（光學(xué)專業(yè)論文）一維光子晶體光學(xué)特性的理論研究.pdf

摘要 光子晶體是2 0 世紀(jì)8 0 年代末提出的新概念和新型人工微結(jié)構(gòu)光學(xué)材料。 光子晶體以光子禁帶的存在為主要特征，其典型結(jié)構(gòu)為一個(gè)折射率周期變化 的物體。一維光子晶體是光子晶體最基本的構(gòu)型，其折射率在一維空間方向 上呈周期性分布。一維光子晶體結(jié)構(gòu)簡單、易于制備，同時(shí)具備二維、三維 光子晶體的性質(zhì)，極有可能成為全光通信領(lǐng)域中的關(guān)鍵材料，因此具有較高 的理論價(jià)值和廣泛的應(yīng)用前景。 本論文從一維光子晶體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā)，著重研究了有限周期一維光子 晶體的基本光學(xué)特性。利用光學(xué)傳輸矩陣等方法證明了一維光子晶體存在著 反映光子晶體典型特征的光予帶隙，在此基礎(chǔ)上通過數(shù)值模擬計(jì)算分析了光 子帶隙特征及與光子晶體結(jié)構(gòu)參量的關(guān)系，并討論了一維光子晶體帶隙隨入 射光偏振狀態(tài)及入射角的演化特點(diǎn)。闡述了一維光子晶體中電磁模密度的概 念，由計(jì)算結(jié)果分析了電磁模密度在禁帶邊緣的分布特點(diǎn)：用復(fù)有效折射率 討論了一維光子晶體的色散特性。 關(guān)鍵詞：一維光子晶體光子帶隙 電磁模密度復(fù)有效折射率色散特性 a b s t r a c t p h o t o n i cc r y s t a lw a s p r e s e n t e d a san e w c o n c e p ta n d an e w t y p eo f a r t 湎c i a l m i c r o s t m c t u r e dm a t e r i a lw h i c hi sc h a r a c t e r i s t i co fp h o t o n i c b a n d g a p ( p b g ) s m l c t u r e si n1 9 8 7 a t y p i c a lp h o t o n i cc r y s t a i i sa 1 1o b j e c tw h o s er e 療a c t i v ei n d e x c h a n g e sp e r i o d i c a l ly _0 n e d i m e n s i o n a l ( 1 d )p h o t o n i cc r y s t a l i st h eb a s i c c o n f i g u r a t i o ni n w h i c ht h er e 脅c t i v ei n d e xi s s p a 廿a l l ym o d u l 砒e di n l d 1 d p h o t o n i cc r y s t a lc a nb em a d ee a s i l yd u et oi t s s i m p l es t m c t u r ea 1 1 dh a st l l e p m p e m e so f2 da n d3 dp h o t o n i cc r y s t a l s n l e s en o v e lo p t i c a lm a t e r i a l sw i l l p r o b a b l yb ec r u c i a lc o m p o n e n t si nt h ef i e l do f0 p t i c a lc o m m u i l i c a t i o n ，s ot h e r e l e v a l l tt l l e o r e t i c a lr e s e a r c h e sa r ev a l u a b l ea n d 、】l r i d ea p p l i c a t i o n p e r s p e c t i v e sa r e e x p e c t e d 1 1 1 et 1 1 e s i s b e g i n sw n t l l es 仇】c 嘶df e a n 聆sa i l d m a i l l l y d i s c u s s e s 也e f t l n d 鋤e n t a l o p t i c a lc h a r a c t e r i s t i c so ff - m i t e p e r i o d1 dp h o t o n i cc r y s t a l t h e t h e s i sg i v e s 也ed e m o n s n 眥i o no fe x i s t e n c eo fp b gi nl dp h o t o n i cc r y s t a l 、v i t h t h em 毗l o do f 訂a n s l 撕o nm a 乜奴1 kf e a n 髓o f 1 dp b ga r e a n a l y z e db y n u m e r i c a lv a l u es i m l l l a t i o n t h er e l a t i o nb c m e e np b g 鋤dt h e s t m c t u r e d p a r 踟e t e r s i sd i s c l l s s e do nt l l eb a s i so ft h ed e m o n s 仃a _ t i o n i n a d d i t i o n t h e c h a r a c t e r i s t i c so ft h ep b ge v o l u t i o nw i mt l l e p o l a r i z a t i o n sa i l d 也ei n c i d e n c e a n g l e sa r ep r e s e n t e d t h et h e s i sa l s og i v e st h ec o n c e p to f 也ee l e c 仃o m a g n e t i c d e n s i t yo fm o d e s ( e d o m ) t h ed i s t r i b u t i o nf b 抓so fe d o mi nt l