（應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)論文）w無(wú)窮型李代數(shù)的表示和hamilton型李雙代數(shù).pdf

上海交通大學(xué)博士學(xué)位論文 w 一無(wú)窮型李代數(shù)的表示和h a m i l t o n 型李雙代數(shù) 摘要 我們知道w 無(wú)窮李代數(shù)w 1 + 。，k 由于在共形場(chǎng)論、量子場(chǎng)論等物 理方面的廣泛應(yīng)用變得非常重要廣義w - 無(wú)窮型( 廣義w e y l - 型) 李代 數(shù)，由于它是無(wú)限維李代數(shù)，所以研究它的表示變得困難了許多我們 知道近年來(lái)出現(xiàn)了不少對(duì)c a x t a n 型單代數(shù)進(jìn)行推廣的文章，而其中 非常重要的w i t t 代數(shù)可以看成是w 無(wú)窮型李代數(shù)的子代數(shù)所以w - 無(wú)窮型李代數(shù)的重要性不言而喻 與頂點(diǎn)代數(shù)相連的李代數(shù)或由共形代數(shù)生成的李代數(shù)一般是( 非有 限的) r - 階化( 即階化空間是無(wú)限維的) 非線性的李代數(shù)，這里r 是一個(gè) 加法群我們知道，頂點(diǎn)算子代數(shù)是數(shù)學(xué)物理中共形場(chǎng)論和統(tǒng)計(jì)力學(xué)中 至關(guān)重要的代數(shù)結(jié)構(gòu)，決定這些代數(shù)的李代數(shù)結(jié)構(gòu)一般是r 階化的 由共形代數(shù)生成的李代數(shù)一般也是r - 階化的從代數(shù)的角度看，量子場(chǎng) 論就是由共形代數(shù)生成的李代數(shù)的表示無(wú)限維非階化李代數(shù)也很自然 的出現(xiàn)在h a m i l t o n 算子理論中，并且在數(shù)學(xué)物理中起著重要的作用因 此，研究它們的擬有限表示自然是一件重要的工作 在非有限階化l i e 代數(shù)的研究方面，n ，k a w a m o t o ，j j m ，o s b o r n ，d z d o k o v i c 。p a s s m a n ，d a j o r d a n ，蘇育才、趙開(kāi)明、徐曉平等做了大量的工作 特別值得一提的是，徐曉平利用導(dǎo)子單結(jié)合代數(shù)及局部有限導(dǎo)子構(gòu)造了 廣義c a f t a n 型的四族代數(shù)( 參見(jiàn)【9 】) 關(guān)于這方面的研究，正受到越來(lái)越 多的人的關(guān)注 李超代數(shù)是上個(gè)世紀(jì)由物理學(xué)家首先提出來(lái)的概念 v g k a c 在上 個(gè)世紀(jì)7 0 年代中發(fā)表的一系列文章中，給出了典型李超代數(shù)的分類(lèi)的同 時(shí)，提出了一系列重要問(wèn)題，它們是李超代數(shù)基本而又最重要的問(wèn)題如 典型李超代數(shù)的有限維不可約模的分類(lèi)，有限維模的完全可約性，不可 約模的特征標(biāo)公式，不可約模的分類(lèi)等問(wèn)題，但這些問(wèn)題至今尚未得到 完全徹底解決( 除某些特殊的李超代數(shù)外) 而無(wú)限維李超代數(shù)的表示是 一個(gè)更困難的問(wèn)題蘇育才教授在這方面做了一些有益的嘗試，如文獻(xiàn) 【1 】典型李超代數(shù)的上同調(diào)是b o t t - b o r e l - w e i l 理論及李超代數(shù)的k a z h d a n - 中文摘要 l u s z t i g 理論的重要內(nèi)容 本論文共分四部分，第一部分討論了廣義w - 無(wú)窮代數(shù)的v e r m a 模 第二部分，研究了擬有限v 模的分類(lèi)第三部分，我們計(jì)算了矩陣 李超代數(shù)的2 上同調(diào)群第四部分確定了廣義h a m i l t o n 型李雙代數(shù)的結(jié) 構(gòu) 關(guān)鍵詞廣義w - 無(wú)窮型l i e 代數(shù)，廣義w e y l 型l i e 代數(shù)，廣義w i t t 型l i e 代數(shù)，導(dǎo)子代數(shù)，2 - 上同調(diào)群，l i e 雙代數(shù)，y a n g - b a x t e r 方程 i i 上海交通大學(xué)博士學(xué)位論文 r e p r e s e n t a t i o n so fl i ea l g e b r a so f ，- i n f i n i t yt y p e a n dl i eb i a l g e b r a so fh a m i u r 0 nt y p e a b s t r a c t i t i sw e n - k n o w nt h a tt h el i ea l g e b r a so fw - i n f i n i t yt y p e ( o rw e y lt y p e ) s u c h a sw 1 + k ，b e c o m em o r ea n dm o r ei m p o r t a n tb e c a u s eo ft h e i ra p p l i c a t i o n st o v a r i o u sp h y s i c a lt h e o r i e ss u c ha sc o n f o r m a lf i e l dt h e o r y , t h et h e o r yo ft h eq u a n t u m h a l