（金融學(xué)專業(yè)論文）隨機波動模型下的非交易日效應(yīng)研究.pdf

碩士論文隨機波動模型下的非交易日效應(yīng)研究 摘要 中國的股票市場是一個新興市場，由于起步較晚，政府干預(yù)過多，使得市場投機 現(xiàn)象嚴重，這些現(xiàn)象都說明了中國的股票市場還不夠成熟，還不夠有效，因此研究中 國股票市場具有重要意義。 以往大量文獻的實證研究發(fā)現(xiàn)在許多證券市場上都存在市場異例，非交易日效應(yīng) 就是市場異例的一種。金融市場休市時發(fā)布的消息在市場開市時會對金融資產(chǎn)的價格 產(chǎn)生一定的影響，這就是所謂的非交易日效應(yīng)。金融市場的休市一般發(fā)生在節(jié)假日， 所以非交易日效應(yīng)又被稱為假日效應(yīng)。本文希望研究中國股票市場的非交易日效應(yīng)的 表現(xiàn)。 本文在充分考慮金融時間序列的性質(zhì)的基礎(chǔ)上選用隨機波動模型為框架研究非 交易日效應(yīng)，考慮非交易日對時間間隔的影響不同于交易日，將連續(xù)隨機波動模型離 散化得到一類擴展的可以反映非交易日效應(yīng)的隨機波動模型：( 1 ) 非交易效應(yīng)在收益 方程和波動方程中表現(xiàn)一樣的杠桿隨機波動模型；( 2 ) 只考慮收益方程的非交易日效 應(yīng)的杠桿隨機波動模型；( 3 ) 非交易效應(yīng)在收益方程和波動方程中表現(xiàn)不同的杠桿隨 機波動模型。在這三個模型下，本文選取了上證綜合指數(shù)和深證成分指數(shù)為研究對象， 樣本選取范圍為1 9 9 6 年1 2 月1 6 日到2 0 0 8 年3 月3 1 日，共2 7 2 4 個日收盤指數(shù)和 1 3 9 9 個非交易日，用蒙特卡羅極大似然法估計參數(shù)。實證結(jié)果表明，上證綜指和深 證成指存在顯著的非交易日效應(yīng)，一個非交易日對上證綜指的影響比一個交易日對指 數(shù)的影響大約高于2 0 ，一個非交易日對深證成指的影響比一個交易日對指數(shù)的影響 大約高1 8 。 關(guān)鍵詞：非交易日效應(yīng)，隨機波動，杠桿效應(yīng)，蒙特卡羅極大似然法，重要性抽樣， k a l m a n 濾波 a b s t r a c t c h i n e s es t o c km a r k e ti sa l le m e r g i n gm a r k e t b e c a u s eo fal a t e s t a r t ，t h e r eh a s e x c e s s i v e g o v e r n m e n ti n t e r v e n t i o na n ds e r i o u ss p e c u l a t i o ni nt h em a r k e t t h e s e p h e n o m e n ah a v es h o w nt h a tc h i n e s es t o c km a r k e t sa r es t i l li m m a t u r e a n dn o ts u f j f i c i e n t l y e f f e c t i v e ，s ot h es t u d yo fc h i n e s es t o c km a r k e t si so fg r e a ts i g n i f i c a n c e al o to fe m p i r i c a lr e s e a r c hl i t e r a t u r e sh a v ef o u n dt h a tt h e r e a r em a n ym a r k e t a n o m a l i e si nm a n ys t o c km a r k e t s n o n - t r a d i n ge f f e c t si sak i n do fm a r k e ta n o m a l i e s i n f o r m a t i o na c c u m u l a t e sw h i l ef i n a n c i a lm a r k e t sa r ec l o s e d ，a n di ss u b s e q u e n t l vr e f l e c t e d i n p r i c e sa f t e rm a r k e t sr e o p e n t h i si st h es o c a l l e dn o n t r a d i n gd a ye f f e c t s f i n a n c i a l m a r k e t sa r ec l o s e dg e n e r a l l yo nh o l i d a y s ，as on o n - t r a d i n gd a ye f f e c ti sa l s ok n o w na s h o l i d a ye f f e c t i nt h i sp a p e r , w et r yt os t u d yo ft h en o n t r a d i n ge f f e c t si nc h i n e s es t o c k m a r k e t s i nt h i s p a p e r ，w ea n a l y z et h r e em o d e l