l eb 妣d e d g e o f1 dp h o t o n i cc r y s t a la r es t u d i e da c c o r d i n gt ot h ec o m p u t a t i o n a lr e s u l t s t h e d i s p e r s i v ep r o p e n i e so f1 dp h o t o l l i cc r y s t a la r ed i s c u s s e db yi n n d d u c i n g 齜 c o n c 印to f c o m p 王e xe 矗b c t i v e 他f t i v ei n d e x k e y w o r d s ：o n e d i m e n s i o n a l p h o t o n i c c r y s t a l ；p h o t o n i c b a n d g 印 e l e c t r o m a g n e t i cm o d ed e l l s i t y ；c o m p l e xe 腩c t i v er e 行a c t i v ei n d e x d i s p e r s i v ep r o p e r t i e s 1 i 獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取 得的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方，論文中 不包含其他人已經(jīng)發(fā)表的或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得西北大學(xué) 或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材料。與我一同工作的同志對本 研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示謝意。 學(xué)位論文作者簽名：f 濤簽字日期：矽哆年皇月即日 第一章緒論 第一耄緒論 1 1 引言 1 9 8 7 年，e y a b l o n o v i t c h 【1 1 和s j o h n l 2 】分別在討論周期性電介質(zhì)結(jié)構(gòu) 對材料中光傳播行為的影響時(shí)，各自獨(dú)立地掇出了“光子晶體”這一斷概念。 我們知道，鼴體中周麓性排列的原子掰產(chǎn)生的周期性電勢場對電子鴦著特殊 的約束作用。在空間周期性電勢場中，電子避動(dòng)決定于以下的薛定謬方程： 妒+ 等留回) k 惦o ( 1 ) 箕中礦妒) 是電予的勢髓灞數(shù)，它爨有空闌蠲籟髓。求解鞋上方稷式( 1 ) 可以發(fā)現(xiàn)，電子麴能爨e 只g 凝菜些特殊篷，在菜然熊量區(qū)間內(nèi)該方羧無鰓， 也就怒說電子的能量不可能落在這樣的能量醚間，通常稱之為能量禁帶。研 究發(fā)現(xiàn)，電子在這釋蠲壤襤縷秘孛熬德毒羅意波長與爨薅懿燕格鬻數(shù)矮有大 致相同的數(shù)量級。 放電磁波毽論霹知，在食邀常數(shù)黧窒闖溺麓往分布鼴奔鬟孛，毫磁渡綴 從以下的麥克斯韋方程： 卜等瓴州跏一v v k 壚。 ( 2 ) 其中島為平均相對介電常數(shù)，f ( f ) 為相對介電常數(shù)的調(diào)制部分，宦隨空間 位置傲周期健變純，c 為真空中的蠢逮，m 兔電磁渡的頻率，藏f ，f ) 兔電磁波 的電場矢量。對照( 1 ) 、( 2 ) 兩方程技可以餐出，它 | 、3 具有一定豹鞠似性。 通過對方程( 2 ) 的求解發(fā)現(xiàn)，該方稷式只有在某些特定的頻率u 處才有解， 瑟在漿些頻搴。取壤囂闖蠹該方程無解。瞧就是瀵，在分毫露數(shù)量溺麓蠖分 布的介質(zhì)結(jié)構(gòu)中的電磁波的某些頻率是被禁止傳播的，通常稱這些被禁止的 頻率囂聞為“兜子蔡帶”或“凳子帶隙”，藹將其舂“斃予禁帶”的入工周麓 性介質(zhì)材料稱為光子黼體f ”。 融于光予在光予齬體中的運(yùn)動(dòng)藏律與電予在圓體晶格中的運(yùn)動(dòng)娥律褶 第一章緒論 似，光子晶體也具有光子能帶和禁帶結(jié)構(gòu)。光子禁帶的存在產(chǎn)生了許多嶄新 的物理性質(zhì)，這在基礎(chǔ)研究和實(shí)際應(yīng)用兩方面都具有重要意義。光子晶體可 以抑制自發(fā)輻射 2 】o 我們知道，自發(fā)輻射的幾率與光子所在頻率的態(tài)的數(shù)目 成正比。處在光子晶體內(nèi)部的原子，當(dāng)它自發(fā)輻射的光頻率恰好落在光子禁 帶中時(shí)，由于該頻率光子的態(tài)的數(shù)目為零，因此自發(fā)輻射幾率為零，自發(fā)輻 射也就被抑制。類似于半導(dǎo)體中的摻雜，在光子晶體中摻入雜質(zhì)后將在光子 禁帶中引入新的電磁波模式，稱為雜質(zhì)態(tài)。雜質(zhì)態(tài)具有很大的態(tài)密度，這樣 可以實(shí)現(xiàn)自發(fā)輻射的增強(qiáng)。這將給激光技術(shù)和非線性光學(xué)帶來全新的應(yīng)用， 如制造零閩值的激光器、光濾波器等口j 。 光子是以光速運(yùn)動(dòng)的微觀粒子，它的靜止質(zhì)量為零而且具有很好的空間 相容性，與電子相比，光子具有速度快、彼此之間不存在干擾的優(yōu)點(diǎn)，因此 以光子作為信息及能量的載體有著巨大的優(yōu)越性。以光子為載體的光子器件 將有比電子器件高得多的運(yùn)行速度，由于光予間的相互作用遠(yuǎn)小于電子，因 而光子器件的能量損耗小、效率高。光子在通常情況下互不干涉，具有并行 處理信息的能力，在光計(jì)算中可大大提高信息處理的效率。一旦實(shí)現(xiàn)以光子 替代電子傳遞信息，可大大提高信息傳輸?shù)乃俣群唾|(zhì)量。2 l 世紀(jì)將是光子時(shí) 代，作為光子學(xué)與光子技術(shù)物質(zhì)基礎(chǔ)的光予材料的發(fā)展將極大地加快人類邁 入光子時(shí)代的腳步，而光子晶體是開發(fā)新一代光子器件領(lǐng)域中最有前途的新 型光子材料。 