畢業(yè)設(shè)計（論文）-微分與積分中值定理“中間點”的漸近性探討.pdf

CHANGSHACHANGSHA UNIVERSITYUNIVERSITY OFOF SCIENCESCIENCE （2）研究微分中值定理中間點的漸近性； （3）研究積分中值定理中間點的漸近性. 課題任務(wù)要求 1.目的：培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方式，綜合運用所學(xué)理論、知識和技能分析和解決實際問題的 能力。 2.要求 （1）根據(jù)畢業(yè)論文任務(wù)書完成開題報告； （2）給出微分中值定理的中間點關(guān)于連續(xù)，單調(diào)，可導(dǎo)，漸近性的結(jié)論與證明； （3）給出微分與積分中值定理的中間點漸近性的結(jié)論與證明； （4）研究要系統(tǒng)、完整、科學(xué)、嚴謹； （5）按時完成畢業(yè)論文； （6）論文及相關(guān)材料符合“長沙理工大學(xué)畢業(yè)論文管理條例”和“數(shù)計學(xué)院畢業(yè)論文工作 條例” 課題完成后應(yīng)提交的資料（或圖表、設(shè)計圖紙） 1. 規(guī)范的畢業(yè)設(shè)計（論文）一本（撰寫規(guī)范見教務(wù)處網(wǎng)頁） ； 2. 任務(wù)書一份； 3. 開題報告（含文獻綜述）一份； 4. 譯文（5000 字）及原文影印件各一份； 5. 論文電子文檔由學(xué)院收集保存。 主要參考文獻(12) 1 同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)上冊（第五版）M，北京，高等教育出版社，2002 年， 223-266 2 同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)下冊（第五版）M，北京，高等教育出版社，2002 年， 74-185 3 劉龍章等，再論微分中值定理“中間點”的性質(zhì)J，大學(xué)數(shù)學(xué)，2007 年，Vol.23 No.4:163-166 4 胡晶地，中值定理“中間點”當x +時的漸進性態(tài)J,張家口職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué) 報,2007 年, Vol.20 No.3:74-76 5 張小燕， 王偉成,一類微分中值定理及其中間點的漸近性質(zhì)J,北京服裝學(xué)院學(xué)報,2001 年, Vol.21 No.1:83-86 6 高國成，微分中值定理中間點的漸近性質(zhì)J,工科數(shù)學(xué),2001 年, Vol.17 No.5:103-104 7 李文榮， 關(guān)于中值定理中間點的漸近性質(zhì)J,數(shù)學(xué)的實踐與認識,1985 年, Vol.2:53-57 8 劉昌盛，積分中值定理中間點的漸近性更一般結(jié)果J,吉首大學(xué)學(xué)報,2006 年, Vol.27 No.3:8-11 9 方繼光，積分中值定理中間點的漸近性J,皖西學(xué)院學(xué)報,2003 年, Vol.19 No.2:19-21 10楊麗萍，關(guān)于積分中值定理的一個一般性結(jié)果J, 數(shù)學(xué)的實踐與認識,2002. Vol.4:698-700 11 張寶林,A Note On the Mean Value Theorem for IntegralsJ,Amer.Math. Monthly,1997,Vol.104:561-562 12 JACOBSON B. On the Mean Value Theorem for IntegralsJ, Amer.Math. Monthly,1982,Vol.89:300-301 外文翻譯文件（由指導(dǎo)教師選定） Steven J.Leon, Linear Algebra with Applications 319-334 同組設(shè)計者 無 注：1. 此任務(wù)書由指導(dǎo)教師填寫。如不夠填寫，可另加頁。 2. 此任務(wù)書最遲必須在畢業(yè)設(shè)計（論文）開始前一周下達給學(xué)生。 3. 此任務(wù)書可從教務(wù)處網(wǎng)頁表格下載區(qū)下載 二、畢業(yè)設(shè)計（論文）工作進度計劃表二、畢業(yè)設(shè)計（論文）工作進度計劃表 序序序序 號號號號 畢畢畢畢 業(yè)業(yè)業(yè)業(yè) 設(shè)設(shè)設(shè)設(shè) 計（論計（論計（論計（論 文）工文）工文）工文）工 作作作作 任任任任 務(wù)務(wù)務(wù)務(wù) 工工工工 作作作作 進進進進 度度度度 日日日日 程程程程 安安安安 排排排排 周周周周 次次次次 1 1 1 12 2 2 23 3 3 34 4 4 45 5 5 56 6 6 67 7 7 78 8 8 89 9 9 91010101011111111121212121313131314141414151515151616161617171717181818181919191920202020 1搜集資料一 2開題報告一一 3英文翻譯一一 4撰寫畢業(yè)論文一一一一一一一一一 5中期檢查一 6畢業(yè)論文修改一 7畢業(yè)論文答辯一 8畢業(yè)論文資料整理一 9 10 注：1. 