畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）-模糊層次分析法在高校教學(xué)評(píng)估中的應(yīng)用.pdf

CHANGSHACHANGSHA UNIVERSITYUNIVERSITY OFOF SCIENCESCIENCE 1 0 0 5 1 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 1 0 1 0 1 0 0 5 1 0 1 0 0 5 1 0 0 5 1 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 1 0 1 0 1 0 0 5 1 0 1 0 0 5 for i 1 7 a i A i 1 A i 2 A i 3 A i 4 A i 5 A i 6 A i 7 end for i 1 7 for j 1 7 f i j a i a j 2 7 0 5 end end f f 0 50000 32140 50000 17860 32140 50000 1786 0 67860 50000 67860 35710 50000 67860 3571 0 50000 32140 50000 17860 32140 50000 1786 0 82140 64290 82140 50000 64290 82140 5000 0 67860 50000 67860 35710 50000 67860 3571 0 50000 32140 50000 17860 32140 50000 1786 0 82140 64290 82140 50000 64290 82140 5000 A 0 5 0 0 1 0 0 5 for i 1 2 a i A i 1 A i 2 end for i 1 2 for j 1 2 f i j a i a j 2 2 0 5 end end f 模糊層次分析法在高校教學(xué)評(píng)估中的應(yīng)用 第 24頁(yè)共 30頁(yè) f 0 50000 2500 0 75000 5000 A 0 5 1 1 0 0 5 1 0 0 0 5 for i 1 3 a i A i 1 A i 2 A i 3 end for i 1 3 for j 1 3 f i j a i a j 2 3 0 5 end end f f 0 50000 66670 8333 0 33330 50000 6667 0 16670 33330 5000 A 0 5 1 1 1 1 0 0 0 5 0 1 0 0 0 1 0 5 1 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 1 1 1 0 5 0 1 1 1 1 1 0 5 for i 1 6 a i A i 1 A i 2 A i 3 A i 4 A i 5 A i 6 end for i 1 6 for j 1 6 f i j a i a j 2 6 0 5 end end f f 0 50000 75000 66670 83330 58330 4167 0 25000 50000 41670 58330 33330 1667 模糊層次分析法在高校教學(xué)評(píng)估中的應(yīng)用 第 25頁(yè)共 30頁(yè) 0 33330 58330 50000 66670 41670 2500 0 16670 41670 33330 50000 25000 0833 0 41670 66670 58330 75000 50000 3333 0 58330 83330 75000 91670 66670 5000 利用模糊一致矩陣算出各因素在目標(biāo)中的權(quán)值 A 0 5 0 667 0 833 0 333 0 5 0 667 0 167 0 333 0 5 for i 1 3 a i A i 1 A i 2 A i 3 1 3 l sum a a i l end ans 0 4543 ans 0 3347 ans 0 2110 B 0 5 0 75 0 25 0 5 for j 1 2 b j B j 1 B j 2 1 2 p sum b b j p end ans 0 6340 ans 0 3660 模糊層次分析法在高校教學(xué)評(píng)估中的應(yīng)用 第 26頁(yè)共 30頁(yè) C 0 5 0 75 0 667 0 833 0 583 0 417 0 25 0 5 0 417 0 583 0 333 0 167 0 333 0 583 0 5 0 667 0 417 0 25 0 167 0 417 0 333 0 5 0 25 0 083 0 417 0 667 0 583 0 75 0 5 0 333 0 583 0 833 0 75 0 917 0 667 0 5 for k 1 6 c k C k 1 C k 2 C k 3 C k 4 C k 5 C k 6 1 6 m sum c c k m end ans 0 2132 ans 0 1210 ans 0 1524 ans 0 0874 ans 0 1830 ans 0 2431 D 0 5 0 321 0 5 0 179 0 321 0 5 0 179 0 679 0 5 0 679 0 357 0 5 0 679 0 357 0 5 0 321 0 5 0 179 0 321 0 5 0 179 模糊層次分析法在高校教學(xué)評(píng)估中的應(yīng)用 第 27頁(yè)共 30頁(yè) 0 821 0 643 0 821 0 5 0 643 0 821 0 5 0 679 0 5 0 679 0 357 0 5 0 679 0 357 0 5 0 321 0 5 0 179 0 321 0 5 0 179 0 821 0 643 0 821 0 5 0 643 0 821 0 5 for h 1 7 d h D h 1 D h 2 D h 3 D h 4 D h 5 D h 6 D h 7 1 7 n sum d d h n end ans 0 0981 ans 0 1546 ans 0 0981 ans 0 1984 ans 0 1546 ans 0 0981 