油管鋪設問題.doc

1 問題重述某油田計劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站，用來運送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設計院希望建立管線建設費用最省的一般數(shù)學模型與方法。1. 針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出你的設計方案。在方案設計時，若有共用管線，應考慮共用管線費用與非共用管線費用相同或不同的情形。2. 設計院目前需對一更為復雜的情形進行具體的設計。兩煉油廠的具體位置由附圖所示，其中A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），B廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），兩個區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。 若所有管線的鋪設費用均為每千米9.4萬元。 鋪設在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用，為對此項附加費用進行估計，聘請三家工程咨詢公司（其中公司一具有甲級資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級資質(zhì)）進行了估算。估算結(jié)果如下表所示：工程咨詢公司公司一公司二公司三 附加費用（萬元/千米）313628請為設計院給出管線布置方案及相應的費用。3. 在該實際問題中，為進一步節(jié)省費用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應的油管。這時的管線鋪設費用將分別降為輸送A廠成品油的每千米10.2萬元，輸送B廠成品油的每千米12.0萬元，共用管線費用為每千米15.7萬元，拆遷等附加費用同上。請給出管線最佳布置方案及相應的費用。2 問題分析問題一：因為兩煉油廠見的距離及到鐵路線的距離不確定，假設兩煉油廠的位置，又因為可能存在共用管線，所以模型的建立分為管線共線和非共線。在共線情況下，又分為共用管線和非共用管線的價格相同與不同兩種情況。最后通過相似三角形、導數(shù)、偏導數(shù)方法求極值解答出動點P在什么位置時所需要的費用最低。問題二：煉油廠位置確定，A、B煉油廠分在不同的區(qū)域，輸油管的鋪設情況不同。鋪設城區(qū)管線時需要增加拆遷和工廠補償?shù)雀郊淤M用，根據(jù)題目信息分析三家咨詢公司，哪家公司價格估算權(quán)重大和本工程應該有的技術(shù)要求的考慮，選出符合要求的一家咨詢公司。因為共用管線和非共用管線價格相同，即P1=P2時，代入問題一的三種不同情況，根據(jù)已知條件列出方程式，利用偏導得出管線費用最少時的設計。問題三：A、B兩煉油廠分別采用不同費用的管線，根據(jù)光的折射定理，及問題一、問題二的模型結(jié)果，列出方程式，利用偏導得出管線費用最少時的設計。3 問題假設1、 所有鐵路均為一條直線，不考慮曲線等其他地形情況。2、 加入車站正好落在郊區(qū)和城區(qū)線上，按郊區(qū)計算。3、 不考慮施工工藝對管道鋪設的影響。4、 相同資質(zhì)的工程咨詢公司在估價中權(quán)重相等，且忽略聘請公司等費用。5、 車站和煉油廠均視為質(zhì)點，兩煉油廠分別為點A、點B，車站為點C，共用管線和非共用管線的節(jié)點為點E。4 符號說明符號名稱單位含義akmA煉油廠到鐵路線的垂直距離bkmB煉油廠到鐵路線的垂直距離ckmA煉油廠到城郊交界線的水平距離lkmA、B煉油廠的水平距離M萬元/km管線建設總費用m萬元/km城區(qū)鋪設管線所需得拆遷附加費用P1萬元/km非共用管線的單價P2萬元/km共用管線的單價PA萬元/kmA管線鋪設價格PB萬元/kmB管線鋪設價格xkm坐標系中車站C距原點的距離ykm坐標系中共用管線和非共用管線的交匯點E到鐵路線的垂直距離zkm城郊交界線上管線的轉(zhuǎn)折點到鐵道線得垂直距離5 模型的建立與求解模型一：不考慮城郊區(qū)域劃分的管道鋪設的最省費用：先考慮管線非共線的情況：以鐵路線為x軸，A煉油廠到鐵路線的垂直方向為y軸，交點為原點，建立直角坐標系。A到原點的距離為a，B到x軸和y軸的距離分別為b和 l。