此表由導(dǎo)師填寫； 2. 此表每個學(xué)生人手一份，作為畢業(yè)設(shè)計（論文）檢查工作進度之依據(jù)； 3. 進度安排請用“一”在相應(yīng)位置畫出。 三、學(xué)生完成畢業(yè)設(shè)計（論文）階段任務(wù)情況檢查表三、學(xué)生完成畢業(yè)設(shè)計（論文）階段任務(wù)情況檢查表 時間第一階段第二階段第三階段 內(nèi)容組織紀律完成任務(wù)情況組織紀律完成任務(wù)情況組織紀律完成任務(wù)情況 檢 查 記 錄 教師 簽字 簽字日期簽字日期簽字日期 注：1. 此表應(yīng)由指導(dǎo)教師認真填寫。階段分布由各學(xué)院自行決定。 2. “組織紀律”一檔應(yīng)按長沙理工大學(xué)學(xué)生學(xué)籍管理實施辦法精神，根據(jù)學(xué)生具體執(zhí)行情況，如實填寫。 3. “完成任務(wù)情況”一檔應(yīng)按學(xué)生是否按進度保質(zhì)保量完成任務(wù)的情況填寫。包括優(yōu)點，存在的問題與建議 4. 對違紀和不能按時完成任務(wù)者，指導(dǎo)教師可根據(jù)情節(jié)輕重對該生提出忠告并督促其完成。 四、學(xué)生畢業(yè)設(shè)計（論文）裝袋要求：四、學(xué)生畢業(yè)設(shè)計（論文）裝袋要求： 1. 畢業(yè)設(shè)計（論文）按以下排列順序印刷與裝訂成一本（撰寫規(guī)范見教務(wù)處網(wǎng)頁） 。 (1) 封面(2) 扉 頁 (3) 畢業(yè)設(shè)計（論文）任務(wù)書(4) 中文摘要 (5) 英文摘要(6) 目錄 (7) 正文(8) 參考文獻 (9) 致謝(10) 附錄（公式的推演、圖表、程序等） (11) 附件 1：開題報告（文獻綜述）(12) 附件 2：譯文及原文影印件 2. 需單獨裝訂的圖紙（設(shè)計類）按順序裝訂成一本。 3. 修改稿（經(jīng)、管、文法類專業(yè)）按順序裝訂成一本。 4.畢業(yè)設(shè)計(論文)成績評定冊一份。 5論文電子文檔由各學(xué)院收集保存。 學(xué)生送交全部文件日期 學(xué)生（簽名） 指導(dǎo)教師驗收（簽名） 微分與積分中值定理“中間點”的漸近性探討 微分與積分中值定理“中間點”的漸近性探討 摘要 關(guān)于微分與積分中值定理“中間點”的漸近性探討，本論文先論述微分與積分中 值定理的歷史背景，再通過分析羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理以及第一積分中值 定理和第二積分中值定理間各定理滿足的的條件和結(jié)論。再總結(jié)其內(nèi)在規(guī)律，并通過一 些圖形形象表達其幾何意義。同時分析了微分與積分中值定理“中間點”單調(diào)性，連續(xù) 性和可導(dǎo)性。 然后由淺入深引出微分中值定理和積分中值定理的 “中間點” 的漸近性態(tài)。 最后是結(jié)合例如李文榮關(guān)于中值定理中間點的漸近性質(zhì)和高國成微分中值定理中 間點的漸近性質(zhì)等專家學(xué)者的著作做為基礎(chǔ)，本論文主要分析了在區(qū)間長度趨于零時 各類中值定理“中間點”的漸近性態(tài)。 關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：中值定理; 中間點; 漸近性態(tài) 微分與積分中值定理“中間點”的漸近性探討 PROBEPROBEPROBEPROBE THETHETHETHE MID-VALUEMID-VALUEMID-VALUEMID-VALUE THEOREMTHEOREMTHEOREMTHEOREM ANDANDANDAND INTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRAL MEAN-VALUEMEAN-VALUEMEAN-VALUEMEAN-VALUE THEOREMTHEOREMTHEOREMTHEOREM “HALF-WAY“HALF-WAY“HALF-WAY“HALF-WAY POINT“POINT“POINT“POINT“ OFOFOFOF THETHETHETHE ASYMPTOTICASYMPTOTICASYMPTOTICASYMPTOTIC BEHAVIORBEHAVIORBEHAVIORBEHAVIOR ABSTRACTABSTRACTABSTRACTABSTRACT On differential and integral mean value theorem “ half-way point “ of the asymptotic nature, in this paper ， we first discusses the differential of mid-value theorem and the historical background of integral mean-value theorem, and then analyze the conditions and conclusions of Rolles theorem, Lagranges theorem, Cauchys theorem， the first integral mean