ans 0 1984 模糊層次分析法在高校教學(xué)評(píng)估中的應(yīng)用 第 28頁(yè)共 30頁(yè) 層次總排序 W0 0 0981 0 1546 0 0981 0 1984 0 1546 0 0981 0 1984 R 0 5 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 366 0 634 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 634 0 366 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4543 0 3347 0 211 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 634 0 366 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 366 0 634 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2132 0 121 0 1524 0 0874 0 183 0 2431 W W0 R W Columns 1 through 12 0 04910 04910 05660 09800 06220 03590 0901 0 06640 04190 09800 05660 0359 Columns 13 through 19 0 06220 04230 02400 03020 01730 03630 0482 專(zhuān)家測(cè)評(píng)均分 E2 95 90 93 90 90 85 90 92 83 80 83 90 88 92 87 90 92 95 90 92 88 91 89 88 85 91 89 80 85 87 90 90 94 86 88 90 89 87 90 90 88 87 85 82 90 91 86 82 85 91 92 92 85 88 93 91 91 89 89 88 90 84 86 90 91 82 86 87 92 95 95 86 89 93 90 89 96 89 90 91 92 89 89 89 85 86 87 95 91 96 88 90 90 90 89 94 90 89 87 85 82 93 91 83 82 85 91 92 92 85 91 94 91 92 93 89 87 90 84 88 90 90 82 83 86 89 95 93 87 89 93 90 89 91 91 89 90 89 86 90 91 87 86 87 93 94 94 86 89 89 92 90 93 87 91 89 88 89 91 89 83 85 87 90 93 90 86 91 90 91 88 95 91 90 89 91 85 90 92 83 87 83 92 88 92 89 90 92 94 90 for j 1 19 f2 j E2 1 j E2 2 j E2 3 j E2 4 j E2 5 j E2 6 j E2 7 j E2 8 j E2 9 j E2 10 j 10 end f2 f2 模糊層次分析法在高校教學(xué)評(píng)估中的應(yīng)用 第 29頁(yè)共 30頁(yè) Columns 1 through 11 92 800089 400089 600089 200087 600085 700090 4000 90 500083 400084 200085 7000 Columns 12 through 19 91 300091 800093 000086 500089 500091 600091 3000 89 5000 自評(píng)均分 E1 95 92 93 90 90 85 90 92 83 83 86 90 88 92 87 90 92 95 90 93 89 91 89 88 85 91 89 89 85 87 90 90 94 86 88 90 89 94 91 90 88 88 86 84 90 91 86 82 85 91 92 92 85 88 93 91 91 89 89 94 90 87 86 90 91 82 86 87 92 95 95 86 89 93 90 89 97 93 90 91 92 89 89 89 85 86 89 95 91 96 88 90 90 93 89 94 92 89 87 85 83 93 91 83 85 85 91 92 92 85 91 94 91 92 93 89 89 92 89 88 90 90 87 83 86 89 95 93 87 89 93 90 89 92 91 89 90 89 86 90 91 87 86 87 93 94 94 86 89 89 92 90 93 87 91 89 88 89 91 89 83 85 87 90 93 90 86 91 90 91 93 95 91 90 89 91 85 90 92 83 87 88 92 88 92 89 90 92 94 90 for j 1 19 f1 j E1 1 j E1 2 j E1 3 j E1 4 j E1 5 j E1 6 j E1 7 j E1 8 j E1 9 j E1 10 j 10 end f1 f1 Columns 1 through 11 93 200090 300090 400089 500088 500086 000090 4000 90 500084 800084 800086 7000 Columns 12 through 19 91 300091 800093 000086 500089 500091 600091 6000 90 7000 最終教學(xué)評(píng)估分?jǐn)?shù) 模糊層次分析法在高校教學(xué)評(píng)估中的應(yīng)用 第 30頁(yè)共 30頁(yè) W 0 0491 0 0491 0 0566 0 0980 0 0622 0 0359 0 0901 0 0644 0 0419 0 0980 0 0566 0 0359 0 0622 0 0423 0 0240 0 0302 0 0173 0 0363 0 0 