（理論物理專業(yè)論文）量子圍欄的模擬和計(jì)算.pdf

張正中：量子圍欄的模擬和計(jì)算 揚(yáng)州大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明和版權(quán)使用授權(quán)書 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人聲明：所呈交的學(xué)位論文是在導(dǎo)師指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的研 究成果。除文中已經(jīng)標(biāo)明引用的內(nèi)容外，本論文不包含其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表 的研究成果。對(duì)本文的研究做出貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。 本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 學(xué)位論文作者簽名： 簽字日期： 毋年 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 日 本人完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保留并向 國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交學(xué)位論文的復(fù)印件和電子文檔，允許論文被查閱和借閱。 本人授權(quán)揚(yáng)州大學(xué)可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索， 可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文。同時(shí)授權(quán)中國(guó)科學(xué) 技術(shù)信息研究所將本學(xué)位論文收錄到中國(guó)學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫(kù)，并通過網(wǎng)絡(luò)向 社會(huì)公眾提供信息服務(wù)。 學(xué)位論文作者簽名：乙援 簽字日期： dg 年己月晌 導(dǎo)師簽名： 簽字日期： 壇 月 ， y ，修 張正中：量子圍欄的模擬和計(jì)算 摘要 隨著新技術(shù)特別是微電子技術(shù)的發(fā)展，傳統(tǒng)的電子器件已經(jīng)深入到微觀量級(jí)， 量子效應(yīng)逐步顯現(xiàn)。因此，量子效應(yīng)的出現(xiàn)不僅是電子器件制造面臨的必須解決 的問題，同樣也是量子器件研究的主要方向。1 9 9 3 年5 月，美國(guó)加州圣荷塞阿瑪?shù)?i b m 研究中心的c r o 姍i e 等人在液氮溫度下，將鐵原子蒸發(fā)到清潔的c u ( i i i ) 表 面，然后用掃描隧道顯微鏡操縱這些鐵原子使它們逐個(gè)地定位在銅表面上，從而構(gòu) 造出這些形狀各異的閉合圖樣，由這些原子排列而成的閉合圖樣即所謂的“量子 圍欄 對(duì)于處在圍欄內(nèi)金屬表面費(fèi)米態(tài)電子而言，這個(gè)由原子筑成的圍欄便成了 一個(gè)橫向的閉合勢(shì)壘，它們被束縛在勢(shì)壘內(nèi)形成束縛態(tài)電子，試驗(yàn)上，在量子圍欄 中可明顯觀察到二維電子分布在不同條件下的駐波圖樣，這也是微觀粒子具有波 動(dòng)性的一個(gè)直接證明。 在理論上，我們可以采用量子臺(tái)球系統(tǒng)來近似“量子圍欄”，通過研究量子臺(tái) 球系統(tǒng)的本征行為來研究處于“量子圍欄 內(nèi)部的束縛態(tài)表面電子的特征行為。 對(duì)各種量子臺(tái)球系統(tǒng)的研究是一個(gè)過去研究較多的課題，因?yàn)橐话愕牧孔优_(tái)球系 統(tǒng)都是不可積系統(tǒng)，一般都是通過各種數(shù)值、近似方法進(jìn)行研究計(jì)算。本文中， 筆者主要采用了一種較為有效的計(jì)算閉合深勢(shì)阱量子系統(tǒng)本征行為的數(shù)值計(jì)算方 法邊界積分方法( b o u n d a r yi n t e g r a lm e t h o d 簡(jiǎn)稱b i m ) 。該方法在分析計(jì)算 上，傳統(tǒng)的作法一般存在著對(duì)本征值判斷粗糙、精度差的問題，筆者通過引入一 種改進(jìn)的判斷條件“邊界殘量 ，從而達(dá)到了有效的提高判斷精度和提高計(jì)算效率 的目的。另外，為了通過引入“邊界殘量 和波函數(shù)分布關(guān)聯(lián)度的概念，我們解 3 揚(yáng)州大學(xué)碩士學(xué)位論文 決了計(jì)算系統(tǒng)簡(jiǎn)并度的問題，實(shí)際的計(jì)算結(jié)果顯示，我們提出的方法非常簡(jiǎn)單有 效，這為研究其他復(fù)雜邊界的量子臺(tái)球系統(tǒng)提供了一種可行的路徑。 筆者利用改進(jìn)了b i m 方法分別求解研究了s i n a i 臺(tái)球模型系統(tǒng)和1 4s i n a i 臺(tái)球系統(tǒng)內(nèi)電子的本征能級(jí)和本征態(tài)波函數(shù)。一般認(rèn)為，由于對(duì)稱性的原因，s i n a i 臺(tái)球和1 4 s i n a i 臺(tái)球有著幾乎相同的物理性質(zhì)，出于簡(jiǎn)化計(jì)算量的考慮，故一般 只須研究1 4s i n a i 臺(tái)球即可得到對(duì)整個(gè)臺(tái)球的物理特征的描述。但我們的計(jì)算 結(jié)果顯示，由于s i n a i 臺(tái)球系統(tǒng)和1 4s i n a i 臺(tái)球系統(tǒng)有著不同對(duì)稱性，雖然兩 者在經(jīng)典行為上是完全一致的，但在微觀下，兩者的本征行為還是存在較大的差 異，從對(duì)稱性上來說，1 4s i n a i 臺(tái)球系統(tǒng)的本征態(tài)只是s i n a i 臺(tái)球系統(tǒng)的子集， s i n a i 臺(tái)球系統(tǒng)的很多本征態(tài)在1 4s i n a i 臺(tái)球系統(tǒng)上是不存在的。