value theorem and the second integral mean value theorem.Furthermore,we summarize the law ,and according to some graphic images.We showed geometric significance.We also analyze the mid-value theorem and integral mean-value theorem “ half-way point “ of monotonicity, continuity and differentiability. Then we introduce the mid-value theorem and integral mean-value theorem “ half-way point “ of the asymptotic behavior. Finally, we mainly analyzed the various types of interval length tends to zero value theorem “ half-way point “ of the asymptotic behavior,these are based on a Search of Wen Rong Lis “intermediate value theoremhalf-way pointof the asymptotic behavior “ and Guo Cheng Gaos “ mid-value theoremhalf-way pointof the asymptotic behavior “ and other experts KeyKeyKeyKey Words:Words:Words:Words:median theorem;half-way point;asymptotic behavior 微分與積分中值定理“中間點”的漸近性探討 目錄目錄 1 1 1 1緒論.1 1.1 課題歷史背景.1 1.2 目前國內(nèi)外研究狀況.2 2 2 2 2微分中值定理“中間點”漸近性分析.3 2.1 微分中值定理基礎(chǔ)知識.3 2.1.1 羅爾定理介紹.3 2.1.2 拉格朗日中值定理介紹.4 2.1.3 柯西中值定理介紹.4 2.1.4 微分中值定理“中間點”的單調(diào)性、連續(xù)性與可導(dǎo)性6 2.2 微分中值定理“中間點”的漸近性態(tài)分析.9 2.2.1 拉格朗日中值定理“中間點”的漸近性態(tài).9 2.2.2 柯西中值定理“中間點”的漸近性態(tài).11 3 3 3 3積分中值定理“中間點”漸近性分析.15 3.1 積分中值定理基礎(chǔ)知識.15 3.1.1 積分第一中值定理介紹.15 3.1.2 積分第二中值定理介紹.17 3.1.3 積分中值定理“中間點”的連續(xù)性與可導(dǎo)性.18 3.2 積分中值定理“中間點”的漸近性態(tài)分析.20 3.2.1 積分中值定理“中間點”的漸近性分析.20 結(jié)論.24 參考文獻.25 致謝.26 微分與積分中值定理微分與積分中值定理“中間點中間點”的漸近性探討的漸近性探討 第 1 頁 共 26 頁 1 1緒論緒論 由于解決實際問題的需要，人們引進了微分學(xué)和積分學(xué)的概念，并對它進行研究發(fā) 展，使之成為一門系統(tǒng)化、全面化的理論。而且也隨之成為解決實際問題中一種重要的 工具之一，其應(yīng)用也越來越廣泛。 1.11.1 課題歷史背景課題歷史背景 微分中值定理，是微分學(xué)的核心定理，是研究函數(shù)的重要工具，是溝通函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 的橋梁，歷來受到人們的重視。 微分中值定理有著明顯的幾何意義，以拉格朗日定理為例，它表明“一個可微函數(shù) 的曲線段，必有一點的切線平行于曲線端點的弦。 ”從這個意義上來說，人們對微分中 值定理的認識可以追溯到公元前古希臘時代，古希臘數(shù)學(xué)家在幾何研究中，得到如下結(jié) 論： “過拋物線弓形的頂點的切線必平行于拋物線弓形的底” 。希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德 （Archimedes，公元前 287前 221）正是巧妙地利用這一結(jié)論，求出拋物線弓形的面 積。意大利卡瓦列里（Cavalieri，15891674）在不可分量幾何學(xué) （1635 年）的卷 一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理， 其中引理 3 用基于幾何的觀點也敘述了 同樣一個事實：曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦。這是幾何形式的微分中值定 理，被人們稱為卡瓦列里定理。 人們對中值定理的研究，從微積分建立之始就開始了，按歷史順序：1637 年，著名 法國數(shù)學(xué)家費馬（Fermat，16011665）在求最大值和最小值的方法中給出了費馬 定理，在教科書中，人們通常將它作為微分中值定理的第一個定理。1691 年，法國數(shù)學(xué) 家羅爾（Rolle，16521719）在方程的解法一文中給出多項式形式的羅爾定理。 