 ； c) 判斷 形變 是否存在：可采用 假設(shè)法 判斷物體間是否具有 相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì) 或 相對(duì)運(yùn)動(dòng) 。 1) 輕繩、輕桿、輕彈簧 a) 輕繩 受力， 只能產(chǎn)生 拉力 ，方向 沿繩子且指向繩子收縮的方向 。 b) 輕桿 受力，有 拉伸 、 壓縮 、 彎曲 、 扭轉(zhuǎn) 形變，相應(yīng)的桿的彈力 方向具有多向性 。 c) 輕彈簧 受力，有 壓縮 和 拉伸 形變，能產(chǎn)生 拉力 和 壓力 ，方向 沿彈簧的軸線方向 。 2) 面與面、點(diǎn)與面接觸 面與面、點(diǎn)與面接觸時(shí)，彈力方向 垂直于面 （若是曲面則 垂直于切面 ）， 指向受力物體 。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 8 頁(yè) （ 3） 摩擦力 a) 摩擦力產(chǎn)生的 必要條件 為 有相互作用彈力及相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)或相對(duì)運(yùn)動(dòng) ； b) 摩擦力為 接觸力 ； c) 判斷 相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì) 是否存在：通過(guò) 假設(shè)法 判斷； d) 滑動(dòng)摩擦力 Nf ， 為滑動(dòng)摩擦系數(shù)； e) 靜摩擦力 滿足 sms ff 0 ，其中 Nfsm 0 為最大靜摩擦力， 0 為靜摩擦系數(shù)。實(shí)際上 0 ，但一般認(rèn)為 0 。 2. 力的合成與分解 a) 力的合成與分解遵循 平行四邊形法則 。 b) 力的分解可根據(jù)其 作用效果 分解為兩個(gè)或多個(gè) 效果單一 的力。 3. 共點(diǎn)力的平衡 a) 平衡條件： 合力為零 ，即 0i iF ，分量形式為 0i ixF ， 0i iyF 。 b) 共點(diǎn)力性質(zhì)：當(dāng) 物體受三個(gè) 不平行 的力作用平衡時(shí)， 三力必為共點(diǎn)力 。 4. 非共點(diǎn)力的平衡 a) 平衡的一般條件： 合力為零且合力矩為零 ，即 0i iF ， 0i iM 。 b) 力矩：表征作用力使物體繞著轉(zhuǎn)動(dòng)軸或支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的趨向，由徑向矢量與作用力叉積得到。 5. 液體壓強(qiáng)與浮力 a) 液體靜壓：與 液體密度和深度成正比 ，即 ghP ， 為液體密度， h為深度。 b) 浮力：浸在靜止液體中物體受到液體對(duì)它各個(gè)方向總壓力的 合力 ，其大小就等于被物體所 排開的液體受的重力 。 gVF ，式中 V 為物體浸沒(méi)在液體部分的體積， 為液體密度。浮力的方向是 豎直向上 的，浮力的大小 與物體的重量無(wú)關(guān) ， 與物體在液體中 深度無(wú)關(guān) 。 6. 液體表面張力 液體與其他相物體 交界面 處會(huì)產(chǎn)生表面張力， LF ， 為表面張力系數(shù)， L為交界面長(zhǎng)度。表面張力 垂直于交界面 。 三、 動(dòng)力學(xué) 1. 牛頓運(yùn)動(dòng)定律 a) 牛頓第一定律： 慣性定律 ，不受力物體保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 b) 牛頓第二定律：物理的 加速度與合外力成正比 ， 跟質(zhì)量成反比 ， 即： amF 。 c) 牛頓第三定律：作用力與反作用力 等大反向 ，在同一條直線上。 三大定律中 第二定律 使用最多，也最為重要。第二定律同樣 適用于質(zhì)點(diǎn)組 。質(zhì)點(diǎn)組某一時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn) 受外力 x 方向分量為 xF1 ， xF2 ， ， kxF ，加速度 x 方向分量為 xa1 ， xa2 ， ，kxa ，則： 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 9 頁(yè) kxxxx FFFF 21 為質(zhì)點(diǎn)系 x 方向上所受的 合外力 ，進(jìn)而有： kxkxxx amamamF 2211 上式為 質(zhì)點(diǎn)組的牛頓第二定律 。 2. 質(zhì)心和質(zhì)心參考系 對(duì) n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)， 1m ， 2m ， ， nm 和 1r ， 2r ， ， nr 分別為質(zhì)量和位置矢量，系統(tǒng) 質(zhì)心的位置矢量 為： mrmmmmrmrmrmrni iinnnc 1212211，其中 ni imm 1。 質(zhì)心位置矢量在 直角坐標(biāo)系 三個(gè)方向上的 投影分量 為： mxmxni iic 1， mymyni iic 1， mzmzni iic 1 對(duì)質(zhì)心的牛頓第二定律 為 camF ， F 為 系統(tǒng)所受合外力 ， ca 為 質(zhì)心加速度 。 