so fn o n t r a d i n gd a ye f f e c t si ns t o c h a s t i c v o l a t i l i t ym o d e l sw i t hl e v e r a g ee f f e c t s ，n a m e l y ：( 1 ) t h ep e r f o r m a n c eo f n o n t r a d i n ge f f e c t s i nt h ey i e l de q u a t i o ni ss a m ea st h ep e r f o r m a n c ei nt h ev o l a t i l i t y e q u a t i o n ；( 2 ) o n l y c o n s i d e rt h ep e r f o r m a n c eo f n o n t r a d i n ge f f e c t si nt h ey i e l de q u a t i o n ；( 3 ) t h ep e r f o r m a n c e o fn o n - t r a d i n ge f f e c t si nt h ey i e l de q u a t i o ni sd i f f e r e n tf r o mt h e p e r f o r m a n c ei n t h e v o l a t i l i t ye q u a t i o n t h eo b j e c t so ft h es t u d yi nt h i sp a p e ra r es h a n g h a ic o m p o s i t ei n d e x a n ds h e n z h e nc o m p o n e n ti n d e x ，t h es a m p l ep e r i o di s1 6 1 2 1 9 9 6t o 3 1 3 2 0 0 8 ，g i v i n g 2 7 2 4d a i l yo b s e r v a t i o na n d13 9 9n o n t r a d i n g d a y s ，w eu s em o n t ec a r l om a x i m u m l i k e l i h o o dt oe s t i m a t et h ep a r a m e t e r s t h ee s t i m a t e si m p l yt h a ta1 1 0 1 3 t r a d i n g d a yh a s a p p r o x i m a t e l y2 0 o ft h ee f f e c tt ot h es h a n g h a ic o m p o s i t ei n d e xo fat r a d i n gd a y ，a n d a p p r o x i m a t e l y18 o ft h ee f f e c tt ot h es h e n z h e nc o m p o n e n ti n d e xo fat r a d i n gd a y k e yw o r d s ：n o n _ t r a d i n gd a ye f f e c t s ，s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y ，l e v e r a g ee f f e c t s ，m o n t e c a r l om a x i m u ml i k e l i h o o d ，i m o o r t a n c es a m p l i n g ，k a l m a nf i l t e r 聲明尸明 本學(xué)位論文是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下取得的研究成果，盡我所知，在本 學(xué)位論文中，除了加以標注和致謝的部分外，不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或 公布過的研究成果，也不包含我為獲得任何教育機構(gòu)的學(xué)位或?qū)W歷而使 用過的材料。與我一同工作的同事對本學(xué)位論文做出的貢獻均已在論文 中作了明確的說明。 研究生簽名： 尹丑壁 勱年二月弘日 學(xué)位論文使用授權(quán)聲明 南京理工大學(xué)有權(quán)保存本學(xué)位論文的電子和紙質(zhì)文檔，可以借閱或 上網(wǎng)公布本學(xué)位論文的部分或全部內(nèi)容，可以向有關(guān)部門或機構(gòu)送交并 授權(quán)其保存、借閱或上網(wǎng)公布本學(xué)位論文的部分或全部內(nèi)容。對于保密 論文，按保密的有關(guān)規(guī)定和程序處理。 研究生簽名：蘭粵z 埠 0 ，0 ，盧，0 ，虛擬變量的含義同最小二乘估計法中是一樣的。在這個模 型的基礎(chǔ)上還可以進行擴展，如考慮非對稱的g a r c h 模型，考慮收益率本身的自相 關(guān)性的g a r c h 模型等。 由于在用g a r c h 模型研究非交易日效應(yīng)的方法中對數(shù)據(jù)做了服從某種分布的 假設(shè)，有的學(xué)者認為假設(shè)的存在不利于結(jié)論的真實性。