注冊巖土工程師基礎(chǔ)考試基本公式匯總.pdf

一 高等數(shù)學(xué)公式 導(dǎo)數(shù)公式 導(dǎo)數(shù)公式 基本積分表 基本積分表 三角函數(shù)的有理式積分 三角函數(shù)的有理式積分 22 2 2 1 2 21 1 cos 1 2 sin u du dx x tgu u u x u u x ax x aaa ctgxxx tgxxx xctgx xtgx a xx ln 1 log ln csc csc sec sec csc sec 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 arccos 1 1 arcsin x arcctgx x arctgx x x x x Caxx ax dx Cshxchxdx Cchxshxdx C a a dxa Cxctgxdxx Cxdxtgxx Cctgxxdx x dx Ctgxxdx x dx x x ln ln csccsc secsec csc sin sec cos 22 22 2 2 2 2 C a x xa dx C xa xa axa dx C ax ax aax dx C a x arctg axa dx Cctgxxxdx Ctgxxxdx Cxctgxdx Cxtgxdx arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csclncsc seclnsec sinln cosln 22 22 22 22 C a xa xa x dxxa Caxx a ax x dxax Caxx a ax x dxax I n n xdxxdxI n nn n arcsin 22 ln 22 ln 22 1 cossin 2 2222 22 2 2222 22 2 2222 2 2 0 2 0 一些初等函數(shù) 一些初等函數(shù) 兩個重要極限 兩個重要極限 三角函數(shù)公式 三角函數(shù)公式 誘導(dǎo)公式 誘導(dǎo)公式 函數(shù) 角 A sincostgctg sin cos tg ctg 90 cos sin ctg tg 90 cos sin ctg tg 180 sin cos tg ctg 180 sin cos tg ctg 270 cos sin ctg tg 270 cos sin ctg tg 360 sin cos tg ctg 360 sin cos tg ctg 和差角公式 和差角公式 和差化積公式 和差化積公式 倍角公式 倍角公式 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin ctgctg ctgctg ctg tgtg tgtg tg 1 1 sinsincoscos cos sincoscossin sin x x arthx xxarchx xxarshx ee ee chx shx thx ee chx ee shx xx xx xx xx 1 1 ln 2 1 1ln 1ln 2 2 2 2 雙曲正切 雙曲余弦 雙曲正弦 590457182818284 2 1 1 lim 1 sin lim 0 e x x x x x x 2 3 3 3 31 3 3 cos3cos43cos sin4sin33sin tg tgtg tg 2 2 2222 1 2 2 2 1 2 sincossin211cos22cos cossin22sin tg tg tg ctg ctg ctg 半角公式 半角公式 cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin ctgtg 正弦定理 正弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin 余弦定理 余弦定理 Cabbaccos2 222 反三角函數(shù)性質(zhì) 反三角函數(shù)性質(zhì) arcctgxarctgxxx 2 arccos 2 arcsin 高階導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)公式 萊布尼茲 萊布尼茲 LeibnizLeibniz 公式 公式 2 1 0 1 1 2 1 nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnn vu nn vnuvu vuCuv 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 拉格朗日中值定理 時 柯西中值定理就是當(dāng) 柯西中值定理 拉格朗日中值定理 xx F f aFbF afbf abfafbf F 曲率 曲率 1 0 1 limM sMM 1 320 2 a Ka K y y ds d s K MM s K tgydxyds s 的圓 半徑為 直線 點的曲率 弧長 化量 點 切線斜率的傾角變點到從平均曲率 其中弧微分公式 定積分的近似計算 定積分的近似計算 b a nnn b a nn b a n yyyyyyyy