（2014韶關(guān)一模）廣東省韶關(guān)市2014屆高三調(diào)研試題（一）數(shù)學(xué)理 Word版含解答

2014 屆 高三年級 調(diào)研測 試 數(shù)學(xué)（理 科） 本試卷共 4 頁，共 21 小題，滿分 150 分 . 考試用時 120 分鐘 . 注意事項： 1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答題卡上。用 2B 鉛筆將答題卡試卷類型（ A）填涂在答題卡上。在答題卡右上角的“試室號”和“座位號”欄填寫試室號、座位號，將相應(yīng)的試室號、座位號信息點涂黑 . 2選擇題每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試卷上 . 3非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字 筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效 . 4考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回 . 參考公式：棱錐的體積公式： 13V sh， s 是棱錐底面積， h 是棱錐的高 . 一、選擇題： 本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1. 設(shè)集合 2 , 0 , 2 , 4A , 2| 2 3 0B x x x ， ,則 AB （ ） 0.A 2.B 2,0.C 4,2,0.D 2 已知 a 是實數(shù) ， i1ia是純虛數(shù) ， 則 a 等于（ ） A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 3. 若 0 . 5222 , l o g 3 , l o g 2a b c ， 則有（ ） . A. abc B.bac C.c a b D.b c a 4. 已知橢圓與雙曲線 2214 12xy的焦點相同，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為 10 ，那么橢圓的離心率等于 ( ) A. 35 B. 45 C. 54 D. 34 5. 函數(shù) )43(s in21 2 xy是（ ） A最小正周期為 的奇函數(shù) B最小正周期為 的偶函數(shù) C最小正周期為2的奇函數(shù) D最小正周期為2的偶函數(shù) 6. 已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 ( ) A 12 B 1 C 32 D 3 7. 已 知 向 量 AB 與 AC 的 夾 角 為 0120 , 且 3,2 ACAB , 若ACABAP ,且 , BCAP ,則實數(shù) 的值為 ( ） 2 1 1 3 3 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 2 1 OEDCBADCBAA73 B 13 C 6 D712 8. 設(shè)實數(shù) x、 y 滿足 26260, 0xyxyxy ， 則 m a x 2 3 1 , 2 2z x y x y 的取值范圍是 ( ) A 2,5 B 2,9 C 5,9 D 1,9 二、填空題 ： 本大題共 7 小題，考生作答 6 小題，每小題 5 分， 滿分 30 分 . （一）必做題（ 913 題） 9. 等 差 數(shù)列 na的前 n 項和為nS， 若231, 2aa，則4S 10.已知函數(shù) ( ) 4 lnf x x x ，則曲線 ()y f x 在點 (1, (1)f 處的切線方程為_. 11. 已知實數(shù) 0,10x ，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的 x 不小于 47 的概率為 12. 不等式 1 2 1xx 解集 是 _. 13. 已知函數(shù) 2l o g , 0()3 , 0xxxfxx ， 且關(guān)于 x 的方程 ( ) 0f x x a 有且只有一個實根 ，則實數(shù) a 的取值范圍 是 _. （二）選做題（ 14、 15 題，考生只能從中選做一題） 14.（幾何證明選講選做題 ） 如圖 ,AB 是圓 O 的直徑 ,點 C 在圓 O 上 ,延長 BC 到 D 使CDBC , 過 C 作圓 O 的切線交 AD 于 E . 若 8AB , 4DC 則DE _. 15.（ 坐 標(biāo) 系與 參 數(shù)方 程 選做 題 ） 在極 坐標(biāo) 系中 , 圓 sin4 的 圓 心 到直 線)(3 R 的距離是 三、解答題 ：本大題共 6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 16. （本小題滿分 12 分） 如圖，在 ABC 中， 45B ， 10AC ， 25c o s5C，點 D 是 AB 的中點 , 求 : （ 1）邊 AB 的長； （ 2） cosA 的值和中線 CD 的長 . 