非參數(shù)方法不需要對數(shù)據(jù)的分 布做出假設(shè)，有利于結(jié)論的真實性，并且可以有效的處理某些污染的數(shù)據(jù)，在操作性 方面有一定的優(yōu)勢。劉彤【5 l 】利用非參數(shù)方法研究了上海股市的非交易日效應(yīng)，其步驟 是：首先分析收益率的分布狀況，利用單樣本的k o l m o g o r o v s m i m o v 檢驗收益率序 列是否服從正態(tài)分布；其次采用k r u s k a l w a l l i s 檢驗和m a n n w h i t n e y 檢驗對非交易 日效應(yīng)的存在性及模式進行分析；最后利用l e v e n e 檢驗對收益率的方差進行分析。 1 緒論碩士論文 另一類可以反映金融資產(chǎn)價格變化的變異性和聚集性的模型是s v 模型，而且跟 g a r c h 類模型相比，s v 模型更能夠反映金融數(shù)據(jù)的性質(zhì)，但由于s v 模型的參數(shù)估 計較為復(fù)雜，用這類模型研究非交易日效應(yīng)的文獻較少，特別是國內(nèi)還沒有學(xué)者用 s v 模型研究非交易日效應(yīng)，基于此本文試圖建立s v 模型來研究中國a 股市場的非 交易日效應(yīng)。w 拋a b e 【刪在分析東京股市收益時提出了包含非交易日效應(yīng)的s v 模 開u ：士二 其中，忽= l o g ( o ) ，u ，和研是服從標準正態(tài)分布的獨立同分布序列，口表示非交易 日效應(yīng)的虛擬變量，在假日后的第一個交易日取1 ，其余時間都取0 。該模型的參數(shù) 估計計算量很大，因此本文沒有采用此模型，本文后面會建立一種估計方法較為簡單 而且效果較好的s v 模型來研究非交易日效應(yīng)。 1 4 論文結(jié)構(gòu)與創(chuàng)新點 在早期研究中國股票市場非交易日效應(yīng)的文章里，他們的研究只限于對收益均值 的計算，缺乏模型和理論的支持，同時也缺乏統(tǒng)計意義的檢驗。另外他們在研究中采 用的數(shù)據(jù)時段也太短，而且他們所采用的樣本數(shù)據(jù)主要是中國股市早期、非規(guī)范時期 的數(shù)據(jù)，而如今中國股市經(jīng)歷了風(fēng)風(fēng)雨雨十七年，伴隨著許多管制措施的出臺，股票 市場越來越規(guī)范化，所以他們的研究結(jié)果對于如今逐漸規(guī)范、逐漸趨向公司真實價值 的股市的指導(dǎo)意義越來越少。雖然最近幾年的研究對以上缺點有所改善，但還是不夠 完善，如：選用的模型大多都是a r c h 類模型，沒有選用更適于表現(xiàn)金融時間序列性 質(zhì)的s v 模型；而且?guī)缀鯖]有涉及到收益率的非交易日效應(yīng)的研究。 因此，對中國股票市場非交易日效應(yīng)的研究還有許多地方需要改善，本文將在以 下幾個方面不同于目前國內(nèi)對非交易日效應(yīng)研究的其它文獻： ( 1 ) 過去的研究利用的都是中國股市早期的數(shù)據(jù)，由于那時候的股票市場剛剛起 步，很不規(guī)范，因此得出的結(jié)論對現(xiàn)在較為成熟的股票市場的指導(dǎo)意義有限，所以有 必要利用最新的數(shù)據(jù)重新研究中國股市的非交易日效應(yīng)； ( 2 ) 本文在充分考慮金融時間序列的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，選用s v 模型來研究，考慮非 交易日對時間間隔的影響不同于交易日，將連續(xù)s v 模型離散化得到一類擴展的可以 反映非交易日效應(yīng)的s v 模型； ( 3 ) 本文將采用的參數(shù)估計方法是蒙特卡羅極大似然估計法( m c m l ) ，m c m l 是一 種借助于模擬技術(shù)的估計方法，可以同時對不可觀測的變量和未知參數(shù)進行估計，在 計算上比m c m c 方法簡單。 6 沖 篇懈喜：囂 丸 碩士論文隨機波動模型下的非交易日效應(yīng)研究 本文的結(jié)構(gòu)安排如下： 緒論中我們主要介紹了非交易日效應(yīng)的研究現(xiàn)狀，研究所使用的方法及存在的問 題；第二部分主要介紹了隨機波動模型及其參數(shù)估計的方法，著重推導(dǎo)了蒙特卡羅極 大似然方法；第三部分介紹本文所用的模型及參數(shù)估計的方法：第四部分實證研究用 a s v 模型及其擴展模型進行擬合，估計參數(shù)，分析非交易日效應(yīng)的表現(xiàn)并分析了長 假實施前后非交易日效應(yīng)的不同表現(xiàn)，對非交易日效應(yīng)進行成因分析及提出政策建 議；最后得出結(jié)論。 7 2 隨機波動模型及其參數(shù)估計 碩士論文 2 隨機波動模型及其參數(shù)估計 2 1 隨機波動模型 在早期的統(tǒng)計學(xué)和經(jīng)濟計量模型中，人們一般假設(shè)金融產(chǎn)品的波動是固定不變 的，可以參見m e o n ，b l a c k 和s c h o l e s 的文章。做這種假設(shè)不僅是為了計算上的便利， 更重要的是為了能應(yīng)用傳統(tǒng)的穩(wěn)定隨機過程的理論和模型。但實踐發(fā)現(xiàn)，這種假設(shè)與 大多數(shù)實際金融數(shù)據(jù)并不相符合，特別是不厶匕y ?；瞝 p ( 好表現(xiàn)金融序列及其波動的典型特 征。