結構分析法在解題中的應用研究畢業(yè)論文

- I - 結構分析法在解題中的應用研究 摘 要 結構分析法是指從分析題目的結構出發(fā)，運用所學知識去改變式子的原有結構，通過對結構式的不斷轉(zhuǎn)化來實現(xiàn)解題的一種方法。本文在了解了什么是結構分析法的基礎上，介紹了結構分析法的特征性、差異性、層次性。 從常用的 一些結構式分析入手，結合數(shù)學問題的基本結構，設計例題，引導學生用結構分析法解決數(shù)學問題，最終熟練應用此方法。同時本文對結構分析法進行了擴展：利用結構分析法建立數(shù)學模型以及用其教幾何定理。本文在 最后對結構分析法進行了總結。 關鍵詞 ： 結構分析法；數(shù)學問題；解答- II - 目 錄 摘 要 . I 引 言 . 1 1 研究價值 . 2 1.1 研究背景 . 2 1.2 研究問題 . 2 1.3 研究目的及意義 . 2 2 什么是結構分析法 . 3 2.1 結構分析法的基本內(nèi)涵及分類 . 3 2.2 結構的思想與方法 . 3 2.3 數(shù)學問題的基本結構 . 3 3 結構分析法的應用 . 5 3.1 利用結構分析法的特征性解題 . 5 3.1.1 位置特征的分析 . 5 3.1.2 結構特征的分析 . 5 3.1.3 數(shù)值特征的分析 . 6 3.2 利用結構分析法的差異性解題 . 7 3.3 利用結構分析法的層次性解題 . 8 4 結構分析法的擴展 . 11 4.1 利用結構分析法建立數(shù)學模型 . 11 4.2 利用結構分析法教幾何定理 . 11 5 進一步思考 . 12 5.1 何時應用結構分析法 . 12 5.2 應用時的注意事項 . 12 結 論 . 13 參考文獻 . 14 致 謝 . 15 昌吉學院 2013屆本科畢業(yè)論 文（設計 ） 1 引 言 解數(shù)學題是學生鞏固和加深對數(shù)學知識的理解，通過運用知識形成熟練技巧的過程，也是培養(yǎng)能力的基本實踐活動之一。 解 數(shù)學題需要具有一定的分析問題、解決問題的能力。目前情況下，能夠獨立解數(shù)學題的學生是不多的。如果我們能夠把結構分析的方法交給學生，引導學生從題的結構入手去解數(shù)學題，便能廣開思路，啟發(fā)學生積極思考，達到開發(fā)智力、舉一反三，進而培養(yǎng)學生發(fā)散性思維的能力。 數(shù)學題中的聯(lián)系是客觀的，但結構卻可以是人為的，即可以根據(jù)解題的需要從不同的角度來揭示數(shù)學題的結構。這種結構的特征性、差異性和層次性使我們可以從不同的角度運用不同的方法去解決同一個數(shù)學問題。 結構是指各個組成部分的搭配和排列。結構分析法是指從分析題目的結構出發(fā)，運用所學知識去改變式子的原有結構，通過對結構式的不斷轉(zhuǎn)化來實現(xiàn)解題的一種方法。在解題過程中利用結構分析法既可以幫助學生鞏固知識、培養(yǎng)能力、掌握解題方法，又可以減輕學生的學習負擔。 結構分析法在解題中的應用研究 2 1 研究價值 1.1 研究背景 結構分析法是數(shù)學解題中的重要方法。切實減輕學生不必要的負擔，提高學生數(shù)學問題解決的能力，同時培養(yǎng)學生發(fā)散思維，擺脫傳統(tǒng)思維模式的束縛。 1.2 研究問題 根據(jù)數(shù)學結構的思想與方法，我們在解決數(shù)學問題時可以用結構分析的方法來解決問題，從而為數(shù)學問題的解決以及在課堂教學中如何指導、培養(yǎng)學生解決數(shù)學問題的能力 ，為培養(yǎng)學生的發(fā)散思維開辟了一條嶄新的途徑。 1.3 研究目的及意義 要使數(shù)學學習取得較好的效果，科學的方法對培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力，提高教學效率，有著十分積極的作用。