光子晶體自1 9 9 1 年誕生以來，引起了學(xué)術(shù)界的廣泛重視，光子晶體的應(yīng) 用涉及高效率反射鏡的制造、改善發(fā)光二極管的效率、高品質(zhì)因數(shù)微諧振腔 的制造以及光子開關(guān)、光子存儲(chǔ)器、光子限幅器等各個(gè)方面，其廣闊的應(yīng)用 前景使光子晶體成為目前光子學(xué)的一個(gè)研究熱點(diǎn)。1 9 9 9 年1 2 月1 7 日的美國 科學(xué)雜志把光子晶體列為該年度十大科學(xué)進(jìn)展之一。類似于半導(dǎo)體材料 的發(fā)展極大地推動(dòng)了電子學(xué)和電子產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，光子晶體的發(fā)展也將極大地 推動(dòng)光子學(xué)和光子技術(shù)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展。 1 2 光子晶體的研究進(jìn)展 近年來，電磁波在人工周期性介質(zhì)材料中的行為越來越受到人們的重 視。人們通常把人工合成的折射率周期性變化的結(jié)構(gòu)材料稱為光子晶體t ”。在 第章緒論 菜些額率下，毫磁滾不筑在其中轉(zhuǎn)攆，形戲蠢予禁豢。投獾溪麓經(jīng)豹空瓣取淘， 我們把光子晶體分為一維、二維和三維光子晶體，其空間結(jié)構(gòu)如圖l 所示。 一絨光子晶體二維巍子晶體三維光子晶體 夔l 斃予器镕靛窆涸結(jié)秘 f i g 1 t h es p a t i a ls n l j c n j r eo f p h o t o n i cc r y s t a l s 奔麓拆射率在空閹一個(gè)方囊上曼璃期毪分布靜光予鑫俸稽料稱梵維斃 子晶體。簡單結(jié)構(gòu)的一維光予晶體通常內(nèi)兩種介質(zhì)交替疊層而成，這種結(jié)構(gòu)在 垂直予介質(zhì)層方向上介電常數(shù)建空闖豫暨的周期性函數(shù)，而在平行于介質(zhì)層平 囂的方向上介呶零數(shù)不漣空間位置藹變化。這樣的光子燕體在光紆和半導(dǎo)體激 光器中巴得到應(yīng)用，布掇格光纖和半導(dǎo)體激光器的分布反饋式諧振腔實(shí)際上就 是一維龍子鑫俗。 介質(zhì)折射率在空間兩個(gè)方向上呈周期性分布的光子鼎體材料稱為二維光子 貉髂。釋典型靜二維斃子鑫俗結(jié)穗蔗糖洚多余矮釋平稽兩瓣勻遮蓑 裂囂藏， 這種結(jié)構(gòu)在垂或于介質(zhì)桿的方向上介電常數(shù)是空間位置的周期性函數(shù)，而在平 行子介鹱稈的方隨上分電常數(shù)不隧空間位置麗交純。長波長二繚光子晶體大多 通過上下兩個(gè)帶孔的薄片將細(xì)小的介鼴抒或金麟桿固定，薄片魏的排列決定該 光子晶體的結(jié)構(gòu)。而短波長二雛光子晶體多采用在半導(dǎo)體基片上打孔的方法來 鍘造。除了果黑援柱食鹱籽鞫遺二維光予鑫體辨，堿c 融等入還提出了一秘 使用多朦光柵構(gòu)造二維光子晶體的方法c 4 】。y s c h a n 等人提出了二維準(zhǔn)光子晶 體【5 l | 零恚遠(yuǎn)等入提鲞了； l | 楚務(wù)囊舅愁搴孝辯澍佟二維炙學(xué)鑫體熬方法 6 ，疆究 表明這幾種結(jié)構(gòu)的光子齲體都輿有較大的光予禁帶寬度。 三繚光子磊棒是捂介質(zhì)薪瓣率在空閥三個(gè)秀兩土筠蹩周期僚分布酌斃子鑫 體材料。對這種光子晶體而言，頻率落在光子禁帶中的光在任何方向都被禁止 傳播。三維光予晶體，特笳是敷外與可覓光波段的三縮光子晶體具有巨大的碰 用潛力，困麗或?yàn)楣庥杼狍w的磷究熱點(diǎn)。第一個(gè)具有實(shí)際可行譙的三維汽子晶 第一章緒論 體是在1 9 9 0 年由美國依俄華州立大學(xué)的何啟明( k m h o ) ，陳子亭( c t c h a n ) 和c m s o u k o u l i s 等首先從理論上提出來的【7 】o 他們成功地預(yù)言了在一種盒剛 石結(jié)構(gòu)的二! 維光子晶體中存在完整的光子禁帶，禁帶出現(xiàn)在第二條與第三條能 帶之間。1 9 9 1 年，美國貝爾通訊研究所的e y a b l o n o v i t c h 在實(shí)驗(yàn)室中，人工制 造了世界上第一塊具有完全光予禁帶的三維光予晶體【8 l 。其方法是在一塊高介 質(zhì)材料的底板平面上分布著呈三角點(diǎn)陣的空氣洞，以偏離中心軸( 與底板垂南) 3 5 2 6 。的方向?qū)γ總€(gè)洞鉆眼三次，這三次鉆入方向彼此夾角為1 2 0 。這是一種 由許多面心立方體構(gòu)成的空間周期性結(jié)構(gòu)，也稱為鉆石結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)的三維 光子晶體的優(yōu)點(diǎn)是具有較寬的光子禁帶。早期鉆石結(jié)構(gòu)光子晶體的工作頻率多 落在微波段，近年來其工作波段推進(jìn)到紅外波段【9 l ，但是工作波長越短，其制 造也變得越困難。 自然界中存在的光子晶體很少，絕大多數(shù)光子晶體是人工設(shè)計(jì)制造出來的。 光予晶體的制造目前主要有兩種方法：一是通過對介質(zhì)進(jìn)行化學(xué)腐蝕、激光打 孔或離子束刻蝕等方法加工出空間結(jié)構(gòu)：二是通過約束球形或條形電介質(zhì)在液 體或氣體中有序排列來實(shí)現(xiàn)【l 們。但人們在制造短波長區(qū)的三維光子晶體時(shí)遇到 了困難。目前還沒有找到制造工作于短波長，尤其是工作于可見光波段的鉆石 結(jié)構(gòu)光予晶體的實(shí)用方法。為了獲得短波長光子晶體，人們提出了一些新的光 子晶體構(gòu)造方案。其中一個(gè)具有實(shí)用價(jià)值的方案是由e 0 z b a y 等人提出的“逐 層疊加( l a y e r - b y - 1 a y e r ”方法，即把許多片二維周期性結(jié)構(gòu)疊加在一起構(gòu) 成三維光子晶體。原則上說，這種方法為短波長光子晶體的制造提供了一個(gè)可 行的途徑，現(xiàn)在這種制造方法已被人們廣泛采用。 光子晶體是2 0 世紀(jì)8 0 年代末提出的新概念和新材料，在隨后的十多年中， 光子晶體的理論研究取得了令人矚目的進(jìn)展。