如今己經(jīng)普遍承認波動不僅是時變的，而且是可預(yù)測的。描述時變波動的模型中， 最著名的兩大類就是自回歸條件異方差( a r c h ) 類模型和隨機波動( s v ) 模型。 s v 模型的最早提出是與在金融理論中資產(chǎn)定價的擴散過程( d i f f u s i o np r o c e s s ) 直 接相關(guān)的。早期研究這一領(lǐng)域的有c l a r k ( 1 9 7 3 ) ，t a u c h e n n p i t s ( 1 9 8 3 ) ，t a y l o r ( 1 9 8 6 ) 4 3 1 。 后來h a r v e y ，r u i z 和s h e p h a r d ( 1 9 9 4 ) ，j a c q u i e r ，p o i s o n 和r o s s i 等人( 1 9 9 4 ) t 3 1j 引入了計量 經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域。這就意味著s v 模型具有數(shù)理金融學(xué)和金融計量經(jīng)濟學(xué)的雙重根源。 由于s v 模型的波動是由一個不可觀測的隨機過程決定的，它被認為更加適合于 金融領(lǐng)域的實際研究，但是由于這一類模型的參數(shù)估計比較困難，因此在一定程度上 影響了它的實際應(yīng)用。 2 1 1s v 模型的起源 s v 模型是t a y l o r 【4 3 】在解釋金融收益序列波動的自回歸行為時提出的，它是連續(xù) s v 模型的e u l e r 離散時間近似。設(shè)p ( t ) ，t = 1 ，2 ，t 為資產(chǎn)價格序列，在一系列市場條 件下，連續(xù)s v 模型假定p ( t ) 滿足下列隨機微分方程： 。 d l o g 尸( f ) = c r ( t ) d b , ( f ) ( 2 1 1 ) d l o g a 2 ( f ) = ( 口+ l o g c r 2 ) ) 西+ o 口d b 2 ( t ) ( 2 1 2 ) 其中，局( f ) 和墾( r ) 為標準布朗運動，1 7 2 ( f ) 是資產(chǎn)價格( 收益) 的波動，它服從對數(shù)正 態(tài)o m s t e i n u h l e n b e c k 過程。為了便于參數(shù)估計，對式( 2 1 1 ) 和式( 2 1 2 ) 進行離散化， 并取時間間隔a 。= 1 ，整理后得到如下形式的s v 模型 y t 2 0 c t g t l o g 砰= l o g t l + 仇 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 其中，只= l o gp ( t ) - l o gp ( t - 1 ) 為資產(chǎn)復(fù)合收益率，仃= e x p ( a 2 ) 是一個反映波動平 均水平的常數(shù)，矽= l + f l 為持續(xù)性參數(shù)，度量了波動擾動的標準誤差。誤差過程 q = b l ( t + 1 ) - b l ( t ) ，研= b 2 ( t + 1 ) 一墾( f ) ，因此q 與研是服從標準正態(tài)分布的獨立同 分布序列，基本s v 模型假定毛- 與r t 互不相關(guān)，- i 面8 t 與o - , 相互獨立。令啊= l o g 砰，則 有： 碩士論文隨機波動模型下的非交易日效應(yīng)研究 生 y t = 傀t e 2 紅= 矽忽一l + 仇 2 1 2 基本s v 模型的統(tǒng)計性質(zhì) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 2 1 2 1 一般性質(zhì) 第一， t ) 是鞅差序列，那么 y ，) 是鞅差過程；第二，如果 嚏) 為一平穩(wěn)隨機過 程，則 y t ) 也是平穩(wěn)的；第三，與正態(tài)分布相比， y t ) 是過度峰態(tài)的。隨機變量的峰 態(tài)是一個很重要的指標，它度量了分布的峰值高度和尾部厚度。過大的峰態(tài)值表明此 隨機變量取極端值的可能性較大。s v 模型的這一特點，使它能有效地捕捉金融時間 序列的特點，從而對它們做出更加精確和可靠的估計和分析。第四，如果例 1 ，曩的 無條件均值和方差分別為。和( 1 一矽2 ) 。 2 1 2 2 模型的線性表示 隨機波動模型的一個重要性質(zhì)是它可以轉(zhuǎn)化為一個線性表示式。令z t = l n y ，對 式( 2 1 5 ) 兩邊平方取對數(shù)，可得： 乙= h 1 拜= 1 1 1 仃2 + 曩+ h l 牟 ( 2 1 7 ) 或?qū)憺?z f = h l 拜= q + 紅+ 喜 ( 2 1 8 ) 其中，q = i n t y 2 , e e l # ，毒= l i l 一e h l 彳 ，磊一“d ( o ，蠢) 。 如果 q ) 服從標準正態(tài)分布， h l 彳 服從對數(shù)z 2 分布， 據(jù)a b r a m o v i t z s t e g u n ( 1 9 7 1 ) 有e ( 1 i l 砰) = - 1 2 7 ，砌，( 1 i l g ) = 等。 h l 砰) 的密度函數(shù)為 峭，= 去唧 孚 。 2 2 擴展s v 模型 基于對不同金融波動問題的研究，s v 模型得到多方面的擴展，下面介紹兩種比 較常用的擴展形式，厚尾s v 模型和杠桿s v 模型。 - 2 2 1 厚尾s v 模型 許多金融時間序列的無條件分布與異方差模型在假設(shè)變量服從標準正態(tài)分布的 情況相比，會呈現(xiàn)出高峰厚尾。為此，k i m ，s h e p h a r d 和c m b 假設(shè)s v 模型的擾動部 分服從自由度為y 的f 分布，并記為s v t 模型。 在s v - f 模型中，式( 2 1 5 ) 中的擾動部分 毛) 服從自由度為y 的t 分布，即 o 2 隨機波動模型及其參數(shù)估計 碩士論文 胞) = z ( v - 2 ) 乒籬 + 封丁 ( 2 2 1 ) 當4 v o o 時，t 分布的峰態(tài)系數(shù)大于3 ，y - - + o o 時就變?yōu)檎龖B(tài)分布，y 4 時其峰態(tài)系 數(shù)不存在。 n e l s o n ( 1 9 9 1 ) 3 8 】提出了另一種峰態(tài)系數(shù)大于3 的廣義誤差分布( g e d ) ，它也可以用 來替代正態(tài)分布。在s v g e d 模型下，擾動部分f q 服從均值為o ，方差為1 的g e d 分 布，即 c e x p _ 丟( 圳允) 。 廠( t ) = 索蒜萬j ，o c 2 ( 2 2 2 ) 其中，c 為自由度，當c = 2 時，g e d 為正態(tài)分布，c 0 ) 將使 啊( 從而使盯；) 趨于增大，因此通過這樣一種關(guān)系，波動不對稱性在a s v 模型中得到 反映。 l o 碩士論文隨機波動模型下的非交易日效應(yīng)研究 2 3s v 模型的參數(shù)估計方法 在s v 模型中，波動率是作為一個不可觀測的潛在變量，這符合實際的金融序列 的性質(zhì)，但是這也給模型的參數(shù)估計帶來許多困難，因此，s v 模型自提出以來并沒 有得到廣泛的應(yīng)用。a r c h 類模型可以很精確的得到其似然函數(shù)，和a r c h 類模型不 同，s v 模型的似然函數(shù)的構(gòu)造比較困難。 對于基本s v 模型，其似然函數(shù)的一般形式是： 三( ) = p ( y ) = l p ( y ，x ) a x ( 2 3 1 ) 其中= p ，矽，) 為參數(shù)向量，y = 咒囊。，= z ：| l ，p ( l ) 表示條件密度函數(shù)，t 表示觀測值的個數(shù)。由于上式的積分不是解析的，因而很難采用極大似然估計法估計 參數(shù)。目前s v 模型的常用的參數(shù)估計方法可以被分為兩類，一類方法是依靠某些準 則得到似然函數(shù)，如h a r v e y ，r u i z ( 1 9 9 4 ) t 4 l 】提出的偽極大似然法( q u a s i m a x i m u m l i k e l i h o o d ，q m l ) 。另一類是試圖得到完全似然函數(shù)，女 i j a c q u i e ，p o i s o n 和r o s s i ( 1 9 9 4 ) 兒j 提出的馬爾科夫鏈蒙特卡羅法( m a r k o vc h a i nm o n t ec a r l o ，m c m c ) 、d a n i e l s s o n 和 r i c h a r d ( 1 9 9 3 ) t 1 6 】提出的模擬極大似然方法( s i m u l a t i o nm a x i m u ml i k e l i h o o d ，s m l ) 以及 d u r b i na n dk o o p m a n ( 1 9 9 7 ) 0 s 】提出的蒙特卡羅極大似然法( m o n t ec a r l om a x i m u m l i k e l i h o o d ，m c m l ) 。 偽極大似然法( q m l ) 是把基本s v 模型轉(zhuǎn)變成線性空間形式，應(yīng)用標準的k a l m a n 濾波，將測度方程的誤差項看作服從正態(tài)分布，得到對數(shù)似然函數(shù)并將其極大化就可 以得到參數(shù)向量沙的估計。由于誤差并不服從正態(tài)分布，該方法并不是建立在真正似 然函數(shù)的基礎(chǔ)上的，因此被稱為偽極大似然法。q m l 估計的最大優(yōu)點是容易實施。 但q m l 估計的有限樣本的特性極差，因為它們不是建立在嚴格的似然之上。q m l 估 計的另一缺陷是使用時模型必須轉(zhuǎn)換為線性狀態(tài)空間形式，這就使之有很大的局限 性，因為很多模型很難甚至不能實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)換。 馬爾科夫鏈蒙特卡羅法( m c m c ) 是將馬爾科夫過程引入g l j m o n t ec a r l o 模擬中以 實現(xiàn)動態(tài)模擬。其基本思路是通過構(gòu)造一個平穩(wěn)分布為7 ( x ) 的馬爾科夫鏈得到萬( x ) 的抽樣，基于這些抽樣做出各種統(tǒng)計推斷。大量模擬表明，m c m c 在估計參數(shù)上優(yōu)于 q m l ，但其不足之處在于需要非常大的計算量，而且對擴展模型該方法需要改變的 地方也較多。 一一 模擬極大似然法( s m l ) 是對積分用重要性抽樣函數(shù)( i m p o r t a n c es a m p l i n g f u n c t i o n ，i f ) 來實現(xiàn)，將聯(lián)合密度函數(shù)p ( y ly ) 分解為一個重要性抽樣函數(shù)( i f ) 與一個 余函數(shù)的乘積( r f ) ，對其關(guān)于參數(shù)沙求取極大化，得到參數(shù)的估計值。