我們計(jì)算結(jié)果 說明，s i n a i 臺(tái)球在高能態(tài)下的能譜結(jié)構(gòu)以及本征態(tài)波函數(shù)要比1 4s i n a i 臺(tái)球系 統(tǒng)復(fù)雜的多，這說明，利用1 4s i n a i 臺(tái)球系統(tǒng)的研究結(jié)果來推測(cè)s i n a i 臺(tái)球系 統(tǒng)的量子行為不是一個(gè)好的方法，這里遺漏了許多s i n a i 臺(tái)球系統(tǒng)所獨(dú)有的特征 行為。 在文章的最后，筆者模擬了圓型圍欄，方型圍欄和橢圓行圍欄內(nèi)的電子波函 數(shù)分布，得到了很多與試驗(yàn)上符合極好的結(jié)果。但在試圖用類似方法模擬橢圓臺(tái) 球內(nèi)部的“量子鬼影 時(shí)，沒有觀察到期待中應(yīng)該出現(xiàn)的對(duì)稱映像。筆者認(rèn)為， 這與用利用臺(tái)球系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)單近似有關(guān)，后期工作我們準(zhǔn)備利用有限高勢(shì)壘近似 更加逼近實(shí)際的“量子圍欄”，期待可以重現(xiàn)在橢圓焦點(diǎn)上出現(xiàn)“量子鬼影現(xiàn)象。 本文通過應(yīng)用改進(jìn)的b i m 方法研究了幾種二維臺(tái)球系統(tǒng)的本征行為，并用臺(tái) 4 張正中：量子圍欄的模擬和計(jì)算 球系統(tǒng)近似模擬了不同形狀的量子圍欄內(nèi)表面電子態(tài)分布，有助我們對(duì)試驗(yàn)中所 觀察到的現(xiàn)象加以理解，了解這類系統(tǒng)的微觀行為特征。筆者希望通過我們的工 作，能為以后關(guān)于量子圍欄和量子點(diǎn)的工作提供一些借鑒和參考。 關(guān)鍵字：量子臺(tái)球，量子圍欄，表面態(tài)波函數(shù)，本征態(tài) 5 揚(yáng)州大學(xué)碩士學(xué)位論文 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fn e ws c i e n c ea n dm i c i o - e l e c t r o n i c st e c h n i q u e s ，t h e t r a d i t i o n a le l e c t m nd e v i c ec a nb em a d em o r ea n dm o 弛s m a l l e be v e ni n t ot h e m i c r o c o s m i c6 e l d t h eq u a n t u me f f e c tg e n e 豫l l ys t a n d so u ti ns u c hc i r c u m s t a n c e a dc a nn o tb ei g n o r e d s o m e t i m e st h i s p m b l e m i sn o ta n i m p o r t a n t e m b a i i a s s m e n tw h i c ht h em a n u f a c t u r e rs h o u l do v e rc o m eb u tai n t e r e s tn s e a r c h d o m a i n i nm a yo f1 9 9 3 ，t h ec r o m m i ea n dh i sg r o u pu s es t i 訌e q u i p m e n tf i x s e v e r a li r o na t o m i c so nt h ec u ( i i i ) s u i ? f a c ew i t hh e l po fu q u i dn i t r o g e n t h e s ei r o n a t o m i c sg e tt o g e t h e ri nac i r c l ew h i c hm a d ei tu k eab a m e r ，a n dt h e nt h es c i e n t i s t f o u n dt h ev i s i b l ed i ：f f r a c t i o nd e s i g ni ni tw h i c hm a d eb yt h ee l e c t r o n t h i ss y s t e mi s c a l l e dq u a n t l i mc o r r a lb e c a u s et h ee i e c t r o nw a sc o n 6 n e di n at i n yb a r r i e r c o n s t 陽(yáng)c tb yt h ei n n e ri 陽(yáng)n se l e c t m n s i t i saf o r c e f u l l ye v i d e n c ew h i c hc a np m v e t h em i c r o - a r t i c l e sn u c t u a t ep m p e r t y i nt h e o r y w ec a nu s eaq u a n t u mb m i a r ds y s t e mt os i m u l a t e q u a n t u mc o r r a l s a n dt h ed i s t r i b u t i o no fw a v ef u n c t i o nc a nb er e g a r d e da st h ed i s t r i b u t i o no f e l e c t i o ni nq u a n t u mc o r r a l s i nt h i sp a p e bt h eb o u n d a r y i n t e g r a lt 訌e t h o d ( s h o r t f o rb i m ) ，w h i c hi sap o w e r f u lm e t h o df o rs o l v et h ee i g e np r o b l e mo fq u a n t l l m b n l i a r ds y s t e m ，i sa d o p t e da n ds o m ei m p r o v e m e n t sw e r ei n t r o d u c e dt oe n h a n c et h e n u m e r i c a le f n c i e n c ya n da c c u r a c y n b yu s i n gn e wd e n n e dq u a n t i z a t i o m e a s u r e 6 張j 下中：量子圍欄的模擬和計(jì)算 f o rb i m ，e i g e n e n e i 。