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律 ：不管物體的質(zhì)量如何分布，也不管外力作用點(diǎn)在物體的哪個(gè)位置，質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)總等效于物體的質(zhì)量全部集中在此點(diǎn)、外力作用于此點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。 以 質(zhì)心作參照 的參考系為質(zhì)心系，多質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng) 不受外力 時(shí) 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變 ，結(jié)合質(zhì)心定義可確定各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 3. 非慣性系 牛頓第一定律不成立 的參考系叫非慣性參考系，簡(jiǎn)稱 非慣性系 ，如加速運(yùn)動(dòng)的小車、考慮自轉(zhuǎn)時(shí)地球等。選取非慣性系作為參考系時(shí)由于牛頓第一定律不成立，牛頓運(yùn)動(dòng)定律的形式將發(fā)生改變。 4. 慣性力 非慣性系相對(duì)慣性系有加速度，因此相對(duì)慣性系沒(méi)有加速度的物體對(duì)非慣性系有加速度，因此在非慣性系看來(lái)認(rèn)為物體受到了一種 方向與非慣性系相對(duì)于慣性系的加速度相反 的力，這種力叫慣性力： amF 慣 ， m 為物體質(zhì)量， a 為非慣性系相對(duì)于慣性系的加速度。 慣性力 不是真實(shí)存在 的，因此 沒(méi)有反 作用力 。引入慣性力后非慣性系中動(dòng)力學(xué)方程與慣性系 形式相同 。 5. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 對(duì)饒定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，描述其轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)量為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的 角位移 、剛體旋轉(zhuǎn)的 角速度 和剛體旋轉(zhuǎn)的 角加速度 ，動(dòng)力學(xué)量為剛體受外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的 合外力矩 M ，剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I 。 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為 12i iirmI。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 10 頁(yè) 計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有三個(gè)定理，即平行軸定理、垂直軸定理和伸展定則。 a) 平行軸定理 ：剛體對(duì) 過(guò)質(zhì)心的軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 I ，則剛體對(duì) 與該軸平行 且相距為 d的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2mdII 。 b) 垂直軸定理 ：設(shè)三維直角坐標(biāo)系 xy 平面內(nèi)有一 平板狀剛體 ，對(duì) x 軸和 y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 xI 和 yI ，則剛體對(duì) z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 yxz III 。 c) 伸展定則 ：剛體上任一點(diǎn) 平行的沿一直軸 移動(dòng)一段距離，剛體 對(duì)該軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變。 6. 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的牛頓運(yùn)動(dòng)定律 類比質(zhì)點(diǎn)牛頓運(yùn)動(dòng)定律， 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)定律 為 IM 。由此可總結(jié) 轉(zhuǎn)動(dòng)與平動(dòng) 各物理量之間的 對(duì)應(yīng)關(guān)系 ： 平動(dòng) 轉(zhuǎn)動(dòng) 位移 s 角位移 速度 v 角速度 加速度 a 角加速度 力 F 力矩 M 質(zhì)量 m 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I 根據(jù)上面的對(duì)應(yīng)關(guān)系可直接將各平動(dòng)定律的形式 改寫 為轉(zhuǎn)動(dòng)定律。 