第十章 第七節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布列.ppt

第七節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列 1 離散型隨機(jī)變量隨機(jī)現(xiàn)象中試驗(yàn) 或觀測(cè) 的每一個(gè)可能的結(jié)果都對(duì)應(yīng)于一個(gè)數(shù) 這種對(duì)應(yīng)稱為一個(gè) 通常用大寫(xiě)的英文字母如X Y來(lái)表示 隨機(jī)變量的取值能夠一一列舉出來(lái) 這樣的隨機(jī)變量稱為 隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量 2 離散型隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì) 1 離散型隨機(jī)變量的分布列設(shè)離散型隨機(jī)變量X的取值為a1 a2 隨機(jī)變量X取ai的概率為pi i 1 2 記作 i 1 2 或把上式列成表 P X ai pi p1 p2 表或 式稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列 記為 2 離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì) pi 0 i 1 2 p1 p2 3 超幾何分布一般地 設(shè)有N件產(chǎn)品 其中有M M N 件次品 從中任取n n N 件產(chǎn)品 用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù) 那么 P X k 其中k為非負(fù)整數(shù) 如果一個(gè)隨機(jī)變量的分布列由上式確定 則稱X服從參數(shù)為N M n的超幾何分布 1 判斷下面說(shuō)法是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 離散型隨機(jī)變量的分布列完全描述了由這個(gè)隨機(jī)變量所刻畫(huà)的隨機(jī)現(xiàn)象 2 有些離散型隨機(jī)變量的分布列可以使用公式表示 3 離散型隨機(jī)變量的概率分布列中 各個(gè)概率之和可以小于1 4 離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的 5 如果隨機(jī)變量X的分布列由下表給出 則它服從超幾何分布 解析 1 正確 離散型隨機(jī)變量的分布列是所有離散型隨機(jī)變量的概率分布情況 因此該說(shuō)法是正確的 2 錯(cuò)誤 有些離散型隨機(jī)變量的概率可以用公式表示出來(lái) 但分布列不能 3 錯(cuò)誤 由概率分布列的性質(zhì)可知 在分布列中隨機(jī)變量的概率之和為1 4 正確 因?yàn)槿绻x散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件彼此不互斥 則它們的概率之和將大于1 所以該說(shuō)法是正確的 5 錯(cuò)誤 因?yàn)槌瑤缀畏植贾须S機(jī)變量X的取值應(yīng)為連續(xù)的非負(fù)整數(shù) 答案 1 2 3 4 5 1 將一顆骰子擲兩次 隨機(jī)變量為 A 第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) B 第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) C 兩次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和 D 兩次出現(xiàn)相同點(diǎn)的種數(shù) 解析 選C A B中出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)雖然是隨機(jī)的 但它們?nèi)≈邓从车慕Y(jié)果 都不是本題涉及試驗(yàn)的結(jié)果 D中出現(xiàn)相同點(diǎn)數(shù)的種數(shù)就是6種 不是變量 C整體反映兩次投擲的結(jié)果 可以預(yù)見(jiàn)兩次出現(xiàn)數(shù)字的和是2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 共11種結(jié)果 但每擲一次前 無(wú)法預(yù)見(jiàn)是11種中的哪一個(gè) 故是隨機(jī)變量 選C 2 設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值1 2 3 n 若P X 4 0 3 則 A n 3 B n 4 C n 9 D n 10 解析 選D P X 4 P X 1 P X 2 P X 3 0 3 n 10 3 袋中裝有10個(gè)紅球 5個(gè)黑球 每次隨機(jī)抽取1個(gè)球后 若取得黑球則另?yè)Q1個(gè)紅球放回袋中 直到取到紅球?yàn)橹?