畢業(yè)設(shè)計（論文）-模糊層次分析法在高校教學評估中的應用.pdf

CHANGSHACHANGSHA UNIVERSITYUNIVERSITY OFOF SCIENCESCIENCE 1 0 0 5 1 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 1 0 1 0 1 0 0 5 1 0 1 0 0 5 1 0 0 5 1 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 1 0 1 0 1 0 0 5 1 0 1 0 0 5 for i 1 7 a i A i 1 A i 2 A i 3 A i 4 A i 5 A i 6 A i 7 end for i 1 7 for j 1 7 f i j a i a j 2 7 0 5 end end f f 0 50000 32140 50000 17860 32140 50000 1786 0 67860 50000 67860 35710 50000 67860 3571 0 50000 32140 50000 17860 32140 50000 1786 0 82140 64290 82140 50000 64290 82140 5000 0 67860 50000 67860 35710 50000 67860 3571 0 50000 32140 50000 17860 32140 50000 1786 0 82140 64290 82140 50000 64290 82140 5000 A 0 5 0 0 1 0 0 5 for i 1 2 a i A i 1 A i 2 end for i 1 2 for j 1 2 f i j a i a j 2 2 0 5 end end f 模糊層次分析法在高校教學評估中的應用 第 24頁共 30頁 f 0 50000 2500 0 75000 5000 A 0 5 1 1 0 0 5 1 0 0 0 5 for i 1 3 a i A i 1 A i 2 A i 3 end for i 1 3 for j 1 3 f i j a i a j 2 3 0 5 end end f f 0 50000 66670 8333 0 33330 50000 6667 0 16670 33330 5000 A 0 5 1 1 1 1 0 0 0 5 0 1 0 0 0 1 0 5 1 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 1 1 1 0 5 0 1 1 1 1 1 0 5 for i 1 6 a i A i 1 A i 2 A i 3 A i 4 A i 5 A i 6 end for i 1 6 for j 1 6 f i j a i a j 2 6 0 5 end end f f 0 50000 75000 66670 83330 58330 4167 0 25000 50000 41670 58330 33330 1667 模糊層次分析法在高校教學評估中的應用 第 25頁共 30頁 0 33330 58330 50000 66670 41670 2500 0 16670 41670 33330 50000 25000 0833 0 41670 66670 58330 75000 50000 3333 0 58330 83330 75000 91670 66670 5000 利用模糊一致矩陣算出各因素在目標中的權(quán)值 A 0 5 0 667 0 833 0 333 0 5 0 667 0 167 0 333 0 5 for i 1 3 a i A i 1 A i 2 A i 3 1 3 l sum a a i l end ans 0 4543 ans 0 3347 ans 0 2110 B 0 5 0 75 0 25 0 5 for j 1 2 b j B j 1 B j 2 1 2 p sum b b j p end ans 0 6340 ans 0 3660 模糊層次分析法在高校教學評估中的應用 第 26頁共 30頁 C 0 5 0 75 0 667 0 833 0 583 0 417 0 25 0 5 0 417 0 583 0 333 0 167 0 333 0 583 0 5 0 667 0 417 0 25 0 167 0 417 0 333 0 5 0 25 0 083 0 417 0 667 0 583 0 75 0 5 0 333 0 583 0 833 0 75 0 917 0 667 0 5 for k 1 6 c k C k 1 C k 2 C k 3 C k 4 C k 5 C k 6 1 6 m sum c c k m end ans 0 2132 ans 0 1210 ans 0 1524 ans 0 0874 ans 0 1830 ans 0 2431 D 0 5 0 321 0 5 0 179 0 321 0 5 0 179 0 679 0 