北京市朝陽區(qū)2014屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 文 新人教A版

1 北京市朝陽區(qū) 2013-2014學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)試卷（文史類） 2014.1 （考試時(shí)間 120分鐘 滿分 150分） 本試卷分為選擇題（共 40分）和非選擇題（共 110分）兩部分 第一部分（選擇題 共 40分） 一、選擇題：本大題共 8小題，每小題 5分，共 40分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng) . 1.已知集合 2lo g 0A x x,集合 01B x x ,則 AB= A. 0xx B. 1xx C. 0 1 1x x x 或 D. 2.為了得到函數(shù) 22yx的圖象，可以把函數(shù) 2yx 的圖象上所有 的點(diǎn) A. 向右平行移動(dòng) 2個(gè)單位長度 B向右平行移動(dòng) 1 個(gè)單位長度 C. 向左平行移動(dòng) 2個(gè)單位長度 D. 向左平行移動(dòng) 1 個(gè)單位長度 3. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 k 值為 A. 6 B. 24 C. 120 D.720 4.已知函數(shù) 2 , 0 ,(), 0 ,x xfx xx 則 2a 是 ( ) 4fa 成立的 A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 開始 k=1 i=2 k=k i i=i+1 是 i5? 輸出 k 否 結(jié)束 2 5. 若實(shí)數(shù) ,xy滿足3200xyxyx ，則 z y x的最小值為 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知 02，且 4cos5 ，則 tan( )4 等于 A. 7 B. 1 C. 34 D. 7 7. 若雙曲線 C ： 222 ( 0 )x y m m 與拋物線 xy 162 的準(zhǔn)線交于 ,AB兩點(diǎn)，且 43AB ，則 m 的值是 A. 116 B. 80 C. 52 D. 20 8. 函數(shù) 2( ) 3f x x x的圖象為曲線 1C ，函數(shù) 2( ) 4g x x 的圖象為曲線 2C ，過 x 軸上的動(dòng)點(diǎn)( , 0 ) ( 0 3 )M a a作垂直 于 x 軸的直線 分別 交曲線 1C ， 2C 于 ,AB兩點(diǎn)， 則線段 AB 長度的最大值為 A 2 B 4 C 5 D 418 第 二部分 （非選擇題 共 110分） 二、填空題：本大題共 6小題，每小題 5分，共 30分 .把答案填在答題卡上 . 9.已知數(shù)列 na 為等差數(shù)列，若 1 3 5 8a a a ， 2 4 6 20aaa ，則公差 d 10.已知三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是 ；表面積是 . 11. 某校 為了解 高 一 學(xué) 生寒 假期 間的閱讀情況， 抽查 并統(tǒng)計(jì)了 100 名同學(xué) 的某一周閱讀 時(shí)間 ， 繪 制俯視圖 1 1 側(cè)視圖 正視圖 1 頻率 /組距 3 了 頻率分布直方圖 （如圖所示），那么這 100名學(xué)生中閱讀時(shí)間在 4,8) 小時(shí)內(nèi) 的人數(shù)為 _ 12.直線 l ： 3 6 0xy 被圓 :C 2 21 ( 2 ) 5xy 截得的弦 AB 的長是 . 13.在 ABC 中， 120A，1AB AC ，則 AB AC ；|BC的最小值是 . 14.用一個(gè)平面去截正方體，有可能截得的是以下平面圖形中的 .（寫出滿足 條件的圖形序號(hào) ） （ 1）正三角形 （ 2）梯形 （ 3）直角三角形 （ 4）矩形 三、解答題：本大題共 6小題，共 80 分 .解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程 . 15.（本題滿分 13分） 已知函數(shù) 22( ) 3 s i n 2 s i n c o s c o s 2f x x x x x . （）求 ()4f 的值； （）求函數(shù) ()fx的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū) 間 . 16. （本題滿分 13分） 甲、乙兩名同學(xué)參加“漢字聽寫大賽”選拔性測試 .在相同的測試條件下，兩人 5 次測試的成績（單位：分）如下表： 第 1次 第 2次 第 3次 第 4次 第 5次 甲 58 55 76 92 88 乙 65 82 87 85 95 （）請(qǐng)畫出甲、乙兩人成績的莖葉圖 . 你認(rèn)為選派誰參賽更好？