結構分析法是數(shù)學解題中的重要方法， 用結構分析法解題的實質(zhì)，就是在理解所給題目的基礎上，根據(jù)解題需要，充分探尋各量及其之間的內(nèi)在聯(lián)系，使問題分化，規(guī)律明顯。訓練學生用結構分析法解題，可以培養(yǎng)學生從多個側面、不同層次深入研究問題的思維品質(zhì)，有益于讓學生的思維模式變成發(fā)散模式。 數(shù)學中有著千變?nèi)f化的問題需要解決，這使得結構分析法在數(shù)學解題具有相當普 遍的意義。本文從常用的一些結構式分析入手，對結構分析法進行探究。 通過對結構分析法的概述，讓學生了解該方法在解題中的優(yōu)勢。再 從常用的 一些結構式分析入手，設計例題，引導學生用結構分析法解決數(shù)學問題，最終熟練應用此方法。 昌吉學院 2013屆本科畢業(yè)論 文（設計 ） 3 2 什么是結構分析法 把所要研究的問題視為元素及其關系的總和，便是一個系統(tǒng)，元素構成的系統(tǒng)，其功能既決定于元素的性質(zhì)又決定于元素之間的關系。元素之間特定的聯(lián)系方式叫做結構，系統(tǒng)的特點是由元素和結構共同決定的。從系統(tǒng)結構分析入手來研究解決問題的方法，叫做結構分析法 1。 2.1 結構分析法的基本內(nèi)涵及分類 所謂結構分析法就是指從分析題目的結構出發(fā)，運用所學知識去改變式子的原有結構，通過對結構式的不斷轉(zhuǎn)化來實現(xiàn)解題的一種方法。根據(jù)它的性質(zhì)，我們可將其歸納為三大類：結構分析法的特征性、差異性以及層次性。其中結構分析法的特征性又可劃分為三部分：位置特征、結構特征以及數(shù)值特征。這使得在解題中要根據(jù)題意，選擇相適應的性質(zhì)去解決問題。 2.2 結構的思想與方法 任何一個數(shù)學問題都是一個有機的數(shù)學小系統(tǒng)，這個小系統(tǒng)是由問題中的元素及其結構所決定的，并且這些結構都是相互聯(lián)系的。數(shù)學 結構決定著解題的方法，數(shù)學結構蘊含著解題方法，數(shù)學結構提示著解題方法：數(shù)學結構的多樣性決定著解題方法的多樣性；數(shù)學結構的特殊性決定著解題方法的特殊性。這就是結構的思想和方法的基本內(nèi)涵。根據(jù)數(shù)學結構的思想與方法，我們在解決數(shù)學問題時可以用結構分析的方法來尋找問題解決的方法，從而為數(shù)學問題的解決以及在課堂教學中如何指導、培養(yǎng)學生解決數(shù)學問題的能力，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維開辟了一條嶄新的途徑。 2.3 數(shù)學問題的基本結構 所謂數(shù)學結構就是指組成數(shù)學問題的各個組成部分的搭配形式及其聯(lián)系。根據(jù)數(shù)學的研究對象，我們可以把數(shù) 學結構分為代數(shù)結構（數(shù)的特征）、幾何結構（形的特征） 以及數(shù)形結構（數(shù)形結合的特征）；另外根據(jù)在數(shù)學問題中數(shù)學結構呈現(xiàn)的明顯與否，可分為顯結構與隱結構（或抽象結構與直觀結構）；根據(jù)繁簡還可分為復雜結構與簡單結構；又從命題的構成角度還可分為條件結構與結論結構等等 2。 把一道數(shù)學綜合題看作一個復雜系統(tǒng)，簡稱大系統(tǒng)。在數(shù)學綜合題中，一般存在著若干個數(shù)學過程，把一個過程視為一個子系統(tǒng)，每個數(shù)學過程中的各種都可看作系統(tǒng)的元素，各種以及各個數(shù)學過程之間的特定聯(lián)系方式就是數(shù)學綜合題的結構。對于較為復雜的數(shù)學綜合題，則 需從幾個層次去研究它的結構。