四、 能量、動(dòng)量和角動(dòng)量 1. 機(jī)械能守恒定律 （ 1） 勢(shì)能 高中 涉及到的勢(shì)能可大致分為兩類，一類是由引力場(chǎng)（電場(chǎng)）產(chǎn)生的 引力勢(shì)能（電勢(shì)能） ，另一類是由彈簧或其他彈性體彈性形變產(chǎn)生的 彈性勢(shì)能 。 以引力勢(shì)能為例，取無(wú)窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，則其形式為 rGMmEp ，其中 r 為兩物體之間的距離。 以彈簧彈性勢(shì)能為例，進(jìn)度系數(shù)為 k 的彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為 221kxEp ，其中 x 為彈簧的伸長(zhǎng)量（壓縮量）。 （ 2） 機(jī)械能守恒定律 系統(tǒng)內(nèi) 只有保守力做功 ，其他非保守內(nèi)力和外力做功之和為零，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。 2. 功能原理 （ 1） 矢量標(biāo)積 矢量是既有大小又有方向且加減運(yùn)算遵循平行四邊形定則的一種量，矢量的大小也稱為清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 11 頁(yè) 絕對(duì)值。 設(shè)矢量 A 、 B 的夾角為 ，其標(biāo)積用 BA 表示，定義為 cosAB ，即 cosABBA 。 “標(biāo) ”指結(jié)果為一般標(biāo)量， “積 ”指 BA 是一種乘積運(yùn)算。這種乘法用其間的一個(gè)點(diǎn)表示，故又稱為點(diǎn)乘或點(diǎn)積。標(biāo)積的正負(fù)與 的取值有關(guān)。 （ 2） 變力的功 一般情況下，力是變力，而物體的運(yùn)動(dòng)軌跡可能是曲線。這時(shí)，必須將恒力做功公式的結(jié)果進(jìn)行推廣。 設(shè)質(zhì)點(diǎn)從 A 點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)，現(xiàn)在來(lái)確定變力 F 在這段過(guò)程中所做的功。為此，將此過(guò)程分成許多小段，取其中任意一小段 is ，當(dāng) is 很小時(shí)， is 可看作直線，其方向沿曲線的切線，而在這小段上力可視為恒力，以 iF 表示，設(shè)力 iF 與 is 夾角為 i ，則兩者的標(biāo)積即為 iF 在 is 段對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功，稱為元功，記為 iiiiii sFsFW c o s 。變力 F 從 A 到 B 對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功，就等于所有元功的代數(shù)和，即 BA iiBA i sFWW。 變力在曲線運(yùn)動(dòng)中的功也可由 F -s 圖像和 s 軸包圍的 “面積 ”求解。 在一些特定情況下，例如：已知恒定功率和時(shí)間可用 PtW 求解；若知物體的動(dòng)能變化，可用動(dòng)能定理求解；若作用力的大小隨位移作線性變化，可用平均力作為恒力按功的定義求解。 （ 3） 功能原理 系統(tǒng) 機(jī)械能的變化量 等于 外力 對(duì)系統(tǒng)所做 總功 與系統(tǒng)內(nèi) 耗散力做功 的代數(shù)和。耗散力指的是 非保守力 ，即 做功與路徑有關(guān) 的力。目前接觸到的力除重力、庫(kù)侖 力外其他力均為非保守力。 這里要注意， 彈簧彈力做功可用初末位置的彈性勢(shì)能變化來(lái)求解 ，乍看起來(lái)彈簧做功做功只與初末位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)，但實(shí)際上彈簧系統(tǒng)是一個(gè) 一維系統(tǒng) ，一維系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)路徑只能是一條直線，且由初末位置唯一確定，因此 彈簧彈力不是保守力 ，但仍可用計(jì)算保守力做功的方法計(jì)算彈簧彈力做功。 3. 動(dòng)能定理 系統(tǒng) 所有外力 與 所有內(nèi)力 對(duì)系統(tǒng)做功的代數(shù)和等于系統(tǒng) 總動(dòng)能的變化量 ，即： 12 kk EEWW 內(nèi)外 需要注意，考慮質(zhì)點(diǎn)系時(shí)要考慮內(nèi)力做功。 類比質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能，剛體 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 為 221 IEk ，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體動(dòng)能定理仍然成立，即 202 2121 IIW 動(dòng)能定理常用于計(jì)算 變加速運(yùn)動(dòng)速度 。 