1797 年，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日（Largrange，17361813）在解析函數(shù)論一書中 給出拉格朗日定理，并給出最初的證明。對微分中值定理進行系統(tǒng)研究是法國數(shù)學(xué)家柯 西（Cauchy，17891857） 。他是數(shù)學(xué)分析嚴格化運動的推動者，他的三部巨著分 析教程 、 無窮小計算教程概論 、 （1823 年） 、 微分計算教程 （1829 年） ，以嚴格化 為其主要目標，對微積分理論進行了重構(gòu)。他首先賦予中值定理以重要作用，使其成為 微分學(xué)的核心定理。在無窮小計算教程概論中，柯西首先嚴格的證明了拉格朗日定 理。又在微分計算教程中將其推廣為廣義中值定理柯西定理。從而發(fā)現(xiàn)了最后 微分與積分中值定理微分與積分中值定理“中間點中間點”的漸近性探討的漸近性探討 第 2 頁 共 26 頁 一個微分中值定理。 1.21.2 目前國內(nèi)外研究狀況目前國內(nèi)外研究狀況 目前關(guān)于微分與積分中值定理“中間點”的漸近性，已經(jīng)有很多著名專家學(xué)者做了 許多深入研究。例如在 1982 年 Azpeitja 研究了泰勒定理“中間點”的漸近性以及同年 中著名數(shù)學(xué)家 JACOBSON B.撰寫了 On the Mean Value Theorem for Integrals 一書。在國內(nèi)，對于微分與積分中值定理“中間點”的漸近性研究，也有非常多專家進 行過研究。例如 1985 年，李文榮得到了柯西中值定理的“中間點”的漸近性，2001 年 高國成分析了微分中值定理中間點的漸近性質(zhì)，以及 2007 年胡晶地發(fā)表了關(guān)于中值定 理“中間點”當x +時的漸近性態(tài)等等。 微分與積分中值定理微分與積分中值定理“中間點中間點”的漸近性探討的漸近性探討 第 3 頁 共 26 頁 2 2 微分中值定理微分中值定理“中間點中間點”漸近性分析漸近性分析 本章是要討論微分中值定理及其“中間點”漸近性相關(guān)內(nèi)容。主要講了兩個方面： 第一節(jié)主要是講述微分中值定理以及其單調(diào)性，連續(xù)性和可導(dǎo)性，然后由淺入深引出微 分中值定理“中間點”的漸近性態(tài)的各種形式，第二節(jié)分析了各類微分中值定理“中間 點”的漸近性態(tài)，并給出它們各自的證明方法。 2.12.1 微分中值定理基礎(chǔ)知識微分中值定理基礎(chǔ)知識1 微分中值定理是羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的總稱。不過微 分中值定理不是一下子全部被人類認知，它的出現(xiàn)經(jīng)歷了一個過程，是眾多數(shù)學(xué)家共同 研究的成果。從費馬定理到柯西中值定理，是一個逐步完善、不斷向前發(fā)展的過程， 而 且隨著相關(guān)數(shù)學(xué)理論知識的不斷完善，微分中值定理也隨之得以完整起來，證明方法也 出現(xiàn)了多樣化。這一節(jié)主要是講述微分中值定理的三個公式及其幾何意義，并且分析了 微分中值定理“中間點”的單調(diào)性，連續(xù)性和可導(dǎo)性。 2.1.12.1.1 羅爾定理介紹 1 定理 2.1（羅爾定理）如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間,ba上連續(xù)，在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)， 且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即)()(bfaf=，則在),(ba內(nèi)至少有一點)(ba(24) 又因為),()()( 1212 xfxfxxf=(25) )()()( 111 afxfaxxf=(26) 微分與積分中值定理微分與積分中值定理“中間點中間點”的漸近性探討的漸近性探討 第 7 頁 共 26 頁 )()()( 222 afxfaxxf=(27) 所以將(25)(26)(27)代入(24)中可得 0)()( 22 axxff 由于 2 ()0xa，得0)()( 2 xff 再對比(23)可得到 0)()( 12 xfxf 由)(xf的單調(diào)增加性可知，).()( 12 xx即定理得證。 定理 2.5設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間,ba上連續(xù)， 在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)， 又設(shè))(xf在),(ba 內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且)( xf在),(ba內(nèi)不變號，則 (i) 滿足(2-1)式的點)(x=是x的連續(xù)函數(shù)； (ii)滿足(2-1)式的點)(x=是x的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為 )( )( )( )( )( xfax xfxf x = 證：(i)由已知條件可得 ax