第一個層次的結構是跟據(jù)解題需要結構分析法在解題中的應用研究 4 而確定的子系統(tǒng)，以及每一個子系統(tǒng)因需要而選取的主要元素之間特定的聯(lián)系方式和作用，這個層次的結構給出了解題所需的一些量及相互關系。第二個層次的結構是根據(jù)解題需要而描述的各子系統(tǒng)之間的聯(lián)系和作用，這個層次的結構給出了不同數(shù)學過程所遵循的法則和規(guī)律，從而打開從已知到未知、從題設到結論的通道。 昌吉學院 2013屆本科畢業(yè)論 文（設計 ） 5 3 結構分析法的應用 3.1 利用結構分析法的特征性解題 3.1.1 位置特征的分析 利用所給題目中式子中元素的 位置特征，聯(lián)系其性質(zhì)，從而找到解題的捷徑。 例 1 已知 1a 07 b ，則 ba 的值是多少 ? 結構分析易看出此式子為加式，加數(shù)分別是絕對值、根式， a 、 b 又為加數(shù)的組成部分，且整個式子所得和為零。 利用式子位置上的特征，可知和為零，分兩種情況：兩加數(shù)互為相反 數(shù)兩加數(shù)都為零。又根據(jù)絕對值和根式的性質(zhì)，可知都是大于或等于零的，即第二種情況。因此題目中兩加數(shù)都為零，即 07,01 ba 7,1 ba 6)7(1 ba 傳統(tǒng)的思維模式大多以“去絕對值、去根號”著手解決問題，逐步計算出 a 與 b 的值，最終求得 ba 的值。而運用結構分析法，發(fā)散思維、分析題意、發(fā)現(xiàn)其位置的特征性，使問題簡化，使所要計算的式子更為簡單，不易出錯。 3.1.2 結構特征的分析 利用題目中式子結構上的特征，去改變題目原有結構，從而達到簡便解題的效果。 分式問題是一類常見的問題。若是化簡題，一般是運用所學知識對分子分母分別作出處理，產(chǎn)生公因式后再約去；若是證明題一般采用對角相乘，等價轉(zhuǎn)化為整式后再處理。不過證明題也可以對左、右兩邊進行化簡處理 3。 例 2 化簡 2co s2sin1 2co s2sin1 結構分析觀察問題中的“ 2sin1 、 2cos1 、 2sin 2cos ” 這些重要且常用的變形格式，利用這些式子結構上的特征，去改變題目原有結構。 方法一： 原式 = c o ss in2c o s2 c o ss in2s in2 22 =cossin 結構分析法在解題中的應用研究 6 = tan 方法二： 分子分母同時乘以 )2c o s2(s in1 得 原式 = 2c o s2s in2 2c o s22c o s22 =2sin 2cos1 = tan 傳統(tǒng)的思維模式，對于方法一的解答過程較為熟練。但此方法的運用是在熟記二倍角公式的基礎上。對于方法二，則是運用結構分析法，發(fā)散思維后發(fā)現(xiàn)其結構特征：分母可看作“平方差”的一部分，將分母“湊”成“平方差”形式后，發(fā)現(xiàn)此時分子與分母的次數(shù)相同，且有相同因子。因此可直接約分，使問題簡化。 3.1.3 數(shù)值特征的分析 數(shù)值特征就是通過分析題意，找出命 題中的數(shù)值的特征，運用數(shù)學手段：抽象思維和邏輯推理，從而達到問題的解決。 例 3 甲、乙兩人共有 260 本書，其中甲的書有 13% 是專業(yè)書，乙的書有 12.5% 是專業(yè)書，問甲有多少本非專業(yè)書？ 結構分析：甲的書中，專業(yè)書占10013%13 乙的書中，專業(yè)書占81100 5.12%5.12 由數(shù)值的特性，甲的專業(yè)書占10013，此分數(shù)是不可約的，故甲的書的總數(shù)是 100 的倍數(shù)，即 100 或 200 。同理，乙的書的總數(shù)能夠被 8 整除。 因此，如果甲有 200 本書，則乙有 60 本， 60 不能被 8 整除，不合題意。可 得甲有書應為 100 本。 