4. 動(dòng)量守恒 （ 1） 沖量 沖量是表示力對(duì)時(shí)間的累積效應(yīng)量。一般情況下，將質(zhì)點(diǎn)從 1t 時(shí)刻到 2t 的一段運(yùn)動(dòng)時(shí)間清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 12 頁(yè) 分割成一系列用 i 標(biāo)記的無(wú)限小時(shí)間間隔 it ，質(zhì)點(diǎn)在 it 時(shí)間內(nèi)受力為 iF ，則將 iii tFII 稱為力 F 在該段時(shí)間內(nèi)的沖量。其中 iii tFI ，稱為元沖量。若力 F 在時(shí)間 t 內(nèi)是恒定的，則沖量 tFI 。力的沖量方向與該力方向一致。 若力 F 是變化的，則先求元沖量，再求和?？梢宰C明，分力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的沖量之和等于合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的沖量。 沖量是矢量，恒力情況下，沖量的方向與力的方向相同，變力的沖量方向由其作用效果來(lái)判斷。沖量是過(guò)程量，說(shuō)沖量時(shí)，要指明是哪個(gè)力在哪個(gè)過(guò)程或哪段時(shí)間內(nèi)的沖量。 （ 2） 動(dòng)量定理 系統(tǒng)所有 外力 對(duì)系統(tǒng)的沖量和等于系統(tǒng)總動(dòng)量的變化量，即： 0)( pptF 外 （ 3） 動(dòng)量守恒定律 由動(dòng)量定理可知，如果 0外F ，則 0pp 。因此，系統(tǒng) 不受外力或者受外力之和為零 ，系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變，即質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量是守恒的。 若系統(tǒng)在 某一方向上 不受外力（或外力分量之和為零），則系統(tǒng)在該方向上的動(dòng)量守恒。 在處理碰撞或爆炸問(wèn)題時(shí)，系統(tǒng) 內(nèi)力作用遠(yuǎn)強(qiáng)于外力作用 ，可近似認(rèn)為無(wú)外力作用于系統(tǒng)， 動(dòng)量守恒仍然成立 。 5. 碰撞 問(wèn)題 碰撞過(guò)程滿足動(dòng)量守恒。碰撞前后物體速度在同一直線為 正碰 ，否則為 斜碰 。碰撞中無(wú)機(jī)械能損失為 彈性碰撞 ，有機(jī)械能損失為 非彈性碰撞 。當(dāng)碰撞后兩物體速度相同時(shí)，為 完全非彈性碰撞 。 描述碰撞非彈性程度的量為 恢復(fù)系數(shù) ，定義為碰撞后分離速度與碰撞前接近速度的比 值，即1212 vv vve 。對(duì)彈性碰撞， 1e ，完全非彈性碰撞 0e ，一般非彈性碰撞 10 e 。對(duì)斜碰，取 沿碰撞接觸面法線方向 的相對(duì)速度為接近速度和分離速度即可。 對(duì)彈性碰撞，使用 1e 及動(dòng)量守恒計(jì)算碰撞后速度，比使用機(jī)械能守恒方便得多。 6. 角動(dòng)量 守恒定律 （ 1） 角動(dòng)量 角動(dòng)量定義為動(dòng)量對(duì)轉(zhuǎn)軸（支點(diǎn)）的矩，也稱為 動(dòng)量矩 ，即 sinm v rvmrL 。 角動(dòng)量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中的物理量，類比質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)量的定義，質(zhì)量對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，速度對(duì)應(yīng)角速度，有 IL 。 類比動(dòng)量定理，角動(dòng)量定理的形式為 )( ItM 。 對(duì) 剛體 ，繞定軸 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I 為常數(shù) ，角動(dòng)量定理為 ItM 。 對(duì) 非剛體 ， 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I 不為常數(shù) ，角動(dòng)量定理為 1122 IItM 。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 13 頁(yè) （ 2） 角動(dòng)量守恒定律 由角動(dòng)量定理可知，當(dāng)物體所受 合外力矩為零 時(shí)，角動(dòng)量守恒。合外力矩為零的一種特殊情況是物體受到 有心力場(chǎng) 作用，如行星繞恒星轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)然，物體所受合外力為零時(shí)角動(dòng)量必然守恒。 五、 天體運(yùn)動(dòng) 1. 