482 f1 93 2 90 3 90 4 89 5 88 5 86 0 90 4 90 5 84 8 84 8 86 7 91 3 91 8 93 0 86 5 89 5 91 6 91 6 90 7 f2 92 8 89 4 89 6 89 2 87 6 85 7 90 4 90 5 83 4 84 2 85 7 91 3 91 8 93 0 86 5 89 5 91 6 91 3 89 5 F 0 3 W f1 0 7 W f2 F 88 9019 畢業(yè)設(shè)計(jì)畢業(yè)設(shè)計(jì) 論文論文 開(kāi)題報(bào)告開(kāi)題報(bào)告 題目題目 模糊層次分析法在高校教學(xué)評(píng)估中的應(yīng)用模糊層次分析法在高校教學(xué)評(píng)估中的應(yīng)用 課課 題題 類(lèi)類(lèi) 別 別 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì) 論文論文 學(xué)學(xué) 生生 姓姓 名 陳玲榮名 陳玲榮 學(xué)學(xué)號(hào) 號(hào) 20064090204200640902042006409020420064090204 班班級(jí) 級(jí) 06 0206 0206 0206 02 班班 專(zhuān)業(yè) 全稱(chēng)專(zhuān)業(yè) 全稱(chēng) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指指 導(dǎo)導(dǎo) 教教 師 劉文軍師 劉文軍 2010201020102010 年年 4 4 4 4 月月 一 本課題設(shè)計(jì) 研究 的目的 1 掌握模糊層次分析法的基本原理 并研究模糊層次分析法在高校教學(xué)評(píng)估中 的應(yīng)用 建立高校教學(xué)評(píng)估模型 2 培養(yǎng)科學(xué)的思維方式 綜合運(yùn)用所學(xué)理論 知識(shí)和技能分析和解決實(shí)際問(wèn)題 提高分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力 是畢業(yè)前全面素質(zhì)教育的重要實(shí)踐訓(xùn)練 二 設(shè)計(jì) 研究 現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì) 文獻(xiàn)綜述 進(jìn)入 21 世紀(jì) 面對(duì)經(jīng)濟(jì)全球化進(jìn)程明顯加快 科技進(jìn)步日新月異 綜合國(guó)力競(jìng) 爭(zhēng)日益激烈的新形勢(shì) 大力提高高等學(xué)校的辦學(xué)水平和教學(xué)質(zhì)量 已成為時(shí)代的主題 成為 21 世紀(jì)高等教育改革和發(fā)展的迫切任務(wù) 本科教育是高等教育的主體和基礎(chǔ) 抓好本科教學(xué)是提高整個(gè)高等教育質(zhì)量的重點(diǎn) 2003 年開(kāi)始由國(guó)家教育部組織的普通 高等學(xué)校本科教學(xué)工作水平評(píng)估受到眾人矚目 而采用何種評(píng)估方法合理評(píng)定學(xué)校辦 學(xué)水平更是引起人們的探討 層次分析法是美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家 匹茲堡大學(xué)的 A L Saaty 教授于 20 世紀(jì) 70 年代提 出的一種定性分析和定量分析相結(jié)合的系統(tǒng)分析方法 它是將與決策有關(guān)的元素分解 成目標(biāo) 準(zhǔn)則 方案等層次 在此基礎(chǔ)上進(jìn)行定性和定量分析的決策方法 層次分析 法在經(jīng)濟(jì)決策 城市規(guī)劃 環(huán)境監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域已取得了成功 在一些涉及到人的決策方 面 層次分析法往往沒(méi)有考慮到人思維的模糊性 因此有必要將層次分析法推廣到模 糊環(huán)境下 在很多情況下 我們不能很好的給出指標(biāo)權(quán)重 或者各指標(biāo)難于量化 或 者一致性約束很難達(dá)到 我們就引入?yún)?shù) 這就是模糊層次分析法的最簡(jiǎn)單解釋 用模糊層次分析法進(jìn)行決策的一般步驟如下 1 建立層次結(jié)構(gòu)模型 首先確定 所要解決問(wèn)題的目標(biāo) 影響因素及各因素間的關(guān)系等 然后根據(jù)目標(biāo)將涉及的各影響 因素結(jié)構(gòu)層次化 2 構(gòu)造優(yōu)先關(guān)系矩陣 R R 是模糊互補(bǔ)矩陣 3 構(gòu)造模糊一致 矩陣 4 使用模糊一致的判斷矩陣去推算層次各因素的重要次序 將權(quán)值進(jìn)行歸一 化處理 5 綜合各層的權(quán)重矩陣 可得到 n 層遞階結(jié)構(gòu)的指標(biāo)因素層相對(duì)于總目標(biāo) 的合成矩陣 針對(duì)高校教學(xué)工作水平評(píng)估問(wèn)題 本文將應(yīng)用模糊層次分析法 通過(guò)合成層次總 權(quán)重得出了相對(duì)總目標(biāo)的各層權(quán)重 給出了學(xué)校評(píng)估的一般模型 并結(jié)合某大學(xué)本科 教學(xué)評(píng)估給出了實(shí)際應(yīng)用 通過(guò)該法筆者可以得到在教學(xué)評(píng)估中某高校的綜合得分 三 設(shè)計(jì) 研究 的重點(diǎn)與難點(diǎn) 擬采用的途徑 研究手段 重點(diǎn) 1 定義模糊一致矩陣及其性質(zhì) 2 建立層次結(jié)構(gòu)模型 難點(diǎn) 1 確定所要解決問(wèn)題的目標(biāo) 影響因素及各因素間的關(guān)系 2 根據(jù)目標(biāo)將涉及的各影響因素結(jié)構(gòu)層次化 采用的途徑 第一步 