2015高考數(shù)學 遞推數(shù)列：模型化解題法案例(高考班)

2015 年高考數(shù)學解題能力突破訓練營 教學案例 說明 本 案例為“ 2015 年高考數(shù)學解題能力突破訓練營 ” 課程提前體驗 的組成部分之一 ，供學員了解模型化歸納教學法 。 本文字部分為教師上課講義的一部分。 “課后模塊分類練習 ”、“教師授課視頻”將于 2014 年 6 月 15 日對外發(fā)布。敬請關(guān)注！ （ 2014 年 暑假 集中培訓課程使用） QBXT/JY/JXAL2014/6-GK-1 2014-6-6 發(fā)布 清北學堂教學研究部 清北學堂學科郵箱 自招高考 郵箱 數(shù)學競賽郵箱 物理競賽郵箱 化學競賽郵箱 生物競賽郵箱 理科精英郵箱 清北學堂官方博客 /tsba 清北學堂微信訂閱號 學習資料最新資訊 清北學堂集中培訓課程教學案例 （ 李偉源編撰，翻錄必究） 北京清北學堂教育科技有限公司 第 2 頁 2015 年高考數(shù)學解題能力突破訓練營教學案例 遞推數(shù)列 北京大學李偉源老師 類型一： 1 ()nna a f n 把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 1 ()nna a f n ，利用 疊加 法 (逐差相加法 )求解 【例 01】已知數(shù)列 na 滿足 211a， nnaann 21 1，求 na . 【例 02】已知數(shù)列 na 中 11a 且 2 2 1 ( 1)kkkaa ， 2 1 2 3kkkaa ， 其中 k=1， 2， 3， . (1)求 a3、 a5. (2)求 na 的通項公式 . 類型二： 1 ()nna f n a 把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 1 ()nna fna ，利用累乘法 (逐商相乘法 )求解 【例 03】已知數(shù)列 na 滿足 321a，nn anna 11 ，求 na . 【例 04】已知 31a ，nn anna 23 131 )1( n，求 na . 【例 05】已知數(shù)列 na ，滿足 a1=1， 1321 )1(32 nn anaaaa (n2)， 求 na的通項 公式 . 類型 三 ： 1nna pa q ，其中 p、 q 均為常數(shù)， ( 1) 0pq p 把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 1 ()nna t p a t ，其中1qt p ，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解 (待定系數(shù)法 ) 【例 06】已知數(shù)列 na 中， 11a ， 321 nn aa ，求 na . 【例 07】在數(shù)列 na 中，若 1 1a ， 1 2 3( 1)nna a n ，求 na . 清北學堂集中培訓課程教學案例 （ 李偉源編撰，翻錄必究） 北京清北學堂教育科技有限公司 第 3 頁 【例 08】 已知數(shù)列 na 滿足 1 1a ， *1 2 1( )nna a n N. (1)求數(shù)列 na 的通項公式 . (2)若數(shù)列 nb 滿足 12 111 *4 4 4 ( 1 ) ( )nnbbbb nan N， 求證 數(shù)列 nb 是等差數(shù)列 . (3)求證 *122 3 11 . . . ( )2 3 2nnaaann na a a N. 類型 四 ： 1 nnna pa q (其中 p、 q 均為常數(shù)， ( 1 ) ( 1 ) 0pq p q )或 1na nnpa rq ，其中 p、 q、 r 均為常數(shù) 一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以 1nq 得 111nnaapq q q q ，引入輔助數(shù)列 nb (其中 nn nab q )得11nnpbbqq ，再用待定系數(shù)法解決 【例 09】已知數(shù)列 na 中， 651a， 11 )21(31 nnn aa，求 na . 【例 10】設(shè)數(shù)列 na 的前 n 項的和 14 1 223 3 3nnnSa . (1)求首項 1a 與通項 na . (2)設(shè) 2nn nT S， 求證132n ii T . 