5 0 679 0 357 0 5 0 679 0 357 0 5 0 321 0 5 0 179 0 321 0 5 0 179 模糊層次分析法在高校教學評估中的應用 第 27頁共 30頁 0 821 0 643 0 821 0 5 0 643 0 821 0 5 0 679 0 5 0 679 0 357 0 5 0 679 0 357 0 5 0 321 0 5 0 179 0 321 0 5 0 179 0 821 0 643 0 821 0 5 0 643 0 821 0 5 for h 1 7 d h D h 1 D h 2 D h 3 D h 4 D h 5 D h 6 D h 7 1 7 n sum d d h n end ans 0 0981 ans 0 1546 ans 0 0981 ans 0 1984 ans 0 1546 ans 0 0981 ans 0 1984 模糊層次分析法在高校教學評估中的應用 第 28頁共 30頁 層次總排序 W0 0 0981 0 1546 0 0981 0 1984 0 1546 0 0981 0 1984 R 0 5 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 366 0 634 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 634 0 366 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4543 0 3347 0 211 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 634 0 366 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 366 0 634 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2132 0 121 0 1524 0 0874 0 183 0 2431 W W0 R W Columns 1 through 12 0 04910 04910 05660 09800 06220 03590 0901 0 06640 04190 09800 05660 0359 Columns 13 through 19 0 06220 04230 02400 03020 01730 03630 0482 專家測評均分 E2 95 90 93 90 90 85 90 92 83 80 83 90 88 92 87 90 92 95 90 92 88 91 89 88 85 91 89 80 85 87 90 90 94 86 88 90 89 87 90 90 88 87 85 82 90 91 86 82 85 91 92 92 85 88 93 91 91 89 89 88 90 84 86 90 91 82 86 87 92 95 95 86 89 93 90 89 96 89 90 91 92 89 89 89 85 86 87 95 91 96 88 90 90 90 89 94 90 89 87 85 82 93 91 83 82 85 91 92 92 85 91 94 91 92 93 89 87 90 84 88 90 90 82 83 86 89 95 93 87 89 93 90 89 91 91 89 90 89 86 90 91 87 86 87 93 94 94 86 89 89 92 90 93 87 91 89 88 89 91 89 83 85 87 90 93 90 86 91 90 91 88 95 91 90 89 91 85 90 92 83 87 83 92 88 92 89 90 92 94 90 for j 1 19 f2 j E2 1 j E2 2 j E2 3 j E2 4 j E2 5 j E2 6 j E2 7 j E2 8 j E2 9 j E2 10 j 10 end f2 f2 模糊層次分析法在高校教學評估中的應用 第 29頁共 30頁 Columns 1 through 11 92 800089 400089 600089 200087 600085 700090 4000 90 500083 400084 200085 7000 Columns 12 through 19 91 300091 800093 000086 500089 500091 600091 3000 89 5000 自評均分 E1 95 92 93 90 90 85 90 92 83 83 86 90 88 92 87 90 92 95 90 93 89 91 89 88 85 91 89 89 85 87 90 90 94 86 88 90 89 94 91 90 88 88 86 84 90 91 86 82 85 91 92 92 85 88 93 91 91 89 89 94 90 87 86 90 91 