冪級數(shù)的典型應用畢業(yè)論文

本科畢業(yè)論文 題 目 : 冪級數(shù)的典型應用 院 系 ： 數(shù)學與信息科學學院 專 業(yè) ： 數(shù)學與應用數(shù)學 姓 名 ： 羅云云 學 號 ： 091901301030 指導教師 ： 管 毅 教師職稱 ： 講 師 填寫日期： 2013年 5月 2日貴陽學院 畢業(yè)論文 I 摘要 冪級數(shù)是 一類形式簡單的函數(shù)項級數(shù) ,應用非常廣泛 .在一些運算中，很難用初等數(shù)學的方法進行計算 .這時 ,可以借助冪級數(shù)的性質(zhì)、展開式等把復雜的問題簡單化 .本文通過歸納的方法 ,從冪級數(shù)的定義出發(fā) ,接著給出冪級數(shù)的收斂域、重要定理及冪級數(shù)的展開式 ,總結(jié)了冪級數(shù)的四點應用 :第一 ,在近似計算中的應用 ；第二 ,在不等式證明中的應用 ；第三 ,在微分方程中的應用 ；第四 ,在行列式計算中的應用 . 關(guān)鍵詞 :冪級數(shù) ；微分方程 ；不等式 貴陽學院 畢業(yè)論文 II Abstract Power Series is a kind of series of functions with a simple format； its application is very broad. In some operations, it is difficult to use the method of elementary mathematics to calculate. At this time, some complex problems can be simplified by using the quality and expansion of power series. Based on the inductive methods, starting from the definition of power series, and then give the convergence domain of the power series, important theorem and power series expansion to summarize the four applications of the power series: first, in the application of approximate calculation； Second, in the application of inequality proof； Third, in the application of differential equations； Last, in the application of the determinant calculation. Keywords: Power series； Differential equations； Inequality 貴陽學院 畢業(yè)論文 III 目 錄 摘 要 . 錯誤 !未定義書簽。 Abstract . II 第一章 前言 . 1 第二章 冪級數(shù)的基本知識 . 2 第一節(jié) 定義 . 2 第二節(jié) 和函數(shù) . 2 第 三節(jié) 冪級數(shù)收斂域 . 4 第四節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開 . 5 一、函數(shù)的泰勒展開式 . 5 二、常見函數(shù)的麥克勞林展開式 . 6 第三章 冪級數(shù)的應用 . 7 第一節(jié) 在近似計算中的應用 . 7 第二節(jié) 在不等式證明中的應用 . 7 第三節(jié) 在微分方程中的應用 . 9 第四節(jié) 在行列式計算中的應用 . 11 致謝 . 14 參考文獻 . 15 貴陽學院 畢業(yè)論文 1 第一章 前言 級數(shù)是高等數(shù)學體系的重要組成部分 ,它是在生產(chǎn)實踐和科學實驗的推動下逐步形成和發(fā)展起來的 .中國魏晉時期的數(shù)學家劉徽早在公元 263 年就創(chuàng)立了“割圓術(shù)” ,其要旨是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓 ,從而求得圓的面積 .這種“割圓術(shù)”就已經(jīng)建立了級數(shù)的思想方法 ,即無限多個數(shù)的累加問題 .