在計(jì)算光子晶體禁帶結(jié)構(gòu)時(shí)廣泛 使用的基本計(jì)算方法有平面波展開法【7 1 、轉(zhuǎn)移矩陣法f 1 2 】、差分或有限差分法【1 3 】、 n 階法【1 4 】等。早期人們對光子能帶的理論計(jì)算沿用了電子能帶的計(jì)算方法，將 光子當(dāng)作標(biāo)量波利用薛定諤方程求解。然而隨后的研究表明，這種標(biāo)量波近 似法不僅在定量上，甚至在定性上都與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符。由于電子是自旋為1 2 的費(fèi)米子，滿足費(fèi)米分布，而光子是自旋為l 的玻色子，滿足玻色分布，光波 是矢量波，兩者存在著本質(zhì)的區(qū)別。由于光波是矢量波，因此計(jì)算光子晶體的 4 第一章緒論 能帶結(jié)構(gòu)必須在矢量波理論的框架下，從麥克斯韋方程出發(fā)求解。 在各種理論方法中，平面波展開法( p l a n ew a v ee x p a l l s i o n sm e t l l o d ) 是在光子 晶體能帶研究中應(yīng)用得較早和最多的一種方法。這種方法主要是將電磁場以平 面波的形式展開，何啟明等人【7 j 在預(yù)言光子禁帶的存在的文章中就是采用這種 方法。將電磁場在倒格矢空間以平面波疊加的形式展開，可以將麥克斯韋方程 組化成一個(gè)本征方程，通過求解本征值便得到傳播的光子的本征頻率。但這種 方法也有明顯的缺點(diǎn)：計(jì)算量與平面波的波數(shù)有很大關(guān)系，幾乎正比于所用波 數(shù)的立方，因此會(huì)受到較嚴(yán)格的限制。當(dāng)光子晶體結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜或處理有缺陷 的體系時(shí)，可能受到計(jì)算能力的限制而不能計(jì)算或難以準(zhǔn)確計(jì)算。對于介電常 數(shù)不是恒值的情況，這種方法也顯得無能為力。 轉(zhuǎn)移矩陣法( t r a r i s f e rm 撕xm e t l l o d ) 是將電磁場在實(shí)空間格點(diǎn)位置展開，將 麥克斯韋方程化成轉(zhuǎn)移矩陣形式，同樣變成求解本征值問題。轉(zhuǎn)移矩陣表示一 層( 面) 格點(diǎn)的場強(qiáng)與緊鄰的另一層( 面) 格點(diǎn)場強(qiáng)間的關(guān)系。假設(shè)在構(gòu)成的 空間中在同一格點(diǎn)層( 面) 上有相同的態(tài)和相同的頻率，這樣可以利用麥克斯 韋方程組將場從一個(gè)位置外推到整個(gè)晶體空間。這種方法對介電常數(shù)隨頻率變 化的金屬系統(tǒng)特別有效，由于轉(zhuǎn)移矩陣的矩陣元較少，計(jì)算量比平面波展開法 大大降低，只與實(shí)空間格點(diǎn)數(shù)的平方成正比，精確度也非常好，還可以計(jì)算反 射系數(shù)及透射系數(shù)。 差分或有限差分法( f i n i ：t e d 砥r e n c em e t 1 0 d ) 是將一個(gè)單位原胞劃分為許多 網(wǎng)狀小格，列出網(wǎng)上每個(gè)結(jié)點(diǎn)的有限差分方程，利用布里淵區(qū)邊界的周期條件， 將麥克斯韋方程組化為矩陣形式的特征方程。這個(gè)矩陣是準(zhǔn)對角化的，其中只 有一些為數(shù)不多的非零矩陣元，使計(jì)算量大大減小了。但是有限差分法沒有考 慮晶格格點(diǎn)的形狀，對于具有特殊形狀格點(diǎn)的光子晶體難以求得精確解。 n 階法( o r d e r - nm e t l l o d ) 是引自電子能帶理論的緊束縛近似中的一種方法， 由k s y e e 在1 9 6 6 年提出的時(shí)域有限差分法( f d t d ) 發(fā)展來的。其基本思想 是：從定義的初始時(shí)間的一組場強(qiáng)出發(fā)，根據(jù)布里淵區(qū)的邊界條件，利用麥克 斯韋方程組可以求得場強(qiáng)隨時(shí)間的變化，從而最終解得系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu)。這種 方法通過傅立葉變換，先將麥克斯韋方程組變換到倒空間，用差分形式約簡方 程組，然后再作傅立葉變換，又將其變回到實(shí)空間，得到一組被簡化的時(shí)域有 第一章緒論 限差分方程，從而大大減少了計(jì)算量。但這種方法不適于處理a n d e r s o n 局域和 光子禁帶中缺陷態(tài)等問題。 另外，對引入缺陷的光子晶體一般采用超元胞法( s u p e rc e l lm e t h o d ) 【1 5 1 6 】 進(jìn)行平面波展開，當(dāng)混有多種缺陷時(shí)，可采用格林函數(shù)法( g r e e n sf u n c t i o n a p p m a c h ) 8 1 計(jì)算。 雖然光子晶體的理論研究取得了一定進(jìn)展，但某些關(guān)鍵性問題，如“是什 么物理機(jī)制在光子禁帶的形成中起決定作用? ”等尚需人們盡快解決。目前世 界范圍內(nèi)對光子晶體的研究主要在四個(gè)方面展開： i 理論上設(shè)計(jì)具有完全光子禁帶的光子晶體結(jié)構(gòu)； 2 利用實(shí)驗(yàn)手段制備可見光及紅外波段光子晶體： 3 探討光子晶體與光相互作用產(chǎn)生的物理效應(yīng)； 4 開發(fā)光子晶體的實(shí)際應(yīng)用。 光子晶體奇特的調(diào)節(jié)光子傳播狀態(tài)的特性，使它又希望成為未來光子產(chǎn)業(yè) 的基礎(chǔ)材料。隨著人們對光子晶體帶結(jié)構(gòu)認(rèn)識的不斷深入，光予晶體將會(huì)在光 子學(xué)和光電子學(xué)的發(fā)展中發(fā)揮重要的作用。相信，光子時(shí)代正加速向我們走來。 1 3 光子晶體的光學(xué)特性及應(yīng)用 光子晶體的最根本特征是具有光予禁帶，光子禁帶有完全禁帶與不完全禁 帶之分。完全禁帶是指光在整個(gè)空間的所有傳播方向上都有禁帶，且各個(gè)方向 上的禁帶能相互重疊；不完全禁帶，則相應(yīng)于空間各個(gè)方向上的禁帶并不完全 重疊，或只在特定的方向上有禁帶。頻率落在光子禁帶中的光是被嚴(yán)格禁止傳 播的。光子晶體的另一主要特征是光予局域【2 1 。