建立本科教學(xué)評(píng)估的層次結(jié)構(gòu)模型 第二步 建立優(yōu)先關(guān)系矩陣 并將其轉(zhuǎn)換為模糊一致矩陣 第三步 算出各因素在目標(biāo)中的權(quán)值 四 設(shè)計(jì) 研究 進(jìn)度計(jì)劃 1 第 6 周 搜集資料 2 第 6 7 周 完成開(kāi)題報(bào)告和英文翻譯 3 第 8 15 周 撰寫(xiě)畢業(yè)論文 4 第 16 周 畢業(yè)論文修改 5 第 17 周 畢業(yè)論文答辯畢業(yè)論文資料整理 五 參考文獻(xiàn) 1 劉洋 吳潔 層次分析法在應(yīng)用中的幾個(gè)問(wèn)題 J 溫州大學(xué)學(xué)報(bào) 2002 4 71 76 2 彭祖贈(zèng) 孫韞玉 模糊 fuzzy 數(shù)學(xué)及其應(yīng)用 M 武漢大學(xué)出版社 2002 3 122 163 3 張吉軍 模糊層次分析法 J 模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué) 2000 14 2 4 王蓮芬 蔡海鷗 孫宏才 投資決策量化方法 J 海洋出版社 2004 5 吳開(kāi)軍 模糊數(shù)學(xué)在本科教學(xué)評(píng)估中的應(yīng)用 N 考試周刊 2001 18 6 陳水利 李敬功 王向公 模糊集理論及其應(yīng)用 M 科學(xué)出版社 2005 241 252 7 李學(xué)平 用層次分析法求指標(biāo)權(quán)重的標(biāo)度方法的探討 J 北京郵電大學(xué)學(xué)報(bào) 社會(huì)科學(xué)版 2001 1 8 劉婷婷 韓玉啟 李新 關(guān)于層次分析法 AHP 的應(yīng)用 J 機(jī)械管理開(kāi)發(fā) 2006 5 73 75 9 朱茵 孟志勇 闞叔愚 用層次分析法計(jì)算權(quán)重 J 北方交通大學(xué)學(xué)報(bào) 1999 5 123 126 10 陳義華 數(shù)學(xué)建模的層次分析法 J 甘肅工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào) 1997 23 3 92 97 11 David C lay Linear Algebra and its Applications Third Edition Beijing Publishing Housr of Electronics Industry 2004 3 12 Z Pawlak Rough sets Theoretical Aspects of Reasoning about Data M Kluwer Academic Publishers 1991 指導(dǎo)教師意見(jiàn) 簽名 月日 教研室 學(xué)術(shù)小組 意見(jiàn) 教研室主任 學(xué)術(shù)小組長(zhǎng) 簽章 月日 模糊集 1 第三章模糊集 這一章主要研究模糊集概念的基本思想 模糊集是邊界集為連續(xù)而不是間斷 的語(yǔ)言實(shí)體 我們總結(jié)模糊集的基本概念和理論 這些概念與理論用在數(shù)據(jù)挖掘 中 首先 我們從模糊集的基本概念與特征入手 然后 我們轉(zhuǎn)而研究更深層次 的內(nèi)容 隸屬函數(shù)估計(jì) 模糊集的運(yùn)算 虛集和粗糙集的相關(guān)概念 我們應(yīng)高度 重視計(jì)算模糊集和概率論之間的區(qū)別 另外 我們應(yīng)全面回顧模糊集里出現(xiàn)的信 息粒度的概念 它是構(gòu)成數(shù)據(jù)挖掘有效體系的一個(gè)關(guān)鍵概念 3 1 引言 當(dāng)我們處理很多不同的周邊事物以及相關(guān)事物時(shí) 我們習(xí)慣于把它們組織起 來(lái)并進(jìn)行系統(tǒng)的分類(lèi) 這些組織活動(dòng)能夠很好地幫助我們理解 組織和處理周邊 環(huán)境的信息 而不必對(duì)單個(gè)物體的一些抽象的共有的類(lèi)別進(jìn)行命名和描述 這些 抽象類(lèi)正好就是集合 我們可隨意地談?wù)撘幌盗锌蛙?chē) 而不必一一地列舉出這些 對(duì)象 車(chē)的名字 類(lèi)似地 如果一一地列舉出如下數(shù)字 5 4 3 0 1 2 3 這樣太繁瑣了 為了使這個(gè)任務(wù)變得容易 或使這任務(wù)變得可 行 我們可引入一個(gè)整數(shù)集合 這個(gè)隱含的基本概念就是二分法 它與集合有 內(nèi)在的關(guān)系 當(dāng)定義集合后 我們所感興趣的每個(gè)元素要么屬于這個(gè)集合 要么不屬于這 個(gè)集合 像 屬于 或等價(jià)地說(shuō) 是 的一個(gè)元素 這樣的一些斷言是集合 論的重要原理 至少在集合論中屬于一個(gè)應(yīng)用性更強(qiáng)的層次 考慮集合 A 則 x 屬于 A 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言就描述為 Ax x 不屬于 A 就描述為 Ax 是否 屬于這個(gè)集合是通過(guò) A 的一個(gè)定義在某個(gè)討論范圍內(nèi)的特征函數(shù)來(lái)描述的 如 A A A Ax x x x A A A Ax x x x x x x xA A A A 0 0 0 0 1 1 1 1 在這個(gè)討論范圍所包含的元素的集合里 所有概念都有定義 例如 當(dāng)涉及到正數(shù) 偶數(shù)等數(shù)時(shí) 討論范圍就構(gòu)成了全體實(shí)數(shù)集 R 顯然 空 集 定義了一個(gè)空特征函數(shù) Xxx 0 對(duì)所有的屬于 X 的元素 定義 這樣的一個(gè)連續(xù)的特征函數(shù) Xxx 1 集合 aA 只含一個(gè)元素 這 模糊集 2 就是說(shuō) 當(dāng)ax 時(shí) 1 xA 否則 0 xA 盡管集合論不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里發(fā)展地很好 