萬(wàn)有引力 質(zhì)量為 M 的 球?qū)ΨQ分布 球體，半徑為 R ，則與另一個(gè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn) B 間的萬(wàn)有引力為 Rrr mrMGRrrMmGF22)( ，其中 )(rM 表示半徑 r 內(nèi)的部分球的質(zhì)量。 如果 A 、 B 都是質(zhì)量球?qū)ΨQ分布的球形物體， 相距很遠(yuǎn) ，則萬(wàn)有引力為將其質(zhì)量集中于球心處的 質(zhì)點(diǎn) 間的萬(wàn)有引力，即2rMmGF 兩個(gè)相距為 r 的質(zhì)點(diǎn) M 、 m ，其間 引力勢(shì)能 為 rGMmEp 。若 M 為質(zhì)量均勻半徑為 R 的球殼，則引力勢(shì)能RrRG M mRrrG M mE p 。 2. 開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律 開普勒第一定律 ：行星圍繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng) 軌道為橢圓 ，太陽(yáng)在橢圓的一個(gè) 焦點(diǎn) 上。 開普勒第二定律 ：行星與太陽(yáng)的 連線 在相等的時(shí)間內(nèi) 掃過(guò)相等的面積 。 開普勒第三定律 ：各行星橢圓軌道半長(zhǎng)軸 a 的三次方與軌道運(yùn)動(dòng)周期 T 的平方之比值為相同的常量，即 CTa 23 其中，開普勒第二定律與行星運(yùn)動(dòng)中角動(dòng)量守恒等價(jià)。 3. 宇宙速度與軌道能量 （ 1） 第一宇宙速度 第一宇宙速度是使物體 繞地球公轉(zhuǎn) 的最小速度，又稱 環(huán)繞速度 ，即萬(wàn)有引力恰好提供物體公轉(zhuǎn)所需的向心力，得 RmvRMmG 22 ，解得 skm9.7 gRRGMv。 （ 2） 第二宇宙速度 第二宇宙速度是使物體 脫離地球引力 的最小速度，又稱 脫離速度 。物體恰好脫離地球引力 即 物 體 到 達(dá) 無(wú) 窮 遠(yuǎn) 處 時(shí) 速 度 為 零 ， 得 021 2 RMmGmv ， 解 得skm2.1122 gRRGMv 。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 14 頁(yè) （ 3） 第三宇宙速度 第三宇宙速度是使物體 脫離太陽(yáng)系 的最小速度，又稱 逃逸速度 。物體脫離太陽(yáng)系的過(guò)程分為兩步，第一步脫離地球引力，第二步脫離太陽(yáng)引力。設(shè)脫離地球引力后相對(duì)太陽(yáng)速度為xv ，類似第二宇宙速度的求法，脫離太陽(yáng)引力需滿足 021 2 日地太陽(yáng)R mMGmv x ，解得skm2.422 日地太陽(yáng)RGMv x 。地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)速度為 skm8.29 ，由伽利略速度變化公式，物體相對(duì)地球速度 skm4.12skm)8.292.42( xv 。在地球參考系中由機(jī)械能守恒得RMmGmvvm x 22 2121 ，解得 skm7.162 2222 vvRGMvv xx （ 4） 軌道能量與軌道形狀 將行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的 機(jī)械能 記為 E ， E 與三種軌道的對(duì)應(yīng)關(guān)系為： 雙曲線軌道拋物線軌道橢圓軌道圓00/0EEE 六、 經(jīng)典方法歸納 1. 微元法 微元法本質(zhì)上是 從部分 出發(fā) 求解整體 的思維方式。即將復(fù)雜問(wèn)題分解為 無(wú)限小 的 “微元體” 或 “元過(guò)程” ，在這樣的“微元體”或“元過(guò)程”上可使用較簡(jiǎn)單的物理規(guī)律，而每一“微元體”或“元過(guò)程”上 遵從相同的物理規(guī)律 ，通過(guò)一定的數(shù)學(xué)或物理方法將“微元體”或“元過(guò)程” 疊加合成 為待求解問(wèn)題的解。 由于 分解的微元無(wú)限小 ，因而在“微元體”或“元過(guò)程”中 變化的量可以視為常數(shù) ，例如勻加速直線運(yùn)動(dòng)中的“元過(guò)程”可視為勻速直線運(yùn)動(dòng)。 2. 等效法 若某物理過(guò)程中 一些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同 ，則前一些因素與后一些因素是 等效的 ，可以 互相代替并不影響最后結(jié)果 ，這種方法就是等效法。等效思維的實(shí)質(zhì)是在效果相同的情況下，將 較為復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題 變換為 簡(jiǎn)單的熟悉問(wèn)題 。 3. 整體法和隔離法 在研究過(guò)程中選取合適的研究對(duì)象十分重要，當(dāng)選取所求力的物體不能作出解答時(shí)，應(yīng)選取與它相互作用的物體為對(duì)象 ，即 轉(zhuǎn)移對(duì) 象，或把它 與周圍的物體當(dāng)做一個(gè)整體 來(lái)考慮，即考慮隔離法或整體法去進(jìn)行分析。 4. 