s m l 方法是基 于嚴格的似然函數(shù)表達式，因此估計精度一般超過q m l 方法，但其計算量往往過大。 2 隨機波動模型及其參數(shù)估計 碩士論文 蒙特卡羅極大似然法( m c m l ) 也是建立在重要性抽樣技術(shù)基礎(chǔ)上的。s v 模型轉(zhuǎn)變 為線性空間形式后，測度方程的誤差項是非高斯的，通過重要性抽樣選取一個合適的 高斯狀態(tài)空間模型來近似。那么s v 模型的似然函數(shù)( y ) 就等于高斯近似模型的似然 函數(shù)t ( ) 乘以一個校正項。t ( ) n q m l 方法一樣可以通過k a l m a n 濾波得到，而 三。( ) 相對于l ( c v ) 的校正可通過模擬技術(shù)解決( 細節(jié)見2 3 3 節(jié)) 。m c m l 方法不僅在 計算較m c m c 方法簡單，而且還有其它的一些優(yōu)點：( 1 ) 能夠?qū) v 模型的似然函數(shù)產(chǎn) 生任意精確度的近似，因此可以構(gòu)造標準似然比檢驗。( 2 ) 不僅可以用來估計基本s v 模型，在估計s v 模型的擴展形式時，方法的改變較小。為了后面的應(yīng)用，這里引進 s v 模型的m c m l 方法。 2 3 1 模擬和重要性抽樣 對于基本s v 模型，在線性狀態(tài)空間下，令5 f ，= ( o - ，) 。，z = 刁) t ，h = h t ：。似 然函數(shù)可以表示為： ( ) = p ( z ) = i p ( z ，h ) a h = i p ( zlh ) p ( h ) d h ( 2 3 2 ) 可以得到( ) 的估計 訊，= 專缸i ( 2 3 3 ) 其中 | i z 2 i 。是取自密度函數(shù)p ( ) 的n 個隨機樣本，但是這種方法的效率很低。為了提 高精度，m c m l 方法利用重要性抽樣和對偶變量對式( 2 3 3 ) 進行改進，其基本思想是 通過重要性抽樣選取個合適的高斯狀態(tài)空間模型： 鏟：_ 魄蘭， (234)1 1 , = 觸一i + 研 r v 其中，毒f i d ( 0 ，耳) ，q 和耳是待定參數(shù)。擾動項缶和仇是不相關(guān)的，令g ( ) ，g ( 十) 和g ( ，) 分別表示這個高斯近似模型的邊緣密度，條件密度和聯(lián)合密度函數(shù)。式( 2 3 2 ) 可改寫為 三( y ) = p ( zi 辦p ( j f l ) 鉑2 曙g ( 辦lz ) 如= t 措 ( 2 3 5 ) 其中& 表示關(guān)于重要密度函數(shù)g ( 辦iz ) 的數(shù)學(xué)期望。由于高斯?jié)u進模型的似然函數(shù)為 心= 器= 掣= 蹀半 仁3 固 1 2 碩士論文隨機波動模型下的非交易日效應(yīng)研究 可得器=羔，q弋x(29(hg ( zh 3 5 成有 一 z )1) 7 一 嘶m 制半卜 揣p 川彬h y ，e g ( p ( z h ) - ) 仁3 刀 從上式可以看出s v 模型的似然函數(shù)( y ) 等于高斯近似模型的似然函數(shù)t ( y ) 乘以一 個校正項，其中工。( y ) 可利用k a l m a n 濾波算子求出，校正項則可通過模擬技術(shù)來解決。 2 3 2 高斯近似模型的選擇 為了達到模擬的效果，所選擇的線性高斯近似模型應(yīng)盡量接近s v 模型。令 啊= t ( 巧) 表示曩的平滑估計，髓可以通過k a l m a n 濾波和平滑算子得到。令 l ( h ) = l n p ( zi 乃) 一i ng ( zh )( 2 3 8 ) 我們要選取參數(shù)q 和e 使得p ( zl 矗) 和g ( zl 乃) 在磊的領(lǐng)域內(nèi)盡量接近，則有當h = 左 時， o l ( h ) o h = 0 和3 ：l ( h ) o h o h = 0 。由式( 2 1 5 ) 、( 2 1 6 ) 和( 2 3 4 ) 可知 7 i np ( z l 向) - - z h a p ( z , i 紅) ， r = l 了- l n g ( z i 辦) = l n g ( z , l 忽) ， t = l l i l 北= 一吉1 1 1 2 萬+ j 1 ( z f 一啊乩盯2 一了e z t - h i ) l n g ( z fi 紅) = 一丟1 n 2 萬q 一掣 可以得到關(guān)于參數(shù)q 和q 的方程： 一三+ 垡一墨= 魚二壘：o一一+ 一l j o = u 2 j 2 0 。h t 一竺+ 一1 ：0 2 0 r 1 4 , 可得 耳= 2 以h ，c f ：毛一h t + 等一1 因為啊的值是依賴于參數(shù)c t 和e ， 給定參數(shù)向量緲，迭代算法如下： ( 2 3 9 ) ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 11 ) ( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) 所以我們只能通過迭代求解上述方程。