《周期信號的FS》PPT課件.ppt

第三章周期信號的傅立葉級數(shù)表示,3.1引言,回顧第一章，由單位沖激的組合性質(zhì)信號可分解為單位沖激信號的加權(quán)積分或加權(quán)和回顧第二章，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：,啟示：如果任意（或者是非常廣泛的）信號都能分解為某基本信號的線性組合系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)簡單易求則可方便地求出系統(tǒng)對任意輸入信號的響應(yīng)解決方法之一：卷積法求系統(tǒng)響應(yīng)？是否有其他的信號可作為基本信號答：,3.2LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng),復(fù)指數(shù)信號的重要性質(zhì)：LTI系統(tǒng)對其的響應(yīng)是同樣的復(fù)指數(shù)信號，增加幅度因子：即H(s)H(z)LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)復(fù)振幅因子H(s)，H(z)系統(tǒng)的特征值,證明：LTI系統(tǒng)h(t).輸入x(t)=y(t)=H(s)=若收斂，則y(t)=H(s)對離散LTI系統(tǒng)，H(z)=,yn=H(z),結(jié)論：若連續(xù)(離散)時間LTI系統(tǒng)的輸入x(t)=xn=則y(t)=yn=s,z可以是任意復(fù)數(shù)s=，z=時，即分別以為基函數(shù)傅立葉分析,3.3連續(xù)時間周期信號的傅立葉級數(shù)表示,3.3.1成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號的線性組合周期復(fù)指數(shù)信號與正弦信號基波頻率，基波周期,成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集：其線性組合：也是周期的，基波周期的兩項基波頻率為基波分量或一次諧波分量的兩項基波頻率為N次諧波分量上式即為周期信號的傅立葉級數(shù)表示,3.3.2連續(xù)時間周期信號傅立葉級數(shù)表示的確定兩邊同乘以此處有錯從積分利用（正交性）在任意一個T間隔內(nèi)，有,連續(xù)時間周期信號傅立葉級數(shù)物理意義：周期信號可以分解為成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號的線性組合傅立葉級數(shù)系數(shù)/頻譜系數(shù)，常為復(fù)數(shù)反映中每一個諧波分量的相對大小直流分量,三角形式的傅立葉級數(shù)（實周期信號）,3.3.3傅立葉級數(shù)收斂的條件兩種表示：A.一個周期內(nèi)能量有限的信號,即滿足此條件，信號x(t)與其傅立葉級數(shù)表示在能量上沒有差別,B.狄里赫利條件：條件1：在任何周期內(nèi)，x(t)絕對可積，即條件2：在任意有限區(qū)間內(nèi)，x(t)具有有限個起伏變化.條件3：在x(t)的任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個不連續(xù)點(diǎn)，且在不連續(xù)點(diǎn)上函數(shù)值有限滿足這組條件的信號x(t)，在連續(xù)點(diǎn)上x(t)的值等于其傅立葉級數(shù)表示，而在不連續(xù)點(diǎn)上，傅立葉級數(shù)收斂于不連續(xù)點(diǎn)兩邊值的平均值,例x(t)=求例：周期方波，在一個周期內(nèi),(占空比)T=4T1,3.3.4傅立葉級數(shù)的近似,用有限項的線性組合組合來表示原信號按均方誤差最小準(zhǔn)則，得傅立葉級數(shù)系數(shù)與無限項組合的系數(shù)相同，且與所取項數(shù)目無關(guān),吉布森現(xiàn)象-存在“超量”，且與項數(shù)無關(guān)項數(shù)M越大，越接近原信號：上升沿和下降沿越來越陡，峰值位置越接近原信號的不連續(xù)點(diǎn)含有更多的高頻分量,3.4離散時間周期信號的傅立葉級數(shù)表示與連續(xù)時間信號的區(qū)別：離散-有限項級數(shù)，連續(xù)-無窮級數(shù)3.4.1成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號的線性組合周期信號：xn=xn+N.基波頻率考慮（1）諧波信號（2）只有N個信號是不同的,的線性組合：表示僅需在連續(xù)N個整數(shù)上取值-離散時間傅立葉級數(shù)-傅立葉級數(shù)系數(shù)/頻譜系數(shù),3.4.2離散周期信號傅立葉級數(shù)表示的確定方法一：解聯(lián)立方程組方法二：類似連續(xù)時間兩邊同乘在N項上求和利用正交性,沒有收斂問題物理意義：周期信號可以分解為成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號的線性組合-頻譜系數(shù)，共有N個，常為復(fù)數(shù)反映xn中每一個諧波分量的相對大小綜合公式、分析公式,例：求的頻譜系數(shù)解：僅當(dāng)整數(shù)或整數(shù)的比時，xn是周期的。分兩種情況：（1）基波頻率一個周期內(nèi)其余（2）一個周期內(nèi)其余,例：求頻譜系數(shù)解：在0N-1一個周期中，圖：N1=2,N=10,20,40,3.5連續(xù)時間傅立葉級數(shù)性質(zhì)3.5.1線性若x(t),y(t)周期均為T,則：,3.5.2時移若，則(模不變)(分析公式證)3.5.3時間反轉(zhuǎn)若，則(由綜合公式證）偶函數(shù)的？奇函數(shù)的？,3.5.4時域尺度變換周期改變：x(t)周期為T，則(為正實數(shù))周期為傅立葉系數(shù)沒有改變，但傅立葉級數(shù)表示改變，因基波頻率改變,3.5.5相乘若x(t)、y(t)周期都為T，且則乘積的周期仍為T，且有：(卷積),3.5.6共軛及共軛對稱性若則（用綜合公式證明）對實信號？若x(t)為實偶信號？若x(t)為實奇信號？純虛數(shù)，奇,3.5.7連續(xù)時間周期信號的帕斯瓦爾定理k次諧波的平均功率物理意義：總平均功率=所有諧波的平均功率之和,3.6離散時間福立葉級數(shù)性質(zhì)3.6.1相乘周期卷積計算,3.6.2一次差分xn-xn-13.6.3離散時間周期信號的帕斯瓦爾定理周期信號的平均功率=所有諧波分量平均功率之和,3.7舉例1、求頻譜系數(shù),解：回憶3.3節(jié)例相當(dāng)于T1=1,T=4,且g(t)=x(t-1)-1/2,由時移性質(zhì)有：由線性性質(zhì)：,2、求xn的頻譜系數(shù),解：回憶3.4例,當(dāng)N1=1,N=5時3.4例即為x1n,3、求即周期沖激串的傅立葉系數(shù)相同,4、已知xn，(1)N=6(2)(3)(4)xn具有最小功率，求xn,解：由(1)(2)由(3)為使具有最小功率,必須取,3.8傅立葉級數(shù)應(yīng)用于LTI系統(tǒng)3.2節(jié)結(jié)論,特殊情況下，?。侯l率響應(yīng)連續(xù)時間，輸入x(t)為周期信號：LTI系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t),則輸出：,離散時間，輸入xn為周期信號，LTI系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)hn