高中數(shù)學(xué)第3章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入3.1.1實(shí)數(shù)系3.1.2復(fù)數(shù)的引入第2課時(shí)復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)案新人教B版.docx

第2課時(shí)復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1理解復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸等概念2理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來表示復(fù)數(shù)以及它們之間的一一對應(yīng)關(guān)系(重點(diǎn))3理解復(fù)數(shù)模的概念，會(huì)求復(fù)數(shù)的模(難點(diǎn))通過對復(fù)數(shù)的幾何意義的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).一、復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的模1復(fù)平面(1)定義：建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面；(2)實(shí)軸：在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，單位是1，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；(3)虛軸：在復(fù)平面內(nèi)，y軸叫做虛軸，單位是i，除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)；(4)原點(diǎn)：原點(diǎn)(0,0)表示實(shí)數(shù)0.2復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR) 平面向量.為方便起見，我們常把復(fù)數(shù)zabi說成點(diǎn)Z或說成向量，并且規(guī)定，相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)3復(fù)數(shù)的模向量的長度叫做復(fù)數(shù)zabi的模，記作|z|或|abi|，且|abi|.二、共軛復(fù)數(shù)1定義如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)2表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示，即當(dāng)zabi(a，bR)時(shí)，則abi.1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上()(2)復(fù)數(shù)的模一定是正實(shí)數(shù)()(3)復(fù)數(shù)z1z2的充要條件是|z1|z2|.()解析(1)正確根據(jù)實(shí)軸的定義，x軸叫實(shí)軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，反過來，實(shí)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)都在實(shí)軸上，如實(shí)軸上的點(diǎn)(2,0)表示實(shí)數(shù)2.(2)錯(cuò)誤復(fù)數(shù)的模一定是實(shí)數(shù)但不一定是正實(shí)數(shù)，如：0也是復(fù)數(shù)，它的模為0不是正實(shí)數(shù)(3)錯(cuò)誤兩個(gè)復(fù)數(shù)不一定能比較大小，但兩個(gè)復(fù)數(shù)的?？偰鼙容^大小答案(1)(2)(3)2復(fù)數(shù)zcos isin (i為虛數(shù)單位)其中，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析，cos 0且sin 0，該復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面上第三象限答案C3若x2yi和3xi互為共軛復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)x與y的值分別是_，_.解析x2yi和3xi互為共軛復(fù)數(shù)，解得答案11復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的關(guān)系【例1】已知復(fù)數(shù)z(a21)(2a1)i，其中aR.當(dāng)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)滿足下列條件時(shí)，求a的值(或取值范圍)(1)在實(shí)軸上；(2)在第三象限；(3)在拋物線y24x上思路探究解答本題可先確定復(fù)數(shù)z的實(shí)部、虛部，再根據(jù)要求列出關(guān)于a的方程(組)或不等式(組)求解解復(fù)數(shù)z(a21)(2a1)i的實(shí)部為a21，虛部為2a1，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(a21,2a1)(1)若z對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，則有2a10，解得a.(2)若z對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則有解得1a.(3)若z對應(yīng)的點(diǎn)在拋物線y24x上，則有(2a1)24(a21)，即4a24a14a24，解得a.復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系.每一個(gè)復(fù)數(shù)都對應(yīng)著一個(gè)有序?qū)崝?shù)對，復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部分別對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，從而討論復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的位置，關(guān)鍵是確定復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部，由條件列出相應(yīng)的方程(或不等式)組.1在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z(m2m2)(m23m2)i對應(yīng)點(diǎn)：(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在直線yx上，分別求實(shí)數(shù)m的值或取值范圍解復(fù)數(shù)z(m2m2)(m23m2)i的實(shí)部為m2m2，虛部為m23m2.(1)由題意得m2m20，解得m2或m1.(2)由題意得1m1.(3)由已知得m2m2m23m2，m2.復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)關(guān)系【例2】已知平面直角坐標(biāo)系中O是原點(diǎn)，向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為23i，32i，求向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)思路探究解向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為23i，32i，根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)，可得向量(2，3)，(3,2)由向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算可得向量(23，32)(5，5)，根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)，可得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是55i.1根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系，可知當(dāng)平面向量的起點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，向量的終點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)反之，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)確定后，從原點(diǎn)引出的指向該點(diǎn)的有向線段，即為復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量2解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對應(yīng)的題目時(shí)，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)為工具，實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的轉(zhuǎn)化2在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i.(1)如果點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，求向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)如果(1)中的點(diǎn)B關(guān)于虛軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，求點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)解(1)設(shè)向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1x1y1i(x1，y1R)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x1，y1)，由題意可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1)根據(jù)對稱性可知：x12，y11，故z12i.(2)設(shè)點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2x2y2i(x2，y2R)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x2，y2)，由對稱性可知：x22，y21，故z22i.復(fù)數(shù)模的幾何意義及應(yīng)用探究問題1若zC，則滿足|z|2的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？提示因?yàn)閨z|2，即|2，所以滿足|z|2的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，如圖所示2若zC，則滿足2|z|3的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？提示不等式2|z|2的解集是圓|z|2外部所有的點(diǎn)組成的集合，不等式|z|3的解集是圓|z|3內(nèi)部所有的點(diǎn)組成的集合，這兩個(gè)集合的交集就是上述不等式組的解集因此，滿足條件2|z|3的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心、分別以2和3為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界，如圖所示【例3】已知復(fù)數(shù)z1i，z2i.(1)求|z1|與|z2|的值，并比較它們的大??；(2)設(shè)復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足|z2|z|z1|，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么？思路探究(1)利用復(fù)數(shù)模的定義來求解若zabi(a，bR)，則|z|.(2)先確定|z|的范圍，再確定點(diǎn)Z滿足的條件，從而確定點(diǎn)Z的圖形解(1)|z1|2.|z2|1.21，|z1|z2|.(2)由(1)知|z2|z|z1|，則1|z|2.因?yàn)椴坏仁絴z|1的解集是圓|z|1上和該圓外部所有點(diǎn)的集合，不等式|z|2的解集是圓|z|2上和該圓的內(nèi)部所有點(diǎn)組成的集合，所以滿足條件1|z|2的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，且包括圓環(huán)的邊界1兩個(gè)復(fù)數(shù)不全為實(shí)數(shù)時(shí)不能比較大??；而任意兩個(gè)復(fù)數(shù)的模均可比較大小2復(fù)數(shù)模的意義是表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，這可以類比實(shí)數(shù)的絕對值，也可以類比以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量的模來加深理解3|z1z2|表示點(diǎn)Z1，Z2兩點(diǎn)間的距離，|z|r表示以原點(diǎn)為圓心，以r為半徑的圓3如果復(fù)數(shù)z1ai滿足條件|z|2，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析由|z|2知，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界)，由z1ai知z對應(yīng)的點(diǎn)在直線x1上，所以線段AB(除去端點(diǎn))為動(dòng)點(diǎn)Z的集合，由圖可知a.答案(， )1在復(fù)平面內(nèi)，若(0，5)，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A0B5C5iD5解析對應(yīng)的復(fù)數(shù)z05i5i.答案C2在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zsin 2icos 2對應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析20，cos 20.故zsin 2icos 2對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限答案D3已知復(fù)數(shù)z3i，則復(fù)數(shù)的模|z|是()A5