所求甲的非專業(yè)書： 8713%)-(1100 本 例 4 2003!3!2!1! 的個位數(shù)是？ 結構分析易知從 !5 到 !2003 ，由數(shù)值的特征性，每個數(shù)字里面既有因子 2 ，也有因子 5 ，尾數(shù)必然為 0 。 故考慮原式的個位數(shù)，只需考慮 4!3!2!1! 的尾數(shù)即可。 易得個位數(shù)為 3 4621 昌吉學院 2013屆本科畢業(yè)論 文（設計 ） 7 傳統(tǒng)的思維模式對于例 3 來說，所給條件不足，無法找出相應的等量關系，無從下手；而例 4 則是數(shù)值過大，用傳統(tǒng)方法不宜求解。而運用結構分析法，發(fā)散思維，可發(fā)現(xiàn)其數(shù)值的特征性，簡化問題。 3.2 利用結構分析法的差異性解題 差異分析法是通過分析條件與結論之間的異同點，并不斷減少差異 (目標差 ) 來完成解題的方法 4。差異分析法，可以從函數(shù)名上的差異入手，可以從字母上的差異 入手，也可以從結構上的差異入手。下面著重從結構上的差異入手。從結構上入手，可以分“局部結構、整體結構和等價形式”等多種情況。 例 5 已知 000 cba ， ，求證： abba 22 bccb 22 acca 22 結構分析 1 從字母上的差異入手 觀察得“左 邊有 b ，右邊無 b ”，并且發(fā)現(xiàn)消除左邊的 b 比較困難。若簡單地取 0b ，顯然不行（左邊是變大還是變小無法確定）。 2 去掉根號 從式子局部看，要去掉三個根號，必須把左邊根號里的式子適當縮小后湊成完全平方的形式，右邊根號里的式子適當放大后湊成完全平方的形式，但發(fā)現(xiàn)這樣做很難解決問題。 從式子整體看， 可采用兩邊平方的辦法去掉根號，根據(jù)題目中的等價形式來設法解決該題。作以下嘗試：因兩邊非負，平方后不改變不等號的方向。 acbbcabbccbabba 22222 2)(2 (1) 若右式 0 ，則 （ 1） 式成立 若右式 0 ，則（ 1）式兩邊平方得等價形式 222222222 222333 a b ccabbcacacbba (2) （ 2） 式等價于 0)()()( 222222222 bcacacabbcabcacbba (3) （ 3） 式顯然成立 此法是利用式子的等價形式，轉(zhuǎn)化為新的目標差，再逐步消除新的目標差。 3 看形式能否與距離公式聯(lián)系起來 abba 22 =43)2(22 bba ，設 )0,(aA ， )23,2(1 bbB 結構分析法在解題中的應用研究 8 bccb 22 =43)2(22 ccb ，設 )0,(2 bB ， )23,2( ccC acca 22 43)2(22 cca ，即 )0,(aA 、 )23,2( ccC兩點間的距離 于是，原題就轉(zhuǎn)化為證明： ACCBAB 21 此式容易聯(lián)想到三角形兩邊之和大于第三邊，但距目標還有差異，因為 1B 、 2B 并非同一點。如何消除這種差異 ? 1B 、 2B 中取一點作嘗試。 ACCBAB 11 （或 ACCBAB 22 ） 如果能夠說明 CBCB 12 或 21 ABAB 中的一種情況成立，那么問題就徹底解決。 顯然， 2AB 2)( ba abba 222 122 ABabba 成立。 當然，同理可說明 CBCB 12 成立。 這種方法滲透了重要的數(shù)形結合思想。 以上例子說明了這樣一個觀點，從結構分析法的差異性入手時，可以從局部結構出發(fā)，也可以從整體結構出發(fā)，證明題也并非一定是從左到右進行，可以用它的等價形式，一次次轉(zhuǎn)化為新的目標差，最后消除目標差，而且這個等價轉(zhuǎn)化可以是代數(shù)與代數(shù)間的轉(zhuǎn)化， 也可以是代數(shù)與幾何之間的等價轉(zhuǎn)化。 