82 86 87 92 95 95 86 89 93 90 89 97 93 90 91 92 89 89 89 85 86 89 95 91 96 88 90 90 93 89 94 92 89 87 85 83 93 91 83 85 85 91 92 92 85 91 94 91 92 93 89 89 92 89 88 90 90 87 83 86 89 95 93 87 89 93 90 89 92 91 89 90 89 86 90 91 87 86 87 93 94 94 86 89 89 92 90 93 87 91 89 88 89 91 89 83 85 87 90 93 90 86 91 90 91 93 95 91 90 89 91 85 90 92 83 87 88 92 88 92 89 90 92 94 90 for j 1 19 f1 j E1 1 j E1 2 j E1 3 j E1 4 j E1 5 j E1 6 j E1 7 j E1 8 j E1 9 j E1 10 j 10 end f1 f1 Columns 1 through 11 93 200090 300090 400089 500088 500086 000090 4000 90 500084 800084 800086 7000 Columns 12 through 19 91 300091 800093 000086 500089 500091 600091 6000 90 7000 最終教學評估分數(shù) 模糊層次分析法在高校教學評估中的應用 第 30頁共 30頁 W 0 0491 0 0491 0 0566 0 0980 0 0622 0 0359 0 0901 0 0644 0 0419 0 0980 0 0566 0 0359 0 0622 0 0423 0 0240 0 0302 0 0173 0 0363 0 0 482 f1 93 2 90 3 90 4 89 5 88 5 86 0 90 4 90 5 84 8 84 8 86 7 91 3 91 8 93 0 86 5 89 5 91 6 91 6 90 7 f2 92 8 89 4 89 6 89 2 87 6 85 7 90 4 90 5 83 4 84 2 85 7 91 3 91 8 93 0 86 5 89 5 91 6 91 3 89 5 F 0 3 W f1 0 7 W f2 F 88 9019 畢業(yè)設(shè)計畢業(yè)設(shè)計 論文論文 開題報告開題報告 題目題目 模糊層次分析法在高校教學評估中的應用模糊層次分析法在高校教學評估中的應用 課課 題題 類類 別 別 設(shè)計設(shè)計 論文論文 學學 生生 姓姓 名 陳玲榮名 陳玲榮 學學號 號 20064090204200640902042006409020420064090204 班班級 級 06 0206 0206 0206 02 班班 專業(yè) 全稱專業(yè) 全稱 數(shù)學與應用數(shù)學 數(shù)學與應用數(shù)學 指指 導導 教教 師 劉文軍師 劉文軍 2010201020102010 年年 4 4 4 4 月月 一 本課題設(shè)計 研究 的目的 1 掌握模糊層次分析法的基本原理 并研究模糊層次分析法在高校教學評估中 的應用 建立高校教學評估模型 2 培養(yǎng)科學的思維方式 綜合運用所學理論 知識和技能分析和解決實際問題 提高分析和解決實際問題的能力 是畢業(yè)前全面素質(zhì)教育的重要實踐訓練 二 設(shè)計 研究 現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢 文獻綜述 進入 21 世紀 面對經(jīng)濟全球化進程明顯加快 科技進步日新月異 綜合國力競 爭日益激烈的新形勢 大力提高高等學校的辦學水平和教學質(zhì)量 已成為時代的主題 成為 21 世紀高等教育改革和發(fā)展的迫切任務 本科教育是高等教育的主體和基礎(chǔ) 抓好本科教學是提高整個高等教育質(zhì)量的重點 2003 年開始由國家教育部組織的普通 高等學校本科教學工作水平評估受到眾人矚目 而采用何種評估方法合理評定學校辦 學水平更是引起人們的探討 層次分析法是美國運籌學家 匹茲堡大學的 A L Saaty 教授于 20 世紀 70 年代提 出的一種定性分析和定量分析相結(jié)合的系統(tǒng)分析方法 它是將與決策有關(guān)的元素分解 成目標 準則 方案等層次 在此基礎(chǔ)上進行定性和定量分析的決策方法 層次分析 法在經(jīng)濟決策 城市規(guī)劃 環(huán)境監(jiān)測等領(lǐng)域已取得了成功 在一些涉及到人的決策方 面 層次分析法往往沒有考慮到人思維的模糊性 因此有必要將層次分析法推廣到模 糊環(huán)境下 在很多情況下 我們不能很好的給出指標權(quán)重 或者各指標難于量化 或 者一致性約束很難達到 我們就引入?yún)?shù) 