類型五： 遞推公式為 nS 與 na 的關(guān)系式或 ()nnS f a 一般利用 11( 1 )( 2 )n nnSnaS S n 與11( ) ( )n n n n na S S f a f a 消去 nS ( 2)n 或與1()n n nS f S S ( 2)n 消去 na 進行求解 清北學堂集中培訓課程教學案例 （ 李偉源編撰，翻錄必究） 北京清北學堂教育科技有限公司 第 4 頁 【例 11】已知數(shù)列 na 前 n 項和22 14 nnn aS. (1)求 1na 與 na 的關(guān)系 . (2)求通項公式 na . 【例 12】已知正項數(shù)列 na ，其前 n 項和 Sn 滿足 10Sn=an2+5an+6 且 a1、 a3、 a15 成等比數(shù)列，求數(shù)列 na 的通項 公式 . 【例 13】數(shù)列 na 的前 n 項和 Sn 滿足 )3()21(3 12 nSS nnn， 11S ， 232 S，求數(shù)列 na 的通項公式 . 類型 六 ： 1nna p a a n b (1p 、 0 ， 0)a 這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令1 ( 1 ) (nna x n y p a )xn y，與已知遞推式比較，解出 x 、y ，從而轉(zhuǎn)化為 na xn y是公比為 p 的等比數(shù)列 【例 14】設(shè)數(shù)列 na 滿足 41a ， )2(123 1 nnaa nn ，求 na . 【例 15】已知數(shù)列 na 中，1 12a， 點 (n ， 12)nnaa 在直線 y=x 上，其中 n=1， 2， 3， (1)求數(shù)列 na . (2)設(shè) nS 、 nT 分別為 數(shù)列 na 、 nb 的前 n 項和 ， 是否存在實數(shù) 使得數(shù)列nnSTn為等差數(shù)列？若存在 ， 試求出 ；若 不存在 ，請 說明理由 . 類型 七 ： 1 rnna pa (0p ， 0)na 一般 將 等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為 1nna pa q 再利用待定系數(shù)法求解 【例 16】已知數(shù)列 na 中 ， 11a ， 21 1 nn aaa )0( a， 求數(shù)列 na 的通項公式 . 【例 17】已知數(shù)列 na 的 各項都是正數(shù)且滿足 10a ， )4(211 nnn aaa *()nN. 清北學堂集中培訓課程教學案例 （ 李偉源編撰，翻錄必究） 北京清北學堂教育科技有限公司 第 5 頁 (1)求證 21 nn aa *()nN . (2)求數(shù)列 na 的通項公式 . 【例 18】已知 a1=2， 點 (an， an+1)在函數(shù) f(x)=x2+2x 的圖象上 ， 其中 =1， 2， 3， (1)證明數(shù)列 lg(1 )na 是等比數(shù)列 . (2)設(shè) Tn=(1+a1)(1+a2)( 1+an)， 求 Tn 及數(shù)列 na 的通項 . (3)記 bn=211 nn aa， 求 nb 數(shù)列的前項和 Sn 并證明 Sn+132nT=1. 類型 八 ：1()( ) ( )nn nf n aa g n a h n 一般可將等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為 1nna pa q 這一熟悉的形式 【例 19】已知數(shù)列 na 滿足13 11 nnn aaa， 11a ， 求數(shù)列 na 的通項公式 . 【例 20】已知數(shù)列 na 滿足 a1=32 且 113 (221nnnnaanan， *)nN . (1)求數(shù)列 na 的通項公式 . (2)求證 ：對于一切正整數(shù) n， 不等式 12 2!na a a n . 類型 九 ： 221 ( 0 )nn na t bt a cc t d 【例 21】已知數(shù)列 na 中 ， a1=2， 3 121 nn aa， 求 na 的通項 公式 . 【例 22】已知數(shù)列 na 中 ， a1=3，1241 nnn aaa， 求 na 的通項 公式 . 【例 23】已知數(shù)列 na 的前 n 項和為 nS ， 211a， )1(2 nnanS nn ， 求 na 的通項 公式 . 清北學堂集中培訓課程教學案例 （ 李偉源編撰，翻錄必究） 北京清北學堂教育科技有限公司 第 6 頁 【例 24】 各項均為正數(shù)的