le f f e c t ，e t c t h es t u d yo ft h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fl i ea l g e b r a so ft h i s k i n di si m p o r t a n ta n dd i f f i c u l ts i n c ei t sd i m e n s i o ni si n f i n i t e i nr e c e n ty e a r s ，t h e r e a p p e a r e dm a n yp a p e r so nt h es i m p l el i ea l g e b r a so fg e n e r a l i z e dc a r t a nt y p e a s w ec a ns e e ，t h el i ea l g e b r ao fw i t tt y p ec a nb ec o n s i d e r e da s u b a l g e b r ao ft h el i e a l g e b r ao fw - i n f i n i t yt y p e ，8 0t h el i ea l g e b r ao fw - i n f i n i t yt y p ei sv e r yi m p o r t a n t t h ea l g e b r a sw h i c ha s s o c i a t e dw i t hv e r t e xa l g e b r a sa n dc o m f o r m a la l g e b r a s a r ei ng e n e r a l ( n o tf i n i t e l y ) i - g r a d e d ( i e ，t h eg r a d i n gs u b s p a c e sa r ei n f i n i t ed i m e n - s i o n a l ) a n dn o n l i n e a r ，t h ev e r t e xa l g e b r a sa r ei m p o r t a n tl i ea l g e b r a i cs t r u c t u r e s i nc o m f o r m a lf i e l dt h e o r ya n ds t a t i s t i cm e c h a n i c si nm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s t h e s ea l g e b r a i cs t r u c t u r e sa r eu s u a l l yd e t e r m i n e db yf g r a d e dl i ea l g e b r a s t h e l i ea l g e b r a sg e n e r a t e db yc o m f o r m a la l g e b r a sa r ea l s oi ng e n e r a lr - g r a d e d t h e q u a n t u mf i e l dt h e o r i e sa r er e p r e s e n t a t i o n so fl i ea l g e b r a sg e n e r a t e db yc o m f o r m a l a l g e b r a sf r o mt h ea l g e b r a i cp o i n to fv i e w t h ei n f i n i t ed i m e n t i o n a lr - g r a d e dl i e a l g e b r a sa l s op l a yi m p o r t a n tr o l e si nh a m i l t o n i a no p e r a t o rt h e o r y t h e r e f o r ei ti s a ni m p o r t a n tt a s kt os t u d yt h ec l a s s i f i c a t i o no fq u a s i f i n i t em o d u l e s m a n yp r o g r e s s e sh a v eb e e no b t a i n e db yd z d o k o v i c ，n k a w a m o t o ，d a j o r d a n ，j m ，o s b o r n ，p a s s m a n ，y u c a is u ，k a l m i n gz h a oa n dx i a o p i n gx ua n d o t h e r si nt h ef i e l do fr g r a d e dl i ea l g e b r a s i ti sw o r t hm e n t i o n i n gt h a tu s i n g d e r i v a t i o n - s i m p l ea l g e b r a sa n dl o c a l l yf i n i t ed e r i v a t i o n s ，x uw a sa b l et oc o n s t r u c t f o u rf a m i l i e so fl i ea l g e b r a so fg e n e r a l i z e dc a r t a nt y p e 【9 】 i ti sw e l lk n o w nt h a tt h en o t i o no fl i es u p e r a l g e b r aw a sf i r s