應用結構分析法的差異性時，要仔細觀察、分析所給條件與結論之間的目標差。有時不易被發(fā)現(xiàn)，這樣一來誰都無法快速解決。因此只有靠教學活動中不斷探究、不斷嘗試、不斷積累經(jīng)驗來加以完善 5。 3.3 利用結構分析法的層次性解題 用結構分析法解數(shù)學綜合題的思想基礎是觀察、分析與聯(lián)想。其物質(zhì)基礎是各種元素之間的聯(lián)系，它們組合成千變?nèi)f化的數(shù)學綜合問題，需要我們?nèi)ソ鉀Q，這使得結構分析法在數(shù)學解題中具有相當普遍的意義。目標 準則 方案，運用層次分析法聯(lián)系一般材料。從是什么、為什么、怎么樣 （影響、作用、意義等）、怎么辦（對策、措施）入手。有時也通過與幾何構型相結合，利用空間想象能力解決問題。 例 66 ABC 中， 60A ，最大邊和最小邊的長分別是 032273 2 xx 的兩根，求 ABC 的內(nèi)切圓的面積。 結構分析如圖 3-1，此問題的待求是 ABC 內(nèi)切圓的面積 S ，由于 S 與內(nèi)切圓半徑 r 直接相關，而 r 又聯(lián)系著 ABC 的邊長，因此取下列數(shù)學過程及這些過程中作為系統(tǒng)要素的各個之間的關系為本題第一個層次的結構： 昌吉學院 2013屆本科畢業(yè)論 文（設計 ） 9 圖 3-1 1 ABC 中， 60A ，最大邊和最小邊的長分別是 032273 2 xx 的兩根，求ABC 的周長。 在這個過程中，需要關注 ABC 的邊長與方程 032273 2 xx 的根的關系。為此選擇子系統(tǒng)的要素為： A ， ABC 的邊 AB 、 BC 及周長 P ， 方程 032273 2 xx 的兩根 1x 、 2x 。 因為 60A ，所以 A 的對邊 BC 不是最大邊也不是最小邊，由題設和余弦定理，有： 1xAB 、 2xBC （ 1） BCACABP （ 2） AABACABACBC c o s2222 （ 3） 2 已知三角形的周長，求內(nèi)切圓的面積。 這個過程中，選取 ABC 的周長 P ， ABC 的面積ABCS和AOBS，AOCS，BOCS和內(nèi)切圓半徑 r 作為子系統(tǒng)的要素。其關系有： B O CA O CA O BA B C SSSS （ 4） rABS AOB 21 （ 5） rACS AOC 21 （ 6） rBCS BOC 21 （ 7） 本題第二個層次的結構是不同子系統(tǒng)之間縱、橫聯(lián)系的溝 通，由此從已知量引向待求量 ： 由（ 1）聯(lián)想到韋達定理有 ： 9327 ABAC （ 8） 結構分析法在解題中的應用研究 10 332 ABAC （ 9） 將 （ 8） 、 （ 9） 代入 （ 3） ： 4932813)( 22 ACABABACBC , 即 7BC 。將 7BC 代入 （ 5） 結合（ 8）得 1679 P 由 （ 4） 、 （ 5） 、 （ 6） 、 （ 7） 得： ABCS= rBCACAB )(21 rrP 821 而ABCS 60s in21 ACAB 2133223 338 3388 r，即33r 故 ABC 內(nèi)切圓的面積3)33( 2 S 一個系統(tǒng)的結構是由觀察者的需要來確定的，因而我們有可能從不同側面以不同觀點來揭示系統(tǒng)的結構，從而尋求多種解 決問題的途徑。 昌吉學院 2013屆本科畢業(yè)論 文（設計 ） 11 4 結構分析法的擴展 4.1 利用結構分析法建立數(shù)學模型 結構分析法的層次性，可將人的主觀判斷用數(shù)量形式表達和處理。它把復雜問題分解成各個組成因素，又將這些因素按支配關系分組形成遞階層次結構。并通過兩兩比較的方式確定層次中諸因素的相對重要性。然后綜合決策者的判斷，確定決策方案相對重要性的總的排序。整個過程體現(xiàn)了人的決策思維的基本特征 分解、判斷、綜合。