g i e sc a nb ed e t e r m i n e da c c u r a t e l ya dq u i c y ：i nt h i sp a p e ba s i m p l ea n de m c i e n td e f m i t i o n ， c o r r e l a t i o nn l n c t i o na b o u tw a v e 矗i n c t i o n ， i s i n t r o d u c e dt od e t e r m i n et h e d e g e n e r a t ed e g r e eo fe i g e n - s t a t e s t h e s en e w i m p m v e m e n t sc a np r o v i d ean e wa c c e s s e sf o rt h ef u t l i w o r ki nt h i s6 e l d 1 秒u s et h en e wq u a n t i z a t i 蚰m e a s u 心f o rb i m ，t h ew r i t e rs i m u l a t e 鉀oi 【i n d s o fb i l l i a r d ss y s t e m ：t h es i n a ib i l h a r da n dt h el 4s i n a ib n k a r d t h ep a s tw o r k b e l i e v e dt h a tb o t ho ft h es i n a ib m i a r da n dt h e1 4s i n a ib m i a r dh a v et h es a m e p h y s i c sp r o p e i 吼b u to u rr e s u ns u g g e s t ，t h e r ea r ee x i s t e ds o m ee i g e n s t a t e si nt h e s i 眥i b m i a r ds y s t e mw h i c ha r e 舯te i g e n s t a t e si nt h el “s i n a i b m i a r d t h es e to f a i le i g e n - s t a t e so f1 4s i n a ib i l l i a r di so n l yt h es u b s e to fs i n a ib i n i a r d t h ei e a s o n s h o u l db et h ed i 仃e 陽(yáng)n c eo fs p a t i a ls y m m e t r yb e 鉀e e n 佃os y s t e m s t h a “st os a y w ec a n ts i m p l ym g a r dt h e1 4s i n a ib i l k a r da st h el 4 p a nc u t t e df h ms i n a i b i l u a r d i na d d i t i o n ，t h ew r i t ef i n dt h a tt h es i n a ib i l l i a r d sw a v ef h n c t i o no fh i g h e i g e n s t a t ei sm o r ec o m p l e xt h a nt h e1 “s i n a ib m i a r d i nt h e4 t hs e c t o ro ft h i s p a p e bt h ea u t h o ru s eb i mt oc a l c u l a t e t h e e l e c t m n - w a v ed i s t r i b u t i o n n s p e c t i v e l yi n c i r c l eq u a n t i i mb a r n e ra n de l l i p s e q u a n t u mc o r r a l ， t h en u m e r i c a lr e s u l tm a t c h e sw e uw i t ht h e p u b l i s h e d e x p e r i m e n t a lr e s u l t b u tt h er e s u l to fs i m u l a t i o ni nt h ee l l i p s eq 岫n t l l mc o r 豫1 w i t has m a l lc i r c l ew a l lo ni t sr i g h tf o c u sp o i n ti sn o tt h ee x p e c t e do n eo f p u b l i s h e d e x p e r i m e n t s m a y b ei ti sc a u s e db yu s i n gas m a hc i r c l ew a l l t oa p p m x i m a t eaa t o m 7 揚(yáng)州大學(xué)碩士學(xué)位論文 a tt h ef o c u s ，t h ea p p m x i m a t ei sr o u g h i nt h ef o u 們r(jià) i n g ，w ew i ur e p l a c et h es m a u c i r c i ew a l lw i mac i r c l e6 n i t es t e p p e dp o t e n t i a l ，w ee x p e c tt o f i n dt h ea t o m s “q u a n t u mg h o s t a ta n o t h e rf o c u s ，t h ep h e n o m e n ah a sb e e nf o u n di np u b l i s h e d e x p e r i m e n t k e yw o r d s ：q u a n t l i mb m i a r d ，q u a n t l l mc o r r a l ，s u r f a c e e l e c t m n - w a v e d i s t r i b u t i o n ，e i g e n e n e i 罾e s 8 張正中：量子圍欄的模擬和計(jì)算 第一章：緒論 1 1 引言 自有人類文明以來，人們就一直為探索宏觀宇宙世界和微觀物質(zhì)結(jié)構(gòu)世界的 奧秘而不懈努力。而對(duì)于微觀世界的研究，由于受限于當(dāng)時(shí)的觀測(cè)手段，直到近 代，才出現(xiàn)了迅速的發(fā)展。