光子晶體對光子的控制主要通 過一定的禁帶結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)。如何獲得盡可能寬的光子帶隙是光予晶體研究的關(guān) 鍵問題之一。固體物理知識告訴我們，在半導(dǎo)體中引入無序會(huì)使帶邊的電子態(tài) 發(fā)生局域化，導(dǎo)致有效帶隙增寬【l9 】。對一維系統(tǒng)中光局域化的理論和實(shí)驗(yàn)研究 表明，在一維光子晶體中引入無序時(shí)。由于布拉格反射效應(yīng)和引入無序造成的 光局域，可能使離散而狹窄的禁帶擴(kuò)展成連續(xù)的禁帶。通過合理調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)的幾 何參數(shù)和無序度，可以在很寬的波長范圍內(nèi)發(fā)生高反射。由于光子晶體具有完 全光子禁帶和光子局域的特征，使得它具有廣泛而重要的應(yīng)用。 近年來，人們在探索新型結(jié)構(gòu)光子晶體的同時(shí)也做了大量關(guān)于光子晶體 6 第一章緒論 應(yīng)用的工作。這些工作主要有如下幾個(gè)方面： a 高效率低損耗反射鏡和波導(dǎo) 由于光子晶體中不允許光子禁帶范圍內(nèi)的光予存在，所以當(dāng)一束頻率在光 子禁帶范圍內(nèi)的光子入射到光子晶體上時(shí)，這束光子將會(huì)被全反射回去。利用 這一性質(zhì)可制造高品質(zhì)的反射鏡。特別是在短波區(qū)域，介質(zhì)對光波的吸收損耗 非常小，因此，用介質(zhì)材料制作成的光子晶體反射鏡具有極小的損耗。根據(jù)一 維光子晶體理論設(shè)計(jì)出的全角度反射鏡( “p e 疵c tm i n d r ”) 是一維光子晶體 最直接的應(yīng)用。這種反射鏡彌補(bǔ)了金屬反射鏡和介質(zhì)反射鏡的不足，實(shí)現(xiàn)了低 損耗、全角度反射，且角度適應(yīng)性好，是一種新型光反射器件。美國3 m 公司 按照一維光子晶體的設(shè)計(jì)思想，用高分子聚合物材料制作的反射鏡( 3 mr a d i a n t m i n d r f i l m ) 在正入射時(shí)的反射帶可覆蓋整個(gè)可見光區(qū)和近紅外區(qū)，o 。9 0 。的 全角度反射帶為4 0 0 4 1 5 n m 及7 7 5 1 0 2 0 n m ，反射率均可達(dá)到9 8 以上，在應(yīng) 用中取得良好效果。 目前應(yīng)用的信息傳輸線主要有同軸電纜和光纜。電纜很靈活，可以任意角 度彎曲而信號不受影響，并且可以保持信號的偏振狀態(tài)，但是只能傳輸微波段 的低頻信號；光纜則可以傳輸高頻光波信號，但一旦彎曲過度，信號就會(huì)逸出。 電纜和光纜各自的缺陷使得它們無法應(yīng)用于需要高頻響應(yīng)的信號傳輸系統(tǒng)。麻 省理工學(xué)院的研究人員在全角度反射鏡的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出一種萬能波導(dǎo) ( “o m n i g u i d e ”) ，這是一種介質(zhì)同軸纜線，它的關(guān)鍵是在外層纜線的內(nèi)壁環(huán)繞 了一個(gè)按照一維光子晶體思想設(shè)計(jì)的多層介質(zhì)反射膜系，光信號在反射膜形成 的環(huán)形空腔中傳播。該纜線一方面具有介質(zhì)膜損耗極低的特性，而且由于反射 膜對入射光具有全角度反射的特性，所以無論纜線如何彎曲，都不會(huì)發(fā)生信號 逸出的現(xiàn)象。該纜線的提出為信號的遠(yuǎn)距離無中繼傳輸和全光路系統(tǒng)的高度集 成化提供了可能。 6 光子晶體微諧振腔 微諧振腔的制作對光集成有著重要的意義，但由于其尺寸特別小，用傳統(tǒng) 方法制造微諧振腔相當(dāng)困難，而且在光波波段，傳統(tǒng)的金屬諧振腔損耗相當(dāng)大， 品質(zhì)因數(shù)很低，而光子晶體微諧振腔的品質(zhì)因數(shù)可以做得很高，這是采用其它 材料制作的諧振腔所無法達(dá)到的。例如，對于采用具有光纖質(zhì)量的介質(zhì)材料所 第一章緒論 制作的光子晶體微諧振腔，光子的衰減吸收長度達(dá)數(shù)公里，這對應(yīng)衰減時(shí)間為 t 1 0 巧秒，設(shè)光波的頻率為u = 1 0 ”秒一，則該光子晶體微諧振腔的品質(zhì)因數(shù) 為0 = ut = 1 0 “。麻省理工學(xué)院的研究人員利用一維光子晶體制作了一種微腔 激光器。陔激光器包括一個(gè)i n g a p i n g a a s 量子阱，其下為一個(gè)低折射率的a l 。o 。 間隔層和高折射率的g a a s 層。在量子阱活躍區(qū)頂部波導(dǎo)層刻蝕出周期排列的 小孔構(gòu)成一維光子晶體，并在光子晶體中引入缺陷形成空腔，使得量子阱的發(fā) 射波長正好位于一維光子晶體禁帶中的缺陷模式，并使光能耦合至波導(dǎo)中輸 出。 c 高效率發(fā)光二極管和低閡值激光振蕩 一般的發(fā)光二極管發(fā)光中心發(fā)出的光經(jīng)過包圍它的介質(zhì)的無數(shù)次反射，大 部分的光不能有效地耦合出去，使得發(fā)光二極管的光輻射效率很低。如果將發(fā) 光二極管的發(fā)光中心放入一塊特制的光子晶體中，并設(shè)計(jì)使該發(fā)光中心的自發(fā) 輻射頻率與該光子晶體的光予禁帶重合，則發(fā)光中心發(fā)出的光不會(huì)進(jìn)入包圍它 的光予晶體中，而會(huì)沿著特定設(shè)計(jì)的方向輻射出去。實(shí)驗(yàn)表明，采用光子晶體 后，發(fā)光二極管的效率會(huì)從目前的1 0 左右提高到9 0 以上【2 ”。另外，當(dāng)采用 只允許單一頻率的光波穿透的光子晶體作為發(fā)光二極管的諧振腔時(shí)，該發(fā)光二 極管將只能發(fā)出單一頻率和良好相干性的類似激光特性的光，而且發(fā)光效率也 會(huì)大大提高。 在激光器中引入光子晶體還可以實(shí)現(xiàn)低閾值激光振蕩。