這就是模糊層次分析法的最簡單解釋 用模糊層次分析法進行決策的一般步驟如下 1 建立層次結(jié)構(gòu)模型 首先確定 所要解決問題的目標 影響因素及各因素間的關(guān)系等 然后根據(jù)目標將涉及的各影響 因素結(jié)構(gòu)層次化 2 構(gòu)造優(yōu)先關(guān)系矩陣 R R 是模糊互補矩陣 3 構(gòu)造模糊一致 矩陣 4 使用模糊一致的判斷矩陣去推算層次各因素的重要次序 將權(quán)值進行歸一 化處理 5 綜合各層的權(quán)重矩陣 可得到 n 層遞階結(jié)構(gòu)的指標因素層相對于總目標 的合成矩陣 針對高校教學工作水平評估問題 本文將應用模糊層次分析法 通過合成層次總 權(quán)重得出了相對總目標的各層權(quán)重 給出了學校評估的一般模型 并結(jié)合某大學本科 教學評估給出了實際應用 通過該法筆者可以得到在教學評估中某高校的綜合得分 三 設(shè)計 研究 的重點與難點 擬采用的途徑 研究手段 重點 1 定義模糊一致矩陣及其性質(zhì) 2 建立層次結(jié)構(gòu)模型 難點 1 確定所要解決問題的目標 影響因素及各因素間的關(guān)系 2 根據(jù)目標將涉及的各影響因素結(jié)構(gòu)層次化 采用的途徑 第一步 建立本科教學評估的層次結(jié)構(gòu)模型 第二步 建立優(yōu)先關(guān)系矩陣 并將其轉(zhuǎn)換為模糊一致矩陣 第三步 算出各因素在目標中的權(quán)值 四 設(shè)計 研究 進度計劃 1 第 6 周 搜集資料 2 第 6 7 周 完成開題報告和英文翻譯 3 第 8 15 周 撰寫畢業(yè)論文 4 第 16 周 畢業(yè)論文修改 5 第 17 周 畢業(yè)論文答辯畢業(yè)論文資料整理 五 參考文獻 1 劉洋 吳潔 層次分析法在應用中的幾個問題 J 溫州大學學報 2002 4 71 76 2 彭祖贈 孫韞玉 模糊 fuzzy 數(shù)學及其應用 M 武漢大學出版社 2002 3 122 163 3 張吉軍 模糊層次分析法 J 模糊系統(tǒng)與數(shù)學 2000 14 2 4 王蓮芬 蔡海鷗 孫宏才 投資決策量化方法 J 海洋出版社 2004 5 吳開軍 模糊數(shù)學在本科教學評估中的應用 N 考試周刊 2001 18 6 陳水利 李敬功 王向公 模糊集理論及其應用 M 科學出版社 2005 241 252 7 李學平 用層次分析法求指標權(quán)重的標度方法的探討 J 北京郵電大學學報 社會科學版 2001 1 8 劉婷婷 韓玉啟 李新 關(guān)于層次分析法 AHP 的應用 J 機械管理開發(fā) 2006 5 73 75 9 朱茵 孟志勇 闞叔愚 用層次分析法計算權(quán)重 J 北方交通大學學報 1999 5 123 126 10 陳義華 數(shù)學建模的層次分析法 J 甘肅工業(yè)大學學報 1997 23 3 92 97 11 David C lay Linear Algebra and its Applications Third Edition Beijing Publishing Housr of Electronics Industry 2004 3 12 Z Pawlak Rough sets Theoretical Aspects of Reasoning about Data M Kluwer Academic Publishers 1991 指導教師意見 簽名 月日 教研室 學術(shù)小組 意見 教研室主任 學術(shù)小組長 簽章 月日 模糊集 1 第三章模糊集 這一章主要研究模糊集概念的基本思想 模糊集是邊界集為連續(xù)而不是間斷 的語言實體 我們總結(jié)模糊集的基本概念和理論 這些概念與理論用在數(shù)據(jù)挖掘 中 首先 我們從模糊集的基本概念與特征入手 然后 我們轉(zhuǎn)而研究更深層次 的內(nèi)容 隸屬函數(shù)估計 模糊集的運算 虛集和粗糙集的相關(guān)概念 我們應高度 重視計算模糊集和概率論之間的區(qū)別 另外 我們應全面回顧模糊集里出現(xiàn)的信 息粒度的概念 它是構(gòu)成數(shù)據(jù)挖掘有效體系的一個關(guān)鍵概念 3 1 引言 當我們處理很多不同的周邊事物以及相關(guān)事物時 我們習慣于把它們組織起 來并進行系統(tǒng)的分類 這些組織活動能夠很好地幫助我們理解 組織和處理周邊 環(huán)境的信息 而不必對單個物體的一些抽象的共有的類別進行命名和描述 這些 抽象類正好就是集合 我們可隨意地談論一系列客車 而不必一一地列舉出這些 對象 車的名字 類似地 如果一一地列舉出如下數(shù)字 5 4 3 0 1 2 3 這樣太繁瑣了 為了使這個任務變得容易 或使這任務變得可 行 我們可引入一個整數(shù)集合 這個隱含的基本概念就是二分法 它與集合有 內(nèi)在的關(guān)系 當定義集合后 我們所感興趣的每個元素要么屬于這個集合 