若抽取的次數(shù)為X 則表示 放回5個(gè)紅球 事件的是 A X 4 B X 5 C X 6 D X 5 解析 選C 由條件知 放回5個(gè)紅球 事件對(duì)應(yīng)的X為6 4 設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量 其分布列為 則q等于 A 1 B 1 C 1 D 1 解析 選C 由分布列的性質(zhì)得 5 甲 乙兩隊(duì)在一次對(duì)抗賽的某一輪中有3道搶答題 比賽規(guī)定 對(duì)于每一道題 沒(méi)有搶到題的隊(duì)伍得0分 搶到題并回答正確的得1分 搶到題但回答錯(cuò)誤的扣1分 即得 1分 若X是甲隊(duì)在該輪比賽獲勝時(shí)的得分 分?jǐn)?shù)高者勝 則X的所有可能取值是 解析 甲獲勝且獲得最低分的情況是 甲搶到一道題并回答錯(cuò)誤 乙搶到兩道題并且都回答錯(cuò)誤 此時(shí)甲得 1分 故X的所有可能取值為 1 0 1 2 3 答案 1 0 1 2 3 考向1離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì) 典例1 1 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如表所示 F x P X x 則當(dāng)x的取值范圍是 1 2 時(shí) F x A B C D 2 已知隨機(jī)變量X的分布列為求的分布列 思路點(diǎn)撥 1 由概率分布的性質(zhì) 可求出a的值 然后求出F x 的值 2 根據(jù)Y與X的對(duì)應(yīng)關(guān)系求出Y的值及相應(yīng)概率 規(guī)范解答 1 選D a x 1 2 F x P X x 2 由題意得 所以Y的分布列為 互動(dòng)探究 在本例題 2 中條件不變 求Y X2的分布列 解析 Y X2對(duì)于X的不同取值 2 2及 1 1 Y分別取相同的值4與1 即Y取4這個(gè)值的概率應(yīng)是X取 2與2值的概率的和 Y取1這個(gè)值的概率也是X取 1與1值的概率的和 故Y的分布列為 拓展提升 1 分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用 1 利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值 2 隨機(jī)變量X所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的 利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率 2 隨機(jī)變量組合的分布列問(wèn)題 1 隨機(jī)變量X的線性組合Y aX b a b R 是隨機(jī)變量 2 求Y aX b的分布列可先求出相應(yīng)隨機(jī)變量的值 再根據(jù)對(duì)應(yīng)的概率寫(xiě)出分布列 提醒 求分布列中參數(shù)的值時(shí)應(yīng)保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù) 變式備選 已知某一隨機(jī)變量X的概率分布如下 且E X 6 3 則a的值為 A 5 B 6 C 7 D 8 解析 選C 由分布列性質(zhì)知 0 5 0 1 b 1 b 0 4 E X 4 0 5 a 0 1 9 0 4 6 3 a 7 考向2離散型隨機(jī)變量的分布列 典例2 1 某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為 則此射手 射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7 的概率為 A 0 28 B 0 88 C 0 79 D 0 51 2 一個(gè)均勻的正四面體的四個(gè)面上分別標(biāo)有1 2 3 4四個(gè)數(shù)字 現(xiàn)隨機(jī)投擲兩次 正四面體面朝下的數(shù)字分別為x1 x2 記X x1 3 2 x2 3 2 分別求出X取得最大值和最小值時(shí)的概率 求X的分布列 思路點(diǎn)撥 1 首先弄清 射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7 