改變了長期以來決策者與決策分析之間難于溝通的狀態(tài)。因而在眾多領域中得到應用。在歷年的全國大學生數(shù)學建模競賽中，有不少參賽小組 使用該方法，通過建立內(nèi)部獨立的遞階層次結構來解決問題 7。 例如：通過結構分析法的層次分析，在深入分析實際問題的基礎上，將有關的各個因素按照不同屬性自上而下地分解成若干層次。同一層的諸因素從屬于上層的因素或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊?，同時又支配下一層的因素或受到下層因素的作用，而同一層的各因素之間盡量相互獨立。最上層為目標層，通常只有一個因素，最下層通常為方案或?qū)ο髮?，中間可以有一個或幾個層次，通常為準則或指標層。當準則過多時（比如多于九個）應進一步分解出子準則層 8。進而建立層次結構模型。 4.2 利用結構分析法 教幾何定理 教學案例：用句子結構分析法教幾何定理 幾何中的垂徑定理及其推論非常相似，只是條件和結論的位置不同而已，往往學生難以區(qū)分和辨別。針對這種周惑，可以分析句子結構的方法進行教學，如對句子劃分結構成分。 垂徑定理：（垂直于弦的）直徑平分弦平分（這條弦所對的）兩條弧。因此定理精簡到主謂賓成分為“直徑平分弦和弧”，這樣便于記憶條件和結論。 再如：在推論中，（平分弦的）直徑垂直于這條弦且平分（這條弦所對的）兩條弧，精簡成：直徑垂直弦且平分兩條弧。 推論中的條件和結論也容易記憶了。通過這種分析句子結構的方法，學 生更容易理解和區(qū)分垂徑定理和推論，從而更容易記憶和運用于解題中 9。 結構分析法在解題中的應用研究 12 5 進一步思考 5.1 何時應用結構分析法 當問題較為復雜，無法及時解答。此時觀察題目結構，分析其元素之間的聯(lián)系，再聯(lián)想到結構分析法的三個性質(zhì)，用合適的性質(zhì)進行解答。 結構分析法中特征性的應用是最易判別的。它取決于給題目中元素的位置、特殊結構及數(shù)值。此性質(zhì)的應用較易，可直接觀察判斷；結構分析法的差異性，多運用于證明題。觀察、分析其所給條件和結論的目標差，從條件和結論同時入手，不斷轉(zhuǎn)化目標差，最終解決問題；而結構分析法的層次性，多用于解 決數(shù)學綜合題。一般將系統(tǒng)要素的各個之間的關系作為第一個層次的結構，第二個層次的結構是不同子系統(tǒng)之間縱、橫聯(lián)系的溝通，由此從已知量引向待求量。 5.2 應用時的注意事項 數(shù)學結構決定著解題的方法，數(shù)學結構蘊含著解題方法，數(shù)學結構提示著解題方法：數(shù)學結構的多樣性決定著解題方法的多樣性；數(shù)學結構的特殊性決定著解題方法的特殊性。因此做題時要根據(jù)所給題目的結構來決定用哪個性質(zhì)解題更為簡便。 例如：應用結構分析法層次性解答數(shù)學題時，應對系統(tǒng)所涉及的各個因素作出詳細的分析，研究它們之間的關系。同時必須注意系統(tǒng)的層次結構應滿 足內(nèi)部獨立的遞階層次要求，還要注意它們之間是否是線性關系，否則不能用層次分析法。 昌吉學院 2013屆本科畢業(yè)論 文（設計 ） 13 結 論 通過以上示例我們不難看出在中學數(shù)學的各個領域中到處都蘊含著結構的思想與方法。因此在數(shù)學問題的解決及課堂教學中只要我們善于抓住數(shù)學結構這一根本去進行分析、轉(zhuǎn)化、聯(lián)想、構造，解題途徑便有規(guī)律可循，自然可做到游刃有余、輕松自如。最后需要指出的是，引領學生運用結構思想去解數(shù)學題還能培養(yǎng)學生善于從多個側面、多個角度、多個層次去研究事物之間的聯(lián)系。這樣便容易從傳統(tǒng)思維的模式進入發(fā)散性思維的模式。因此，還 可以達到培養(yǎng)發(fā)散性思維能力的目的。 結構的思想與方法它不僅是一