幾何法 有些平衡問(wèn)題中采用正交分解法求解，數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)于復(fù)雜，常常帶來(lái)不便，如能利用一些幾何知識(shí)，則能使運(yùn)算簡(jiǎn)便。常用的數(shù)學(xué)知識(shí)有 三角形相似 、 正弦定理 等。 5. 虛功原理 假設(shè)平衡物體偏離平衡位置移動(dòng) 無(wú)限小位移 ，該過(guò)程中物體所受作用力對(duì)其做功，虛功清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 15 頁(yè) 原理得到的結(jié)論是 外力做功代數(shù)和為零 ，即 0i ii sF。 6. 摩擦角 設(shè)靜摩擦力因數(shù)為 s ，則摩擦角定義為 s arctan 。 摩擦角 幾何意義 ：最大靜摩擦力 smf 與支持力 N 的合力 mR 與接觸面法線間的夾角。 全反力 ：物體受到的摩擦力 f 與支持力 N 的合力 R 叫 支持面對(duì)物體 的全反力。當(dāng) R 與法線夾角 時(shí)，靜摩擦力不超過(guò)最大靜摩擦力。因此在 的范圍內(nèi)斜向下推物體，無(wú)論力多大物體都不會(huì)滑動(dòng)，這就是 “自鎖現(xiàn)象” 。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 16 頁(yè) 例題選講 例 1. 炮彈從具有傾角為 的平斜頂?shù)难诒嗡孪蛲獍l(fā)射，炮位與斜頂?shù)捻旤c(diǎn) A 相距為 d，炮彈發(fā)射的初速度為 0v ，求炮彈能發(fā)射的最遠(yuǎn)距離。 解： 以炮位為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行和垂直于斜頂分別為 x 和 y 軸，炮彈運(yùn)動(dòng)的加速度cosxag sinyag 。在此坐標(biāo)系中，斜頂?shù)?y 坐標(biāo) siny h d 。 若要 炮彈射程最遠(yuǎn)，則炮彈軌道要與斜頂相切，應(yīng)滿足 220 s in ( )s in2 c o svhd g ，即 220 s in ( ) s in 2v g d 若 20 sin 2v gd ，則軌道不可能與斜頂相切，最大射程只需取 4 ，最大射程20max vL g。 若 20 sinv gd ，則軌道要與斜頂相切，應(yīng)取 10si n 2si n gd v 。 （ i） 若 4 ，即 2020 sin 22vv gd ，此時(shí)最大射程只需應(yīng)取 4 ，最大射程20max vL g。 （ ii） 若 4 ，即 2020 sin 22vv gd ，此時(shí)最大射程需使炮彈軌道與斜頂相切，即應(yīng)取 10sin 2sin gd v ，此時(shí)最大射程為 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 17 頁(yè) 22 100m a x 0si n 2si n 2 si n 2( si n )gdvvL g g v 簡(jiǎn)析： 本題需根據(jù)炮彈軌道特性建立合適的坐標(biāo)系，使計(jì)算化簡(jiǎn)。若建立水平豎直坐標(biāo)系則本題計(jì)算繁瑣求解困難。 例 2. 兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球，半徑為 r ，重為 P ，置于兩端開口的圓筒內(nèi)，圓筒半徑為 R （ rRr 2 ） ， 并豎直放在水平面上（如圖 1）。設(shè)所有接觸面均光滑，為使圓筒不致于傾倒，圓筒的最小重量 Q 為多少 ？ 如果換成有底的圓筒，情況又如何？ 解： 球 2Q 受力如圖 2，由共點(diǎn)力平衡條件得 22 )22()2(22c o t rRr rRPPN 球 1Q 受到向右的支持力 NN ，兩力構(gòu)成力偶， 對(duì)圓筒 有 22 )22()2( rRrNQR 可得 PR rRQ )(2 若 換成 有底 的筒 ，則不會(huì)翻。 簡(jiǎn)析 ： 本題受力分析中使用到了力偶的概念。 等大、反向不在一直線上的兩個(gè)力 構(gòu)成力偶 ，力偶矩為力與力偶臂（兩平行力之間的距離）的乘積，因而 力偶矩與轉(zhuǎn)軸的具體位置無(wú)關(guān) 。 圖 1 圖 2 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 18 頁(yè) 例 3. 如圖半徑為 R 的光滑圓形軌道固定在豎直面內(nèi)。小球 A、 B 質(zhì)量分別為 m、 m（ 為待定系數(shù)）。 A 球從左邊與圓心等高處由靜止開始沿軌道下滑，與靜止于軌道最低點(diǎn)的 B 球相撞，碰撞后 A、 B 球能達(dá)到的最大高度均為，碰撞中無(wú)機(jī)械能損失。重力加速度為 g。試求： （ 1）待定系數(shù) ； （ 2）第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)小球 A、 B 各自的速度和 B 球?qū)壍赖膲毫Γ?解 ： （ 1）碰撞后兩球能上升的最大高度對(duì)應(yīng)的重力勢(shì)能分別等于兩球的總能量，由于碰撞中無(wú)能量損失，由機(jī)械能守恒定律得 44m g R m g Rm g R ，解得 3。 （ 2）設(shè) A、 B 第一次碰撞后的速度分別為 v1、 v2，取方向水平向右為正，對(duì) A、 B 兩球組成的系統(tǒng)，有 22121122m g R m v m v 122m gR mv mv 解得1 12v gR，方向水平向左；2 12v gR，方向水平向右。 設(shè)第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)軌道對(duì) B 球的支持力為 N，方向豎直向上為正，則 22vN m g m R B 球?qū)壍赖膲毫?4.5N N mg 方向豎直向下。 簡(jiǎn)析： 本題是能量和動(dòng)量守恒與圓周運(yùn)動(dòng)的結(jié)合。把握能量守恒和動(dòng)量守恒即可求解本題。 例 4. 如圖所示， B是質(zhì)量為 mB、半徑為 R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。 A是質(zhì)量為 mA的細(xì)長(zhǎng)直桿，被固定的光滑套管 C約束在豎直方向， A可自由上下運(yùn)動(dòng)。碗和桿的質(zhì)量關(guān)系為： mB 2mA。初始時(shí)， A桿被握住，使其下端正好與碗的半球面的上邊緣接觸（如圖）。然后從靜止開始釋放 A， A、 B便開始運(yùn)動(dòng)。設(shè) A桿的位置用 表示， 為碗面的球心 O至 A桿下端與球面接觸點(diǎn)的連線方向和豎直方向之間的夾角。求 A與 B速度的大?。ū硎境?的函數(shù)） 解： 14R清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 19 頁(yè) 解法一： 由題設(shè)條件知，若從地面參考系觀測(cè)，則任何時(shí)刻， A沿豎直方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)其速度為 vA，B沿水平方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)其速度為 vB。若以 B為參考系，從 B觀測(cè)，則 A桿保持在豎直方向，它與碗的接觸點(diǎn)在碗面內(nèi)作半徑為 R的圓周運(yùn)動(dòng)，速度的方向與圓周相切，設(shè)其速度為 VA。桿相對(duì)地面的速度是桿相對(duì)碗的速度與碗相對(duì)地面的速度的合速度，速度合成的矢量圖如圖中的平行四邊形所示。由圖得 AA vV sin （ 1） BA vV cos （ 2） 因而 cotAB vv （ 3） 又由能量守恒 22 2121c o s BBAAA vmvmgRm （ 4） 由（ 3）（ 4）兩式及 mB 2mA得 2c o s1 c o s2s in gRv A （ 5） 2c o s1 c o s2c o s gRv B （ 6） 解法二： 從地面上看， A始終緊貼 B運(yùn)動(dòng)，因而 A與 B在圓弧面的法線方向上沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，即 sincos BA vv ，再由能量守恒 22 2121c o s BBAAA vmvmgRm 及 mB 2mA得 2c o s1 c o s2s in gRv A 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 20 頁(yè) 2c o s1 c o s2c o s gRv B 簡(jiǎn)析： 本題關(guān)鍵在于分析 A、 B兩物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，在確定其運(yùn)動(dòng)關(guān)系時(shí)，可以使用速度合成及伽利略速度變化關(guān)系進(jìn)行分析，也可通過(guò)運(yùn)動(dòng)效果，即 A、 B不分離來(lái)進(jìn)行分析。最后使用動(dòng)能定理確定速度。 例 5 如圖所示的系統(tǒng)中滑輪與細(xì)繩的質(zhì)量可忽略不計(jì)，細(xì)繩不可伸長(zhǎng)，且與滑輪間無(wú)摩擦，三個(gè)物體的質(zhì)量分別為 m1、 m2、 m3,它們的加速度方向按圖示設(shè)定。試求這三個(gè)加速度量 a1、 a2和 a3。 解： 系統(tǒng)中各段繩子的張力如圖 ， 三個(gè)物體的動(dòng)力學(xué)方程為 ： 1 1 1m g T m a （ 1） 2 2 22T m g T m a （ 2） 3 3 32T m g m a （ 3） 確定三物體的加速度的關(guān)聯(lián)關(guān)系： 1 先假定 2m 不動(dòng)，當(dāng) 1m 下降 1h 時(shí)， 3m 將上升 12h 2 再假定 1m 不動(dòng)，當(dāng) 2m 下降 2h 時(shí)， 3m 將上升 22h 綜合以上兩種情況，則實(shí)際上 1m 下降 1h ， 2m 下降 2h 時(shí)， 3m 將上升 123 22hhh 于是得到 123 22aaa （ 4） 解方程組得： 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 21 頁(yè) 1 2 1 3 2 311 2 1 3 2 3434m m m m m magm m m m m m 1 2 1 3 2 321 2 1 3 2 3434m m m m m magm m m m m m 1 2 1 3 2 331 2 1 3 2 344 m m m m m magm m m m m m 簡(jiǎn)析： 本題主要難點(diǎn)在確定復(fù)雜滑輪系統(tǒng)的位移關(guān)系，定滑輪兩端物體位移直接對(duì)應(yīng)，動(dòng)滑輪移動(dòng)距離等于繩子伸縮距離的一半。