要么不屬于這 個集合 像 屬于 或等價地說 是 的一個元素 這樣的一些斷言是集合 論的重要原理 至少在集合論中屬于一個應用性更強的層次 考慮集合 A 則 x 屬于 A 用數(shù)學語言就描述為 Ax x 不屬于 A 就描述為 Ax 是否 屬于這個集合是通過 A 的一個定義在某個討論范圍內(nèi)的特征函數(shù)來描述的 如 A A A Ax x x x A A A Ax x x x x x x xA A A A 0 0 0 0 1 1 1 1 在這個討論范圍所包含的元素的集合里 所有概念都有定義 例如 當涉及到正數(shù) 偶數(shù)等數(shù)時 討論范圍就構(gòu)成了全體實數(shù)集 R 顯然 空 集 定義了一個空特征函數(shù) Xxx 0 對所有的屬于 X 的元素 定義 這樣的一個連續(xù)的特征函數(shù) Xxx 1 集合 aA 只含一個元素 這 模糊集 2 就是說 當ax 時 1 xA 否則 0 xA 盡管集合論不僅在數(shù)學領(lǐng)域里發(fā)展地很好 在其它一些領(lǐng)域如科學 能源 經(jīng)濟等也很普遍 但關(guān)于二分法過程本身及其相關(guān)的方法都存在一些根本上的問 題 顯然 集合論沒有涉及到這方面 但是 在很多情況下 一個正在研究的問 題如果僅僅只用是或否來決定 這明顯太不合適了 這個二分法本身很可能就起 源于概念 而這個概念就是我們努力遵循的數(shù)學背景強加在我們身上的 對于那些簡單易懂的物體或現(xiàn)象 雙分類起到很好的作用 定義一個正實數(shù) 集合 用它構(gòu)成一些歐洲國家首都的集合 這不是一個難題 定義像高溫 大雨 等這樣的概念則另作討論 我們馬上就要面對一個從完全接納到完全排斥的 不斷轉(zhuǎn)換 甚至解釋灌木都可能是一個頗具挑戰(zhàn)的任務 波爾的一段經(jīng)常被引用 的摘錄簡要地描述了這些困難的本質(zhì) 概念和分類的連續(xù)性問題到處都可見 這的確是很讓人驚訝 考慮一個分段函數(shù) 在控制工程或信號處理中經(jīng)常用到的一個信號模型 這實際上是現(xiàn)實物體的 一個理想模型 而事實上 就如圖 1 所言 分段函數(shù)顯示了 0 和 1 之間值的連續(xù) 統(tǒng)一性 圖一 分段函數(shù)信號的理想情況和物理現(xiàn)實情況 同樣地 黑白圖像是很稀有的 正是變化多端的亮度的光譜使它們變得豐 模糊集 3 富有趣 函數(shù) A 1 0 X 引入了一個限制條件 它在屬于 X 的對象上有確定 的邊界 這里可能就規(guī)定 X 為集合 A 模糊集的思想是減輕二分法的這種需求 并且認可類成員的中間值 考慮到一個濃縮的并且更實際的解釋框架 這為論述 提供了一些屬性 更有趣的是 用來描述現(xiàn)實世界對象的大多數(shù)類別沒有確定的 邊界 在這些情況下 屬于一個分類的對象的性質(zhì)就稱為度 它被區(qū)間 1 0中的 正數(shù)描述出來 實體的度越接近 類的對象的成員等級就越高 3 2 基本定義 Zadeh 于 1965 1975 年 Kandel 于 1986 年 Klir 和 Folger 于 1988 年 分別提出了模糊集的概念 即 模糊集是相關(guān)隸屬函數(shù)的值取在 0 1 中的對象 的集合 隸屬函數(shù)的數(shù)值大小反映了每個對象對于集合的隸屬度 模糊集更規(guī)范 的定義如下 將一個區(qū)域 空間或論域 X 上的元素映射到區(qū)間 0 1 上 則模糊集由這樣的 一個實值函數(shù)來表示 即 1 0 XA 由此可見 一個定義在 X 上的模糊集 A 可能代表全體 X 上的元素 x 及其隸屬度的集合 即 AxxAA 顯然 模 糊集是對隸屬函數(shù)只能取 0 1 兩個值的集合的概念的推廣 正如前面已經(jīng)討論 的 xA的值反映了 A 中的一個元素 x 隸屬于集合 A 的程度 例如 考慮高溫 這個概念 環(huán)境溫度分布在區(qū)間 500 X上 單位是C C 0顯然不是高溫的 值 我們可指定 0 度來反映高溫這個概念的隸屬度 換句話說 C 0的隸屬度 即 0 CA 對高溫這個類來說是 0 同樣地 C 30即 30 CA 以上當然是高溫了 并且 我們可指定這樣一個完全的隸屬度 模糊集可以被看作是附加在一個區(qū)域或區(qū)間上的靈活的限制條件 一個彈力 橡膠帶的實驗有助于理解這個概念 為了包含任何一個新的點 這個橡膠帶應該 被拉長 拉長的程度視點的位置而定 拉長橡膠帶使其包含這個點 所用的力相 應地看作是隸屬度 則力越大 隸屬度越小 完全不需要拉伸的點當然是包含在 模糊集 4 這個類里的 這個例子很好地闡明了模糊集的本質(zhì) 模糊集可以被定義在有限區(qū)間上 也可以被定義在無限區(qū)間上 正是因為這 樣 讀者應該特別注意通篇文章里所用的符號的差別 對于一個基數(shù)為 n 的有限 區(qū)間 其模糊集是一個 n 維向量 它的分量代表 X 的相關(guān)元素的隸屬度 