td e f i n e db yp h y s i - c i s ti nt h el a s tc e n t u r y t h ec l a s s i c a ll i es u p e r a l g e b r a sw a sc l a s s i f i e db yv g k a c i i i a b s t r a c t i n7 0 so ft h el a s tc e n t u r y h ea l s or a i s e dm a n yo p e np r o b l e m si nh i sp a p e r s a n d t h e s ep r o b l e m sa r ev e r yf u n d a m e n t a la n di m p o r t a n tf o rl i es u p e r a l g e b r a s ，s u c ha s t h ec h a r a c t e rf o r m u l a sf o ri r r e d u c i b l em o d u l e s ，t h ec l a s s i f i c a t i o no fi r r e d c i b l em o d - u l e s ，t h ec o m p l e t e l yr e d u c i b i l i t yo f f n i t ed i m e n t i o n a lm o d u l e s ，e t c t h e s ep r o b l e m s a r en o tc o m p l e t e l ys o l v e dy e t ( e x c e p ts o m es p e c i a ll i es u p e r a l g e b r a s ) t h er e p - r e s e n t a t i o n so fi n f i n i t ed i m e n t i o n a ll i es u p e r a l g e b r a sa r em o r ed i f f i c u l tp r o b l e m s y u c a is ug a v es o m ec o n t r i b u t i o ni nt h i sf i e l d ，f o re x a m p l et h ep a p e r ”t h e c o h o m o l o g yo fc l a s s i c a ll i es u p e r a l g e b r a si st h ec e n t r a lp r o b l e mi nt h et h e o r yo f b o t t b o r e l w e i la n dk a z h d a n - l u s z t i g t h ep r e s e n tp a p e ri n c u d e sf o u rp a r t s i nt h ef i r s tp a r tw ed i s c u s st h ev e r m a m o d u l e so v e rg e n e r a l i z e dw - i n f i n i t ya l g e b r a s i nt h es e c o n dp a r tw es t u d yt h e c l a s s i f i c a t i o no fq u a s i f i n i t ew o 。一m o d u l e s i nt h et h i r dp a r tw ec a l c u l a t e2 - c o e y c l e s o nl i es u p e r a l g e b r a so fm a t r i c e s i nt h ef o u r t hp a r t ，t h el i eb i a l g e b r as t r u c t u r e s o nt h el i ea l g e b r a so fg e n e r a h z e dh a m i l t o n i a nt y p ew a sd e t e r m i n e d k e yw o r d sl i ea l g e b r ao fg e n e r a l i z e dw - i n f i n i t yt y p e l i ea l g e b r ao f g e n e r a l i z e dw e y lt y p e ，l i ea l g e b r ao fg e n e r a l i z e dw i t tt y p e ，d e r i v a t i o na l g e b r a ， 2 一c o c y c l eg r o u p ，l i eb i a l g e b r a ，y a n g - b a x t e r e q u a t i o n i v 上海交通大學(xué) 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立 進(jìn)行研究工作所取得的成果除論文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文 不包含任何其他個(gè)人或者集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的作品成果對(duì)本文的 研究作出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明本人完 全意識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān) 學(xué)位論文作者簽名：辛斌 