把握好這一關(guān)系則本題可輕易求解。 例 6. 嫦娥 1 號(hào)奔月衛(wèi)星與長(zhǎng)征 3 號(hào)火箭分離后，進(jìn)入繞地運(yùn)行的橢圓軌道，近地點(diǎn)離地面高 22.05 10nH km ，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面高45.09 30 10fH k m，周期約為 16 小時(shí)，稱為 16 小時(shí)軌道（如圖中曲線 1 所示）。隨后，為了使衛(wèi)星離地越來(lái)越遠(yuǎn)，星載發(fā)動(dòng)機(jī)先在遠(yuǎn)地點(diǎn)點(diǎn)火，使衛(wèi)星進(jìn)入新軌道（如圖中曲線 2 所示），以抬高近地點(diǎn)。后來(lái)又連續(xù)三次在抬高以后的近地點(diǎn)點(diǎn)火，使衛(wèi)星加速和變軌，抬高遠(yuǎn)地點(diǎn)，相繼進(jìn)入 24 小時(shí)軌道、 48 小時(shí)軌道和地月轉(zhuǎn)移軌道（分別如圖中曲線 3、 4、 5 所示）。已知衛(wèi)星質(zhì)量 32.350 10m kg，地球半徑 36.378 10R km，地面重力加速度 29.81 /g m s ，月球半徑 31.738 10r km。 1、試計(jì)算 16 小時(shí)軌道的半長(zhǎng)軸 a 和半短軸 b 的長(zhǎng)度，以及橢圓偏心率 e。 2、在 16 小時(shí)軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)點(diǎn)火時(shí)，假設(shè)衛(wèi)星所受推力的方向與衛(wèi)星速度方向相同，而且點(diǎn)火時(shí)間很短，可以認(rèn)為橢圓軌道長(zhǎng)軸方向不變。設(shè)推力大小 F=490N，要把近地點(diǎn)抬高到 600km，問(wèn)點(diǎn)火時(shí)間應(yīng)持續(xù)多長(zhǎng)？ 3、試根據(jù)題給數(shù)據(jù)計(jì)算衛(wèi)星在 16 小時(shí)軌道的實(shí)際運(yùn)行周期。 4、衛(wèi)星最后進(jìn)入繞月圓形軌道，距月面高度 Hm約為 200km，周期 Tm=127 分鐘，試據(jù)此估算月球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比值。 解： 1、 橢圓半長(zhǎng)軸 a 等于近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)之間距離的一半，亦即近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)矢徑長(zhǎng)度（皆指衛(wèi)星到地心的距離） nr 與 fr 的算術(shù)平均值，即有 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 22 頁(yè) n f n f n f1 1 12 2 2a r r H R H R H H R (1) 代入數(shù)據(jù)得 43.1946 10a km (2) 橢圓半短軸 b 等于近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)矢徑長(zhǎng)度的幾何平均值，即有 nfb rr (3) 代入數(shù)據(jù)得 41.942 10 kmb (4) 橢圓的偏心率 為 a bae22 (5) 代入數(shù)據(jù)即得 0.7941e (6) 2、 當(dāng)衛(wèi)星在 16 小時(shí)軌道上運(yùn)行時(shí)，以 nv 和 fv 分別表示它在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度，根據(jù)能量守恒，衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)能量相等，有 22nfnf1122G M m G M mmmrr vv (7) 式中 M 是地球質(zhì)量， G 是萬(wàn)有引力常量 。 因衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度都與衛(wèi)星到地心的連線垂直，根據(jù) 角動(dòng)量守恒 ，有 n n f fm r m rvv (8) 注意到 有 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 23 頁(yè) gRGM2 (9) 由 (7)、 (8)、 (9)式可得 fnn f n2r g Rr r r v (10