設車站點C的坐標為（x，0）A（0，a）B（l，b）C（x，0）YX0AC=x2+a2 ，BC=b2+l-x2管道建設總費用為 M=P1AC+BC=P1x2+a2+b2+l-x2求偏導數(shù)得Mx=P1xx2+a2+P1(x-l)b2+l-x2當偏導數(shù)等于0時，x=ala+b再考慮管線共線的情況：A（0，a）B（l，b）C（x，0）YXE（x，y）0AE=x2+（y-a）2，BE=（l-x）2+（b-y）2，CE=y若非共用管線和共用管線的價格相同，即P1=P2時：管線建設總費用M=P1AE+BE+P2CE=P1（AE+BE+CE）=P1x2+（y-a）2+（l-x）2+（b-y）2+y （圖像見附件1.2）求偏導數(shù)得Mx=P1xx2+（y-a）2+P1(x-c)（l-x）2+（b-y）2 My=P1(y-a)x2+（y-a）2+P1(y-b)（l-x）2+（b-y）2+P1當偏導數(shù)等于0時，x=l2+3(a-b)2y=a+b2-3l6若非共用管線和共用管線得價格不相同時：管線建設總費用M=P1AE+BE+P2CE =P1x2+（y-a）2+（l-x）2+（b-y）2+P2y （圖像見附件1.3）求偏導數(shù)得Mx=P1xx2+（y-a)2+P1(x-l)(l-x)2+(b-y)2 My=P1(a-y)x2+(y-a)2+P1(b-y)(l-x)2+(b-y)2+P2當偏導數(shù)等于0時，x=l2+a-b24P12-P22P2y=a+b2-l2P24P12-P22模型二：劃分郊區(qū)和城區(qū)時的管道鋪設最省費用A、B兩煉油廠位置確定，分別在郊區(qū)和城區(qū)，由于鋪設在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用，應對附加費用進行評估，根據(jù)甲級和乙級資質(zhì)公司特點和準確率（見參考文獻），選用加權(quán)平均的算法計算這個工程需要的附加費用：工程咨詢公司公司一公司二公司三 附加費用（萬元/千米）313628m=m1+m2+m3+=0.8*31+0.2*36+0.2*280.8+0.2+0.2=31.3(萬元/千米）根據(jù)題目要求，PA=PB=P1=P2=9.4萬元/千米，設管線在城區(qū)和郊區(qū)的結(jié)點為點D（c，z）。當車站和管線結(jié)點在郊區(qū)的時候：先考慮只有非共線管道的情況：A（0，a）B（l，b）C（x，0）YX0D（c，z）M=PAAC+PBCD+PB+mBD=P1a2+x2+c-x2+z2+l-c2+b-z2+ ml-c2+b-z2 =9.425+x2+15-x2+z2+25+8-z2+31.325+8-z2 求偏導數(shù)得Mx=P1a2+x2+P1（x-c)(c-x)2+z2 Mz=P1c-x2+z2+P1(z-b)(l-c)2+(b-z)2+m(z-b)(l-c)2+(b-z)2當偏導數(shù)等于0時，再考慮存在共線管道的情況：A（0，a）B（l，b）C（x，0）YX0D（c，z）E（x，y）M=PAAE+PBDE+PB+mBD+P2CE=P1a-y2+x2+c-x2+z-y2+l-c2+b-z2+y+ ml-c2+b-z2 （圖像見附件1.4）=9.45-y2+x2+15-x2+z-y2+25+8-z2+y+ 31.325+8-z2 求偏導數(shù)得Mx=P1x(a-y)2+x2+P1（x-c)(c-x)2+(z-y)2 My=P1(y-a)a-y2+x2+P1（y-z)(c-x)2+(z-y)2+1Mz=P1(z-y)(c-x)2+(z-y)2+(P1+m)(z-b)(l-c)2+(b-z)2當偏導數(shù)等于0時，當車站和管線結(jié)點在城區(qū)的時候：存在只有非共線管道的情況：A（0，a）B（l，b）C（x，0）YX0D（c，z）和存在共線管線的情況：A（0，a）B（l，b）C（x，0）YX0D（c，z）E（x，y）因為要考慮城區(qū)管線的附加費用，車站和管線結(jié)點在城區(qū)時的總費用M顯然比在郊區(qū)時要多，所以對以上兩種情況不做詳細分析。模型三：實際情況下A、B管線的費用不同，求最省費用由于生產(chǎn)能力的不同，A、B兩煉油廠所選擇的油管種類也不同，A廠選擇的管線單價為PA=10.2萬元/km，B廠選擇的管線單價為PB=12.0萬元/km，共用管線單價為P2=15.7萬元/km，城區(qū)附加費用不變，為m=31.3萬元/km。先考慮非共用管線的情況：A（0，a）B（l，b）C（x，0）YX0D（c，z）M=PAAC+PBCD+PB+mBD=PAa2+x2+PBc-x2+z2+l-c2+b-z2+ ml-c2+b-z2 =10.225+x2+1215-x2+z2+25+8-z2+ 31.325+8-z2 求偏導數(shù)得Mx=PAxa2+x2+PB(x-c)c-x2+z2 Mz=PBc-x2+z2+PB(z-b)l-c2+b-z2+ m(z-b)l-c2+b-z2 當偏導數(shù)等于0時，再考慮共用管線的情況：A（0，a）B（l，b）C（x，0）YX0D（c，z）E（x，y）M=PAAE+PBDE+PB+mBD+P2CE=PAa-y2+x2+PBc-x2+z-y2+l-c2+b-z2+ ml-c2+b-z2+P2y =10.25-y2+x2+1215-x2+z-y2+25+8-z2+ 31.325+8-z2+15.7y 求偏導數(shù)得Mx=PAx(a-y)2+x2+PB(x-c)(c-x)2+(z-y)2 My=PA(y-a)(a-y)2+x2+PB(y-z)c-x2+z-y2+P2Mz=PB(z-y)c-x2+z-y2+(PB+m)(z-b)l-c2+b-z2當偏導數(shù)等于0時，6 模型的評價和優(yōu)化對于模型二在存在共用管線得情況下，可對模型進行優(yōu)化：A（0，a）B（l，b）C（x，0）YXE（x，y）0A（0，2y-a）相當于每有一個y，都有一個最