我們可以得出 實邊界上的點構(gòu)成一個形式很特殊的模糊集 表示方法如下 px px pxxA 當 當 0 1 其中Rpx 3 3 隸屬函數(shù)的種類 原則上 任何 連續(xù) 函數(shù)形如 1 0 XA 都可以用來描述模糊集上 的一個隸屬函數(shù) 然而 每個模糊集都附加了某些意義 這使得一類隸屬函數(shù)的 范圍變窄了 例如 有些極端的隸屬函數(shù)就因為不能被清晰地表示出來 而有些 點被忽略掉了 通常 隸屬函數(shù)會帶有參數(shù) 以便于我們改變它們的形式 下面 列出了我們經(jīng)常用到的幾種隸屬函數(shù) 三角模糊函數(shù) bx bmx mb xb max am ax ax xA 當 當 當 當 0 0 這里 a b 分別是 xA不為 0 時 x 的下界與上界 m 是 ba 中的一個樣值 三 角模糊函數(shù)的等價形式為 0 min max mbxbamaxbmaxA 從概念上來看 三角模糊函數(shù)的這三個參數(shù)所代表的意義很直觀 下界與上界代 表了隸屬函數(shù)的值不為 0 的區(qū)間 樣值代表了模糊集的最可能的元素 S隸屬函數(shù) 模糊集 5 bx bmx mb xb max am ax ax xA 當 當 當 當 1 21 2 0 2 2 點 2 ba m 是 S函數(shù)的轉(zhuǎn)折點 梯形隸屬函數(shù) k 3 4 模糊集的特點 正如模糊集可用隸屬函數(shù)來刻畫一樣 我們也可以用特征函數(shù)來更詳細地描述許 多函數(shù)的特性 這就引進了正規(guī)模糊集 高 支集 凸集等概念以及模糊集的隸 屬函數(shù)的簡單運算 正規(guī)模糊集與高 一個模糊集稱為正規(guī)的 如果其隸屬度能達到 1 即 1 sup xA x 若其最大值小于 1 則 A 稱為非正規(guī)模糊集 這個最大值通常稱為 A 的高度 記 模糊集 6 為 Ahgt 因此 模糊集是正規(guī)的等價于模糊集的高度為 1 支集 模糊集的一個支集記為 ASupp 即所有隸屬度不為 0 的元素的集合 即 0 xAXxASupp 核 模糊集A的核是那些隸屬度為 1 的所有元素構(gòu)成的集合 更規(guī)范地說 即 1 xAXxACore 模糊集的支集和核可以被看作兩個相逆的概念 顯然 支集和核都是集合 截集 同樣地 我們定義一個更精煉的概念 如A的 截集 axAXxA A的核就是 1 截集 單峰 A是單峰的 如果它的隸屬函數(shù)是一個單峰函數(shù) 即函數(shù)有唯一的最大值點 一個相關(guān)的概念就是凸集 凸集 一個模糊集是凸集如果它的隸屬函數(shù)滿足 min 1 2121 xAxAxxA Xxx 21 1 0 凹集 凹集是凸集的逆概念 一個模糊集A是凹集 如果其相應的隸屬函數(shù)滿足如下關(guān) 系 模糊集 7 min 1 2121 xAxAxxA Xxx 21 1 0 注意 凸模糊集和凹模糊集都是單峰的 但反過來不成立 基數(shù) 給出有限區(qū)域上的一個模糊集A 其基數(shù)記為 Acard 表示所用隸屬函數(shù)的和 即 Xx xAAcard 通常 Acard指A的數(shù)量基或和 例如 在 654321 X內(nèi) 模糊集 5 4 04 0 13 6 02 3 01 1 0 A 其基數(shù)等于2 4 4 24 00 16 03 01 0 Acard 若X是無限的 則在其中定義的基數(shù)是 A的一個積分 假設(shè)這個積分有意義 Xx dxxAAcard 我們可列出模糊集的的一些簡單的并且有用的運算 存在一些有爭議的映射 它 們僅僅適用于一個單獨的隸屬函數(shù) 正規(guī)化 這個運算將一個非空的非正規(guī)模糊集轉(zhuǎn)換成正規(guī)模糊集 只需用原來的隸屬函數(shù) 除以 A 的高 即 Ahgt xA xANorm 歸一化 通過對模糊集進行歸一處理 它們的隸屬函數(shù)得到相應的更小的值 也就是說 一個模糊集將以更高的隸屬度集中在某些點附近 例如將隸屬函數(shù)平方 即 2 xAxACon 同樣地 對于任意的1 p 隸屬函數(shù)的p次冪都能達到上述效果 即 xAxACon p 模糊集 8 擴大化 擴大化與歸一化的作用相反 通過修改隸屬函數(shù)達到這個效果 即 5 0 xAxADil 或 2 2 xAxAxADil 和上面一樣 對于任意的10 p 有 否則 當 pp pp xA xAxA xAInt 1 21 5 0 0 2 1 1 模糊化 模糊化與強化處理的作用是互補的 它是這樣來改變隸屬函數(shù)的 否則 當 2 11 5 0 2 xA xAxA xAFuzz 3 5 隸屬函數(shù)決策 模糊集是定義在邊界連續(xù)的語言概念上的彈性限制 這些概念是在一定的環(huán) 境下被運用和討論的 它們的意義在本文中有作詳細的討論 高溫這個概念除非 模糊集 9 放在某個特殊環(huán)境 如某個建筑里的溫度 室外溫度 