因?yàn)楣庾泳w對位 于光子禁帶范圍內(nèi)的電磁波具有抑制作用，所以當(dāng)光子晶體的光子禁帶頻率與 激光器工作物質(zhì)的自發(fā)輻射頻率一致時(shí)，激光器中的自發(fā)輻射就會(huì)被抑制，這 樣激光器中因自發(fā)輻射引起的損耗會(huì)大大降低，從而使激光振蕩的閾值變得很 低【2 甜。 d 摻雜光子晶體的應(yīng)用 研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)光子晶體中的某些單元被取消或被另一種介質(zhì)取代而形成缺 陷時(shí)，就會(huì)使光子晶體的光子禁帶出現(xiàn)一些“可穿透窗口”，即光子禁帶內(nèi)的 某些頻率會(huì)毫無損失地穿過光子晶體j 。在一維光子晶體的周期結(jié)構(gòu)中摻入雜 質(zhì)，局部破壞其規(guī)則排列，將在光予禁帶中引入新的電磁波模式( 稱為雜質(zhì)態(tài) 或缺陷態(tài)) ，從而使摻雜光子晶體產(chǎn)生一系列有實(shí)用價(jià)值的光學(xué)效應(yīng)，如光學(xué) 8 第一章緒論 延遲、窄帶濾波等。通過在光子晶體中引入缺陷，使得光子禁帶中產(chǎn)生頻率極 窄的缺陷態(tài)，利用這一性質(zhì)可以制造高性能的極窄帶選頻濾波器【2 4 j 、高精度相 位調(diào)制器 2 5 1 平口光子晶體光波導(dǎo)等等。另外，摻雜結(jié)構(gòu)能使光子晶體中的光子態(tài) 密度集中于雜質(zhì)層中，表現(xiàn)出較強(qiáng)的光局域效應(yīng)，如果把非線性介質(zhì)材料置于 雜質(zhì)層中能大幅度提高非線性過程的效率f 2 6 1 。還可以通過恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)晶體結(jié) 構(gòu)，實(shí)現(xiàn)非線性過程中的相位匹配，從而進(jìn)一步增強(qiáng)非線性效應(yīng)。 除此之外，光子晶體還可用來制造損耗極低的三維光子晶體天線1 2 7 1 、高偏 振度與透射率的二維光子晶體偏振片【2 引，綜合利用光子晶體的各種性能，還可 以廣泛應(yīng)用于光子開關(guān)、光子放大器和光子聚焦器等諸多方面。此外，如果用 金屬、半導(dǎo)體與低介電常數(shù)材料組成光子晶體及無序光予晶體，則都會(huì)因?yàn)槠?特殊結(jié)構(gòu)而產(chǎn)生一些特殊性質(zhì)，從而可以制造出一些新型光學(xué)器件。 總而言之，光子晶體的特性決定了其優(yōu)越的性能，因此它極有可能取代大 多數(shù)傳統(tǒng)的光學(xué)產(chǎn)品，其發(fā)展前景和即將對未來的電子工業(yè)和信息產(chǎn)業(yè)產(chǎn)生的 影響是不可限量的。 9 笫一章緒論 參考文獻(xiàn) 1 e y a b l o n o v i t c h ，p h y s r e v l e t t 1 9 8 7 ，5 8 ( 2 0 ) ：2 0 5 9 2 0 6 1 2 s j o h n ，p h y s r e v l e t t 1 9 8 7 ，5 8 ( 2 3 ) ：2 4 8 6 2 4 8 9 3 d em a r t i n if m a n d c c om ，m a t a l o n ipe t a l j o p t s o c a m b 1 9 9 3 ，1 0 ( 2 ) 3 6 0 一3 6 8 4 w c t 觚e t a l ，j 0 p t s o c a m a 1 9 9 8 ，1 5 ( 9 ) ：2 3 6 5 2 3 7 2 5 y s c h a ne t a l ，p h y s r e v l e t t 1 9 9 8 ，8 0 ( 5 ) ：9 5 6 9 5 9 6 李志遠(yuǎn)等，二維各向異性光子晶體完全帶隙的增寬，物理，1 9 9 9 ，2 8 ( 4 ) ： 1 9 3 一1 9 5 7 k m _ h o ，c 工c h a l l ，c m s o u k o u l i s p h y s r e v _ l e n 1 9 9 0 ，6 5 ( 2 5 ) ：3 1 5 2 3 1 5 5 8 e y a b l o n o v i t c h e t a l ，p h y s r e v l e t t 1 9 9 1 ，6 7 ( 1 7 ) ：2 2 5 9 2 2 6 2 9 y u _ a v l a s o v e 詛1 ，a p p l p h ”l 七t t 1 9 9 7 ，7 1 ( 1 2 ) ：1 6 1 6 1 6 1 8 1 0 金崇君等，手征材料構(gòu)成的簡立方光子晶體光子帶結(jié)構(gòu)計(jì)算平面波 法，光學(xué)學(xué)報(bào)，1 9 9 8 ，1 8 ( 1 ) ：1 1 8 一1 2 3 1 1 e 0 z b a ye t a l ，a p p l p h y s l e t t 1 9 9 4 ，6 4 ( 1 6 ) ：2 0 5 9 _ _ 2 0 6 1 1 2 j b p e n d r ye t a l ，p h y s r e v l c t t 1 9 9 2 ，6 9 ( 1 9 ) ：2 7 7 2 2 7 7 5 1 3 h y d y n g i e e et f 黜m i c m w a v e t h e o r yt e c h 。1 9 9 6 ，4 4 ：2 6 8 8 2 6 9 5 1 4 k s y e e m e e t r a l l s a i l t e 肋鷦p d o p a g 1 9 6 6 ，1 4 ：3 0 2 3 0 7 1 5 e y 曲l o n o v i t c h ，t j g m i 札e r r d m e a d e ，e t a l ，p h y s r e v l e 仕1 9 9 l ，6 7 ( ”) ： 3 3 8 0 3 3 8 3 1 6 m s i g a l a s ，c m s o u k o u l i s ，e n e c o n o m o u s 列，p h y s r e v b 1 9 9 3 ，4 8 ： 1 4 1 2 l 1 4 1 2 6 1 7 k m l e u n g j 0 p t s o c a m b 1 9 9 3 ，l o ：3 0 3 3 0 6 1 8 a m a r a d u d i n ， a r m c g 啪 j 0 