afxf xf = )()( )( ahx afhxf hxf + + =+ )()( )( )( )()()()()( )()( axahx afxfhxfhxfax xfhxf + + =+ 由定理 2.4 知)(x=為x的單調(diào)函數(shù)當0h時，有 )()()( )()(xhxfxfhxf+=+ 其中介于)(hx+=與)(x=之間，從而有 ).0(0 )()( )()()()()( )()( + + =+h axahxf afxfhxfhxfax xhx 故)(x=在),(ba內(nèi)連續(xù) 微分與積分中值定理微分與積分中值定理“中間點中間點”的漸近性探討的漸近性探討 第 8 頁 共 26 頁 (ii) )()( )()( )()( )( lim )()( lim)( 00 axahxf afxf h xfhxf ax h xhx x hh + + = + = . )( )( )()( )( )()()()( 2 xfax xfxf axxf afxfxfax = + = 證明完畢。 例例 2.12.1 設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間,ba上二次可微分，且, 0)( xf試證明函數(shù) )( )()( )(xf ax afxf xg= = 在開區(qū)間),(ba內(nèi)是單調(diào)增加的函數(shù) 證：因為),)()()()( bxxaaxxfafxfxxf所以, 0)()( )(=xxfxg 故函數(shù)( )0,g x所以( )g x在開區(qū)間),(ba內(nèi)單調(diào)增加 證明完畢。 微分與積分中值定理微分與積分中值定理“中間點中間點”的漸近性探討的漸近性探討 第 9 頁 共 26 頁 2.22.2 微微分中值定理分中值定理“中間點中間點”的漸近性態(tài)的漸近性態(tài)分析分析 本文主要分析當區(qū)間長度趨于零時微分中值定理中間點的漸近性問題。 2.2.12.2.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理“中間點中間點”的漸近性態(tài)的漸近性態(tài) 6 定理 2.6 設(shè))( tF在,xa上存在，)( tF在a點連續(xù)，而且0)( aF，0)(=aF， 則對于拉格朗日中值定理中的),(xa，有 2 1 lim= ax a ax 證明：令)()(xfxF=，ax，作輔助函數(shù) 2 )( )( )( ax dttf xh x a = 一方面，由已知條件以及洛必達法則，有 2 )( )( lim)(lim ax dttf xh x a axax = )( 2 1 )(lim 2 1 )(2 )( lim af xf ax xf ax ax = = = 另一方面，因為),(xa，所以當xa時，a，由拉格朗日中值定理 ( )( )( )()F xF aFxa=以及洛必達法則，得 2 )( )( lim)(lim ax dttf xh x a axax = ax f ax axF ax aFxF ax ax ax = = = )( lim )( )( lim )( )()( lim 2 2 微分與積分中值定理微分與積分中值定理“中間點中間點”的漸近性探討的漸近性探討 第 10 頁 共 26 頁 ax a af ax a f ax a a f ax axax axax = = = lim)( lim)(lim lim )( lim 由于)( tF在,xa上存在，)( tF在a點連續(xù)，且0)( aF。故由上兩式得 2 1 lim= ax a ax 定理 2.7設(shè)函數(shù))(xF在區(qū)間,xa內(nèi)有直到n階導(dǎo)數(shù)，0)( )( =aF i ) 1, 2 , 1(=nni,)( )1( xF n+ 在點a處連續(xù),0)( ) 1( + aF n , 則對于拉格朗日中值定理確 定的),(xa,有 n ax nax a 1 1 1 lim + = 證明： 令)()(xfxF=作輔助函數(shù) 1 )( )( )( + = n x a ax dttf xh 一方面，由已知條件以及通過洛必達法則，有 1 )( )( lim)(lim + = n x a axax ax dttf xh ! )( ) 1( 1 ! )( lim ) 1( 1 )(1( )( lim )( )( n af n n xf n axn xf n n ax n ax + = + = + = 另一方面，因為),(xa，所以當xa時，有a。 由拉格朗日中值定理( )( )( )()F xF aFxa=以及洛必達法則， 得 1 )( )( lim)(lim + = n x a axax ax dttf xh 微分與積分中值定理微分與積分中值定理“中間點中間點”的漸近性探討的漸近性探討 第 11 頁 共 26 頁 1 1 )( )( lim )( )()( lim + + = = n ax n ax ax axF ax aFxF n ax n n ax n ax n n ax n ax n ax ax a n af ax a n f ax a a f ax f = = = = lim ! )( lim ! )( lim )( )( lim )( )( lim )( )( lim )( )( 由于)( )1( xF n+ 在點a處連續(xù),0)( ) 1( + aF n 。