所包含的事件 然后依據(jù)概率分布求解 2 首先弄清隨機(jī)變量X的所有可能取值 然后求出X的分布列 規(guī)范解答 1 選C P X 7 P X 8 P X 9 P X 10 0 28 0 29 0 22 0 79 2 擲出點(diǎn)數(shù)x可能是1 2 3 4 則x 3分別得 2 1 0 1 于是 x 3 2的所有取值分別為 0 1 4 因此X的所有取值為 0 1 2 4 5 8 當(dāng)x1 1且x2 1時(shí) X x1 3 2 x2 3 2可取得最大值8 P X 8 當(dāng)x1 3且x2 3時(shí) X x1 3 2 x2 3 2可取得最小值0 P X 0 由 知X的所有取值為 0 1 2 4 5 8 P X 0 P X 8 當(dāng)X 1時(shí) x1 x2 的所有取值為 2 3 4 3 3 2 3 4 即P X 1 當(dāng)X 2時(shí) x1 x2 的所有取值為 2 2 4 4 4 2 2 4 即P X 2 當(dāng)X 4時(shí) x1 x2 的所有取值為 1 3 3 1 即P X 4 當(dāng)X 5時(shí) x1 x2 的所有取值為 2 1 1 4 1 2 4 1 即P X 5 所以X的分布列為 拓展提升 1 分布列的表示方法分布列有三種表示形式 即表格 等式和圖像 在分布列的表格表示中 結(jié)構(gòu)為2行n 1列 第1行表示隨機(jī)變量的取值 第2行是對(duì)應(yīng)的變量的概率 2 求隨機(jī)變量的分布列的三個(gè)步驟 1 找 找出隨機(jī)變量X的所有可能的取值xi i 1 2 并確定X xi的意義 2 求 借助概率的有關(guān)知識(shí)求出隨機(jī)變量X取每一個(gè)值的概率P X xi pi i 1 2 3 列 列出表格并檢驗(yàn)所求的概率是否滿足分布列的兩條性質(zhì) 變式訓(xùn)練 盒中裝有8個(gè)乒乓球 其中6個(gè)新的 2個(gè)舊的 從盒中任取2個(gè)來(lái)用 用完后放回盒中 此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量 求X的分布列 解析 X 2 表示用完放回后盒中只有2個(gè)舊球 所以在取球時(shí)已經(jīng)將原來(lái)2個(gè)舊球全部取出 P X 2 X 3 表明原來(lái)2個(gè)舊球只取1個(gè) P X 3 X 4 表明原來(lái)2個(gè)舊球1個(gè)也不取 P X 4 所求分布列為 考向3超幾何分布的概率問(wèn)題 典例3 1 2013 商洛模擬 從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽 則所選3人中女生人數(shù)不超過(guò)1人的概率是 2 從一批含有13件正品 2件次品的產(chǎn)品中 不放回任取3件 求取得次品數(shù)為X的分布列 思路點(diǎn)撥 1 先找出隨機(jī)變量的所有可能取值 再求概率 求概率時(shí)注意判斷其概率模型 2 先弄清隨機(jī)變量的取值 再判斷隨機(jī)變量服從什么分布 規(guī)范解答 1 設(shè)所選女生人數(shù)為X 則X服從超幾何分布 其中N 6 M 2 n 3 則P X 1 P X 0 P X 1 答案 2 本題是超幾何分布 可利用超幾何分布的概率公式求解 設(shè)隨機(jī)變量X表示取出次品的件數(shù) 則X服從超幾何分布 其中N 15 M 2 n 3 X可能的取值為0 1 2 相應(yīng)的概率依次為所以X的分布列為 拓展提升 1 超幾何分布的兩個(gè)特點(diǎn) 1 超幾何分布是不放回抽樣問(wèn)題 2 隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù) 2 超幾何分布的應(yīng)用超幾何分布是一個(gè)重要分布 其理論基礎(chǔ)是古典概型 主要應(yīng)用于抽查產(chǎn)品 摸不同類別的小球等概率模型 變式訓(xùn)練 某師范大學(xué)地理學(xué)院決定從n位優(yōu)秀畢業(yè)生 包括x位女學(xué)生 3位男學(xué)生 中選派2位學(xué)生到某貧困山區(qū)的一所中學(xué)擔(dān)任第三批頂崗實(shí)習(xí)教師 每一位學(xué)生被選派的機(jī)會(huì)是相同的 1 若選派的2位學(xué)生中恰有1位女學(xué)生的概率為 試求出n與x的值 2 記X為選派的2位學(xué)生中女學(xué)生的人數(shù) 寫(xiě)出X的分布列 解析 1 