說明理由（不用計(jì)算）； （）若從甲、乙兩人 5 次的成績中各隨機(jī)抽取一個(gè)成績進(jìn)行分析，求抽到的兩個(gè)成績中至少有一個(gè)高于 90分的概率 . 4 17. （本題滿分 14分） 如圖，在三棱錐 P ABC 中，平面 PAC 平面ABC ,PA AC ， AB BC 設(shè) D ， E 分別為 PA ， AC中點(diǎn) . （）求證： DE 平面 PBC ； （）求證： BC 平面 PAB ； （）試問在線段 AB 上是否存在點(diǎn) F ，使得過三點(diǎn) D ,E ,F 的平面內(nèi)的任一條直線都與平面 PBC 平行？若存在，指出點(diǎn) F 的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由 18.（本題滿分 13分） 已知函數(shù) 3 2 2()f x x a x a x ，其中 0a . （）若 (0) 4f ，求 a 的值，并求此時(shí)曲線 ()y f x 在點(diǎn) (1, (1)f 處的切線方程； （）求函數(shù) ()fx在區(qū)間 0,2 上的最小值 . 19.（本題滿分 14分） 已知橢圓 C 兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為1( 2,0)F ,2( 2,0)F，一個(gè)頂點(diǎn)為 (0, 1)A . （）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （）是否存在斜率為 ( 0)kk 的直線 l ，使直線 l 與橢圓 C 交于不同的兩點(diǎn) ,MN，滿足AM AN . 若存在，求出 k 的取值范圍；若不存在，說明理由 . 20. （本題滿分 13分） 已知數(shù)列 na的通項(xiàng) 192 1 0nnan ， n N . ( )求12,aa； （） 判斷數(shù)列 na的增減性 ,并說明理由； ( ) 設(shè)1n n nb a a，求數(shù)列 1nnbb的最大項(xiàng)和最小項(xiàng) . 北京市朝陽區(qū) 2013-2014學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試 D E B A P C 5 數(shù)學(xué)答案（文史類） 2014.1 一、選擇題： 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C A B D D D 二、填空題： 三、解答題： 15.解： （）依題意 2( ) 2 s i n s i n 2 1f x x x sin 2 cos 2xx 2 s in ( 2 )4x . 則 ( ) 2 s i n ( 2 ) 14 4 4f . .7 分 （） ()fx的最小正周期 . 當(dāng) 2 222 4 2k x k 時(shí)，即 3 88k x k 時(shí) , ()fx為增函數(shù) . 則函數(shù) ()fx的單調(diào)增區(qū)間為 3 , 88kk,kZ . .13分 16 . 解：（） 莖葉圖如右圖所示，由圖可知，乙的平均成績大于甲的平均成績，且乙的方差小于甲的方差，因此應(yīng)選派乙參賽更好 . .6 分 （）設(shè)事件 A ：抽到的成績中至少有一個(gè)高于 90分 . 從 甲 、 乙 兩 人 5 次 的 成 績 中 各 隨 機(jī) 抽 取 一 個(gè) 成 績 ， 所 有 的 基 本 事 件 如 下 ： 5 8 , 6 5 , 5 8 , 8 2 , 5 8 , 8 7 , 5 8 , 8 5 , 5 8 , 9 5 ,5 5 , 6 5 , 5 5 , 8 2 , 5 5 , 8 7 , 5 5 , 8 5 , 5 5 , 9 5 ,7 6 , 6 5 , 7 6 , 8 2 , 7 6 , 8 7 , 7 6 , 8 5 , 7 6 , 9 5 ,8 8 , 6 5 , 8 8 , 8 2 , 8 8 , 8 7 , 8 8 , 8 5 , 8 8 , 9 5 ,9 2 , 6 5 , 9 2 , 8 2 , 9 2 , 8 7 , 9 2 , 8 5 , 9 2 , 9 5 , 共 25個(gè) . 事件 A 包含的基本事件有 5 8 , 9 5 , 5 5 , 9 5 , 7 6 , 9 5 , 8 8 , 9 5 , 9 2 , 6 5 ,9 2 , 8 2 , 9 2 , 8 7 , 9 2 , 8 5 , 9 2 , 9 5 共 9 個(gè) . 題號(hào) 9 10 11 12 13 14 答案 4 16， 332 54 10 2, 6 （ 1）（ 2）（ 4） 8 7 5 6 9 8 2 6 甲 乙 5 5 7 2 5 8 5 6 所以 9()25PA，即抽到的成績中至少有一個(gè)高于 90 分的概率為 925. .13分 17. 證明： （）因?yàn)辄c(diǎn) E 是 AC 中點(diǎn)，點(diǎn) D 為 PA 的中點(diǎn)， 所以 DE PC 又因?yàn)?DE 面 PBC ， PC 面 PBC ， 所以 DE 平面 PBC .4分 （）因?yàn)槠矫?PAC 面 ABC , 平面 PAC 平面 ABC =AC ,又 PA 平面 PAC ， PA AC ，所以 PA 面 ABC . 