17. （本小題滿分 12 分） 某學(xué)校隨機(jī)抽取部分新生調(diào)查其上學(xué) 路上 所需時間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學(xué) 路上 所需時間的范圍是 0,100 ，樣本 數(shù)據(jù)分組為 0,20) ， 20,40) ， 40,60) ， 60,80) ， 80,100 . （ 1） 求直方圖中 x 的值； （ 2） 如果上學(xué) 路上 所需時間 不少于 60 分鐘 的學(xué)生可申請在學(xué)校住宿，請估計學(xué)校 1000 名新生中有多少名學(xué)生可以申請住宿； （ 3） 現(xiàn)有名上學(xué)路上時間小于 40 分鐘的新生，其中人上學(xué)路上時間小于 20 分鐘 . 從這人中任選人，設(shè)這人中上學(xué)路上時間小于 20 分鐘人數(shù)為 X ,求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 18. （本小題滿分 14 分） 如圖所示的多面體中， ABCD 是 菱形 ， BDEF 是 矩形， ED 平面 ABCD ，3BAD ， 2AD (1) 求證： 平面 FCB 平面 AED ； (2) 若 二面角 CEFA 為直二面角 ， 求直線 BC 與平面 AEF 所成的角 的正弦值 19.（本小題滿分 14 分） 已知函數(shù) ()fx 323 3 ( 0 )a x x x a （ 1）當(dāng) 1a 時，求 ()fx的單調(diào)區(qū)間； （ 2）若 ()fx在 1,3 的最大值為 8 ，求 a 的值 . 20.（本小題滿分 14 分） 已知 na為 公差不為零的 等差數(shù)列，首項1aa， na的部分項1ka、2ka、 、nka恰為等比數(shù)列，且 11k ， 52 k ， 173 k . （ 1）求數(shù)列 na的通項公式na（用 a 表示）； （ 2）設(shè)數(shù)列 nk 的前 n 項和為 nS , 求證：121 1 1 32nS S S （ n 是正整數(shù)） . 時間頻率 組距x0 .01250 .00650 .00310 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110O21.（本小題滿分 14 分） 設(shè)拋物線 2 2 ( 0 )y px p的焦點為 F ，點 (0, 2)A ， 線段 FA 的中點在拋物線上 . 設(shè)動直線 :l y kx m與拋物線相切于點 P ，且與拋物線的準(zhǔn)線 相交于點 Q ，以 PQ 為直徑的圓記為圓 C （ 1）求 p 的值； （ 2）試判斷圓 C 與 x 軸的位置關(guān)系； （ 3）在坐標(biāo)平面上 是否存在定點 M ，使得 圓 C 恒過點 M ？若存在，求出 M 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由 2014 屆 高三年級第 一 次 模擬測 試 (理 科 )參考答案和評分標(biāo)準(zhǔn) 一、選擇題： 本大題主要考查基本知識和基本運(yùn)算共 8 小題，每小題 5 分，滿分 40 分 CAABA CDB 題目解析 : 1. 解析： | 1 3B x x ，所以 AB 2,0.C ，選 C 2.解析：2 )1(12 )1)(1 iaaiiaiia 是純虛數(shù)，則 01a ； 1a ， 選 A 3. 解析： 0 .5 02 2 1a ， lo g 3 0 ,1b，222l o g l o g 1 02c ， abc 選 A. 4. 解析： 5a ， 4 1 2 4c ， 45e 選 B 5. 解析： 2 331 2 s i n ( ) c o s 2 ( ) s i n 244y x x x ，所以 ()fx 是最小正周期為 的奇函數(shù)，選 A 6. 解析： 由三視圖易知，該 幾何體是底面積為 32，高為 3 的三棱錐，由錐體的體積公式得 1 3 333 2 2V .選 C 7. 解析： 0)()( ABACACABBCAP 得 712039430)()( 22 ABACACABACAB,選 D 8. 解析：作出可行域如圖，當(dāng)平行直線系 2 3 1x y z 在直 線 BC 與點 A 間運(yùn)動時 ， 2 3 1 2 2x y x y ， 此時 2 3 1 5 , 9z x y ， 平行直線線 22x y Z 在點 O 與 BC 之間運(yùn)動時 ， 2 3 1 2 2x y x y ， 此時， 2 2 2 , 8z x y . 2,9z .選 B 二 、 填空題： 本大題主要考查基本知識和基本運(yùn)算 本大題共 7 小題， 考生作答 6 小題， 每小題 5 分 ，滿分 30 分 其中 14 15題是選做題，考生只能選做一題 9. 6 10. 3 4 0xy , 11. 12 12. 1, ) 13. (1, ) 14.2 15.1 . 題目解析 :9. 解析： 可已知可得 ,1 4 43 , 6a a S 10. 解析： 由幾何概型得到輸出的 x 不小于 47 的概率為 P= = 11. 解析： 4( ) 1fxx， (1) 3f ， (1) 1f 切線方程 1 3 ( 1)yx ，即 3 4 0xy 12. 