印度的馬德哈瓦在 14 世紀就提出了函數(shù)展開成無窮級數(shù)的概念 ,他首先提出了冪級數(shù)的概念 ,并對泰勒級數(shù)、麥克勞林級數(shù)、 無窮級數(shù)的有理數(shù)逼近等做了研究 .同時 ,他開始探究無窮級數(shù)的斂散性方法 .到了 19 世紀，高斯、歐拉、柯西分別得出了各種判別級數(shù)斂散性的方法 ,使得級數(shù)理論全面發(fā)展起來 .中國傳統(tǒng)數(shù)學在冪級數(shù)理論研究上可謂一枝獨秀 ,清代數(shù)學家董祐誠、坎各達等運用具有傳統(tǒng)數(shù)學特色的方法對初等函數(shù)的冪級數(shù)展開進行了深入的研究 .而今 ,級數(shù)的理論已經(jīng)發(fā)展得相當豐富和完整 ,級數(shù)既可以用來表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì) ,也可以作為進行數(shù)值計算的一種工具 .它在自然科學、工程技術(shù)等方面都有廣泛的作用 . 冪級數(shù)是一類形式簡單的函數(shù)項級數(shù) ,應用非常廣泛 .在 一些運算中 ,很難用初等數(shù)學的方法進行計算 .這時 ,可以借助冪級數(shù)的性質(zhì)、展開式等把復雜的問題簡單化 .本文通過歸納的方法 ,從冪級數(shù)的定義出發(fā) ,接著給出冪級數(shù)的收斂域、重要定理及冪級數(shù)的展開式 ,總結(jié)了冪級數(shù)的四點應用 :第一 ,在近似計算中的應用 ；第二 ,在不等式證明中的應用 ；第三 ,在微分方程中的應用 ；第四 ,在行列式計算中的應用 . 貴陽學院 畢業(yè)論文 2 第二章 冪級數(shù)的基本知識 第一節(jié) 定義 在函數(shù)級數(shù)中有一類結(jié)構(gòu)簡單、應用廣泛的特殊的函數(shù)級數(shù) 0n na (y a )n = 0a 1a (y a ) 2a (y a )2 na (y a )n , 稱為冪級數(shù)，其中0a， 1a ， ，na， 都是常數(shù)，稱為冪級數(shù)的系數(shù) .特別地，當 y a x ，上述冪級數(shù)就化為最簡單形式的冪級數(shù) nn nxa0 0a xa1 22xa nnxa . 第二節(jié) 和函數(shù) 設(shè) nn nxa0的收斂半徑為 R (R 0 ), xS nn nxa0為和函數(shù)，則有以下定理成立： 定理 81 若冪級數(shù)0nnnax與 101()nnnna x n a x 的收斂半徑分別是正數(shù) 1r 與 2r , 則12rr. 證明 首先 證明12rr.0 0 1:0x x r ,1 0 1 1:x x x r . 已 知 級 數(shù)10 nnn ax收斂 . nN,有 nnnnn xaxxxnxna110010 , 已知極限 001lim 0nnxnxx ,從而數(shù)列 001nxnxx有界 ,即 0,M n N ,有 001.nxnMxx 于是 , 10nnna x 1nnM a x. 根據(jù)比較判別法， 級數(shù) 101 nn nxna 絕對收斂，即 12rr . 貴陽學院 畢業(yè)論文 3 其次 證明 , 21 rr .200 0: rxx ,2101 : rxxx . 已 知 級 數(shù) 111nnnxna 收斂 . n N ,有 1111000 nnnnn xnaxxnxxa . 已知極限 0lim 1100 nn xxnx ，所以數(shù)列 1100nxxnx 有界，即 ,0 NnM 有 Mxxnx n 1100 . 于是 , 110 nnnn xnaMxa. 根據(jù)比較判別法，級數(shù) nn nxa 00絕對收斂，即12rr. 綜上所證 ,12rr. 定理 82 若冪級數(shù)0nnnax的收斂半徑 0r , 則 ( , )x r r ,它的和函數(shù) xS 由 0 到x 可積 ,且可逐項積分 ,即 000()xxnnnS t d t a t d t 10 1 nnn xna. 證明 ( , )x r r , 0,使 ,x r r .已知冪級數(shù)內(nèi)閉一致收斂 .和函數(shù)xS 由 0 到 x 可積 , 且可逐項積分 ,即 dttadttS nnxnx 0 00)( 10 1 nnn xna. 根據(jù)定理 1,此冪級數(shù)的收斂半徑也是 r . 