p t s o c a m b 1 9 9 3 ，1 0 ：3 0 7 3 1 3 1 9 方俊鑫，陸棟，固體物理學(xué)( 下冊) ，上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1 9 9 3 2 0 y f i n k ，j n w i n n ，s f a n s c i e n c e 1 9 9 8 ，2 8 2 ：1 6 7 9 1 6 8 2 2 1 s f a ne t a l ， p h y s r e v l e t t 1 9 9 7 ，7 8 ( 1 7 ) ：3 2 9 4 3 2 9 7 1 0 箜二蘭絲堡 v i k o p p o p t l e t t 1 9 9 8 ，2 3 ( 2 1 ) ：1 7 0 7 一1 7 0 9 歐陽征標(biāo)，李景鎮(zhèn)，光子晶體的研究進(jìn)展，激光雜志，2 0 0 0 ，2 1 ( 2 ) ： 4 6 劉海山，歐陽征標(biāo)等，用于波分復(fù)用的光子晶體濾波器，光電子激光 2 0 0 2 ，1 3 ( 2 ) ：1 4 5 1 4 9 i a b d u l h a l i m j 0 p t a ：p u r ea p p l o p t 2 0 0 0 ，2 ：l 9 l 1 1 p e l l e g r i n iv ，c o l o m b e l l i r ，c a r u s o 們le t a l ，a p p l p h y s l e t t 1 9 9 9 ，7 4 ：1 9 4 5 b m w n er ，m cm a l l o no b a p p l p h y s l e t c i9 9 6 ，6 8 ：1 3 0 0 _ 一13 0 2 萬鈞，張淳等，光子晶體及其應(yīng)用，物理，1 9 9 9 ，2 8 ( 7 ) ：3 9 3 3 9 8 娩 拐 m 筋 拍 打 挫 第二章一維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)及特征 第二章一維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)及特征 2 1引言 光子晶體是一種折射率呈周期性變化的人工微結(jié)構(gòu)光學(xué)材料，其折射率的周 期性空間分布可以是一維、二維和三維的，其典型結(jié)構(gòu)為一個(gè)折射率周期變化的 三維物體。光子晶體的一維構(gòu)型存在著反映光子晶體典型特征的光子帶隙，光子 帶隙的存在使光子晶體具有極大的理論價(jià)值和潛在的應(yīng)用前景，因而成為理論研 究和探討的熱點(diǎn)之一。本章從一維光子晶體的基本周期結(jié)構(gòu)出發(fā)，著重討論一維 光子晶體的光子帶隙結(jié)構(gòu)及特征。 2 2 一維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu) 2 2 1 一維光子晶體的基本周期結(jié)構(gòu) 一維光子晶體是折射率在一個(gè)空間方向上呈周期性變化的分層介質(zhì)，在垂直 于介質(zhì)層的方向上，折射率是空間坐標(biāo)的一維周期性函數(shù)。一維光子晶體的基本 周期結(jié)構(gòu)可以是由兩種不同的折射率( n l ，n 2 ) 和不同厚度( a ，b ) 的各向同性介 質(zhì)薄層交替排列構(gòu)成的一維周期性結(jié)構(gòu)，每一層介質(zhì)在其他兩維空間方向上是均 勻分布的。如圖1 所示。折射率空間變化周期d = a + b ，周期d 為光波長量級。 一束單色光垂直于分層介質(zhì)表面入射到一維光子晶體中。設(shè)x 軸垂直于分層介質(zhì) 表面，則一維光子晶體的折射率分布可表示為： n ( x ) ： 一坂“： ( 1 ) j 一，口 x 口 n ( x + d ) = n ( x )( 2 ) 式( 1 ) 代表了一維光子晶體一個(gè)基本周期( n i a ，n 2 b ) 的折射率分布。 若一維光子晶體由n 個(gè)基本周期組成，則一維光子晶體可以看作是這樣的基本 周期重復(fù)n 次組成，正是由于這一結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可以進(jìn)一步討論一維光子晶體的 光子帶隙結(jié)構(gòu)及特征。 2 2 2 一維光子晶體的光子帶隙 設(shè)一維光子晶體的折射率只在x 方向上變化，在一個(gè)基本周期單元中， 折射率的變化是空間坐標(biāo)x 的實(shí)函數(shù)。折射率可以呈連續(xù)變化，也可以呈階躍 第二章一維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)及特征 式變化。 n 2 圖l一維光子晶體的周期性介質(zhì)結(jié)構(gòu) f i g 1t h ep e r i o d i cd i e l e c t r i cs t m c t u 他o f o n e d i m e n s i o n s a lp h o t o n i cc l y s t a l s 對于任何結(jié)構(gòu)的一個(gè)基本周期，定義一個(gè)復(fù)透射系數(shù)t 【1 l ： f = 工+ f l ，= r g ” ( 3 ) 式中，x 和y 分別表示復(fù)透射系數(shù)t 的實(shí)部和虛部，t 為入射光通過一 個(gè)基本周期單元的透射率：t = x 2 + y 2 ，o 是入射光通過一個(gè)基本周期單元后 的位相變化：中= 刪g ；。 光在一維光子晶體的一個(gè)基本周期單元中傳播遵守光波的h e h n h o l 乜方 程。在x 0 ，d 】間隔內(nèi)，光波的h e l m h o l t z 方程的一般解可以寫成左行波和 右行波的疊加，即 “+ ( x ) = 廠+ ( 工) e 2 “( 4 ) 式中的正負(fù)號分別表示右行波和左行波，k 表示波矢，+ ( z ) 是x 的實(shí)函數(shù)。 