n ab xf yyyy n ab xf yyy n ab xf 4 2 3 2 1 1312420 110 110 拋物線法 梯形法 矩形法 定積分應(yīng)用相關(guān)公式 定積分應(yīng)用相關(guān)公式 b a b a dttf ab dxxf ab y k r mm kF ApF sFW 1 1 2 2 21 均方根 函數(shù)的平均值 為引力系數(shù)引力 水壓力 功 多元函數(shù)微分法及應(yīng)用多元函數(shù)微分法及應(yīng)用 z y z x y x y x y x yx F F y z F F x z zyxF dx dy F F yF F xdx yd F F dx dy yxF dy y v dx x v dvdy y u dx x u du yxvvyxuu x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz yyxfxyxfdzz dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz 隱函數(shù) 隱函數(shù) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 時 當(dāng) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法 全微分的近似計算 全微分 0 0 2 2 1 1 1 1 0 0 yu GF Jy v vy GF Jy u xu GF Jx v vx GF Jx u GG FF v G u G v F u F vu GF J vuyxG vuyxF vu vu 隱函數(shù)方程組 多元函數(shù)的極值及其求法 多元函數(shù)的極值及其求法 不確定時 值時 無極 為極小值 為極大值 時 則 令 設(shè) 0 0 0 0 0 0 2 2 00 002 0000000000 BAC BAC yxA yxA BAC CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx 重積分及其應(yīng)用 重積分及其應(yīng)用 D z D y D x zyx D y D x D D y D x D DD ayx xdyx faF ayx ydyx fF ayx xdyx fF FFFFaaMzxoy dyxxIydyxyIx dyx dyxy M M y dyx dyxx M M x dxdy y z x z Ayxfz rdrdrrfdxdyyxf 2 3 222 2 3 222 2 3 222 22 D 2 2 0 0 0 1 sin cos 其中 的引力 軸上質(zhì)點平面 對平面薄片 位于 軸 對于軸對于平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量 平面薄片的重心 的面積曲面 常數(shù)項級數(shù) 常數(shù)項級數(shù) 是發(fā)散的調(diào)和級數(shù) 等差數(shù)列 等比數(shù)列 n nn n q q qqq n n 1 3 1 2 1 1 2 1 321 1 1 1 12 級數(shù)審斂法 級數(shù)審斂法 散 存在 則收斂 否則發(fā) 定義法 時 不確定 時 級數(shù)發(fā)散 時 級數(shù)收斂 則設(shè) 比值審斂法 時 不確定 時 級數(shù)發(fā)散 時 級數(shù)收斂 則設(shè) 別法 根植審斂法 柯西判 正項級數(shù)的審斂法 n n nn n n n n n n suuus U U u lim 3 1 1 1 lim 2 1 1 1 lim 1 21 1 的絕對值其余項 那么級數(shù)收斂且其和如果交錯級數(shù)滿足 萊布尼茲定理 的審斂法或交錯級數(shù) 11 1 3214321 0lim 0 nnn n n nn n urrus u uu uuuuuuuu 絕對收斂與條件收斂 絕對收斂與條件收斂 時收斂 時發(fā)散 級數(shù) 收斂 級數(shù) 收斂 發(fā)散 而調(diào)和級數(shù) 為條件收斂級數(shù) 收斂 則稱發(fā)散 而如果 收斂級數(shù) 肯定收斂 且稱為絕對收斂 則如果 為任意實數(shù) 其中 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 321 21 pn p n nn uuuu uuuu p n n nn 冪級數(shù) 冪級數(shù) 0 0 1 0 3 lim 3 1 1 1 1 1 1 1 2 210 32 R R R aa a a R Rx Rx Rx R xaxaxaa x x x xxxx nn n n n n n n 時 時 時 的系數(shù) 則是 其中求收斂半徑的方法 設(shè) 稱為收斂半徑 其中 時不定 時發(fā)散 時收斂 使在數(shù)軸上都收斂 則必存 收斂 也不是在全 如果它不是僅在原點 對于級數(shù) 時 發(fā)散 時 收斂于 