對于 i 對于任意的f ，取初始值c f - 0 ，q = 萬2 2 ； 2 隨機波動模型及其參數(shù)估計 碩士論文 i i 對線性高斯近似模型運用k a l m a n 濾波和平滑計算忽，i i i i 將忍代入式( 2 3 1 3 ) ，得到新的q 和日，的值； i v 重復(fù)2 、3 步，直至收斂。 d u r b i n n k o o p m a n t l 8 1 的研究表明算法收斂速度很快，一般只需要迭代5 至1 5 次就 可以得到收斂結(jié)果。 2 3 3 似然函數(shù)的估計 利用d u r b i n 提出的模擬平滑算法，我們可以從重要密度函數(shù)g ( hz ) 獨立地抽取n 個樣本o 令w ( 臚黜，w 叫臚) ) ，f = 1 ，2 ，訪- 1 萎n ，這樣 我們就得到了上( ) 的一個無偏估計：三2 ( 少) = t ( i f ，) 諑為了簡化計算，兩邊取對數(shù)， 可得 h l 厶( y ) = h l t ( 杪) + h l 諑 ( 2 3 1 4 ) 但是e ( 1 n 訪) i n a 。，其中h l 。= 乓( w ) ，所以式( 2 3 1 4 ) 是( ) 的有偏估計。為了校 正估計的誤差，我們注意到 h 艫- n ( + 警 - 警一甄2 警 2 + o ，c 儼，l兒以、。 對上式兩邊關(guān)于g ( 向iz ) 求期望有 馳班l(xiāng) n 曠最+ o ( - 3 ，2 ) ( 2 3 1 5 ) 其中吒2 = v a r ( w , ) 。 令s i ：= 百( w i 一諑) 2 作為盯：的估計，諑作為的估計，這樣我們就可以得到 v 一1j = l 三( y ) 的一個近似無偏估計 h 厶( y ) = h 三g ( y ) 地諑+ 赤 ( 2 3 1 6 ) 為了進一步提高估計的精確度，d u r b i n 和k o o p m a n ( 1 9 9 7 ) f 8 1 運用對偶變量對w 進行修 i e 。i 酗g h ) ：二。捌d u r b i n 模擬平滑算法從重要密度g ( lz ) 抽取的一個隨機樣本。 令萬( j ) ：2 i 一礦) ，一般稱萬為臚的位置平衡向量，令w ：塑至攀，用w 代 碩士論文隨機波動模型下的非交易日效應(yīng)研究 替w 可得 n 1 n - - 1 e 瑚礦，2 = 二n - 1 善( 一娟) 2 h 1 厶( 少) ：h l t ( ) 地方+ 齋s 2 ( 2 3 1 7 ) ( 2 3 1 8 ) 2 3 4k a l m a n 預(yù)報、濾波和平滑 為了得到線性高斯近似模型的k a l m a n 濾波器、預(yù)報器和平滑器，需引用下列遞 推射影公式。 引理2 3 4 1 h 8 1 ( 遞推射影公式) 設(shè)隨機變量石r “，隨機序列m ，y ：，y k ，r ”，且 它們存在二階矩，令p r o j ( x l m ，乃，n ) 為x 在線性流形三執(zhí)，兒，兒) 上的射影，序 列 咒) 的新息序列為 p t = 壇一p r o j ( x lm ，耽，兒一。) = 兒一兒肛。，它是零均值的白 噪聲，則有 p r o j ( 工i 咒，兒，兒) = p r o j ( x i y , ，y 2 ，n 一。) + e ( 堿) e ( k ) 噸 唯 ( 2 3 1 9 ) 在線性高斯近似模型下，= p r o j ( h ，iz l ，”，z t ) ，對于扛f ，f f ，f f ，分別稱為 k a l m a n 濾波器、預(yù)報器和平滑器。下面推導(dǎo)s v 模型的k a l m a n 濾波、預(yù)報和平滑遞推 式。 由遞推射影公式有遞推關(guān)系 啊+ i = 曩+ m l + e ( 啊+ i k ) e - 1 ( 諺) v | ( 2 3 2 0 ) 其中v f = z f c f 一一l ，對式( 2 3 4 ) 兩邊取射影有 啊鐘一l = 矽卜l 記濾波和預(yù)報估計的誤差及方差為瓦= 紅一忽乓= e ( 碌) ，廄刈，= 扛+ 。一扛砷， 砷= e ( 向：l p ) ， 則 u = 一l + 缶， 可得 e ( 曩+ - v f ) = e i ( 矽曩+ g r , + 。) ( 啊l ，二t + 毒) l = 矽蜀“ 令 e ( 諺) = e ( 磊l f - ，+ 毒) 2 = o h + e 全只，k = 矽卜，e 一1 將上式代入式( 2 3 2 0 ) 可得 忽+ 坩= 啊l 1 + 墨v ， ( 2 3 2 1 ) 1 5 2 隨機波動模型及其參數(shù)估計碩士論文 由 啊刈，= 啊+ l 一紅+ m = 曩+ 仃。r l , 一忍卜1 一k ( 啊卜l + 毒) = ( 一i v , ) 啊卜l k 皇+ 盯口仇 可得 c 刈，= ( 矽一k ) 2 c 卜l + 砰耳+ 露 = ( 一k ) p h 矽一矽丘一，k + 砰昂一：+ 群耳+ 露 = c p , | f - 。( 一k ) 一矽局卜k + 砰e + = 只卜1 ( 一k ) + 2 ( 2 3 2 2 ) 同理可得：魄i r = 魄卜l + 卜。e 1 u ，”= 蜀h 只卜l e - 1 卑卜1 ，因此可以得到如下定理。 定理2 3 4 1 對線性狀態(tài)空間模型( 2 3 4 ) ，其k a l m a n 濾波和預(yù)報遞推式為： ，1 1 , + l l r = c h , + k i 鼻小= 蝎h ( 一k ) + 露 ( 2 3 2 3 ) 弋v f = z f c f 一曩。