某一特殊化學反應的溫度 等等 下才有意義 這里存在一個很明顯的二元性概念 一方面 在任何定向標 記的環(huán)境下 這些術(shù)語本身就是可以被開發(fā)的標記符號 對人工智能來說這極為 特殊 隸屬函數(shù)的數(shù)字結(jié)構(gòu)有其它的維數(shù) 這為概念的標準化提供了一個很方 便的必要條件 這就是為什么高的室外溫度與用同樣語言符號描述的氣爐里的高 溫的隸屬函數(shù)有很大的不同 有很多實驗方法可用來估計隸屬函數(shù)的值 下面 我們簡潔地將它們列舉出來 包括 水平方法 垂直方法 相關(guān)比較 基于問題 說明的推論 每一個選擇很大程度上依賴于實際運用的各個特殊情況 這特別是 指在實驗中所表現(xiàn)出來的不確定性 隸屬函數(shù)估計的水平方法 很根本的思想就是 在論域里選擇某些元素 n xxx 21 再將這個概念的 隸屬函數(shù)的值的信息集中起來 這些元素不必均勻地分布 相反 根據(jù)所選擇的 概念的形式 它們的分布可以很不均勻 我們可以設(shè)想一個對數(shù)階來控制點的分 布 這個方法依賴于接下來敘述的一些實驗結(jié)果 一些專家們被問到如下問題 1 x能夠與A的概念相容嗎 這個問題的答案可以僅僅回答 是 或 不是 隸屬函數(shù)在 1 x處的估計值 看作是 i xN 與N的比值 即 N xN xA i 1 ni 2 1 這個實驗是很直觀的 如果謹慎地運用它 可以很可靠的估計出隸屬度 并 且 關(guān)于它們的統(tǒng)計相關(guān)值可以用這個結(jié)果估計 為了估計出這個值 我們想到 了實驗得到的隸屬函數(shù)值的標準差 假設(shè)結(jié)果服從某個二項分布 則估計的 i xA 的標準差的計算式為 N xAxA x ii i 1 將這些結(jié)果與先前得出的隸屬函數(shù)的估計值聯(lián)系起來 我們推出其邊界為 1 1 N xAxA xA N xAxA xA ii i ii i 模糊集 10 隸屬函數(shù)估計的垂直方法 這種方法利用一致性原則 并且通過關(guān)聯(lián)它的 截集來重新構(gòu)造一個模糊 集 選擇 的一個水平 使X的子集的閥值不低于 通過聚集連續(xù)的 截 集就構(gòu)造出了一個模糊集 與水平方法相比較 在這個實驗里所出現(xiàn)的不確定性因素分布在隸屬函數(shù)的 軸上 觀察后一種方法 可知不確定性元素都屬于論域 因此這些方法可以被認 為是正交的 在某種程度上來說它們是互補的 因為它們的估計值可以通過選擇 一些 i x和 值將它們放在一塊 通過這個方式可以獲得都有效的結(jié)果 這兩種方法的主要好處是它們的概念都很明確 它們最明顯的缺點就是在這 些環(huán)境下進行的實驗所體現(xiàn)的特征的局限性 這使得每個具體的實驗變得沒有多 大聯(lián)系 這實際上不符合模糊集的隸屬函數(shù)的連續(xù)性的根本概念 由于對元素采 取了這些不相關(guān)處理 所用實驗得出的結(jié)果也可能是分散的并且不一致 隸屬函數(shù)估計的兩兩雙向比較方法 Saaty 所提出的這種方法靠隸屬函數(shù)通過一系列對論域里的具體對象進行 雙向比較 從而緩和了水平方法和垂直方法的不足之處 這種方法適用于定義在 一個有限論域里的隸屬函數(shù) 為了解釋這其中的緣由 我們假設(shè) 隸屬函數(shù)已給 定 且已知了它在點 n xxx 21 的值 即 21n xAxAxA 考慮比值 j i xA xA nji 2 1 并將它們排列成方塊矩陣的形式 即 j i ij xA xA aA 模糊集 11 1 1 2 1 1 n ij xA xA xA xA xA xA aA 2 2 2 1 xA xA xA xA j i xA xA 1 n n n xA xA xA xA A通常指一個可逆矩陣 注意 1 所有對角線上的元素都是單位元 即 j i xA xA 1 2 A可逆即 ij ij a a 1 或1 jiija a nji 2 1 3 A是可傳遞的即 ijkjik aaa 這個性質(zhì)可簡單地得到 ij j i j k k i kjik a xA xA xA xA xA xA aa 現(xiàn)在 用一個向量 1 xAa 2 xA n xA T 乘以A naAa 即 0 anIA 從這個基本的矩陣代數(shù)式 A是一個正定矩陣 I是一個單位矩陣 可知 n是A的一個特征值 并且特征值n相應的特征向量等于a 現(xiàn)在我們將這個問題顛倒過來 假設(shè)我們不知道A的元素 需要我們通過一系列 相互比較估計出A 設(shè)計一個實驗 我們能夠很容易地保持可逆的性質(zhì) 卻不可 能保持A的元素的傳遞性 因為A的元素是通過實驗的方法得出的 所以可通過對 A 中的對象進行相互 比較選擇一個適當?shù)谋嚷?