函數(shù)展開成冪級數(shù) 函數(shù)展開成冪級數(shù) n n n n n n n n n x n f x f xffxfx Rxfxx n f R xx n xf xx xf xxxfxf 0 2 0 0 0 0 0lim 1 2 2 0 1 0 1 0 0 2 0 0 00 時即為麥克勞林公式 充要條件是 可以展開成泰勒級數(shù)的余項 函數(shù)展開成泰勒級數(shù) 一些函數(shù)展開成冪級數(shù) 一些函數(shù)展開成冪級數(shù) 12 1 5 3 sin 11 1 1 2 1 1 1 12 1 53 2 x n xxx xx xx n nmmm x mm mxx n n nm 歐拉公式 歐拉公式 2 sin 2 cos sincos ixix ixix ix ee x ee x xixe 或 三角級數(shù) 三角級數(shù) 上的積分 在任意兩個不同項的乘積正交性 其中 0 cos sin2cos 2sin cos sin 1 cossin sincos 2 sin 00 1 0 1 0 nxnxxxxx xtAbAaaAa nxbnxa a tnAAtf nnnnnn n nn n nn 傅立葉級數(shù) 傅立葉級數(shù) 是偶函數(shù) 余弦級數(shù) 是奇函數(shù) 正弦級數(shù) 相減 相加 其中 周期 nxa a xfnnxdxxfab nxbxfnxdxxfba nnxdxxfb nnxdxxfa nxbnxa a xf nnn nnn n n n nn cos 2 2 1 0cos 2 0 sin 3 2 1nsin 2 0 124 1 3 1 2 1 1 64 1 3 1 2 1 1 246 1 4 1 2 1 85 1 3 1 1 3 2 1 sin 1 2 1 0 cos 1 2 sincos 2 0 0 0 2 222 2 222 2 222 2 22 1 0 周期為周期為l 2的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù) 的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù) 一 向量代數(shù)向量代數(shù) 1 向量的有關(guān)概念 向量間的夾角 向量的方向角 方向余弦 向量在數(shù)軸上的投影 向量的坐標 xyzxyz aa aaa ia ja k 在相應(yīng)坐標軸上的投影 模長 222 zyx aaaa 方向余弦 222 cos xx xyz aa aaa a 222 cos yy xyz aa aaa a 222 cos zz xyz aa aaa a 單位向量 0 cos cos cosa 2 向量的運算 線性運算 加法 ba 減法 ba 數(shù)乘 a 乘積運算 數(shù)量積 向量積 向量的數(shù)量積 ba a b cos xxyyzz a ba ba ba b 幾何意義 0 b a ba a 在b 上的投影 性質(zhì) 1 2 a aa 222 zyx aaaa 2 0a bab 0 zzyyxx bababa 微分方程的相關(guān)概念 微分方程的相關(guān)概念 即得齊次方程通解 代替分離變量 積分后將 則設(shè) 的函數(shù) 解法 即寫成程可以寫成齊次方程 一階微分方 稱為隱式通解 得 的形式 解法 為 一階微分方程可以化可分離變量的微分方程 或 一階微分方程 u x y uu du x dx u dx du u dx du xu dx dy x y u x y yxyxf dx dy CxFyGdxxfdyyg dxxfdyyg dyyxQdxyxPyxfy 0 一階線性微分方程 一階線性微分方程 1 0 2 0 0 1 nyxQyxP dx dy eCdxexQyxQ CeyxQ xQyxP dx dy n dxxPdxxP dxxP 貝努力方程 時 為非齊次方程 當(dāng) 為齊次方程 時當(dāng) 一階線性微分方程 全微分方程 全微分方程 通解 應(yīng)該是該全微分方程的 其中 分方程 即 中左端是某函數(shù)的全微如果 Cyxu yxQ y u yxP x u dyyxQdxyxPyxdu dyyxQdxyxP 0 0 二階微分方程 二階微分方程 時為非齊次 時為齊次 0 0 2 2 xf xf xfyxQ dx dy xP dx yd 二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法 二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法 21 22 2 0 1 0 rr yyyrrqprr qpqyypy 式的兩個根 求出 的系數(shù) 式中的系數(shù)及常數(shù)項恰好是 其中 寫出特征方程 求解步驟 為常數(shù) 其中 式的通解 出的不同情況 按下表寫 根據(jù) 3 21 rr 的形式 21 rr 式的通解 兩個不相等實根 04 2 qp xrxr ececy 21 21 兩個相等實根 04 2 qp xr exccy 1 21 