日期：2 0 0 6 年5 月7 日 上海交通大學(xué) 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書(shū) 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同 意學(xué)校保留并向國(guó)家有關(guān)部門(mén)或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印和電子版，允許論 文被查閱和借閱本人授權(quán)上海交通大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部 分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印、或掃描等復(fù)制 手段保存和匯編本學(xué)位論文 保密口，在一年解密后適用本授權(quán)書(shū) 本學(xué)位論文屬于 不保密f _ i ( 請(qǐng)?jiān)谝陨戏娇騼?nèi)打“，) 學(xué)位論文作者簽名：辛斌指導(dǎo)教師簽名：蘇育才 日期：2 0 0 6 年5 月7 日日期：2 0 0 6 年5 月7 日 1 1 第零章緒論 0 1 背景及相關(guān)結(jié)果介紹 近些年來(lái)由于無(wú)限維非階化李代數(shù)的廣泛應(yīng)用，越來(lái)越多的受到李代數(shù)界的 關(guān)注設(shè)f 是一個(gè)代數(shù)閉域，磚= v t f l ，孝1 】是n 個(gè)變?cè)膌 a u r e n t 多 項(xiàng)式環(huán)設(shè)a = 未，1 i 扎，則秩n 的w e y l - 型代數(shù)是結(jié)合代數(shù)厶= c 【f 士1 ，：1 ，a 1 ，剮，有時(shí)也稱(chēng)為復(fù)數(shù)域上的微分算子代數(shù)廣義w e y l - 型 代數(shù)是w e y l - 型代數(shù)的推廣令r 為f ”的加法子群，設(shè)州f 1 = s p a n t o i q r 是一個(gè)群代數(shù)，有關(guān)系式t o 護(hù)= 8 定義齊次導(dǎo)子d i ：壚一口i t 。，廣義w e y l 一 型代數(shù)是張量空間 具有運(yùn)算； a ( f ，n ) = r t r l o f 【d 1 ，d 0 = s p a n t 。d “l(fā) a r ，肛z ；) ( 尸伊) ( 護(hù)d ”) = x e z ：,( ：) 礎(chǔ)州一 考慮它的換位運(yùn)算t l 尸d ”，t d ”1 = ( t a d “) ( 護(hù)d ”) 一( t a d ”) ( t 。d u ) ， 則有廣義w e l y - 型李代數(shù)w ( f ，n ) 在文獻(xiàn)【1 9 】中蘇育才證明了w ( r ，禮) 有非平 凡的中心擴(kuò)張當(dāng)且僅當(dāng)n = 1 顯然w ( r ，n ) 是個(gè)r - 階化李代數(shù)，可寫(xiě)成 w ( r ，n ) 。= s p a n t o d “j p z ；t 0 ) ) f o r o t f w ( r ，n ) 的階化表示是指表示空間y 具有和w ( r ，n ) 相同的階化，且滿足關(guān)系式 w ( r ，n k 嵋k + 口 我們知道，w ( r ，n ) 有非平凡的泛中心擴(kuò)張的充要條件是n = 1 而w ( r ，1 ) 的泛中心擴(kuò)張w ( r ，1 ) 就是著名的w - 無(wú)窮代數(shù)( 特別地，+ 。= w ( z ，1 ) ) 正 象v g k a c 指出的那樣，考慮w ( r ，n ) ，w ( r ，1 ) 的擬有限表示不是一個(gè)平凡問(wèn) 題 上海交通大學(xué)博士學(xué)位論文 令 ：= a l 是n 個(gè)變?cè)膌 a u r e n t 多項(xiàng)式代數(shù)，d 1 = ( a 。l i = 1 ，n ) 為n 個(gè)偏導(dǎo)子張成的有限維的導(dǎo)子空間則二元組( a t ，d 1 ) 是構(gòu)成四類(lèi)c a r t a n 型李代 數(shù)的基本組成部分，稱(chēng)a 。為降階化導(dǎo)子上個(gè)世紀(jì)8 0 年代k a w a m o t o 在文獻(xiàn) 2 】 中，從二元組2 ，見(jiàn)) 出發(fā)，構(gòu)造了廣義w i t t - 型的李代數(shù)，其中，a 2 = f r j = 護(hù)i n r ) 為r 的群代數(shù)，r 為f ”的加法子群，d 2 = ( 曰拉= 1 ，n ) ，曰為 a 2 的導(dǎo)子，滿足露( 礦) = o t l x , o ，o t = ( a l ，) r ，稱(chēng)劈為階化導(dǎo)子 o s b o r n 在1 9 9 6 年發(fā)表的文章【5 】中，利用二元對(duì)( a loa 2 ，d lod 2 ) 構(gòu)造了 新的廣義c a r t a n 型單李代數(shù)d o k o v i c k 和趙開(kāi)明通過(guò)確定特定的子代數(shù)，在文 獻(xiàn)【4 1 中推廣了上述結(jié)果j o r d a n ( 1 9 9 6 ，2 0 0 0 年【1 1 ，1 2 】) 以及p a s s m a n ( 1 9 9 8 年 f 3 2 】) 證明了，若 是個(gè)具有單位元的交換結(jié)合代數(shù)，d 為月的交換導(dǎo)子組成 的空間，則廣義w i t t 一型李代數(shù)a d = a d 