故由上兩式得 n ax nax a 1 1 1 lim + = 2.2.22.2.2 柯西中值定理“中間點”的漸近性態(tài) 6 由柯西中值定理公式)22( 變形可得 ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a f x dx f g g x dx = )82( 定理 2.8設(shè)函數(shù)( )f x與( )g x在點a的某鄰域內(nèi)有直到n階導(dǎo)數(shù), （i）在點a的某去心鄰域內(nèi)( )0g x； （ii） ( )( ) ( )( )0 ii faga=，(1,2,1,1)inn=； （iii） ( )( )n fx與 ( )( )n gx在點a處連續(xù)，且0)()()()( )()( agafagaf nn ，則對于 柯西中值定理確定的數(shù)),(xa,有 n ax nax a 1 1 1 lim + = 證：由已知條件, 我們可寫( )f t和( )g t的泰勒展開式 ( ) 1 ( ) ( )( )()( )() , ! n nn fa f tf atat ta n =+ 微分與積分中值定理微分與積分中值定理“中間點中間點”的漸近性探討的漸近性探討 第 12 頁 共 26 頁 ( ) 2 ( ) ( )( )()( )() ! n nn ga g tg atat ta n =+ 其中)( 1 t，)( 2 t在 , a b上連續(xù)，且).2 , 1(0)(lim )( = it i at 所以由上兩式可得 ( ) 1 ( ) ( )( )()( )() , ! n nn fa ff aaa n =+(29) ( ) 2 ( ) ( )( )()( )() ! n nn ga gg aaa n =+(2 10) ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) ( )( )()( )() ! ( ) ( )()()( )() (1)! n xx nn aa n x nn a fa f t dtf atat ta dt n fa f a xaxat ta dt n + =+ =+ + )112( ( ) 2 ( ) 1 2 ( ) ( )( )()( )() ! ( ) ( )()()( )() (1)! n xx nn aa n x nn a ga g t dtg atat ta dt n ga g a xaxat ta dt n + =+ =+ + (2 12) 將式(29)(2 12)代入(28)式, 并化簡, 得 ( ) 1 2 ( )( ) 1 2 ( ) 1 12 ( ) ( ) ( )()()( )() (1)! ( )( ) () ( )()()( )() !(1)! ( ) ( )() ( )()()( )() (1)! n x nn a nn x nnn a n x nnn a ga f a g a xaxat ta dt n faga ag a xaxat ta dt nn ga ag a xaxat ta dt n + + + + + + + + + ( ) 1 1 ( )( ) 1 1 ( ) 1 21 ( ) ( ) ( )()()( )() (1)! ( )( ) () ( )()()( )() !(1)! ( ) ( )() ( )()()( )() (1)! n x nn a nn x nnn a n x nnn a fa g af a xaxat ta dt n gafa af a xaxat ta dt nn fa af a xaxat ta dt n + + + + + + + + + = 先將兩邊同時積分后，再將上式兩邊同除以 1 ()nxa + , 并令ax, 利用洛必達法 則可推出 ( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( ) lim (1)!( )! n nnnn x a fa gaf a gafa g af a gaa nnxa = + 微分與積分中值定理微分與積分中值定理“中間點中間點”的漸近性探討的漸近性探討 第 13 頁 共 26 頁 因為 0)()()()( )()( agafagaf nn , 由此可得 n ax nax a 1 1 1 lim + = 定理 2.9 設(shè)函數(shù)( )f x與( )g x在點a的某鄰域內(nèi)分別有直到n階導(dǎo)數(shù)和m階導(dǎo)數(shù), （i）在點a的某去心鄰域內(nèi)( )0g x； （ii） ( )( ) 0 i fa=) 1, 1, 2 , 1(=nni ( )( ) 0 j ga=) 1, 1, 2 , 1(=mmj； （iii） ( )( )n fx與 ()( )m gx在點a處連續(xù)，且0)()( )()( agaf mn ， 則當nm時, 對于柯西中值定理確定的數(shù)),(xa,有 mn ax n m ax a + + = 1 1 1 lim 證明：作輔助函數(shù) nm x a x a ax dttg dttf xh = )( )( )( )(由已知條件以及洛必達法則，有 )( )(1( )(1( )( lim )( )( )( )( lim )( )( )( lim)(lim 1 1 xg axm axn xf dttg ax ax dttf ax dttg dttf xh m