一t lk = 矽l “一， e = 咒h + 耳 凈+ 黧 (2324)p ie | r = # 卜l t l t - 1 f t p , j f l 、 只要初始值氏。和異。給定，就可以通過這個式子得到預(yù)報和濾波。如果 l ，曩的無 條件均值和方差分別是。和露( 1 一2 ) ，它們通常被用作風(fēng)。和丑舊的值。 由于誤差項毒與研服從正態(tài)分布，因此高斯近似模型的對數(shù)似然函數(shù)為 l i l t ( 沙) = 一吾i n 2 n - 互1 萎th l z i 1 備t 方2 ( 2 3 2 5 ) 在預(yù)報和濾波的基礎(chǔ)上，我們還可以得到啊的平滑估計磊= & ( 啊lz ，) = 啊i r 。令 l r = ( 矽一k ) ，：+ ”r + 鼻1 哆， 則有： 啊= 啊曠= 吩f f - l + 晶卜i r = 紅f r - l + 昂一- ( 一易，- t c - 1 ) ，；+ l f r + 昂，- l e 。1 v = 魄i f + 只卜l ( 1 一日卜1 ) e 。1 + 耵= 瑰p + 只”+ 耵 ( 2 3 2 6 ) 由 魄+ l = 魄+ l 礦= 氣+ l p + + 班，：+ 耵 可知 + 耵= ( 紅+ l 一曩+ l p ) + i i r 代入式( 2 3 2 6 ) 得 紅= 啊i f + 只i f ( 啊+ l 一啊+ l p ) + l l f = ，+ 以( 啊+ l 一啊+ i | f ) ( 2 3 2 7 ) p個 其中，以= 羞坐_ ，r = t 一1 ，丁一2 ，1 。從式( 2 3 2 7 ) 可以看出平滑估計 矗迕。的計算 t + l l t 是一個反向遞推的過程。群= i r 是 二。的最后一項，向前遞推就可以得到 丘) ：。 碩士論文 隨機波動模型下的非交易目效應(yīng)研究 2 3 5 模擬平滑 在狀態(tài)空間時間序列分析中，模擬平滑是指一種特殊的算法，用于在觀測值給定 的條件下，從狀態(tài)向量或擾動向量的條件密度抽取隨機樣本。本文采用的是d u r b i n 1 9 】 于2 0 0 2 年提出的一種新的模擬平滑算法。與d ej o n g 和i s h e p h a r d 1 7 】模擬平滑算法相比， d u r b i n 模擬平滑算法利用一種直接的方法，不需要遞歸地產(chǎn)生隨機向量，因此更加簡 單有效，易于實施。 在近似模型( 2 3 3 ) 中，令孝= ( 當，爵) 。，刁= ( 7 7 i ，珊) 。則g ( f ) = n ( o ，q ) ， g ( 7 7 ) = n ( o ，) ，其中q = 凼昭( 日l ，珥) 。下面我們給出d u r b i n 模擬平滑算法 的基本步驟： ( 1 ) 分別由n ( o ，q ) 和n ( 0 ，) 抽取隨機向量f + 和礦，再由n ( 0 ，2 ( 1 - 2 ) ) 抽取 隨機變量w ，用孝+ 、礦和耳分別取代式( 2 3 4 ) 中的善、，7 和囊，遞歸地解出廣和h + ， 其中z + = ( 才，z ；) ，h + = ( 坷，睇) ； ( 2 ) 利用2 3 4 節(jié)中給出的k a l m a n 濾波和平滑算子計算| i 5 + = e ( h + iz + ) ； ( 3 ) 令h 。= j 5 + 礦一磊+ ，則h 就是來自重要密度g ( hlz ) 的一個隨機樣本。 下面我們給出證明： 由高斯?jié)u進模型( 2 3 4 ) 口- - j 知g ( hz ) = n ( i ，y ) ，其中 v = v a r ( hiz ) = v a r ( h ) - v a r ( h ) v a r ( z ) 。1v a r ( h ) = v a r ( h ) 一v a r ( h ) v a r ( h ) + 西昭( ，h r ) 】。1v a r ( h ) ( 2 3 2 8 ) 因此矩陣v 與觀測向量z 無關(guān)。又根據(jù)上述抽樣法可知 乓 辦“iz 】= 乓( + + 一h + iz ) = 乃+ e 8 ( 辦+ 一h + iz ) = h ( 2 3 2 9 ) v a r h “= e ?！? 礦- h + ) ( 辦+ 一礦) iz 】_ v a r ( h + lz + ) = v ( 2 3 3 0 ) 這就證明了h 。是來自重要密度g ( h iz ) 的一個隨機樣本。 2 3 6 小結(jié) 本章首先介紹了隨機波動模型的起源及其擴展模型，然后介紹了s v 模型的參數(shù) 估計方法，著重推導(dǎo)了m c m l 方法。下面給出m c m l 方法的基本步驟如下： ( 1 ) 給定模型參數(shù)的初始值； ( 2 ) 選擇線性高斯近似模型，使其盡量接近真實模型，其中c t 和q 是方程( 2 3 1 3 ) 的迭代解： ( 3 ) 用式( 2 3 2 3 ) 和式( 2 3 2 5 ) 求出i n 三g ( 少) 和曩： ( 4 ) 利用d u r b i n 模擬平滑算法，從重要密度g ( h iz ) 獨立地抽取n 個隨機樣本 1 7 2 隨機波動模型及其參數(shù)估計碩士論文 ( 5 ) 對每個辦( ，f _ l ，2 ，n ，構(gòu)造對偶變量萬”，計算以，用式( 2 3 1 7 ) 計算礦 和j 2 ； w ( 6 ) 將萬 s 。2 代入( 2 3 1 8 ) ，計算1 1 1 厶( y ) ，將l i l 厶( ) 極大化，即可得到模型參 數(shù)的估計。 碩士論文 隨機波動模型下的非交易日效應(yīng)研