是單的充分必要條件是：a 是d 單的，并且a d 在a 上的作用是忠實(shí)的 徐曉平在f 9 ( 2 0 0 0 年) 中，構(gòu)造了新的廣義c a r t a n 型單李代數(shù)，構(gòu)成它的二 元組( a ，d ) 中，a = a loa 2 是一個(gè)半群代數(shù)，而它的導(dǎo)子空間擴(kuò)充為由三種類(lèi) 型的導(dǎo)子組成，分別是階化導(dǎo)子降階化導(dǎo)子和混合導(dǎo)子 蘇育才和趙開(kāi)明構(gòu)造了廣義w e y l - 型單李代數(shù)，蘇育才和周建華在 4 2 中， 蘇育才在【7 2 】中，分別構(gòu)造了不同的新的廣義c a f t a n - 型單李代數(shù)蘇育才、徐 曉平、張賀春對(duì)( ad ) 進(jìn)行了分類(lèi)，給出了廣義w i t t - 型l i e 代數(shù)的同構(gòu)空間， 這樣廣義w i t t l 型單l i e 代數(shù)的種類(lèi)就完全清楚了蘇育才和趙開(kāi)明還給出了廣 義w e y l 一型李代數(shù)的同構(gòu)空間蘇育才對(duì)廣義w i t t - 型季代數(shù)和廣義w e y f 型李 代數(shù)進(jìn)行了進(jìn)一步研究，給出了它們的導(dǎo)子代數(shù)，2 一上同調(diào)群等，并推廣了他們 的一些結(jié)果另外，蘇育才還在無(wú)限維l i e 代數(shù)表示方面做了一些有益的嘗試，如 關(guān)于s l ( 2 1 ) 的無(wú)限維不可分解模的一些結(jié)果( 參看文獻(xiàn)【l 】) 2 第零章：緒論 0 2 本文的主要工作 李代數(shù)的表示是李代數(shù)理論中的最重要問(wèn)題之一對(duì)于無(wú)窮維李代數(shù)的來(lái)說(shuō)， 研究它的表示則是非常困難但卻又非常有趣的一件事情眾所周知無(wú)窮維廣義、- 無(wú)窮型李代數(shù)在物理中有重要應(yīng)用，因此，研究它的表示是有意義的對(duì)于無(wú)窮維 李代數(shù)的表示來(lái)說(shuō)，它的v e r m a - 模和擬有限表示是近幾年大家都很關(guān)心的事情 研究系數(shù)在超結(jié)合代數(shù)中的矩陣?yán)畲鷶?shù)結(jié)構(gòu)，也是最近大家都很關(guān)注的問(wèn)題，我 們知道研究李代數(shù)的2 一上循環(huán)群是研究李代數(shù)結(jié)構(gòu)的重要內(nèi)容，對(duì)于系數(shù)在李代 數(shù)中的矩陣?yán)畲鷶?shù)也是一樣本文作者在對(duì)無(wú)窮維廣義、無(wú)窮型李代數(shù)深入研 究后得到下面結(jié)果： 定理1 1 1 令a w ( z ) 5 對(duì)于w 無(wú)窮代數(shù)w l + 。來(lái)說(shuō)，下面的陳述是等 價(jià)的； ( 1 ) v e r m aw l + o o 一模m ( a ) 是可約的( 參見(jiàn)( 1 2 5 ) ) ( 2 ) 由( 1 3 2 ) 定義的拋物亍代數(shù)尹的一1 次階化子空間是非零的，即乒，_ l 0 ( 參見(jiàn)( 1 3 4 ) 7 ( 3 ) 由( 1 3 6 ) 定義的生成序列f ( z ) 是擬多項(xiàng)式 ( 4 ) 不可約最高權(quán)w 1 + 。模l ( a ) 是擬有限的 定理1 1 2 ( 1 ) 今a 力( r ) ；假設(shè)r 的序( o r d e r ) 是稠密的( d e n s e ) ( 參見(jiàn)( 1 2 9 ) ) 那 么v e r m a 模訪( r ) 模m ( a ， ) 是不可約的當(dāng)且僅當(dāng)a 0 ，進(jìn)一步，如果 a = 0 ，則子空間 m ( o ， 0 是m ( o ， ) 的一個(gè)不可約子模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有的o t ，盧r + 一定存在一個(gè)正 整數(shù)n 使得吐 n 盧 ( 2 ) 如果r 的序 是離散的( d i s c r e t e ) ( 見(jiàn)( 1 2 1 0 7 7 ，則v e r m aw ( r ) 一模m ( a ， ) 是不可約的當(dāng)且僅當(dāng)力( n z ) 一模 厶( a ， 1 記g k i 。( 一4 ) = a 圓9 f m i ?？?慮9 k i 。( 一4 ) 在超換位運(yùn)算( s u p e r - c o m m u t a t o r ) 的意義下作為超代數(shù)，我們有 日2 ( g f m i 。( 一4 ) ，f ) 魯h c l ( 4 ，f ) 更確切的說(shuō)，線性映射一：c c l ( 4 ，f ) 一c 2 ( 9 k i 。( ) ，f ) 映妒一妒誘導(dǎo)了一個(gè)向 量空間同構(gòu) “：h c l ( 一4 ，f ) 一日2 ( 9 f m i 。( 4 ) ，f ) 映【糾一m 】， 這里對(duì)幣c c l ( a f ，妒由下式定義 萬(wàn)( n o a ，b o b ) = ( 一1 ) 46 s t r ( a b ) b ( a ，b ) f o rn ，b a ，a ，b g l 。i ， 文中我們總用。一”代表元素的階，8 t r ( ) 是9 f m i 。