1 6 7 4 年，荷蘭人列文虎克( a v a n l e e u w e n h o e k ) 發(fā) 明了世界上第一臺(tái)顯微鏡，首次觀察到血紅細(xì)胞，為人類打開了豐富多彩的微觀世 界大門，到了1 9 世紀(jì)中葉，通過原子的散射試驗(yàn)，人們也開始在原子的尺度上認(rèn) 識(shí)我們身邊身邊的微觀世界，2 0 世紀(jì)7 0 年代末，掃描隧道顯微鏡( s t m ) 的誕生更 是使人類從直觀上觀察到了原子尺度下的世界，使人類對(duì)微觀世界的觀察能力一 下子飛躍到千分之一的納米級(jí)，并使人類可以在原子尺度下自由地操作特定原子， 這些技術(shù)在提高人類認(rèn)識(shí)世界能力的同時(shí)，也大大刺激了微型電子器件和微加工 技術(shù)的迅猛發(fā)展。通過新的半導(dǎo)體工藝和加工技術(shù)，人類開始進(jìn)入納米時(shí)代。 掃描隧道顯微鏡( s t m ) 的誕生是人類對(duì)原子世界進(jìn)行研究的一個(gè)突破，它不 僅可以用來觀察原子的分布，還可以實(shí)現(xiàn)在二維平面上對(duì)原子進(jìn)行搬遷。在s t m 的 探針針尖上加很微弱的電流，就會(huì)在針尖上產(chǎn)生一個(gè)梯度電場(chǎng)，當(dāng)原子與針尖的距 離非常接近( 距離為幾十納米) 的時(shí)候會(huì)，就會(huì)互相吸引，這時(shí)把針尖提起，針尖就 能夠從樣品表面吸取一個(gè)孤立原子并轉(zhuǎn)移到別處，然后撤去電場(chǎng)，就可以將原子放 置到新的位置上，從而實(shí)現(xiàn)原子和分子的搬遷。1 9 9 3 年5 月，美國(guó)加州圣荷塞阿瑪 丹i b m 研究中心的c r o 咖i e 等人在液氮溫度下，將鐵原子蒸發(fā)到清潔的c u ( i i i ) 表 9 揚(yáng)州火學(xué)碩十學(xué)位論文 面3 ，然后用掃描隧道顯微鏡操縱這些鐵原子使它們逐個(gè)地定位在銅表面上，從而 構(gòu)造出這些形狀各異的閉合圖樣，由這些原子排列而成的閉合圖樣即為所謂的“量 子圍欄”心1 對(duì)于處在圍欄內(nèi)金屬表面費(fèi)米態(tài)電子而言，這個(gè)由原子筑成的圍欄便 成了一個(gè)橫向的二維勢(shì)壘，電子被束縛在勢(shì)壘中。由于微觀電子的波動(dòng)性，在量子 圍欄中，可以明顯地觀察到電子分布的駐波形式這是微觀粒子具有波動(dòng)性的直 接的實(shí)驗(yàn)證明。 由于量子搬遷技術(shù)，人們可以隨意的用s t m 改變圍欄的形狀，于是，又誕生各 種不同外型的量子圍欄：有三角的，橢圓的，矩形的臺(tái)球型的量子圍欄。 其中，值得一提的主要是運(yùn)動(dòng)場(chǎng)型的量子圍欄和橢圓量子圍欄。運(yùn)動(dòng)場(chǎng)型的 量子圍欄，由于其邊界的特殊性，決定了其電子波函數(shù)的分布特性可以由運(yùn)動(dòng)場(chǎng) 邊界的量子臺(tái)球系統(tǒng)來模擬。同時(shí)，二維運(yùn)動(dòng)場(chǎng)量子臺(tái)球模型是過去人們用來研 究量子混沌常用的模型之一。這就為實(shí)驗(yàn)上研究觀測(cè)混沌現(xiàn)象提供了一條切實(shí)的 途徑。 張正中：量子圍欄的模擬和計(jì)算 說起量子混沌，我們得回顧一下對(duì)混沌科學(xué)發(fā)展的歷史。早在1 0 0 多年之前 的玻爾茲曼在推導(dǎo)他的著名的h 定理時(shí)，就曾經(jīng)提出過分子混沌的假設(shè)。但那時(shí) 的混沌一詞只是被用來表示與宏觀系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)有關(guān)的無序特征。而到了1 9 世紀(jì) 末，著名的數(shù)學(xué)家龐加萊在研究三體問題的穩(wěn)定性的時(shí)候發(fā)現(xiàn)，即使是只有兩個(gè) 自由度的保守系統(tǒng)也能做出難以想象的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)。雖然他沒有使用混沌這個(gè)詞， 但從現(xiàn)在看來，三體問題就是一個(gè)典型的混沌問題。1 9 6 3 年，氣象學(xué)家洛侖茲發(fā) 表了他用數(shù)值方法研究的大氣熱對(duì)流模型方程時(shí)發(fā)現(xiàn)的確定性非周期流。1 9 6 4 年， 天文學(xué)家埃農(nóng)和海耳斯在關(guān)于星系中星體軌道的數(shù)值研究中，再次發(fā)現(xiàn)了當(dāng)年龐 加萊用定性方法研究過的保守系統(tǒng)的中不規(guī)則運(yùn)動(dòng)。7 0 年代以后是混沌科學(xué)的蓬 勃發(fā)展時(shí)期?；煦缈茖W(xué)已經(jīng)引起專家學(xué)者的廣泛關(guān)注，混沌已經(jīng)對(duì)自然科學(xué)，社 會(huì)各個(gè)領(lǐng)域產(chǎn)生重大影響。 在認(rèn)識(shí)到混沌在經(jīng)典力學(xué)中的重要地位之后，人們很自然地會(huì)想到確定性混 沌的概念推廣到量子力學(xué)中去，量子混沌是7 0 年代出現(xiàn)的量子力學(xué)研究中的一個(gè) 新方向。其目標(biāo)是要弄明白，在經(jīng)典世界里極為普遍的混沌現(xiàn)象，在量子世界里 會(huì)有什么樣的表現(xiàn)形式。經(jīng)過二十多年的研究，人們從能譜統(tǒng)計(jì)描述，定態(tài)波函 數(shù)的形式等各種量子現(xiàn)象中，辨認(rèn)出了一系列與經(jīng)典混沌有關(guān)的行為特征。其中 揚(yáng)州大學(xué)碩+ 學(xué)位論文 某些特征，已在實(shí)驗(yàn)中被觀測(cè)到，為了從理論上闡明這些特征，人們還建立了一 套半經(jīng)典理論，這一理論推廣了玻爾一索末菲的舊量子理論，把混沌系統(tǒng)的量子 力學(xué)行為與其經(jīng)典的周期軌道行為聯(lián)系在了一起。事實(shí)上，按照玻爾的對(duì)應(yīng)原理， 將量子力學(xué)應(yīng)用到宏觀運(yùn)動(dòng)上所得到的結(jié)果。應(yīng)該與經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果一致，力學(xué) 系統(tǒng)的混沌特征，也必然在其量子性質(zhì)上有所表現(xiàn)。進(jìn)入8 0 年代，討論量子混沌 的文獻(xiàn)4 51 數(shù)量迅速增長(zhǎng)，其大部分文章都致力于闡明經(jīng)典混沌系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的量 子系統(tǒng)所具有的特征。 