在其它一些領(lǐng)域如科學(xué) 能源 經(jīng)濟(jì)等也很普遍 但關(guān)于二分法過(guò)程本身及其相關(guān)的方法都存在一些根本上的問(wèn) 題 顯然 集合論沒(méi)有涉及到這方面 但是 在很多情況下 一個(gè)正在研究的問(wèn) 題如果僅僅只用是或否來(lái)決定 這明顯太不合適了 這個(gè)二分法本身很可能就起 源于概念 而這個(gè)概念就是我們努力遵循的數(shù)學(xué)背景強(qiáng)加在我們身上的 對(duì)于那些簡(jiǎn)單易懂的物體或現(xiàn)象 雙分類(lèi)起到很好的作用 定義一個(gè)正實(shí)數(shù) 集合 用它構(gòu)成一些歐洲國(guó)家首都的集合 這不是一個(gè)難題 定義像高溫 大雨 等這樣的概念則另作討論 我們馬上就要面對(duì)一個(gè)從完全接納到完全排斥的 不斷轉(zhuǎn)換 甚至解釋灌木都可能是一個(gè)頗具挑戰(zhàn)的任務(wù) 波爾的一段經(jīng)常被引用 的摘錄簡(jiǎn)要地描述了這些困難的本質(zhì) 概念和分類(lèi)的連續(xù)性問(wèn)題到處都可見(jiàn) 這的確是很讓人驚訝 考慮一個(gè)分段函數(shù) 在控制工程或信號(hào)處理中經(jīng)常用到的一個(gè)信號(hào)模型 這實(shí)際上是現(xiàn)實(shí)物體的 一個(gè)理想模型 而事實(shí)上 就如圖 1 所言 分段函數(shù)顯示了 0 和 1 之間值的連續(xù) 統(tǒng)一性 圖一 分段函數(shù)信號(hào)的理想情況和物理現(xiàn)實(shí)情況 同樣地 黑白圖像是很稀有的 正是變化多端的亮度的光譜使它們變得豐 模糊集 3 富有趣 函數(shù) A 1 0 X 引入了一個(gè)限制條件 它在屬于 X 的對(duì)象上有確定 的邊界 這里可能就規(guī)定 X 為集合 A 模糊集的思想是減輕二分法的這種需求 并且認(rèn)可類(lèi)成員的中間值 考慮到一個(gè)濃縮的并且更實(shí)際的解釋框架 這為論述 提供了一些屬性 更有趣的是 用來(lái)描述現(xiàn)實(shí)世界對(duì)象的大多數(shù)類(lèi)別沒(méi)有確定的 邊界 在這些情況下 屬于一個(gè)分類(lèi)的對(duì)象的性質(zhì)就稱(chēng)為度 它被區(qū)間 1 0中的 正數(shù)描述出來(lái) 實(shí)體的度越接近 類(lèi)的對(duì)象的成員等級(jí)就越高 3 2 基本定義 Zadeh 于 1965 1975 年 Kandel 于 1986 年 Klir 和 Folger 于 1988 年 分別提出了模糊集的概念 即 模糊集是相關(guān)隸屬函數(shù)的值取在 0 1 中的對(duì)象 的集合 隸屬函數(shù)的數(shù)值大小反映了每個(gè)對(duì)象對(duì)于集合的隸屬度 模糊集更規(guī)范 的定義如下 將一個(gè)區(qū)域 空間或論域 X 上的元素映射到區(qū)間 0 1 上 則模糊集由這樣的 一個(gè)實(shí)值函數(shù)來(lái)表示 即 1 0 XA 由此可見(jiàn) 一個(gè)定義在 X 上的模糊集 A 可能代表全體 X 上的元素 x 及其隸屬度的集合 即 AxxAA 顯然 模 糊集是對(duì)隸屬函數(shù)只能取 0 1 兩個(gè)值的集合的概念的推廣 正如前面已經(jīng)討論 的 xA的值反映了 A 中的一個(gè)元素 x 隸屬于集合 A 的程度 例如 考慮高溫 這個(gè)概念 環(huán)境溫度分布在區(qū)間 500 X上 單位是C C 0顯然不是高溫的 值 我們可指定 0 度來(lái)反映高溫這個(gè)概念的隸屬度 換句話說(shuō) C 0的隸屬度 即 0 CA 對(duì)高溫這個(gè)類(lèi)來(lái)說(shuō)是 0 同樣地 C 30即 30 CA 以上當(dāng)然是高溫了 并且 我們可指定這樣一個(gè)完全的隸屬度 模糊集可以被看作是附加在一個(gè)區(qū)域或區(qū)間上的靈活的限制條件 一個(gè)彈力 橡膠帶的實(shí)驗(yàn)有助于理解這個(gè)概念 為了包含任何一個(gè)新的點(diǎn) 這個(gè)橡膠帶應(yīng)該 被拉長(zhǎng) 拉長(zhǎng)的程度視點(diǎn)的位置而定 拉長(zhǎng)橡膠帶使其包含這個(gè)點(diǎn) 所用的力相 應(yīng)地看作是隸屬度 則力越大 隸屬度越小 完全不需要拉伸的點(diǎn)當(dāng)然是包含在 模糊集 4 這個(gè)類(lèi)里的 這個(gè)例子很好地闡明了模糊集的本質(zhì) 模糊集可以被定義在有限區(qū)間上 也可以被定義在無(wú)限區(qū)間上 正是因?yàn)檫@ 樣 讀者應(yīng)該特別注意通篇文章里所用的符號(hào)的差別 對(duì)于一個(gè)基數(shù)為 n 的有限 區(qū)間 其模糊集是一個(gè) n 維向量 它的分量代表 X 的相關(guān)元素的隸屬度 我們可以得出 實(shí)邊界上的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)形式很特殊的模糊集 表示方法如下 px px pxxA 當(dāng) 當(dāng) 0 1 其中Rpx 3 3 隸屬函數(shù)的種類(lèi) 原則上 任何 連續(xù) 函數(shù)形如 1 0 XA 都可以用來(lái)描述模糊集上 的一個(gè)隸屬函數(shù) 然而 每個(gè)模糊集都附加了某些意義 這使得一類(lèi)隸屬函數(shù)的 范圍變窄了 例如 有些極端的隸屬函數(shù)就因?yàn)椴荒鼙磺逦乇硎境鰜?lái) 而有些 點(diǎn)被忽略掉了 通常 隸屬函數(shù)會(huì)帶有參數(shù) 以便于我們改變它們的形式 下面 列出了我們經(jīng)常用到的幾種隸屬函數(shù) 三角模糊函數(shù) bx bmx mb xb max am ax ax xA 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 