上的由( 3 2 3 ) 定義的超跡 我們知道李雙代數(shù)都可以量子化，所有研究李雙代數(shù)的分類(lèi)可以間接研究量 子群的分類(lèi)對(duì)于廣義h a m i l t o n 型李雙代數(shù)我們有： 定理4 4 1 ( 1 ) p 的每一個(gè)李雙代數(shù)結(jié)構(gòu)都是三角的上邊緣李雙代數(shù) ( 2 ) 一個(gè)元素r p 滿足c y b e ( 4 2 2 ) 當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列m o d i f i e dy a n g - b a x t e r 方程( m y b 曰： z c ( r ) = 0f o ra l lz p ( 3 ) 考慮向量空間v = p o p ，在對(duì)角作用下把 看作p - 模( 4 2 1 ) ，我們有 日1 ( p ，v ) = d e r ( p ，v ) i n n ( 7 ) ，v ) = 0 4 第一章廣義w 一無(wú)窮代數(shù)的v e r m a 模 l 1 引言 令f 是一個(gè)特征零的域，f 是f 的加法子群用f 【r 】來(lái)表示與r 有關(guān)的 群代數(shù)，它有一組基 護(hù)i q r ) ，乘法定義為t 。護(hù)= t q + f l ，其中a ，盧f 定義 f 【r 的齊次算子d ，對(duì)于口f ，有d ：壚一口一則秩1 的廣義w e y l 型李代數(shù) 是由 壚d “ia f ，p z + 張成的向量空間w ( r ) = f i r 】 f 【d 】，此處f d 】是 多項(xiàng)式代數(shù)，具有括積運(yùn)算t p 。d p ，護(hù)d ”】= ( 礦d 一) ( 護(hù)d ”) 一( 護(hù)d ”) ( t a d p ) ，( 1 1 1 ) 其中 ( 儼d “) ( 護(hù)d v ) ：( 肛) 4 d 時(shí)一 ，( 1 1 2 ) 這里對(duì)于肛z ， z + 符號(hào)( ：) 是二項(xiàng)式系數(shù)p 似一1 ) 一a + 1 ) a t 為了方便起見(jiàn)，對(duì)任意文字z 和任意p z + ，我們采用下列符號(hào) 【z 】“= z ( z 一1 ) 。( z 一盧+ 1 ) ( 1 1 3 ) w ( r ) 的非平凡的中心擴(kuò)張職r ) 可以被定義如下( 參見(jiàn)( 1 8 d ：李積運(yùn)算( 1 1 1 ) 變?yōu)?【嚴(yán) 0 1 。，護(hù)【d 】，】= ( 礦i v ，) 一( 護(hù)i v 。) 一( 護(hù)【d 】，) ( 戶【d 】，) + 瓦。一p ( 一1 ) 呲n + p ) c ，0 i 4 ) 其中q ，盧f c f ，p ，i ，z + ，式子中c 是職r ) 的中心元素顯然職r ) 是一個(gè) f - 階化李代數(shù)，w 一( r ) = 田。r 力( r ) 。其階化空間定義為 茆( r ) 。= s p a n t 。d p i 盧z + o 如，o f cf o ra f ( 1 15 ) 特別的當(dāng)r ；z 時(shí)，李代數(shù)n + 。= 訪( z ) 是著名的w 一無(wú)窮代數(shù)這樣我們就 稱(chēng)茆( r ) 是廣義的w 一無(wú)窮代數(shù) 5 上海交通大學(xué)博士學(xué)位論文 一個(gè)力( r ) 一模v 被稱(chēng)作是擬有限的( q u a s i f i n i t e ) 如果v 是有限f - 階化，也 就是說(shuō)， v=o k ，w c r ) o c k + 口，d i m k o 。f o r 口，f ( 1 1 6 ) a e r 許多著名數(shù)學(xué)家對(duì)擬有限模非常感興趣，他們進(jìn)行過(guò)深入研究，并得到許多深刻 結(jié)果可參看文獻(xiàn) 2 0 ，1 2 8 ，1 2 5 ，1 5 0 因?yàn)樵? 1 1 5 ) 式中，每一個(gè)階化空間w ( r ) 。 都是無(wú)限維的，所以就象文獻(xiàn)【1 2 8 ，1 5 0 1 中指出的那樣對(duì)于擬有限模的分類(lèi)不是一 個(gè)平凡的問(wèn)題由于許多物理理論，例如共型場(chǎng)理論，量子h a l le f f e c t 理論的需 要，對(duì)w 無(wú)窮代數(shù)的擬有限表示的研究自然的受到了強(qiáng)烈關(guān)注( 參見(jiàn)【1 2 8 ，1 5 0 ， 1 2 5 ，2 0 ，2 0 】) 本節(jié)的主要結(jié)果是下面的兩個(gè)定理 定理1 1 1 令a 筇( z ) ；對(duì)于w 一無(wú)窮代數(shù)w 1 + 。來(lái)說(shuō)，下面的陳述是等 價(jià)的t ( 1 ) v e r m a 、十。一模m ( a ) 是可約的( 參見(jiàn)( 1 2 5 ) ) ( 2 ) 由( 1 3 ，2 ) 所定義的拋物子代數(shù)p 的一1 次階化子空間是非零的，即，_ 1 0 ( 參見(jiàn)( 1 3 4 ) ) ( 3 ) 由( 1 3 6 ) 所定義的生成序列尸( z ) 是一個(gè)擬多項(xiàng)式 ( 4 ) 不可約最高權(quán)n + 。