n ax x a m n x a ax nm x a x a axax + + = = = + + )( ! ! )( 1 1 )(lim ! ! )( 1 1 )(lim ! ! )(lim 1 1 )( )( )( )( )( )( ag m n af n m xg m n af n m xg m n xf n m m n m ax n m ax n ax + + = + + = + + = 因為),(xa，所以當xa時，a，由柯西中值定理以及洛必達法則， 微分與積分中值定理微分與積分中值定理“中間點中間點”的漸近性探討的漸近性探討 第 14 頁 共 26 頁 得 mn ax m n mn ax m ax n mn ax m a n ax mn ax a m n ax nm ax nm ax nm x a x a axax ax a ag m n af ax a g m n af ax a g m n f ax a g a a f ax g f ax aGxG aFxF ax dttg dttf xh = = = = = = = lim )( ! ! )( lim )(lim ! ! )( lim )(lim ! ! )(lim lim )(lim )( )( )(lim )( )( )( lim )( )()( )()( lim )( )( )( lim)(lim )( )( )( )( )( )( 由于 ( )() ( ),( ) nm fx gx分別在點a處連續(xù)，且0)()( )()( agaf mn 。 故由上兩式比較可得 mn ax n m ax a + + = 1 1 1 lim 微分與積分中值定理微分與積分中值定理“中間點中間點”的漸近性探討的漸近性探討 第 15 頁 共 26 頁 3 3 積分中值定理積分中值定理“中間點中間點”漸近性分析漸近性分析 隨著微分學(xué)的不斷完善，與之相逆的積分學(xué)也開始發(fā)展起來，這也是為了解決實際 問題的需要。而定積分最初的出現(xiàn)就是為了解決實際中那些計算一種和式極限的問題。 與微分中值定理相對應(yīng)，積分學(xué)中也相應(yīng)有一套較為完善的積分中值定理理論，而且積 分中值定理在積分學(xué)的地位與微分中值定理在微分學(xué)的地位應(yīng)該是旗鼓相當?shù)摹?這一章本論文主要是探討積分學(xué)中值定理的相關(guān)問題。主要講述了四個方面的問 題：本論文需要的有關(guān)積分中值定理的基本知識及其證明過程；推廣的積分中值定理的 研究；積分中值定理關(guān)于“中間點”的連續(xù)性和可導(dǎo)性；當區(qū)間長度趨于零情況下積分 中值定理“中間點”的漸近性。 3.13.1 積分中值定理基礎(chǔ)知識積分中值定理基礎(chǔ)知識 積分中值定理分為積分第一中值定理和積分第二中值定理，它們各包含兩個公式。 其退化狀態(tài)均指在的變化過程中存在一個時刻使兩個圖形的面積相等。 3.1.13.1.1 積分第一中值定理積分第一中值定理介紹 1 定理 3.1（積分第一中值定理） 若函數(shù)( )f x在閉區(qū)間 , a b上連續(xù)，則在 , a b上至 少存在一點，使得 )()(abfdxxf b a = 幾何意義如圖【3.11】所示 圖【3.1.1】 證明： 由定積分性質(zhì)知 微分與積分中值定理微分與積分中值定理“中間點中間點”的漸近性探討的漸近性探討 第 16 頁 共 26 頁 )()()(abMdxxfabm b a ) 13( 其中mM,分別是函數(shù)( )f x在閉區(qū)間 , a b上的最大值和最小值。 把) 13( 式各除以ba，得 Mdxxf ab m b a )( 1 這表明，確定的數(shù)值 b a dxxf ab )( 1 介于函數(shù)( )f x的最小值m和最大值M之間。 根 據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，在 , a b上至少存在著一點，使得函數(shù)( )f x在點處 的值與這個確定的數(shù)值相等，即有： )()( 1 fdxxf ab b a = （ab） 兩端乘以ba，即得所要證的等式。 說明： 這里的是在 , a b上取值， 實際上， 也可以在開區(qū)間( , )a b的， 即( , )a b時， 定理同樣成立?，F(xiàn)證明如下： 記= b a dxxf ab )( 1 ，則0)(= b a dxxf 若axb= b a dxxgI0)(，必存在),(, 11 baba使得恒有( )0g x,若不 然 ， 則 在( , )a b的 任何 閉子 區(qū)間 上都 有 i 使 得0)(= i g ， 依 定 積分 定 義 便 有 = b a dxxgI0)(，這與I0 矛盾，由于m=，今改) 33( 為 0)()(= b a dxxgmxf)43( 注意到 ( ) ( )0f xm g x，必有 0)()( 1 1 = b a dxxgmxf)53( 否則由0)( 1 a a dxxg，0)( 1 1 b a dxxg及0)( 1 b b dxxg， 就有0)()()()( 1 1 1 1 += b b b a a a b a dxxgdxxgdxxgdxxg，矛盾。 所以證得存在),(, 11 baba，使( )fm=。 若不然，則在 11,b a上恒有( )0f xm及( )0g x，從而 ( ) ( )0f xm g x。