0 0 這里 a b 分別是 xA不為 0 時(shí) x 的下界與上界 m 是 ba 中的一個(gè)樣值 三 角模糊函數(shù)的等價(jià)形式為 0 min max mbxbamaxbmaxA 從概念上來(lái)看 三角模糊函數(shù)的這三個(gè)參數(shù)所代表的意義很直觀 下界與上界代 表了隸屬函數(shù)的值不為 0 的區(qū)間 樣值代表了模糊集的最可能的元素 S隸屬函數(shù) 模糊集 5 bx bmx mb xb max am ax ax xA 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 1 21 2 0 2 2 點(diǎn) 2 ba m 是 S函數(shù)的轉(zhuǎn)折點(diǎn) 梯形隸屬函數(shù) k 3 4 模糊集的特點(diǎn) 正如模糊集可用隸屬函數(shù)來(lái)刻畫(huà)一樣 我們也可以用特征函數(shù)來(lái)更詳細(xì)地描述許 多函數(shù)的特性 這就引進(jìn)了正規(guī)模糊集 高 支集 凸集等概念以及模糊集的隸 屬函數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算 正規(guī)模糊集與高 一個(gè)模糊集稱(chēng)為正規(guī)的 如果其隸屬度能達(dá)到 1 即 1 sup xA x 若其最大值小于 1 則 A 稱(chēng)為非正規(guī)模糊集 這個(gè)最大值通常稱(chēng)為 A 的高度 記 模糊集 6 為 Ahgt 因此 模糊集是正規(guī)的等價(jià)于模糊集的高度為 1 支集 模糊集的一個(gè)支集記為 ASupp 即所有隸屬度不為 0 的元素的集合 即 0 xAXxASupp 核 模糊集A的核是那些隸屬度為 1 的所有元素構(gòu)成的集合 更規(guī)范地說(shuō) 即 1 xAXxACore 模糊集的支集和核可以被看作兩個(gè)相逆的概念 顯然 支集和核都是集合 截集 同樣地 我們定義一個(gè)更精煉的概念 如A的 截集 axAXxA A的核就是 1 截集 單峰 A是單峰的 如果它的隸屬函數(shù)是一個(gè)單峰函數(shù) 即函數(shù)有唯一的最大值點(diǎn) 一個(gè)相關(guān)的概念就是凸集 凸集 一個(gè)模糊集是凸集如果它的隸屬函數(shù)滿足 min 1 2121 xAxAxxA Xxx 21 1 0 凹集 凹集是凸集的逆概念 一個(gè)模糊集A是凹集 如果其相應(yīng)的隸屬函數(shù)滿足如下關(guān) 系 模糊集 7 min 1 2121 xAxAxxA Xxx 21 1 0 注意 凸模糊集和凹模糊集都是單峰的 但反過(guò)來(lái)不成立 基數(shù) 給出有限區(qū)域上的一個(gè)模糊集A 其基數(shù)記為 Acard 表示所用隸屬函數(shù)的和 即 Xx xAAcard 通常 Acard指A的數(shù)量基或和 例如 在 654321 X內(nèi) 模糊集 5 4 04 0 13 6 02 3 01 1 0 A 其基數(shù)等于2 4 4 24 00 16 03 01 0 Acard 若X是無(wú)限的 則在其中定義的基數(shù)是 A的一個(gè)積分 假設(shè)這個(gè)積分有意義 Xx dxxAAcard 我們可列出模糊集的的一些簡(jiǎn)單的并且有用的運(yùn)算 存在一些有爭(zhēng)議的映射 它 們僅僅適用于一個(gè)單獨(dú)的隸屬函數(shù) 正規(guī)化 這個(gè)運(yùn)算將一個(gè)非空的非正規(guī)模糊集轉(zhuǎn)換成正規(guī)模糊集 只需用原來(lái)的隸屬函數(shù) 除以 A 的高 即 Ahgt xA xANorm 歸一化 通過(guò)對(duì)模糊集進(jìn)行歸一處理 它們的隸屬函數(shù)得到相應(yīng)的更小的值 也就是說(shuō) 一個(gè)模糊集將以更高的隸屬度集中在某些點(diǎn)附近 例如將隸屬函數(shù)平方 即 2 xAxACon 同樣地 對(duì)于任意的1 p 隸屬函數(shù)的p次冪都能達(dá)到上述效果 即 xAxACon p 模糊集 8 擴(kuò)大化 擴(kuò)大化與歸一化的作用相反 通過(guò)修改隸屬函數(shù)達(dá)到這個(gè)效果 即 5 0 xAxADil 或 2 2 xAxAxADil 和上面一樣 對(duì)于任意的10 p 有 否則 當(dāng) pp pp xA xAxA xAInt 1 21 5 0 0 2 1 1 模糊化 模糊化與強(qiáng)化處理的作用是互補(bǔ)的 它是這樣來(lái)改變隸屬函數(shù)的 否則 當(dāng) 2 11 5 0 2 xA xAxA xAFuzz 3 5 隸屬函數(shù)決策 模糊集是定義在邊界連續(xù)的語(yǔ)言概念上的彈性限制 這些概念是在一定的環(huán) 境下被運(yùn)用和討論的 它們的意義在本文中有作詳細(xì)的討論 高溫這個(gè)概念除非 模糊集 9 放在某個(gè)特殊環(huán)境 如某個(gè)建筑里的溫度 室外溫度 某一特殊化學(xué)反應(yīng)的溫度 等等 下才有意義 這里存在一個(gè)很明顯的二元性概念 一方面 在任何定向標(biāo) 記的環(huán)境下 這些術(shù)語(yǔ)本身就是可以被開(kāi)發(fā)的標(biāo)記符號(hào) 對(duì)人工智能來(lái)說(shuō)這極為 特殊 隸屬函數(shù)的數(shù)字結(jié)構(gòu)有其它的維數(shù) 這為概念的標(biāo)準(zhǔn)化提供了一個(gè)很方 便的必要條件 這就是為什么高的室外溫度與用同樣語(yǔ)言符號(hào)描述的氣爐里的高 溫的隸屬函數(shù)有很大的不同 有很多實(shí)驗(yàn)方法可用來(lái)估計(jì)隸屬函數(shù)的值 下面 我們簡(jiǎn)潔地將它們列舉出來(lái) 包括 水平方法 垂直方法 相關(guān)比較 基于問(wèn)題 說(shuō)明的推論 