這些數(shù)量級的數(shù)字來自一些基本的心理發(fā)現(xiàn) i x對 j x 的優(yōu)先級被量化 i x越優(yōu)先于 j x 這一對的數(shù)量級就越高 i x對 i x的優(yōu)先級總 是等于矩陣A的對角線上的元素 如果 i x不優(yōu)先于 j x 則會考慮這對元素交換 后的優(yōu)先級 因此 需要比較的次數(shù)是2 1 nn 由于不是總能滿足傳遞性 模糊集 12 所以最大特征值不總是等于n 正如 Saaty 所指出的 它會超過n 非常有趣的 是 最大特征值越大 這些數(shù)據(jù)的傳遞一致性就越有意義 這給我們提供了一個 很好的檢測估計有效性的有用工具 如果太低 這些實驗就可能需重做 基于特殊隸屬函數(shù)決策的問題 這種決定隸屬函數(shù)的方式直接依賴于對出現(xiàn)在問題中的某個確定的數(shù)字對 象函數(shù)的計算 為了闡明目的 我們研究這樣一個問題 一個非線性函數(shù) xfy 必須要線性地近似于某個確定的點 比如說 x 我們知道 線性近似 xxay 僅在 xx 一個很小的鄰域里成立 這個小的程度可通過引進一個反映可承受的 誤差的模糊集來進行量化 特別地 我們考慮 xfxfxF 這個式子 是量化誤差的一個很合適的途徑 反過來 這個函數(shù)可以用來構(gòu)建一個反映可承 受線性化誤差的A隸屬函數(shù) A的隸屬函數(shù)在x處的值描述了可接受的函數(shù)的線 性化的程度 假設(shè)表達式 maxxFM x 是有限值 則A的隸屬函數(shù)定義為 1 xFM xFxF xA 一般地 作為A的一個更加靈活的變形式 我們規(guī)定一 個單調(diào)遞增的函數(shù) 1 0 1 0 其中 1 1 0 0 并且 1 xFM xFxF xA 最優(yōu)參數(shù)的隸屬函數(shù)估計 總之 這個方法并不打算從頭構(gòu)造某個確定的隸屬函數(shù) 這里的目的是找一 條標準曲線 使其滿足一些規(guī)定的成對元素或隸屬值所構(gòu)成的實驗數(shù)據(jù) 記為 kk xMx 含參的隸屬函數(shù)的形式事先已給定 它應反映出所描述的概念的本 質(zhì) 一些常用的隸屬函數(shù)的例子前面已經(jīng)討論過了 例如 低溫這個概念可用 隸屬函數(shù)來描述 含參隸屬函數(shù)的估計過程如下 我們假設(shè)一個含參隸屬函數(shù) pxA Xx 且p是參數(shù)空間P里的一個參 數(shù)向量 對于給定的N對數(shù)據(jù) NkxMx kk 1 這個假設(shè)的隸屬函數(shù)的 模糊集 13 參數(shù)向量p也需決定出來 一個常用的方法就是用均方差作為估計準則 即 N k kkPp pxAxM 1 2 min 因此這個問題實際上是一個非線性的最優(yōu)化問 題 在估計隸屬函數(shù)時 我們可以尋找一些附加條件或直覺暗示 為了保持隸屬 值間具有很好的傳遞性 我們可以假設(shè)隸屬值的變化率 dx dA A與 xA及 1xA 成比例 這就產(chǎn)生了一個與前面不同的方差 1 xAxkA dx dA k是一個正 因子 3 6 模糊關(guān)系 與定義在一個單獨的論域里的模糊集相比較 模糊關(guān)系是定義在一些論域里 的 Cartesian 集里的 例如 YX 里的模糊集是通過隸屬函數(shù)定義的 即 1 0 YXR 模糊關(guān)系和普通關(guān)系的區(qū)別在圖 2 里被闡明 圖 2 二維關(guān)系和模糊關(guān)系 模糊集 模糊關(guān)系是很常見的 我們可以很容易列舉出一些例子 我們討論一些相似的元素 則 yxR可表示x與y的相似度 很顯然 1 xxR 所有二維圖像都是模糊關(guān)系的例子 yxR在 1 0 中代表像素 yx的明亮度 在這種情況下 前面所研究的一些運算如對比度強化 模糊化等顯然也適合 模糊集 14 模糊圖形是模糊關(guān)系的例子 圓的不等式 222 cyx 引進了一個關(guān)系 1 0 否則 當 0 1 222 cyx yxR 模糊圓相當于模糊關(guān)系 否則 當 5 0 exp 1 22 222 yx cyx yxR 盡管概念不同 但模糊關(guān)系可被看作是多維的模糊集 所以 一切模糊集的運算 都適用于模糊關(guān)系 3 7 集合的運算及其性質(zhì) 在研究模糊集本身的運算之前 復習一下集合理論及其關(guān)系的基本運算是很 有幫助的 當研究模糊集的各種運算時 這些運算的主要性質(zhì)可作為很好的參考 特別是交換律 結(jié)合律 冪等率 分配率 兩極律 傳遞律的性質(zhì) 由于特征函 數(shù)是一種特殊的隸屬函數(shù) 因此 對任意的Xx 基本的運算如 交 并 補 可用相應最小 最大和補特征函數(shù)來表示 min xBxAxBxAxBA max xBxAxBxAxBA 1 xAxA 其中 A B是定義在論域X里的集合 xBA xBA 分別表示集合A B的交和并的隸屬函數(shù)的值 正如下面所列出的經(jīng)典集合概念的主要特性 特征函數(shù)也可采用同樣的模式 表示出來 交