解析： 設(shè) ( ) 1 2f x x x ， 則 3 , 1( ) 1 2 2 1 , 1 23 , 2xf x x x x xx .由 2 1 1x ， 解得 1 x ， 所以解集為 1, ) 3 A y x O c B 6 3 x y y x a 1yx O 1 1 OEDCBAdox13. 解析： 如圖，在同一坐標(biāo)系中分別作出 ()y f x 與 y x a 的圖象， 其中 a 表示直線在 y 軸上截距，由圖可知，當(dāng) 1a 時， 直線 y x a 與2logyx只有一個交點 . 14. 解析 ：利用已知條件可得 CDEABC ， 84 24A B B C DED C D E D E 15. 解析： 如下圖 , 設(shè)圓心到直線距離為 d ，因為圓的半徑為 2 ， 2 s i n 3 0 1d 三、 解答題：本大題共 6小題，滿分 80分 .解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟 . 16 (本題滿 分 12分 ) 解： 解：由 25c o s 05C 可知， C 是銳角，所以， 22 2 5 5s i n 1 c o s 1 ( )55CC .2 分 由正弦定理 s i n s i nA C A BBC 5105s i n 2s i n 22ACA B CB 5 分 (2) c o s c o s ( 1 8 0 4 5 ) c o s ( 1 3 5 )A C C 2 1 0( c o s s i n ) ,2 1 0CC 8 分 由余弦定理 : 22 102 c o s 1 1 0 2 1 1 0 ( ) 1 310C D A D A C A D A C A 12 分 17. (本題滿 分 12 分 ) （ 1） 由直方圖可得： 2 0 0 . 0 1 2 5 2 0 0 . 0 0 6 5 2 0 0 . 0 0 3 2 2 0 1x .學(xué) 所以 0.025x= . 2 分 （ 2） 新生上學(xué)所 需時間不少于 60 分鐘 的頻率為： 0 . 0 0 3 2 2 0 0 . 1 2 4 分 因為 1 0 0 0 0 .1 2 1 2 0 所以 1000 名新生中有 120 名學(xué)生可以申請住宿 . 6 分 （ 3） X 的可能取值為 0， 1， 2. 7 分 所以 X 的可能取值為 0,1,2 分 0224262( 0 )5CCPXC 1124268( 1 )15CCPXC 時間頻率 組距x0 .01250 .00650 .00310 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110ONMFEGD CBA2024261( 2 )15CCPXC 所以 X 的分布列為： X 0 1 2 P 25 815 115 11 分 2 8 1 20 1 25 1 5 1 5 3EX 12 分 18.（本小題滿分 14 分） （ 1） 矩形 BDEF 中， ,FB ED -1 分 FB 平面 AED ， ED 平面 AED , FB 平面 AED ， -2 分 同理 BC 平面 AED ,-3 分 又 BBCFB u 平面 FBC 平面 .EDA -4 分 （ 2）取 EF 的中點 M . 由于 ED 面 ABCD , ED FB , , , ,E D A D E D D C F B B C F B A B 又 ABCD 是 菱形 ， BDEF 是 矩形 ，所以， , , ,A D E E D C A B F B C F 是全等三角形， , CFCEAFAE 所以 EFCMEFAM , ， AMC 就是二面角 CEFA 的平面角 -8 分 AM MC 解法 1（ 幾何方法）： 延長 CB 到 G ，使 BC BG ,由已知可得， ADBG 是平行四邊形， 又 BDEF 矩形 ，所以 AEFG 是平行四邊平面形， , , ,A E F G 共面，由上證可知， AM MC CM EF ， EF ,AM 相交于 M ， CMAEFG ， CGM 為所求 . 由 2AD , 60DAB,得 23AC 等腰直角三角形 AMC 中， 23AC ,可得 6MC 直角三角形 GMC 中 , 6s i n4CMC G M CG 解法 2幾何方法）： 由 AM MC ， AM EF ， M C EF M 得 CM 平面 AEF ，欲求直線 BC 與平面AEF 所成的角，先求 BC 與 MC 所成的角 . -12 分 連結(jié) BM ，設(shè) .2BC 則在 MBC 中， 6322 MNCM ， 2MB ，用余弦定理知.4 62c o s 222 BCMC MBBCMCM CB .46sin -14 分 解法 3（ 向量方法）： 以 D 為原點， DC 為 y 軸、 DE 為 z 軸 zyxNMFED CBA建立如圖的直角坐標(biāo)系， 由 .2AD 則 )3,21,23(M， )0,2,0(C ，平面 AEF 的法向量 )3,23,23( MCn ， -12 分 )0,1,3( DACB . .46,cos CBnCBnCBn .46sin -14 分 19.