每一個(gè)選擇很大程度上依賴(lài)于實(shí)際運(yùn)用的各個(gè)特殊情況 這特別是 指在實(shí)驗(yàn)中所表現(xiàn)出來(lái)的不確定性 隸屬函數(shù)估計(jì)的水平方法 很根本的思想就是 在論域里選擇某些元素 n xxx 21 再將這個(gè)概念的 隸屬函數(shù)的值的信息集中起來(lái) 這些元素不必均勻地分布 相反 根據(jù)所選擇的 概念的形式 它們的分布可以很不均勻 我們可以設(shè)想一個(gè)對(duì)數(shù)階來(lái)控制點(diǎn)的分 布 這個(gè)方法依賴(lài)于接下來(lái)敘述的一些實(shí)驗(yàn)結(jié)果 一些專(zhuān)家們被問(wèn)到如下問(wèn)題 1 x能夠與A的概念相容嗎 這個(gè)問(wèn)題的答案可以?xún)H僅回答 是 或 不是 隸屬函數(shù)在 1 x處的估計(jì)值 看作是 i xN 與N的比值 即 N xN xA i 1 ni 2 1 這個(gè)實(shí)驗(yàn)是很直觀的 如果謹(jǐn)慎地運(yùn)用它 可以很可靠的估計(jì)出隸屬度 并 且 關(guān)于它們的統(tǒng)計(jì)相關(guān)值可以用這個(gè)結(jié)果估計(jì) 為了估計(jì)出這個(gè)值 我們想到 了實(shí)驗(yàn)得到的隸屬函數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)差 假設(shè)結(jié)果服從某個(gè)二項(xiàng)分布 則估計(jì)的 i xA 的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算式為 N xAxA x ii i 1 將這些結(jié)果與先前得出的隸屬函數(shù)的估計(jì)值聯(lián)系起來(lái) 我們推出其邊界為 1 1 N xAxA xA N xAxA xA ii i ii i 模糊集 10 隸屬函數(shù)估計(jì)的垂直方法 這種方法利用一致性原則 并且通過(guò)關(guān)聯(lián)它的 截集來(lái)重新構(gòu)造一個(gè)模糊 集 選擇 的一個(gè)水平 使X的子集的閥值不低于 通過(guò)聚集連續(xù)的 截 集就構(gòu)造出了一個(gè)模糊集 與水平方法相比較 在這個(gè)實(shí)驗(yàn)里所出現(xiàn)的不確定性因素分布在隸屬函數(shù)的 軸上 觀察后一種方法 可知不確定性元素都屬于論域 因此這些方法可以被認(rèn) 為是正交的 在某種程度上來(lái)說(shuō)它們是互補(bǔ)的 因?yàn)樗鼈兊墓烙?jì)值可以通過(guò)選擇 一些 i x和 值將它們放在一塊 通過(guò)這個(gè)方式可以獲得都有效的結(jié)果 這兩種方法的主要好處是它們的概念都很明確 它們最明顯的缺點(diǎn)就是在這 些環(huán)境下進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)所體現(xiàn)的特征的局限性 這使得每個(gè)具體的實(shí)驗(yàn)變得沒(méi)有多 大聯(lián)系 這實(shí)際上不符合模糊集的隸屬函數(shù)的連續(xù)性的根本概念 由于對(duì)元素采 取了這些不相關(guān)處理 所用實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)果也可能是分散的并且不一致 隸屬函數(shù)估計(jì)的兩兩雙向比較方法 Saaty 所提出的這種方法靠隸屬函數(shù)通過(guò)一系列對(duì)論域里的具體對(duì)象進(jìn)行 雙向比較 從而緩和了水平方法和垂直方法的不足之處 這種方法適用于定義在 一個(gè)有限論域里的隸屬函數(shù) 為了解釋這其中的緣由 我們假設(shè) 隸屬函數(shù)已給 定 且已知了它在點(diǎn) n xxx 21 的值 即 21n xAxAxA 考慮比值 j i xA xA nji 2 1 并將它們排列成方塊矩陣的形式 即 j i ij xA xA aA 模糊集 11 1 1 2 1 1 n ij xA xA xA xA xA xA aA 2 2 2 1 xA xA xA xA j i xA xA 1 n n n xA xA xA xA A通常指一個(gè)可逆矩陣 注意 1 所有對(duì)角線上的元素都是單位元 即 j i xA xA 1 2 A可逆即 ij ij a a 1 或1 jiija a nji 2 1 3 A是可傳遞的即 ijkjik aaa 這個(gè)性質(zhì)可簡(jiǎn)單地得到 ij j i j k k i kjik a xA xA xA xA xA xA aa 現(xiàn)在 用一個(gè)向量 1 xAa 2 xA n xA T 乘以A naAa 即 0 anIA 從這個(gè)基本的矩陣代數(shù)式 A是一個(gè)正定矩陣 I是一個(gè)單位矩陣 可知 n是A的一個(gè)特征值 并且特征值n相應(yīng)的特征向量等于a 現(xiàn)在我們將這個(gè)問(wèn)題顛倒過(guò)來(lái) 假設(shè)我們不知道A的元素 需要我們通過(guò)一系列 相互比較估計(jì)出A 設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn) 我們能夠很容易地保持可逆的性質(zhì) 卻不可 能保持A的元素的傳遞性 因?yàn)锳的元素是通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法得出的 所以可通過(guò)對(duì) A 中的對(duì)象進(jìn)行相互 比較選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)谋嚷?