對(duì)于經(jīng)典可積的量子系統(tǒng)已有不少研究，最早的是周期驅(qū)動(dòng)的振子k r 6 刀。 對(duì)比較簡(jiǎn)單的經(jīng)典混沌系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的量子系統(tǒng)的混沌行為具有很大的興趣，這對(duì)于 進(jìn)一步清楚地研究經(jīng)典混沌系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的量子力學(xué)系統(tǒng)具有重要的意義，在許多 光學(xué)和微波實(shí)驗(yàn)上有了很好驗(yàn)證8 們。b a o w e nl i ，b a n b ih u 等在臺(tái)球系統(tǒng)的經(jīng) 典和量子行為均已有不少研究，如混沌擴(kuò)散行為，經(jīng)典局域化現(xiàn)象，不穩(wěn)定周期軌 道疤痕等，這方面做出了巨大貢獻(xiàn)1 0 1 糾。臺(tái)球系統(tǒng)是上個(gè)世紀(jì)8 0 年代以后 在量子非線性領(lǐng)域廣為研究的系統(tǒng)，對(duì)于不同邊界形式的臺(tái)球系統(tǒng)的經(jīng)典及量子 行為的研究工作已經(jīng)作了許多。對(duì)靜態(tài)的臺(tái)球系統(tǒng)，許多研究表明其經(jīng)典和量子的 混沌有很重要的對(duì)應(yīng)性1 羽。 在這種背景下，筆者首先改進(jìn)了一種數(shù)值構(gòu)造閉合系統(tǒng)駐波態(tài)的數(shù)值方法， 然后計(jì)算了和比較了s i n a i 臺(tái)球系統(tǒng)和1 4 s i n a i 臺(tái)球系統(tǒng)在這種數(shù)值方法的物理 性質(zhì)。并且，筆者將量子圍欄近似成閉合臺(tái)球系統(tǒng)相同的邊界條件，同樣借助邊 界積分?jǐn)?shù)值方法構(gòu)造了原形，橢圓型，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)型和矩形量子圍欄的表面態(tài)波函數(shù)， 1 2 張正中：量子圍欄的模擬和計(jì)算 開展了大量數(shù)值模擬工作。 1 2 參考文獻(xiàn) 1 m f c r o m m i e ， c p l u t z ， d m e i 9 1 e rs e i e 力c e2 6 2 ，2 1 8 2 2 0 ( 1 9 9 3 ) 2 m f c r o m m i e ， c p l u t z ， d m e i g l e r a t u r e3 6 3 j5 2 4 5 2 7 臼9 9 3 夕 3 陸同興：非線性物理概論 m 4 h j i r a r i ，h k r 6 9 e r ，s g r u b i n ee ta 1 q u a n t u mi n s t a n t o n sa n dq u a n t u m c h a o s p h y s l e t t a2 0 0 1 ， 2 8 1 ：1 8 5 趙春風(fēng)，羊亞平，馮偉國(guó)非線性物理簡(jiǎn)介：7 量子混沌 j 工科物理，1 9 9 7 ， 第2 期 6 gc a s a t ie ta 1 ，s t o c h a s t i cb e h a v i o ri nc l a s s i c a la n dq u a n t u ms y s t e m m ， v o l9 3 ，l e c t n o t e s i np h y s ( s p r i n g e r ，b e r li n1 9 7 9 ) 7 gc a s a t ie ta 1 d y n a m i c a ls t a b i l i t yo fq u a n t u m“c h a o t i c ” m o t i o ni n ah y d r o g e na t o m j p h y s r e v l e t t 1 9 8 6 ，5 6 ( 9 ) ：2 4 3 7 2 4 4 0 8 k u d r 0 11ia ，k i d a m b ivv ，s r i d h a rs e x p e r i m e n t a ls t u d i e so fc h a o sa n d l o c a l i z a t i o ni nq u a n t u mw a v ef u n c t i o n s j p h y sr e vl e t t ，1 9 9 57 5 ( 5 ) ： 8 2 2 8 2 5 ； 旦i q n 旦金。魚! 金g q ! y 墾：l i 墜q 至： 墾i 魚b 壘! 魚墜 w a v e g u i d ee x p e r i m e n t r e l a t e dt of i e l dc h a o s j p h y s l e t t a ，2 0 4 ：1 7 4 1 7 6 9 d o r o nc o h e na n dd i e g oa w i s n i a c k i s t a d i u mb i l l i a r d sw i t hm o v i n g w a l l s j p h y sr e ve2 0 0 3 ， 6 7 ：0 2 6 2 0 6 1 v 0 2 6 2 0 6 1 4 揚(yáng)州大學(xué)碩+ 學(xué)位論文 1 0 b a o w e nl i ，r o b n i km ，h ubb r e l e v a n c eo fc h a o si nn u m e r i c a ls 0 1 u t i o n s o fq u a n t u mb i l l i a r d s j p h y s r e v e ，1 9 9 8 ，5 7 ：4 0 9 5 4 1 0 5 1 1 b a o w e nl ia n db a m b ih u s t a t i s t i c a la n a l y s i so fs c a r si ns t a d i u m b i l l i a r d j h t t p ：a r x iv ：c o n d 一囅a t ，9 7 12 0 8 21 9 9 7 ： 1 2 8 1 2 b a o w e nl i n u m e r i c a ls t u d yo fs c a r si nac h a o t i cb i l l i a r d p h y s r e v e ， 1 9 9 7 5 5 ：5 3 7 6 5 3 7 9 3 何紅波，王文軍邊界振動(dòng)的圓形彈球系統(tǒng)的量子混沌 j 河南科學(xué)，2 0 0 0 ， 1 8 ( 1 ) ： 3 6 4 0 1 4 張正中：量子圍欄的模擬和計(jì)算 第二章：利用邊界積分方法研究二維無限高閉合方勢(shì)壘的本征解 2 1 研究背景 隨著半導(dǎo)體技術(shù)和微加工技術(shù)的日新月異，微器件的尺寸已經(jīng)進(jìn)入納米尺度。 