（本小題滿分 14 分） 解 :(1) 2( ) 3 6 3f x a x x .1 分 其判別式 )1(363636 aa ， 因為 1a ， 所以， 0 ，對任意實數(shù)， ( ) 0fx 恒成立， 所以， ()fx在 ( , ) 上是增函數(shù) .4 分 （ 2）當(dāng) 1a 時，由（ 1）可知， ()fx 在 ( , ) 上是增函數(shù)，所以 ()fx 在 1,3 的最大值為 (3)f ，由 (3) 8f ，解得 2627a（不符合，舍去） 6 分 當(dāng) 01a時 ， 0)1(363636 aa ，方程 23 6 3 0a x x 的兩根為 111ax a ，211ax a ， 8 分 2( ) 3 6 3f x a x x 圖象的對稱軸 1xa 因為 1 1x 1 1 1 ( 1 1 )10a a aaa （或111ax a 1 111a） , 所以 12101xxa 由2 3x 解得 59a 當(dāng) 509a，2 3x ，因為 (1 ) 3 (1 ) 0fa ，所以 1,3x 時， ( ) 0fx , ()fx 在 1,3 是減函數(shù)， ()fx在 1,3 的最大值max(1)yf，由 (1) 8f ，解得 8a （不符合，舍去） . . 12 分 當(dāng) 5 19 a，2 3x ，21, xx， ( ) 0fx ， ()fx 在21, x是減函數(shù)， 當(dāng)2 ,3xx時， ( ) 0fx ， ()fx在 2 ,3x 是增函數(shù) .所以 ()fx在 1,3 的最 大值 (1)f 或 (3)f ，由 (1)f 8 ， (3)f 8 ，解得 8a （不符合，舍去） ， 2627a 14 分 綜上所述 2627a 20.（本小題滿分 14 分） 解：（ 1）設(shè)數(shù)列 na的公差為 ( 0)dd ， 由已知得1=aa，5 4a a d，17 16a a d成等比數(shù)列， 2( 4 )ad ( 16 )a a d ，且 0a 2 分 得 0d 或2ad 已知 na為 公差不為零 2ad， 3 分 1 ( 1 )na a n d 1( 1 )22ana n a . 4 分 （ 2）由（ 1）知 12n naa 12n nk kaa 5 分 而等比數(shù)列 nka的公比5 1114 3a adq aa . 111 33n nnka a a 6 分 因此 12n nk kaa13na ， 0a 12 3 1nnk 7 分 0 1 1( 2 3 2 3 2 3 )nnSn 2 (1 3 )13n n31n n 9 分 當(dāng) 1n 時， 0 1 2 2 1 13 ( 1 2 ) 2 2 2 2n n n n n nn n n n nC C C C C 01 22nnn n nC C C 2 2 1 2 1nn 3 1 2nnn （或用數(shù)學(xué)歸納法證明此不等式） 1 1 13 1 2nnnSn ( 2)n 11 分 當(dāng) 1n 時，1131 2S ，不等式成立； 當(dāng) 2n 時，121 1 1nS S S 2341 1 1 11 2 2 2 2 n 1111 ( ) 3 1 3421 ( )1 2 2 212nn 綜上得不等式121 1 1nS S S 32 成立 . 14 分 法二當(dāng) 3n 時， 0 1 2 2 1 13 ( 1 2 ) 2 2 2 2n n n n n nn n n n nC C C C C 0 1 2 222n n nC C C 221 2 1n n n 3 1 ( 1 )n n n n （或用數(shù)學(xué)歸納法證明此不等式） 1 1 1 1 13 1 ( 1 ) 1nnS n n n n n ( 3)n 11 分 當(dāng) 1n 時，1131 2S ，不等式成立； 當(dāng) 2n 時，2121 1 1 7 31 3 2 1 6 2SS ，不等式成立； 當(dāng) 3n 時，121 1 1nS S S 121 1 1 1 1 1( ) ( )3 1 1 3 2 1 3 4 1nn 1 1 3 1 316 3 2 1 2n 綜上得不等式121 1 1nS S S 32 成立 . 14 分 (法三 ) 利用二項式定理或數(shù)學(xué)歸納法可得： 13 1 ( 2 )n nn 所以， 2n 時， 113 ( 1 ) 3 3 2 3n n n nn ， 121 1 1nS S S 2 1 11 1 1 1 5 1 5 31 ( )2 3 3 3 4 4 3 4 2nn 1n 時，11 1S 綜上得不等式121 1 1nS S S 32 成立 . 20.（本小題滿分 14 分） 解 ： （ 1） 利用拋物線的定義 得 ( ,0)2pF，故 線段 FA 的中點 的坐標(biāo)為 2( , )42p，代入方程得 1242pp，解得 1p 。 2 分 （ 2） 由（ 1）得拋物線的方程為 2 2yx ，從而拋物線的準(zhǔn)線方程為 12x 3 分 由 2 2yxy kx m 得方程 2 02k y y m ， 由直線與拋物線相切，得 00k 012km k 4 分 且 1yk，從而212x k ，即211( , )2P kk， 5 分 由1212y kxkx ，解得 211( , )22kQ k， 6 分 PQ 的中點 C 的坐標(biāo)為 22213( , )44kkC 圓心 C 到 x 軸 距離 2223()4 kd k， 222 22211( ) ( )22kkPQ 2 2 22 2 2 2 221 1 1 1 3( ) ( ) ( ) ( )2 4 2