從n位優(yōu)秀畢業(yè)生中選派2位學(xué)生擔(dān)任第三批頂崗實(shí)習(xí)教師的總結(jié)果數(shù)為2位學(xué)生中恰有1位女學(xué)生的結(jié)果數(shù)為依題意可得化簡(jiǎn)得n2 11n 30 0 解得n1 5 n2 6 當(dāng)n 5時(shí) x 5 3 2 當(dāng)n 6時(shí) x 6 3 3 故所求的值 2 當(dāng)時(shí) X可能的取值為0 1 2 X 0表示只選派2位男生 這時(shí)X 1表示選派1位男生與1位女生 這時(shí)X 2表示選派2位女生 這時(shí)X的分布列為 當(dāng)時(shí) X可能的取值為0 1 2 X 0表示只選派2位男生 這時(shí)X 1表示選派1位男生與1位女生 這時(shí)X 2表示選派2位女生 這時(shí)P X 2 X的分布列為 滿分指導(dǎo) 離散型隨機(jī)變量分布列的規(guī)范解答 典例 12分 2012 大綱版全國(guó)卷改編 乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定 一局比賽 雙方比分在10平前 一方連續(xù)發(fā)球2次后 對(duì)方再連續(xù)發(fā)球2次 依次輪換 每次發(fā)球 勝方得1分 負(fù)方得0分 設(shè)在甲 乙的比賽中 每次發(fā)球 發(fā)球方得1分的概率為0 6 各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立 甲 乙的一局比賽中 甲先發(fā)球 1 求開(kāi)始第4次發(fā)球時(shí) 甲 乙的比分為1 2的概率 2 X表示開(kāi)始第4次發(fā)球時(shí)乙的得分 求X的分布列 思路點(diǎn)撥 規(guī)范解答 記Ai表示事件 第1次和第2次兩次發(fā)球 甲共得i分 i 0 1 2 A表示事件 第3次發(fā)球 甲得1分B表示事件 開(kāi)始第4次發(fā)球時(shí) 甲 乙的比分為1 2 1 B A0 A A1 2分P A 0 4 P A0 0 42 0 16 P A1 2 0 6 0 4 0 48 4分 P B P A0 A A1 P A0 A P A1 P A0 P A P A1 P 0 16 0 4 0 48 1 0 4 0 352 6分 2 P A2 0 62 0 36 X可能的取值為0 1 2 3 P X 0 P A2 A P A2 P A 0 36 0 4 0 144 P X 2 P B 0 352 P X 3 P A0 P A0 P A 0 16 0 6 0 096 8分P X 1 1 P X 0 P X 2 P X 3 1 0 144 0 352 0 096 0 408 10分 X的分布列為 12分 失分警示 下文 見(jiàn)規(guī)范解答過(guò)程 1 2013 長(zhǎng)安模擬 若P X x2 1 P X x1 1 其中x1 x2 則P x1 X x2 等于 A 1 1 B 1 C 1 1 D 1 1 解析 選B 由分布列性質(zhì)可有 P x1 X x2 P X x2 P X x1 1 1 1 1 1 2 2013 蚌埠模擬 一盒中有12個(gè)乒乓球 其中9個(gè)新的 3個(gè)舊的 從盒中任取3個(gè)球來(lái)用 用完后裝回盒中 此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量 則P X 4 的值為 A B C D 解析 選C 由題意取出的3個(gè)球必為2個(gè)舊球1個(gè)新球 故 3 2013 鷹潭模擬 一個(gè)壇子里有編號(hào)為1 2 3 12的12個(gè)大小相同的球 其中編號(hào)1至6是紅球 其余是黑球 若從中任取兩個(gè)球 則取到的全是紅球 且至少有1個(gè)球的號(hào)碼是偶數(shù)的概率為 A B C D 解析 選D 所求事件包含的基本事件數(shù)為 故所求的概率為 4 2013 撫州模擬 口袋中有n n N 個(gè)白球 3個(gè)紅球 依次從口袋中任取1個(gè)球 如果取到紅球 那么繼續(xù)取球 且取出的紅球不放回 如果取到白球 就停止取球 記取球的次數(shù)為X 若P X 2 求 1 n的值 2 X的分布列 解析 1 由P X 2 知 90n 7 n 2 n 3 n 7或n 舍 故n 7 2 由題意知X可取1 2 3 4 P X 1 P X 2 P X 3 P X 4 X的分布列為 1 由于電腦故障 使得隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失 以 x y 代替 其表如下 則x y分別為 解析 由于0 20 0 10 0 x5 0 10 0 1y 0 20 1 得0 x5 0 1y 0 40 于是x y分別為2 5 答案 2