由于工程技術(shù)的需要，通過新的半導(dǎo)體工藝和納米加工技術(shù)，人們已經(jīng)可以實(shí)現(xiàn) 將幾個(gè)原子或幾個(gè)電子束縛在一個(gè)小尺寸的量子阱內(nèi)，從而形成新的光學(xué)或電學(xué) 器件。對(duì)該類系統(tǒng)的輸運(yùn)性質(zhì)及本征問題的研究，有助于對(duì)量子信息領(lǐng)域中已些 理論上亟待解決的問題加以解釋以及對(duì)一些微觀物理現(xiàn)象加以理解，如量子點(diǎn)的 性質(zhì)、量子圍欄的性質(zhì)1 ，羽、納米器件的輸運(yùn)性質(zhì)3 1 等等。具有硬邊界的閉合無 限高方形勢(shì)壘系統(tǒng)是對(duì)這類問題的最簡(jiǎn)單近似，研究閉合無限高方形勢(shì)壘的本征 行為顯然對(duì)此類問題的理解具有很現(xiàn)實(shí)的理論價(jià)值。 量子臺(tái)球系統(tǒng)是典型的二維閉合無限高方形勢(shì)壘系統(tǒng)，除少數(shù)具有特殊邊界 的經(jīng)典臺(tái)球系統(tǒng)作規(guī)則運(yùn)動(dòng)外，一般的經(jīng)典臺(tái)球系統(tǒng)都作遍歷混沌運(yùn)動(dòng)鍆。對(duì)量 子臺(tái)球系統(tǒng)的研究工作開展很早，最初的研究是為了討論不可積系統(tǒng)中出現(xiàn)的量 子混沌行為，通過對(duì)經(jīng)典混沌系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的量子系統(tǒng)的本征能譜和本征態(tài)的統(tǒng)計(jì) 行為和動(dòng)力學(xué)行為的研究，以期望給出可積系統(tǒng)和不可積系統(tǒng)本征行為之間的差 異5 ，6 ， 。近期，在這個(gè)領(lǐng)域的研究工作也較多8 引。 目前，計(jì)算二維無限高閉合方勢(shì)壘系統(tǒng)的的工作已有很多1 0 川。其中，求 解本征解的方法有邊界積分方法( b i m ) 、平面波展開方法( p l a n e w a v e d e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，簡(jiǎn)稱p w d m ) 川和定態(tài)展開法( e x p a n s i o nm e t h o do f s t a t i o n a r ys t a t e ，簡(jiǎn)稱e m s s ) 1 1 ，1 幻等。在本文中，我們主要采用b i m 方法， 1 s 揚(yáng)州大學(xué)碩士學(xué)位論文 一次性地精確求解了二維量子臺(tái)球系統(tǒng)在給定能量范圍內(nèi)的所有本征能譜。在利 用b i m 求解的過程中，通過我們引入的關(guān)聯(lián)度函數(shù)，避免了傳統(tǒng)b i m 方法在求解 過程中可能出現(xiàn)的多根問題，同時(shí)也解決了簡(jiǎn)并態(tài)的求解問題。 2 2 量子臺(tái)球系統(tǒng)的簡(jiǎn)化 臺(tái)球系統(tǒng)即將一個(gè)粒子束縛在一個(gè)閉合的具有特定硬質(zhì)邊界的二維盒子中自 由運(yùn)動(dòng)，忽略邊界與粒子之間的能量交換，并將盒子的硬質(zhì)邊界理解為無窮高勢(shì) 壘。臺(tái)球系統(tǒng)是典型的二維閉合無限高方形勢(shì)壘系統(tǒng)，對(duì)于低能態(tài)粒子，如果粒 子運(yùn)動(dòng)的德布羅意波長(zhǎng)與二維盒子的尺寸相近時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)的量子行為表現(xiàn)將極 為明顯，而高能態(tài)的粒子，由于其德布羅意波長(zhǎng)較短，粒子在臺(tái)球場(chǎng)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)與 經(jīng)典粒子的運(yùn)動(dòng)類似。常見的幾種規(guī)則邊界的臺(tái)球系統(tǒng)如圖( 1 ) ，其中圓形臺(tái)球系 統(tǒng)和矩形臺(tái)球系統(tǒng)為典型的可積系統(tǒng)，其本征方程存在嚴(yán)格的解析解，而圖( 1 ) 中 的( b ) 為不可積s i n a i 臺(tái)球系統(tǒng)，其本征方程不存在嚴(yán)格的解析解，在特定的參 數(shù)下，可以采用微擾法求解或采用數(shù)字方法求近似解。 ( a ) a a ( b ) 圖1 臺(tái)球模型系統(tǒng) 1 6 張正中：量子圍欄的模擬和計(jì)算 如圖1 ( a ) ，( b ) ，( c ) 分別是圓形，s i n a i 臺(tái)球還有矩形邊界的臺(tái)球系統(tǒng)，在臺(tái)球邊界 的內(nèi)部無勢(shì)場(chǎng)，在臺(tái)球外側(cè)則是無窮高勢(shì)壘s i n 撕臺(tái)球的內(nèi)部小圓里也是無窮高勢(shì) 壘。( a ) 和( c ) 都是典型的可解析系統(tǒng)，( b ) 是典型的不可積系統(tǒng)。注意，上圖中的ra 和b 都是無標(biāo)度的 ( 1 ) 這里，y c 習(xí)= 羔嬲，定態(tài)薛定諤方程可以表示為： 療y ( 賈) = 印( i ) ( 2 ) 只有少數(shù)具有特定邊界的臺(tái)球系統(tǒng)的定態(tài)薛定諤方程可以嚴(yán)格求解，而一般非可 積量子臺(tái)球系統(tǒng)只能借助于數(shù)值方法或微擾方法進(jìn)行求解，本文采用的b i m 方法 就是一種非常有效的數(shù)值方法。 在臺(tái)球場(chǎng)內(nèi)，式( 2 ) 可以表示為h e l i n h o l t z 方程： v 2 y ( i ) + 七2 y ( 勇) = o ( 3 ) 這肌厴，對(duì)于量子臺(tái)球系統(tǒng)，方程式( 3 ) 采用第一類邊界條f 牛，及d i r i c l l l e t 邊界條件：沙( i ) i ，= o 。 