n ( x )n ( x ) 圖2光在一維光子晶體的一個(gè)周期中的傳播 f i g 2 t h ep r o p a g a t i o no f l i g h ti ns i n g l ep e r i o do f o m 司i 眥n s i o n s a lp h o t o n i c c 叮s t a l s 第二章一維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)及特征 考屣一維光于晶體一個(gè)基本刷別的折射翠呈彤r 歇式分布的情況，如圖2 ( a ) 所示。 假設(shè)一個(gè)單位振幅的入射光波從左邊垂直入射到一維光子晶體基本周期單 元中，設(shè)一個(gè)基本周期單元的透射系數(shù)和反射系數(shù)分別用t 和r 表示。將u 土寫 成列矢量形式e ： ，這時(shí)邊界條件為uc 。，= c 和uc d ，= ( 勻，在不考慮介 質(zhì)色散的情況下，圖2 ( a ) 所示過程可以表示為傳輸矩陣的形式，即 u ( o ) 2 mu ( d ) m 2 簟匐 應(yīng)用邊界條件可以得到：a _ l ，t c = r t 對于一個(gè)復(fù)數(shù)波e 。c p “，時(shí)間反演算符于的作用對應(yīng)著波的復(fù)共軛， 于( 面) = 苔，當(dāng)n ( ) ( ) 是x 的線性實(shí)函數(shù)時(shí)，這個(gè)過程在時(shí)間反演操作下是不變 的，產(chǎn)生了如圖2 ( b ) 所示的過程，因此有第二個(gè)邊界條件： ( 州三珊 從而得到b = r + t ，d = 1 ，t 這樣就可以得到一維光子晶體的一個(gè)基本周期單元的傳輸矩陣，其一般形式 為： m 鍛例 l ，fl r j 假設(shè)介質(zhì)無吸收，根據(jù)能量守恒，則r 和t 滿足盯+ 盯s l ，也就是說 d e t i m | - l ，即傳輸矩陣m 為單位模矩陣。傳輸矩陣m 的本征值方程為 f 1 r i ? + “1 ：o l r f l f + 一j 。 化簡上述方程可以得到 2 2 r e 1 f ) + l = 0 1 4 第二章一維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)及特征 式中r ef 1 t 表示1 t 的實(shí)部，兩個(gè)本征值滿足曠p 一= 1 若一維光子晶體的周期數(shù)n 趨于無窮大，這時(shí)周期性邊界條件為n ( x ) = n ( x 十d ) ，x ( 一。，+ o 。) ，這種結(jié)構(gòu)具有平移對稱性。設(shè)無限多個(gè)周期組成光子晶 體的b l o c h 波的本征函數(shù)為u b 。根據(jù)b l o c h 定理【2 】，b l o c h 函數(shù)從一個(gè)周期單 元傳播到下一個(gè)周期單元時(shí)，只有位相的變化而沒有振幅的變化。無限多周期 光子晶體中，每一個(gè)基本周期單元中的位相變化稱為b 1 0 c h 位相，用口表示。 由本征矢的定義可知，b 1 0 c h 本征函數(shù)滿足以下關(guān)系： m u b = 店u b = p + 妒u b 因此，b 1 0 c h 函數(shù)的本征值具有如下形式： 店= e 妒 將( 8 ) 式代入( 6 ) 式，可得 由上式解得 e + 2 壚一2 e 妒r e l t + 1 = o r e l ，t 2 c o s 口 這是一個(gè)非常有用的關(guān)系式，式中的口表示無限多個(gè)周期光子晶體的b l o c h 位相。 根據(jù)c a y l e y h 鋤i l t o n 定理【3 】 式和( 9 ) 式可得： m 2 2 m c o s 口+ i = o 每個(gè)矩陣都遵循自己的本征值方程，由( 6 ) ( 1 0 ) 上式中i 是單位矩陣。對于具有n 個(gè)周期單元的一維光子晶體，其傳輸矩 陣為m n 對于n = l ，m 1 = m ： 第二章一維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)及特征 對于n = 2 ，由( 1 0 ) 式可知，m 2 = 2 mc o s 一i ； 假設(shè)m ”2 五南 m s i n n 一i s i n ( n 1 ) 】 ( 1 1 ) 那么m n ”= m n m 2 擊 m 2 s i l l n 聲一m s i n ( n 一1 ) 】 2 志 2 m c 。s 刖r 】n 一i s 心一m ( s i l l n c 0 s 一c 。s n 腳n 蒯 。南【m s i n ( n + 1 ) 叫s 塒】 ( 1 2 ) 可見，( 1 1 ) 式與( 1 2 ) 式的形式完全相同，區(qū)別只在于n 變?yōu)閚 + 1 。 由上面的推證可知，( 1 1 ) 式對于任意的n 都是正確的。這樣具有n 個(gè)周期 單元的一維光子晶體的傳輸矩陣h 一就可通過單個(gè)基本周期的傳輸矩陣m ， 周期數(shù)n 及b l o c h 位相口確定。 設(shè)n 個(gè)周期單元一維光予晶體的透射系數(shù)為t n ，而m n 的一般形式可 以表示為： 蜊= 例 ， 心q | t n 、| t 1 ) 、： 將( 5 ) 式和( 1 3 ) 式代入( 1 1 ) 式，利用矩陣相等的性質(zhì)，可得： 巖醬一篇鏟的 f s i l l 盧s i n 、7 ：；嘗 ( 1 4 b ) “ r s i n 、 7 因?yàn)閠 n = h 1 2 ，同時(shí)滿足能量守恒，即| ，| 2 = 1 一盱或i p l t ，由 ( 1 4 b ) 式可得： 毒小罄肛 ， 式中t 為單個(gè)基本周期單元的透過率，t n 為n 個(gè)周期單元一維光子 晶體的透過率。從( 1 5 ) 式可以看出，有限周期一維光子晶體的透過率t n 與 1 6 第二章一維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)及特征 單個(gè)基本麗期的透過率t 、簡期數(shù)n 以及b l o c h 彼稽療有關(guān)。由( 1 5 ) 式 載可以進(jìn)一步討論蠢限周期一維光子晶體的繁黢結(jié)季哿。 方程( 1 5 ) 是具有任意空間折射率分布的有限周期一維光子晶體透過 率瓣普遮襲達(dá)式。獲( 1 5 ) 式霹淡番窶，當(dāng)n = m 茚，m 盹l ，2 ，n 1 ) 簿， s i 烈筘= o ，這時(shí)t n l 。也虢是說，在每令禁帶兩側(cè)的透射帶中，肖n