這些數(shù)量級(jí)的數(shù)字來(lái)自一些基本的心理發(fā)現(xiàn) i x對(duì) j x 的優(yōu)先級(jí)被量化 i x越優(yōu)先于 j x 這一對(duì)的數(shù)量級(jí)就越高 i x對(duì) i x的優(yōu)先級(jí)總 是等于矩陣A的對(duì)角線上的元素 如果 i x不優(yōu)先于 j x 則會(huì)考慮這對(duì)元素交換 后的優(yōu)先級(jí) 因此 需要比較的次數(shù)是2 1 nn 由于不是總能滿足傳遞性 模糊集 12 所以最大特征值不總是等于n 正如 Saaty 所指出的 它會(huì)超過(guò)n 非常有趣的 是 最大特征值越大 這些數(shù)據(jù)的傳遞一致性就越有意義 這給我們提供了一個(gè) 很好的檢測(cè)估計(jì)有效性的有用工具 如果太低 這些實(shí)驗(yàn)就可能需重做 基于特殊隸屬函數(shù)決策的問(wèn)題 這種決定隸屬函數(shù)的方式直接依賴(lài)于對(duì)出現(xiàn)在問(wèn)題中的某個(gè)確定的數(shù)字對(duì) 象函數(shù)的計(jì)算 為了闡明目的 我們研究這樣一個(gè)問(wèn)題 一個(gè)非線性函數(shù) xfy 必須要線性地近似于某個(gè)確定的點(diǎn) 比如說(shuō) x 我們知道 線性近似 xxay 僅在 xx 一個(gè)很小的鄰域里成立 這個(gè)小的程度可通過(guò)引進(jìn)一個(gè)反映可承受的 誤差的模糊集來(lái)進(jìn)行量化 特別地 我們考慮 xfxfxF 這個(gè)式子 是量化誤差的一個(gè)很合適的途徑 反過(guò)來(lái) 這個(gè)函數(shù)可以用來(lái)構(gòu)建一個(gè)反映可承 受線性化誤差的A隸屬函數(shù) A的隸屬函數(shù)在x處的值描述了可接受的函數(shù)的線 性化的程度 假設(shè)表達(dá)式 maxxFM x 是有限值 則A的隸屬函數(shù)定義為 1 xFM xFxF xA 一般地 作為A的一個(gè)更加靈活的變形式 我們規(guī)定一 個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù) 1 0 1 0 其中 1 1 0 0 并且 1 xFM xFxF xA 最優(yōu)參數(shù)的隸屬函數(shù)估計(jì) 總之 這個(gè)方法并不打算從頭構(gòu)造某個(gè)確定的隸屬函數(shù) 這里的目的是找一 條標(biāo)準(zhǔn)曲線 使其滿足一些規(guī)定的成對(duì)元素或隸屬值所構(gòu)成的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 記為 kk xMx 含參的隸屬函數(shù)的形式事先已給定 它應(yīng)反映出所描述的概念的本 質(zhì) 一些常用的隸屬函數(shù)的例子前面已經(jīng)討論過(guò)了 例如 低溫這個(gè)概念可用 隸屬函數(shù)來(lái)描述 含參隸屬函數(shù)的估計(jì)過(guò)程如下 我們假設(shè)一個(gè)含參隸屬函數(shù) pxA Xx 且p是參數(shù)空間P里的一個(gè)參 數(shù)向量 對(duì)于給定的N對(duì)數(shù)據(jù) NkxMx kk 1 這個(gè)假設(shè)的隸屬函數(shù)的 模糊集 13 參數(shù)向量p也需決定出來(lái) 一個(gè)常用的方法就是用均方差作為估計(jì)準(zhǔn)則 即 N k kkPp pxAxM 1 2 min 因此這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是一個(gè)非線性的最優(yōu)化問(wèn) 題 在估計(jì)隸屬函數(shù)時(shí) 我們可以尋找一些附加條件或直覺(jué)暗示 為了保持隸屬 值間具有很好的傳遞性 我們可以假設(shè)隸屬值的變化率 dx dA A與 xA及 1xA 成比例 這就產(chǎn)生了一個(gè)與前面不同的方差 1 xAxkA dx dA k是一個(gè)正 因子 3 6 模糊關(guān)系 與定義在一個(gè)單獨(dú)的論域里的模糊集相比較 模糊關(guān)系是定義在一些論域里 的 Cartesian 集里的 例如 YX 里的模糊集是通過(guò)隸屬函數(shù)定義的 即 1 0 YXR 模糊關(guān)系和普通關(guān)系的區(qū)別在圖 2 里被闡明 圖 2 二維關(guān)系和模糊關(guān)系 模糊集 模糊關(guān)系是很常見(jiàn)的 我們可以很容易列舉出一些例子 我們討論一些相似的元素 則 yxR可表示x與y的相似度 很顯然 1 xxR 所有二維圖像都是模糊關(guān)系的例子 yxR在 1 0 中代表像素 yx的明亮度 在這種情況下 前面所研究的一些運(yùn)算如對(duì)比度強(qiáng)化 模糊化等顯然也適合 模糊集 14 模糊圖形是模糊關(guān)系的例子 圓的不等式 222 cyx 引進(jìn)了一個(gè)關(guān)系 1 0 否則 當(dāng) 0 1 222 cyx yxR 模糊圓相當(dāng)于模糊關(guān)系 否則 當(dāng) 5 0 exp 1 22 222 yx cyx yxR 盡管概念不同 但模糊關(guān)系可被看作是多維的模糊集 所以 一切模糊集的運(yùn)算 都適用于模糊關(guān)系 3 7 集合的運(yùn)算及其性質(zhì) 在研究模糊集本身的運(yùn)算之前 復(fù)習(xí)一下集合理論及其關(guān)系的基本運(yùn)算是很 有幫助的 當(dāng)研究模糊集的各種運(yùn)算時(shí) 這些運(yùn)算的主要性質(zhì)可作為很好的參考 特別是交換律 結(jié)合律 冪等率 分配率 兩極律 傳遞律的性質(zhì) 由于特征函 數(shù)是一種特殊的隸屬函數(shù) 因此 對(duì)任意的Xx 基本的運(yùn)算如 交 并 補(bǔ) 可用相應(yīng)最小 最大和補(bǔ)特征函數(shù)來(lái)表示 min xBxAxBxAxBA max xBxAxBxAxBA 1 xAxA 其中 A B是定義在論域X里的集合 xBA xBA 分別表示集合A B的交和并的隸屬函數(shù)的值 正如下面所列出的經(jīng)典集合概念的主要特性 特征函數(shù)也可采用同樣的模式 表示出來(lái) 交