2 3 邊界積分方法的理論研究和改進(jìn)工作 求解式( 2 ) 定態(tài)薛定諤方程的解，我們可以采用格林函數(shù)方法求解。對(duì)于自由 粒子，定義自由粒子的格林函數(shù)g ( x ，x ) 為： 揚(yáng)州大學(xué)碩士學(xué)位論文 ( 七2 一v 2 ) g ( 七；x ，x 。) = 萬( x x ) 自由粒子的格林函數(shù)解為： g ( 后；i ，i ) = 一丟虼( 七i i i 1 ) + 伊( i ，i 。) ( 4 ) ( 5 ) 這里，矽( i ，元) 是規(guī)范自由度，為滿足規(guī)范要求( 一七2 一v 2 ) 伊( i ，碧) = o 的任意函數(shù)， 這里我們采用最簡(jiǎn)單的處理方式，令緲( i ，i ) 三0 。由格林函數(shù)，臺(tái)球系統(tǒng)的本征態(tài) 函數(shù)可以表示為： 少( i ) = p ( 尼；i ，i 切( i ) 廢 ( 6 ) 這里，p ( 孑) 理解為在臺(tái)球場(chǎng)內(nèi)形成場(chǎng)沙( i ) 的源分布密度，對(duì)于量子臺(tái)球系統(tǒng)來說， 源p ( i ) 只分布于臺(tái)球系統(tǒng)的邊界上，則式( 6 ) 可以表示為： ( i ) = 叮g ( 七；i ，墨) ( 墨) 出 這里的下標(biāo)s 表示沿邊界積分，y ( i ) 要求滿足d i r i c m e t 邊界條件y ( 墨) 蘭o 。利用 數(shù)值方法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可以將式( 7 ) 中的積分表示成求和式： y ( i ) = 心g ( 七；孑，墨) ( 墨) ， ( 8 ) 這里s = 1 ，2 ，3 ，表示將邊界均勻離散為個(gè)離散點(diǎn)，s 為離散后任意兩邊 界點(diǎn)之間的邊長(zhǎng)。若粒子運(yùn)動(dòng)的德布羅意波長(zhǎng)為兄= 2 萬七，將邊界均勻離散為個(gè) 離散點(diǎn)要求讎兄。顯然，越大，s 越小，數(shù)值誤差就越小，但同時(shí)要求的 計(jì)算量也與2 成正比增長(zhǎng)，若過小，數(shù)值誤差就越大，實(shí)際計(jì)算中會(huì)出現(xiàn)大量 丟解的情況，在實(shí)際計(jì)算中，我們一般取叢兄3 ，這樣可以基本保證解的完整 性。邊界離散后，d i r i c m e t 邊界條件可以表示為： 1 8 張正中：量子圍欄的模擬和計(jì)算 g ( 七；墨，墨) ( 墨) 三o 。 毒 由式( 9 ) 定義f r e d h o l m 矩陣： 式( 9 ) 可以表示為： 嗚( 后) = g ( 尼；墨，弓) 4 ( 七) = o ， j ( 9 ) ( 1 0 ) 為了便于計(jì)算，這里取f ，= 1 ，2 ，3 ，則f r e d h o l i l l 矩陣彳為的方陣。很顯 然，并不是任意的后都能滿足式( 9 ) ，對(duì)于處于束縛態(tài)的臺(tái)球系統(tǒng)，只有七在本征態(tài) 時(shí)，才有滿足式( 9 ) 的( 墨) ，此時(shí)的粒子能量即為本征能量。 為了尋找滿足式( 9 ) 的七值，可以采用奇異值分解( s i n g u l a rv 礬u e s d e c o 1 p o s i t i o n ，s v d ) 方法來確定( 曩) 在給定七值時(shí)的最優(yōu)解，使得由式( 8 ) 所表達(dá) 的桫( x ) 0 沿邊界有最小值。當(dāng)系統(tǒng)處于本征態(tài)時(shí)，桫( x ) 0 沿邊界值為o 。對(duì)給定的七， 對(duì)彳作s v d ，得： 么( 尼) = “( 后) 礦( 后) v ( 后) ， ( 1 2 ) 形為對(duì)角陣，對(duì)角元為彳的奇異值，甜矩陣的行矢、v 矩陣的列矢分別為對(duì)應(yīng)奇異 值的左矢和右矢，根據(jù)奇異值的定義，這里將右矢理解為源在邊界上的分布密度 ( 墨) 。為了在數(shù)值上尋找滿足式( 9 ) 的解，這里需要定義一個(gè)判據(jù)，用來判斷尼在 取何值時(shí)，存在( 曩) 使得式( 9 ) 嚴(yán)格成立。通常意義下，一般采用s v d 的最小奇 異值作判據(jù)，但通過我們的實(shí)際操作，這個(gè)判據(jù)并不是一個(gè)好的判據(jù)，存在一些 操作上的困難。我們重新定義了一個(gè)新判據(jù)邊界殘量，邊界殘量的定義為： 1 9 揚(yáng)州人學(xué)碩士學(xué)位論文 r ( 后) = 去叢；( 虬) 2 = 去叢莓莩( g ( 墨，墨歸( ) 2 0 ( 1 3 ) 這里的召為杪( 孑) 的歸一化常數(shù)。顯然，當(dāng)丁( 七) = 0 時(shí)，( i ) 即為系統(tǒng)的本征態(tài)函 數(shù)，而e ：善竺即為系統(tǒng)本征能量。在數(shù)值上，我們掃描給定區(qū)域的七，對(duì)彳( 后) 做 z ，竹 s v d 分解，最后作( 丁( 七) ，后) 函數(shù)圖。在( r ( 七) ，七) 函數(shù)圖上，所有丁( 七) 出現(xiàn)極小 的地方近似為系統(tǒng)本征態(tài)的位置，這樣就可以最終給出給定區(qū)域內(nèi)的所有本征能 驥 晤。 對(duì)于高維量子系統(tǒng)，出現(xiàn)狀態(tài)的簡(jiǎn)并是非常普遍的情況，完全確定簡(jiǎn)并態(tài)對(duì)于 了解系統(tǒng)的量子統(tǒng)計(jì)性質(zhì)以及利用微擾法計(jì)算系統(tǒng)的物理量等都具有實(shí)際的意 義。對(duì)于量子臺(tái)球系統(tǒng)，我們處理簡(jiǎn)并態(tài)問題還是基于b i m 方法。若某個(gè)能級(jí)f 為 刀度簡(jiǎn)并，則定義s v d 的每個(gè)右矢量的邊界殘量為乃( 毛) = o ，= l ，2 ，刀。在 島附近，至少存在刀個(gè)波函數(shù)妙7 ( i ) 的邊界殘量同時(shí)趨近于o ，也即在后= 毛時(shí)，存 在刀種源分布7 ( 囂) 所構(gòu)造的波函數(shù)滿足d i r i c l l l e t 條件，這里關(guān)鍵是如何同時(shí)尋 找出所有的7 ( 毫) 。實(shí)際計(jì)算時(shí)，首先，我們還是利用b i m 方法計(jì)算所有的能級(jí)， 在確定本征能級(jí)以后，針對(duì)每個(gè)能級(jí)都作一次簡(jiǎn)并態(tài)分析。