故 0)()( 1 1 b a dxxgmxf，這與)53( 式矛盾。 同理可證M=的情形。總之，存在( , )a b使等式成立。 2.2.22.2.2 積分第二中值定理積分第二中值定理 定理 3.3（積分第二中值定理）若函數(shù)( )f x與( )g x在 , a b上可積，( )g x單調(diào)， 則 存在 , a b使得： += b a b a dxxfbgdxxfagdxxgxf )()()()()()( （i）若函數(shù)( )g x單調(diào)遞增，且不為負，則 = a b a dxxfagdxxgxf)()()()( , a b （ii）若函數(shù)( )g x單調(diào)遞減，且不為負，則 微分與積分中值定理微分與積分中值定理“中間點中間點”的漸近性探討的漸近性探討 第 18 頁 共 26 頁 = bb a dxxfbgdxxgxf )()()()( , a b 證明： += b a b a b a b a b a dxfdxxgdxfxgdxxgxf)()()()()()( 先假定( )g x在 , a b上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，用分部積分公式，得 += b a b a b a b a b a dxfdxxgdxfxgdxxgxf)()()()()()( ()()(agbg+ b a dxf)(+ b a b a dxfdxxg)()()63( 考慮到( )g a,0)( xg，)63( 式右邊不大于MbgMdxxgag b a )()()( + 但也不小于mbgmdxxgag b a )()()( +，因此可以找到 , a b使得等式 = bb a dxxfbgdxxgxf )()()()(成立； 現(xiàn)在，如果( )g x是非負不減函數(shù)，一般說來它是間斷的，那么它在 , a b上可積， 并且存在著連續(xù)可導(dǎo)的非負不減函數(shù)序列)(x n ，有 0)()( dxxxg b a （n） 根據(jù)已證明的事實，對任一n，可以找到),(ba n 使得 = bb a n n dxxfbgdxxxf )()()()()73( 在序列 n 的子列， 但由于)73( 式右邊的積分關(guān)于下限的連續(xù)性和下面事實成立： 0)()()()()()( dxxgxKdxxfxgdxxxf b a n b a b a n （n） |( )|f xK，令n，對)73( 式取極限即可，則定理得證。 3.1.33.1.3 積分中值定理積分中值定理“中間點中間點”的連續(xù)性和可導(dǎo)性的連續(xù)性和可導(dǎo)性 設(shè))(xf，)(xg滿足定理 3.2 的條件，)(xf存在且不變號，當固定a時，的取值 與x有關(guān)，記為：)(x=. 設(shè)函數(shù))(xf，)(xg在,xa上連續(xù)，)(xf在,xa上存在一階導(dǎo)數(shù)，且)(xf的一階 導(dǎo)數(shù)不變號，)(xf在,xa上不變號，則推廣的積分中值定理中的“中間點”)(x有如 下性質(zhì) （i）)(x在),(xa上是連續(xù)； 微分與積分中值定理微分與積分中值定理“中間點中間點”的漸近性探討的漸近性探討 第 19 頁 共 26 頁 (ii)(x在),(xa上是x得可導(dǎo)函數(shù)，且其導(dǎo)函數(shù)為 = x a dttgxf xgxfxgxf x )()( )()()()( )( 證明： （i）由)( xf在),(ba不變號，知)(xf是),(ba上的單值函數(shù)，)(x也是單 值函數(shù)。由條件知 dttgxfdttgtf x a x a =)()()()( dttgxxfdttgtf xx a xx a + +=)()()()( 兩式相減得 + += xx x xx a xx x dttgxfdttgxfxxfdttgtf)()()()()()()( 由拉格朗日中值定理知 )()()( )()(xxxfxfxxf+=+ 其中位于)(x和)(xx+之間，則有 dttgf dttgxfdttgtf xxx xx x xx x xx x + + =+ )()( )()()()( )()( )83( 當0)()(, 0+xxxx，從而)(x是連續(xù)的。 （i）得證。 證明： （ii）由式)83( 可得 dttgxf dttgxfdttgtf x xxx xx x xx x xx a xx + + = + )()( )()()()( lim )()( lim 00 ) )( )( )()( ( )()( 1 lim 0 x dttg xf x t dtgtf dttgf xx x xx a xx x x = + + = x a dttgxf xgxfxgxf )()( )()()()( 結(jié)論（ii）得證。 注：由結(jié)論（i）可知，當1)(=xg時，即為第一積分中值定理的形式，此時 微分與積分中值定理微分與積分中值定理“中間點中間點”的漸近性探討的漸近性探討 第 20 頁 共 26 頁 的不僅連續(xù)而且可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 )( )()( )( xf xfxf x = 所以由上可得，在第一積分中值定理中，當)(xf存在一階導(dǎo)，且一階導(dǎo)在),(xa