定理 83 若冪級數(shù)0nnnax的收斂半徑 0r ,則它的和函數(shù) xS 在區(qū)間 ,rr 可導 ,且可逐項微分 ,即 ( , )x r r ,有 xS ( nn nxa0) 10nn nxna . 貴陽學院 畢業(yè)論文 4 證明 根據(jù)定理 1,冪級數(shù) 10nnnna x 的收斂半徑也是 r . ( , )x r r , 0, 使 ,x r r .已知冪級數(shù)內(nèi)閉一致收斂 .和函數(shù) xS 在 x 可導 ,從而和函數(shù) xS 在區(qū)間 ,rr 可導 ,且可逐項微分 ,即 ( , )x r r ,有 xS ( nn nxa0) 10nn nxna . 第三節(jié) 冪級數(shù)收斂域 已知冪級數(shù) 22100xaxaaxa nn n nnxa. 1 現(xiàn)在討論冪級數(shù) 1 的收斂問題，顯然冪級數(shù) 1 在 0x 處總是收斂的，我們有以下定理： 定理 4 若冪級數(shù) 1 在 000 xxx收斂，則對滿足不等式0xx 的任何 x ，冪級數(shù)1 收斂而且絕對收斂；冪級數(shù) 1 在 000 xxx 時發(fā)散，則對滿足不等式 0xx 的任何x ，冪級數(shù) 1 發(fā)散 . 證明 設(shè)冪 級數(shù) nn nxa 00收斂，從而數(shù)列 nnxa 0收斂于零且有界 .即存在某正數(shù) M ，使得 ,2,1,00 nMxa nn .另一方面對任意一個滿足不等式 0xx 的 x ，設(shè) 10 xxr ，則 nnnnnnnnnn Mrxxxaxxxaxa 0000. 由于級數(shù) 0nnMr 收斂，故冪 級數(shù) 1 當 0xx 時絕對收斂 . 現(xiàn)在證明定理的第二部分 .設(shè)冪級數(shù) 1 在0xx是發(fā)散，如果存在某一個 1x ，它滿足不等式0xx ，且使級數(shù) 0 1nnnxa 收斂，則由定理的第一部分知道，冪級數(shù) 1 應在 0xx 時絕對收斂 .這與假設(shè)矛盾，所以對一切滿足不等式0xx 的 1x 冪 級數(shù) 1 都發(fā)散 . 貴陽學院 畢業(yè)論文 5 則可知道冪級數(shù) 1 的收斂域是以原點為中心的區(qū)間，若以 R2 表示區(qū)間的長度，則稱 R為冪級數(shù)的收斂半徑 .事實上，它就是使得冪級數(shù) 1 收斂的那些收斂點的絕對值的上確界，所以： 當 0R 時，冪級數(shù) 1 僅在 0x 處收斂； 當 R 時，冪級數(shù) 1 在 , 上收斂； 當 R0 時，冪級數(shù) 1 在 , 內(nèi)收斂；至于 Rx ，冪級數(shù) 1 可能收斂也可能發(fā)散 .我們稱 , 為冪級數(shù)的 1 收斂區(qū)間 . 第四節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開 一、函數(shù)的泰勒展開 式 定義 71 若函數(shù) xf 在點0x存在 n 階導數(shù) ,則有 nn xxn xfxxxfxxxfxfxf 00200000 !2!1 nxxo 0 2 這里 nxxo0為 佩亞諾型余項 ,稱 2 為 xf 在點0x的泰勒公式 . 當 00x時 ,2 式變成 nn xnfxfxffxf ! 0!2 0!1 00 2 nxo ,稱此式為(帶有佩亞諾余項的 )麥克勞林公式 . 定義 72 若函數(shù) xf 在點0x的某領(lǐng)域內(nèi)為存在直至 1n 階 的連續(xù)導數(shù) ,則 nn xxn xfxxxfxxxfxfxf 00200000 !2!1 xRn 3 這里 xRn為拉格朗日余項 101!1 nnn xxnfxR ,其中 在 x 與 0x 之間 ,稱 3 為 xf 在點0x的泰勒公式 . 當 00x時 ,(3)式變成 nn xnfxfxffxf ! 0!2 0!1 00 2 xRn ,稱此式為(帶有拉格朗日余項的 )麥克勞林公式 . 貴陽學院 畢業(yè)論文 6 二、常見 函數(shù)的麥克勞林展開式 1. nnx xonxxxe !2!112 ； 2. 12123!121!3s in nnn xonxxxx ； 3. nnn xonxxx 222!21!21c o s ； 4. nnn xonxxxxx 132 1321ln ； 5. nnn xoxxxxx 111 1 32 . 貴陽學院 畢業(yè)論文 7 第三章 冪級數(shù)的應用 第一節(jié) 在近似計算中的應用 1 當 xf 的原函數(shù)不能用初等函數(shù) 表示 出來 ,計算 xf 的定積分就遇到了困難 .