一模l ( a ) 是擬有限的 定理中( 3 ) 和( 4 ) 的等價(jià)性在文獻(xiàn)【1 2 4 1 中用詳細(xì)的證明在此我們將進(jìn)一步 建立l ( a ) 的擬有限性和m ( a ) 的可約性之間的聯(lián)系，這正是我們非常感興趣的 地方 定理1 1 2 令a w ( r ) ； ( 1 ) 假設(shè)r 的序( o r d e r ) 是稠密的( d e n s e ) ( 參見(jiàn)( 1 2 9 ) ) 那么v e r m a 模w ( r ) 模m ( a ， ) 是不可約的當(dāng)且僅當(dāng)a 0 進(jìn)一步，如果h = 0 ，則子空間 ( o ， o 是m ( 0 ， ) 的一個(gè)不可約子模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有的口，盧f + 一定存在一個(gè)正 整數(shù)n 使得口 n 口 ( 2 ) 如果r 的序 是離散的( d i s c i e t e ) ( 見(jiàn)( 1 2 1 0 ) ) ，則v e r m aw ( r ) 一模m ( a ， ) 是不可約的當(dāng)且僅當(dāng)訪( 釔) 模耽( a ， ) ( 參見(jiàn)( 1 r 2 1 1 ) ，( 1 2 1 2 ) ) 是不可約 的 對(duì)于廣義v i r a s o r o 代數(shù)，類(lèi)似與定理1 1 2 的結(jié)果在文獻(xiàn)【1 2 3 】中已得到 6 第一章：廣義w 一無(wú)窮代數(shù)的v e r m a 模 1 2 代數(shù)訪( r ) 上的v e r m a 模 為方便記，我們令 w = 訪( r ) 并且令l 。j = a f d 】i 對(duì)于a r ，t z + ( 1 2 1 ) 則( 1 1 4 ) 式等價(jià)于 【l 。j ，l p ，】：( ( j ) 舊+ 叫。一( 七) 。+ 卅。) 厶。p ，j + 一。 + 以，一口( 一1 ) 勺! ! ( j + a + + j1 ) c ( 1 2 2 ) 定義w 的一個(gè)自然濾過(guò) 則我們有 0 ) = w ( 一3 c w ( 一2 ) c c w w ( ”) = s p a n 瓦l ，c i 口r ，i n + 1 ) ，2 - 2 ， 【l 。j ，?！縤0 盧一k a ) l a + 口，j + k l ( m o dw a + 一2 ) ( 1 2 3 ) 我們固定一個(gè)與群r 的結(jié)構(gòu)相容的全序 令 r + ：= z r lo 。) ，f 一：= z r i x o ) 則f = f + t j o ，u f 一令n ，士= o o 。士。計(jì)0 ，我們有三角分解 w = _ n ，_ o w o o 0 顯然，b = s p a n ( l o j i j z + o f c 是w 的個(gè)交換子代數(shù) 令g = f z + 則g 中的任意元素可以被寫(xiě)成( n ，j ) ，這里口f ，j z + 定義g 的個(gè)全序 ( 反i ) ( o r , j ) = 爭(zhēng)p n 或者p = q ，i - 0 ) 7 上海交通大學(xué)博士學(xué)位論文 令u ( w ) 是w 的泛包絡(luò)代數(shù)對(duì)任意的a 苫( n b 的對(duì)偶空間) ，令i ( a ， ) 是u 的左理想，是由以下元素生成 l 。，10 o t ， z + u _ i l a ( ) 1 i h w o 則與序 有關(guān)的v e r m a w 一模定義為 m ( a ， ) ：= u ( w ) i ( a ， ) ( 1 2 5 ) 根據(jù)p b w 定理m ( a ， ) 有一組具有下列形式的向量構(gòu)成的基 l - a x , ，。l - a 2 , 幻- 一l 。t ，季乓中0 ( a l ， 1 ) ! ( o 喳，i 2 ) 5 ! ( q k ，t k ) ，( 1 2 6 ) 這里姒是1 在m ( a ， ) 中的余集( c o s e t ) ，( q ，略) g ，k z + 由于f 島i i k 一= q k j ，定義 缸：= m ( a ， ) i l o i v = ( n + a ( 1 ) ) 其中n o ，且m o = y v ( 1 27 ) 則 厶由具有形式( 1 2 6 ) 的向量張成，并且d l + 0 2 + + a k = 一口所以m ( a ，一 ) 在m ( a ， ) = o 。s o 缸和m 厶cm a + 口的意義下，是一個(gè)最高權(quán)w - 模非常 明顯的，m ( a ， ) 是一個(gè)r - 階化w 模，并且有d i m l 。= o o 其中口f + 我 們稱(chēng)一個(gè)非零向量u a k 是具有l(wèi) e v e lo 的權(quán)向量 記 b ( a ) = p f 10 p o ) f o r 口r + ( 1 2 8 ) 我們稱(chēng)序 是稠密的( d e n s e ) ，如果 掙b ( o ) = o o 對(duì)所有的n f + ；( 1 2 9 ) 稱(chēng)它為離散的( d i s c r e t e ) ，如果 存在某個(gè)a r + 使得b ( n ) = o ( 1 2 1 0 ) 在( 1 2 1 0 ) 式中，唯一的元素a 被稱(chēng)為r + 的最小元素記 蹶a z ) = 印a n k mc i n z ，k z + ，( 1 2 1 1 ) 是w 的子代數(shù)，它與w 一無(wú)窮代數(shù)w - + 。同構(gòu)另外我們還記 厶( a ， ) = 由生成的m ( a ， ) 的w ( a z ) 一子模( 1 2 1 2 ) 8 第一章：廣義w 一無(wú)窮代數(shù)的v e r m a 模 定理1 1 2 的證明( 1 ) 假設(shè)序 是稠密的對(duì)于m ，z + ，記 = f l i l l n ， o s p s m o l i l ) 51 ( 。p 峰) v ( 一1 ) = f l 一。，i 。l - a q , q e z + t i i + + q s ( a l ，1 ) ，( ?？?