一對共軛復(fù)根 04 2 qp 2 4 2 2 21 pqp irir sincos 21 xcxcey x 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 型 為常數(shù) 型 為常數(shù) sin cos xxPxxPexf xPexf qpxfqyypy nl x m x 二 空間解析幾何二 空間解析幾何 一 空間直角坐標系 三個坐標軸的選取符合右手系 空間兩點距離公式 2 12 2 12 2 12 zzyyxxPQ 二 空間平面 直線方程 1 空間平面方程 a 點法式0 000 zzCyyBxxA b 一般式0 DCzByAx c 截距式1 c z b y a x d 點到平面的距離 222 000 CBA DCzByAx d 2 空間直線方程 a 一般式 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA b 點向式 對稱式 n zz m yy l xx 000 分母為 0 相應(yīng)的分子也理解為 0 c 參數(shù)式 ktzz mtyy ltxx 0 0 0 3 空間線 面間的關(guān)系 a 兩平面間的夾角 兩平面的法向量 1 n 2 n的夾角 通常取銳角 兩平面位置關(guān)系 1 2 1 n 2 n 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 1 2 1 n 2 n 0 212121 CCBBAA 平面 1 與 2 斜交 b 兩直線間的夾角 兩直線的方向向量的夾角 取銳角 兩直線位置關(guān)系 1 L 2 L 1 a 2 a 2 1 2 1 2 1 n n m m l l 1 L 2 L 1 a 2 a 0 212121 nnmmll b 平面與直線間的夾角 線面夾角 當(dāng)直線與平面不垂直時 直線與它在平面上的投影直線之間的夾角 取銳 角 稱為直線與平面的夾角 當(dāng)直線與平面垂直時 2 2 線面位置關(guān)系 L a n 0 nCmBlA L a n C n B m A l l l n l l n n nn ndx l xn xf l b ndx l xn xf l a l l xn b l xn a a xf 3 2 1 sin 1 2 1 0 cos 1 2 sincos 2 1 0 其中 周期 二 物理學(xué) 一 熱學(xué) 1 RT M PV nkT P n 3 2 P kT 2 3 kT i 2 RT iM E 2 2 麥氏分布 Ndv dN vf 表示單位速度間隔的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比 最概然速率 RT 4 1vp 平均速率 RT 6 1v 方均根速率 RT v7 1 2 3 平均碰撞次數(shù)nvd 2 2Z 平均自由程 nd 2 2 1 4 等溫過程C PV 等壓過程C T V 等容過程C T P 絕熱過程比等溫線陡 總功 2 1 A V V PdV 等溫過程 1 2 T lnA 2 1 V V RT M PdV V V TR iM E 2 熱一律的應(yīng)用 功是過程曲線下面的面積 AEQ 等容0A TR iM 2 EQV 等壓TR iM 2 E TR iM 1 2 QP 等溫0E 1 2 T lnQ V V RT M 絕熱過程0Q 5 順時針 正循環(huán) 熱機效率 吸 放 吸 凈 Q Q 1 Q A 卡諾循環(huán) 1 2 T T 1 21 2 T T T 二 波動 1 簡諧振動表達式 0 tAcos y m k T2 波動方程 00 x2 tAcos u x tAcos y 0 0 u x x tAcos y 2 波的能量 動能和勢能的大小相等 方向 相位相同 波能量不守恒 平均能量密度 22 A 2 1 3 駐波 振幅相同 方向相反的兩列波的疊加 相鄰波腹 波節(jié) 距離為半波長 4 多普勒效應(yīng) s 0 vu vu 其中 為觀察者接收的頻率 為波源頻率 0 v為觀察者 速度 s v為波源速度 觀察者向著聲源運動時 0 v前取正號 遠離取負號 波源向著觀察 者運動時 s v前取負號 遠離取正號 三 光學(xué) 1 干涉 光程差 2 12 1122 k k rnrn 相位差 2 雙縫干涉 相鄰明 或暗 條紋中心間距 d D x 薄膜干涉 劈尖 2 2 ne 半波損失 從光疏到光密的反射光 l n e 2 2 衍射 單縫衍射 中央明紋 暗紋 明紋 0 2 2 2 12 sin kk k a 3 光學(xué)儀器分辨率 最小分辨角 D 22 1 0 分辨率 22 1 D R X 射線 衍射 布拉格 kd sin2 4 光柵常數(shù)明紋 kd sin 5 偏振 馬呂斯定律 2 0cos II 布儒斯特方程 1 2 0 arctan n n ii 反射光全是線偏振光 折射光為部分偏振光 三 化學(xué) 反應(yīng)速率 v 可表示為 反應(yīng)速率常數(shù) k 隨溫度 T 變化的定量關(guān)系 范荷甫公式表示了平衡常數(shù) K 與反應(yīng)溫度 T