現(xiàn)在 ,我們可以利用冪級數(shù)展開式取有限項的辦法近似計算這些定積分的值 .具體計算時 ,要求被積函數(shù)能夠展成收斂的冪級數(shù) ,且積分區(qū)間必須在冪級數(shù)的收斂域內(nèi) ,然后利用冪級數(shù)的逐項積分性質(zhì)來計算定積分的值 . 例 3.1.12 計算定積分 dxx 5.00 41 1的近似值 ，要求誤差不超過 0001.0 . 解： dxxxxxx nn 5.00 412845.00 4 111 1 1395 211312191215121 , 上式右端為一交錯級數(shù) ,有 41343 10000009.021131 ur ， 故取前 3 項作為定積分的值 ,并在計算時取五位小數(shù) ,可得 4940.021912151211 1 955.00 4 dxx. 例 3.1.23 計算積分 dxx x10 sin的近似值，精確到 410 . 解 : !121!7!5!31s in2642nxxxxxx nn, dxx x10 sin !1212 1!77 1!55 1!33 11 nnn, 因為第四項的絕對值 41030001!77 1 , 取前三項作為定積分的近似值，得 9461.0!55 1!33 11s in10 dxx x. 第二節(jié) 在不等式證明中的應用 在一些不等式的證明中，用初等數(shù)學方法往往很難證明，但是利用冪級數(shù)展開式能巧妙地將問題化難為易 . 例 3.2.1 證明當 0x 時， xxx c o s2sin3 . 證 明 : 由三角函數(shù)的冪級數(shù)展開式易知 貴陽學院 畢業(yè)論文 8 !53!23!5!33s in35353 xxxxxxx ， 0x xxxxxx !6!4!212c o s2642 !6!4!23753 xxxx ， 0x 要 !53!6!4575 xxx ，即 2!61!53!41 x, 則 12!6!52!6!53!412 x, 所以 ,當 120 x 時，不等式成立 . 又 xx sincos2 , xx s in912c o s2 , xcocx s in3122 ， 所以 ,當 12x 時 ,不等式成立 . 綜上所證，當 0x 時 ,不等式成立 . 例 3.2.2 證明不等式 222 xxx eee ， ,x . 證明 : nx xnxxxe !1!31!211 32 0 !nnnx ,x . !1!3!2132xxxxxennx !10 nx nnn ,x . 02!22 nnxxnxee ， 022!2222nnxnxe ， 由于 !2!222nxnx nn ， 貴陽學院 畢業(yè)論文 9 所以就可以得到 222 xxx eee . 第三節(jié) 在微分方程中的應用 有些微分方程的解不能用初等函數(shù)或積分來表示 ,此時常常用冪級數(shù)求出它的解 .5 如果所求方程 yxfdxdy , 4 滿足初始條件00 yy xx 的特解 ,其中函數(shù) xf 是 0xx 、 0yy的多項式 ,那么可以設(shè)所求特解可展開為0xx的冪級數(shù) : nn xxaxxaxxaxayy 030320210, 5 其中 , 21 naaa 是待定的系數(shù) .把 5 帶入 4 , 便得一個恒等式 ,比較所得恒等式兩端0xx 的同次冪的系數(shù) ,就可定出常數(shù) , 21 naaa ,以這些常數(shù)為系數(shù)的級數(shù) 5 在其收斂區(qū)間內(nèi)就是方程 4 滿足初始條件00 yy xx 的特解 . 6 如果方程 0 yxQyxPy 中的 xP 與 xQ 可在 RR , 內(nèi)展成 x 的冪級數(shù) ,那么在 RR , 內(nèi)方程 0 yxQyxPy 必有形如 nn nxaxy 0 的解 . 例 3.3.13 求 2yxdxdy 滿足 0|0xy的特解 . 解 : 0x ， 0y ，設(shè) nn xaxaxaxaxy 33221 123121 32 nn xnaxaxaaxy 將 xy 、 xy 代入原方程得 123121 32 nn xnaxaxaa 24433221 xaxaxaxax 貴陽學院 畢業(yè)論文 10 即 42122321221 22 xaaaxaaxax . 根據(jù)恒等式兩端 x 的同次冪的系數(shù)，得 01 a，212 a， 03a， 04a ，2015 a， 所以，原式的解為： 5220121 xxxy. 