為了區(qū)分簡(jiǎn)并的不同 波函數(shù)，我們引入了波函數(shù)間的關(guān)聯(lián)度函數(shù)： c ：f ，= 1 一 ( 1 4 ) 若( 哥) ，( i ) 為相同的波函數(shù)，則c i f ，= 1 ，若( i ) ，( 碧) 為不同的正交本征態(tài)波 函數(shù)，則巳= o 。對(duì)于束縛態(tài)，定態(tài)波函數(shù)的關(guān)聯(lián)度函數(shù)也可以表示為： 2 0 張正中：量子圍欄的模擬和計(jì)算 c ：f ，= l 葦囂蒜竽 ( 1 5 ) 實(shí)際計(jì)算時(shí)，在特定的本征能級(jí)e ( 磚) ，對(duì)f r e d h o l m 矩陣彳作s v d ，并利用丁。( t ) 作判據(jù)，選取邊界殘量較小的右矢量哥作為可能的。這里需要說明的是，在作 s v d 時(shí)，由于不同的簡(jiǎn)并態(tài)所對(duì)應(yīng)的最小奇異值趨近于o 的速度不同，數(shù)值上不 能保證所有的簡(jiǎn)并態(tài)在作s v d 時(shí)都能使得丁( 毛) 同時(shí)趨于極小量，所以，相對(duì)于求 解本征能級(jí)，在求解簡(jiǎn)并態(tài)時(shí)我們對(duì)丁( t ) 范圍有比較大的寬容度。最后，對(duì)所有 選取的( 曩) ，作關(guān)聯(lián)度分析，給出所有非關(guān)聯(lián)的簡(jiǎn)并態(tài)波函數(shù)。 2 4 改進(jìn)后b i m 方法的數(shù)值計(jì)算結(jié)果 2 4 1 圓形量子臺(tái)球系統(tǒng)的本征能譜 圓形量子臺(tái)球系統(tǒng)是少數(shù)可以嚴(yán)格求解的二維無限高方形勢(shì)壘量子系統(tǒng)， 為了驗(yàn)證方法可行性及可靠性，我們利用b i m 方法計(jì)算了圖1 ( a ) 中圓形量子臺(tái)球 系統(tǒng)的本征譜，這里臺(tái)球場(chǎng)的半徑尺= 1 。在計(jì)算時(shí)，我們分別采用了最小奇異值 和邊界殘量作判據(jù)來確定本征能級(jí)的位置，圖2 中( a ) 、( b ) 圖分別為采用這兩種 判據(jù)給出的七【6 0 ，1 0 o 】區(qū)間內(nèi)丁( 尼) 的函數(shù)圖，表1 羅列出了利用丁( 七) 所找到的本 征能級(jí)，同時(shí)也對(duì)照著給出了理論值，利用b i m 方法給出的結(jié)果與理論值基本吻 合，可以看出，利用丁( 七) 作判據(jù)搜尋系統(tǒng)的本征能量是非常有效的。同時(shí)對(duì)比圖2 中的( a ) 圖和( b ) 圖，可以看出，如果簡(jiǎn)單利用最小奇異值s ( 尼) 作為判據(jù)搜尋本征 2 1 揚(yáng)州人學(xué)碩士學(xué)位論文 能級(jí)，則結(jié)果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于實(shí)際的能級(jí)數(shù)，所以，單純利用最小奇異值作為判據(jù)來 確定本征能級(jí)的位置并不是非常有效，會(huì)出現(xiàn)許多過余的“偽解”。針對(duì)這種情況， 我們也考慮過利用s ( 七) 并結(jié)合關(guān)聯(lián)函數(shù)g 共同確定本征能級(jí)，實(shí)際的結(jié)果說明這 種操作非常有效的，這里我們不再詳細(xì)描述。最后，我們給出圓形臺(tái)球系統(tǒng)在低 能態(tài)的能級(jí)累計(jì)密度的解析解與數(shù)值解的對(duì)照，如圖3 ，可以看出，兩者吻合的非 常好。 k 張正中：量子圍欄的模擬和計(jì)算 k ( b ) 圖2 用兩種不同的標(biāo)準(zhǔn)尋找本征能級(jí) 如圖2 ，在七 6 ，1 0 2 】區(qū)間內(nèi)，( a ) ：最小奇異值s ( k ) 隨尼的變化曲線；( b ) 邊界殘 量丁( 七) 隨后的變化曲線，理論上在此區(qū)間存在9 個(gè)能級(jí)，這與( b ) 圖精確吻合，而 ( a ) 圖顯然存在過多的“偽解”。 表1 圖2 ( b ) 中最小邊界波函數(shù)殘對(duì)應(yīng)的k 空間本征態(tài)的值 圖3 中，在能量區(qū)間2 ，舾殼2 0 ，3 0 0 】?jī)?nèi)，我們計(jì)算得到的圓形臺(tái)球系統(tǒng)的能級(jí) 累計(jì)密度與理論解的對(duì)照?qǐng)D，兩者基本吻合。 2 3 揚(yáng)州人學(xué)碩士學(xué)位論文 表一1 ，利用圖2 ( b ) ，可以尋找j i 6 ，1 0 2 】區(qū)間內(nèi)的所有本征能級(jí)，表中羅列出 了這個(gè)區(qū)間內(nèi)的所有本征能級(jí)的數(shù)字解和理論解，兩者之間基本吻合。 2 m e ，h 2 圖3 用改進(jìn)后的方法計(jì)算能級(jí)累計(jì)密度 2 4 2 簡(jiǎn)并態(tài)的數(shù)值結(jié)果 為了驗(yàn)證簡(jiǎn)并態(tài)計(jì)算方法的有效性，我們選取了類似于圖1 ( c ) 的量子矩形臺(tái) 球系統(tǒng)作為研究對(duì)象，這里取彳= 2 o ，b = 4 o 。量子矩形臺(tái)球系統(tǒng)是少數(shù)有嚴(yán)格解 的可積系統(tǒng)，矩形臺(tái)球系統(tǒng)在高能級(jí)時(shí)存在大量的簡(jiǎn)并情形，這為我們對(duì)照性的 研究帶來了很多便利。 首先，通過理論計(jì)算得七1 2 2 6 8 為矩形臺(tái)球系統(tǒng)本征能級(jí)的位置，且為二重 簡(jiǎn)并態(tài)，我們以此能級(jí)為例，驗(yàn)證算法的可靠性。首先，選定七 11 9 5 ，1 2 6 9 區(qū) 間內(nèi)，利用式( 1 0 ) 計(jì)算得到r ( 七) 函數(shù)圖，如圖4 所示。這里，我們選取了三個(gè)本 征能級(jí)七= 1 1 9 9 8 ，1 2 2 6 8 ，1 2 6 6 4 ，對(duì)每個(gè)能級(jí)，計(jì)算s v d 所有右矢的邊界殘量丁( 七) 并作由大到小的排序，如圖5 所示。當(dāng)七為1 2 2 6 8 和1 2 6 6 4 時(shí)，丁。( 后) 在趨于最小 張正中：量子圍欄的模擬和計(jì)算 時(shí)，都存在一個(gè)小平臺(tái)，在平臺(tái)上，丁( 七) 緩慢地趨于最小，而且平臺(tái)的寬度隨簡(jiǎn) 并度的加重而展寬；而對(duì)于尼= 1 1 9 9 8 ，r 。( 尼) 最后突然的掉落到最小。理論計(jì)算 表明，后= 1 2 6 6 4 和尼= 1 2 2 6 8 時(shí)