所以 PA BC 又因?yàn)?AB BC ，且 PA AB = A ， 所以 BC 面 PAB .9 分 （）當(dāng)點(diǎn) F 是線段 AB 中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn) D ,E ,F 的平面內(nèi)的任一條直線都與平面 PBC 平行 取 AB 中點(diǎn) F ，連 EF ，連 DF . 由（）可知 DE 平面 PBC 因?yàn)辄c(diǎn) E 是 AC 中點(diǎn)，點(diǎn) F 為 AB 的中點(diǎn)， 所以 EF BC 又因?yàn)?EF 平面 PBC ， BC 平面 PBC ， 所以 EF 平面 PBC 又因?yàn)?D E E F = E ， 所以平面 DEF 平面 PBC ， 所以平面 DEF 內(nèi)的任一條直線都與平面 PBC 平行 故當(dāng)點(diǎn) F 是線段 AB 中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn) D , E , F 所在平面內(nèi)的任一條直線都與平面 PBC 平行 .14分 18. 解：（）已知函數(shù) 3 2 2()f x x a x a x ， 所以 22( ) 3 2f x x a x a ， 2( 0 ) 4fa ， 又 0a ，所以 2a . 又 (1 ) 5 , (1 ) 5ff ， 所以曲線 ()y f x 在點(diǎn) (1, (1)f 處的切線方程為 50xy . . . 5分 （） 0,2x ， 22( ) 3 2 ( ) ( 3 )f x x a x a x a x a D E B A P C F 7 令 ( ) 0fx ，則12,3ax x a . （ 1）當(dāng) 0a 時(shí)， 2( ) 3 0f x x 在 0,2 上恒成立，所以函數(shù) ()fx在區(qū)間 0,2 上單調(diào)遞增，所以m i n( ) ( 0 ) 0f x f； （ 2）當(dāng) 02a 時(shí)，在區(qū)間 0, )a 上， ( ) 0fx ，在區(qū)間 ( ,2a 上， ( ) 0fx ，所以函數(shù) ()fx在區(qū)間 0, )a 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 ( ,2a 上單調(diào)遞增，且 xa 是 0,2 上唯一極值點(diǎn)，所以 3m i n( ) ( )f x f a a ； （ 3）當(dāng) 2a 時(shí)，在區(qū)間 0,2 上， ( ) 0fx （僅有當(dāng) 2a 時(shí) (2) 0f ），所以 ()fx 在區(qū)間 0,2 上單調(diào)遞減 所以函數(shù) 2m i n( ) ( 2 ) 8 4 2f x f a a . 綜上所述，當(dāng) 02a 時(shí)，函數(shù) ()fx的最小值為 3a ， 2a 時(shí)，函數(shù) ()fx的最小值為 28 4 2aa 13分 19.解：（）設(shè)橢圓方 程為 22 1 ( 0 )xy abab .則依題意 2c ， 1b ，所以 2 2 2 3a b c 于是橢圓 C 的方程為 2 2 13x y .4分 （）存在這樣的直線 l . 依題意，直線 l 的斜率存在 設(shè)直線 l 的方程為 y kx m，則 由22 13x yy kx m 得 2 2 2( 3 1 ) 6 3 3 0k x k m x m 因?yàn)?2 2 2 23 6 4 ( 3 1 ) ( 3 3 ) 0k m k m 得 223 1 0km 設(shè) 1 1 2 2( , ) , ( , )M x y N x y，線段 MN 中點(diǎn)為 00( , )P x y ，則12 2212 26313331kmxxkmxxk 8 于是0 0 0223 ,3 1 3 1k m mx y k x mkk 因?yàn)?AM AN ，所以 AP MN . 若 0m ，則直線 l 過原點(diǎn)， (0,0)P ，不合題意 . 若 0m ，由 0k 得， 001 1y kx ，整理得 22 3 1mk 由 知， 2 1k ， 所以 11k 又 0k ，所以 ( 1, 0 ) ( 0 , 1)k . .14分 20（）1 0.45a ,2 1.215a . .2 分 （） 11 ( 0 . 5 ) 0 . 9 ( 0 . 5 ) 0 . 9nnnna a n n 0 . 9 ( 0 . 9 0 . 4 5 0 . 5 )n nn 0 . 1 0 . 9 ( 9 . 5 )n n . 則當(dāng) 19n時(shí)，1 0nnaa ，則 1 10n 時(shí)，數(shù)列 na為遞增數(shù)列， n N ； 當(dāng) 10n 時(shí)，1 0nnaa ，數(shù)