，口j e 吐 ( 1 2 1 3 ) ( 1 2 1 4 ) 顯然我們有l(wèi) 甜其中( 口，七) g 0 ，并且( 1 2 1 4 ) 式定義了一個(gè)y 的濾 過(guò)： 0 = v ( - 2 ) c y ( 一1 c c y ( 耐c ( 1 2 1 5 ) 非常容易的可以看出l a , i y ( c 礦( + “) ，這里( o f , i ) g 令伽0 是m ( a ，) 中任意給出的個(gè)向量 斷言1 一定存在某個(gè)權(quán)向量u u ( w ) 使得對(duì)某個(gè)r z + i b k _ l - - e r , k r l - c i , 1 ( r o o dk 1 ) 其中6 量f ， e l t j o 這里( 勺，如) g 4 ，矗 1 我們看 u o 三 o 缸，堇) l 一。，i i l 一i r ( m o d k 1 ) 其中o ( 垡，d f n 1 1 1 ) t ( 口r 御) e 口- ( 0 1 1 ) 5 j 【n r ，r ) 此處( 壘，至) ：= ( o l ，哪；i 1 ，0 ) 令，# ( 亟主) 1 4 ( 璺o ) 根據(jù)我們的假 設(shè)，廬是個(gè)有限集合對(duì)于任意恒，至) ，( ，重，) ，我們定義 ( ，f ) 恒，i ) 錯(cuò)弓i ss r 使得( ，) 8 ( 1 2 1 6 ) 令 ( 星以) = ( p - ，一，屏；j t ，矗) ，此處( 島，j ，) 5 5 ( 屏，矗) ， 是，中的唯一最大元素，并且令 ，y l = m i n ( 啦，啦一i ( 盔盟) i ，l t jsr ) n r + ) 9 上海交通大學(xué)博士學(xué)位論文 則對(duì)所有l(wèi) b m ) 和所有( 當(dāng)至) ， 口。 屏一e 1 ，根據(jù)( 1 2 2 ) 式的交換關(guān)系， 得到；對(duì)于6 ( 1 ) f 如果n 。屏，1 m r 我們有 選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)膃 i b h ) ，我們可以 u l ：= 厶屏一e 1 1 t o 三 小莓。2 。6 ( 。( 1 ) ”l 一一- l 一口1 i - _ l a r - l , r - 1 ( m 。d k 1 ) 這里 ，( 1 ) ：= ( 垡，d = 忙l ，a 1 ，辭一t ；k l , i l ，i - 0 1 6 ( “i 。) 。出d o ) 我們要證明弘) 口事實(shí)上，記 ( 盧，j ) = ( 風(fēng)，鳳一l ，屏，一，屏；j - ，一，矗一- ，丘，一，j r ) ， 此處風(fēng)一1 屏且s r ，令 ( 垡”，1 ) = ( e l ，島，鳳一l ，風(fēng)+ 1 ，屏；丘，j l ，a - l ，j l ，矗) ， ( 當(dāng)然不一定是一) 中的最大元) ，與( ( ”，j ( 1 ) ) 相對(duì)應(yīng)的那一項(xiàng)出現(xiàn)在t l 的表達(dá) 式中，根據(jù)( 1 2 2 ) 式，它的相應(yīng)的系數(shù)是仇( 屏一丘( 屏一e 1 ) ) 0 ，其中m 是某 個(gè)正整數(shù)，e l 是我們選擇的某個(gè)恰當(dāng)?shù)脑剡@樣弘0 且t l 0 ( r o o dk _ 1 ) 所有我們可以重新選擇( ”，j ( 1 ) ) 是，( 1 ) 中的最大元接著采取相同的步驟并且 對(duì)s = 2 ，r 重復(fù)這一過(guò)程，我們可以遞規(guī)的定義并且利用歸納法證明： ( i ) 令 = m i n ( z q ，聾一句l ( 玉盟) i ( 5 一”，1s i j r ) n r + ) 選擇島b ) 使得z i - k 屏一臥l 一如如果毛屏- j - f ! 對(duì)于任意的 ( 主，薊弘一”，令- l 戽一+ l 自，l t ，1 則 蘭姜6 b b ) 6 ( 1 ) o 函l 自l 1 口e z h o 口2 l ， ( a t ，1 1 ) s 。5 ( o t t ) l - d i , i l 工一* 一 一姒( r o o dk 1 ) ， ( i i ) 令弘) ：= ( ，釓o l ，珥一。；k s , - - , k l ，i l 一，i r 一。) i 昧小) 6 ( “n 2 i ) o 則 i o ) 0 對(duì)某恰當(dāng)?shù)膷u成立 1 0 第一章：廣義w 一無(wú)窮代數(shù)的v e r m a 模 現(xiàn)在我們只要令s = r ，u = t r 馬上就得到了斷言 斷言2 一定存在某個(gè)權(quán)向量0 u ( w ) 咖 i i , i 謄l 一僵，o l - r a , o u a ( m o d 詐一1 ) ，這里( 7 卜，0 ) ( 叼1 ，0 ) g i 根據(jù)斷言1 ，存在某個(gè)權(quán)向量缸u(yù) ( w ) u o ，使得對(duì)任意rez + t 三6 盤(pán)l 一鉀k l 一釓 。v a ( r o o dk 一1 ) 其中6 主f i l ，k 這里( 勺，b ) g 4 ，j = 1 ，一，r , e ， j ，k = 1 ，r ) n r + ) 選擇g f + 使得k e 6 則根據(jù)( 1 2 1 5 ) 和( 1 2 2 ) 式，我們有 = l 靠1 t 正三b j l 一# ，+ b 一，o l 一即一l + b l 一o l g f l 一勺+ ( b 1 ) 一，l 一勺+ l + 畸+ i 一，0 l s l + k l c ，0 u a ( r o o d v r 1 ) ， ( 1 2 1 7 ) 這里b ：= 協(xié)0 1 1 sj r 0 記a = i n a x g j 一( 如一1 ) 一i 幻o