例 3.2.24 求方程 0 yxyy 的解 . 解：設(shè)微分方程的解是處處收斂的冪級數(shù)，即 nn nxaxy 0. 求微分方程的解，實質(zhì)上就是求級數(shù) nn nxa0的未定系數(shù)0a， 1a ， 2a ， .逐項微分兩次，即 10 nnnxanxy ， 201 nnnxannxy . 代入方程之中，有 201 nnnxann 10nnnxanx nn nxa00 , 即 nnnxann 2012 10nnnxanx 00nn nxa , 01120 2 nnnn xanann . 22 naa nn， 0n ， 1 ， 2 ， . 由遞推公式有 202 aa ,313 aa ,804 aa ,1515 aa , , 202 aa ,804 aa , ,kk kaa 2! 02 , 1k ,2 ,3 , , 313 aa ,1515 aa , , !12 112 kaa k, 1k ,2 ,3 , , 所以，原方程的解為： 貴陽學院 畢業(yè)論文 11 0121020 !122! nnn nnnxanxaxy ，其中 0a 、 1a 是任意常數(shù) . 第四節(jié) 在行列式計算中的應用 若一個行列式可看作 X 的函數(shù)（一般是 x 的 n 次多項式） ,記作 xf ,按泰勒公式在某處0x展開 ,用這一方法可求得一些行列式的值 .還可以利用冪級數(shù)的變換計算行列式 ,當利用冪級數(shù)的變換計算行列式時 ,往往要找到行列式序列的遞推關(guān)系式 ,設(shè)出與行列式序列對應的冪級數(shù) ,根據(jù)遞推關(guān)系出現(xiàn)的具體情況 ,對假設(shè)出的冪級數(shù)進行恰當運算 ,最后求出冪級數(shù) ,通過比較冪級數(shù)的系數(shù)可得到 n 階行列式nD的值 . 例 3.4.1 求 n 階行列式 xzzzyxzzyyxzyyyxD . 解 : 記 Dxfn )(,按泰勒公式在 z 處展開： nnnnnnn zxn zfzxzfzxzfzfxf )(! )()(!2 )()(!1 )()()( )(2 , 6 易知 1)(00000000000000kkyzzyzyyzyyzyyzyyzD階 . 7 由 7 得 , nkyzzzf kk ,2,1,)()( 1 時都成立 . 對行列式求導 ,有 )(1)(),(2)(,),()1()(),()( 11122 11 xxfxfxfxfxfnxfxnfxf nnnn . 于是 )(xfn在 zx 處 的各階導數(shù)為： 21 )()(|)()( nnzxnn yznzznfzfzf； 貴陽學院 畢業(yè)論文 12 31 )()1()(|)()( nnzxnn yzznnznfzfzf； znnzfnnfzfzxnnnn 2)1()(2)1(|)( 111 ； 12)1()()( nnzf nn, 把以上各導數(shù)代 入 6 式中 ,有 ,)(!12)1()()!1(2)1()()(!2)1()()(!1)()(12321nnnnnnzxnnnzxznnnzxyzznnzxyzznyzzxf 若 yz ,有 )1()()( 1 ynxyxxf nn , 若 yz ,有 yzzxyyxzxf nnn )()()( . 例 3.4.2 計算行列式110000111000001110000111100001110000111000011nD. 解 : 當 1n 時 , 11D ；當 2n 時 , 22 D ；當 2n 時 ,將nD按第一列展開，即得 21 nnn DDD, 此行列式序列 1D , 2D ,3D, 是著名的斐波那契數(shù)列 ,開始兩項為 1 ,2 ,以后各項均為前兩項之和 ,即 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， 21 ， 34 ， 55 ， .數(shù)列的 構(gòu)造規(guī)則可表示為差分方程 5,4,3021 nDDD nnn 8 貴陽學院 畢業(yè)論文 13 初始值條件為 11D , 22 D . 設(shè) nn xDxDxDxF 221, 9 分別用 x ， 2x 乘以 9 式得： 13221 nn xDxDxDxxF, 10 ,242312 nn xDxDxDxFx 11 由 9 1110 可得： nnnn xDDDxDDxDxxxF 21212121, 由 8 可知： 11 11 222 xxxx xxxF, 解方程 21 xx 0 ，得2 511 x，2 512