圓在物理解題中的應(yīng)用.pdf

習(xí) 置 研 究 中 教學(xué)參考 圓在 物理解題 中的應(yīng) 用 王金 聚 浙江省溫州中學(xué) 3 2 5 0 0 0 物理學(xué)中經(jīng)常會涉及用圓的相關(guān)知 識求解 的問 題 可 以說 物理 與 圓有 著 不 解 之 緣 本 文 擬通 過 一 些 具體的實例 闡明圓在求解物理問題 中的巧妙應(yīng)用 一 等 時 圓 何謂等時圓 我們先來看下面的例題 例 I 如圖 1所示 a d b d c d是 豎直 面 內(nèi)三 根 固 定 的光滑 細桿 6 c d位 于 同 一 圓周上 a點為圓周的最高點 d點 為最 低點 每根 桿 上都 套 著一 個 光 滑小 滑 環(huán) 圖中未 畫 出 三個 滑 環(huán) 分別從 口 b C處釋 放 初 速度 為 O 用 t t 2 t 依次表示各滑環(huán)到 達 d所用 的 時間 則 A t 1 2 t 2 t 3 C t 3 t 1 t 2 D f 1 一 t 2 一 t 3 圖 1 C 第4 O 卷第6 期 2 0 1 1 年6 月 解析選任一小滑環(huán) 為研究對象 分析其受力 如圖 2所示 設(shè) 圓的直徑為 D 細 桿 與 水平 方 向 的夾 角 為 由牛 頓 第二定律得 mgs i n 一 優(yōu) 應(yīng) 連接 口 C 則 C 9 0 所 以細 桿 的長度 z Ds i n 設(shè)下 滑 時間 為 t 則 z 丟 由以上 三式 得 圖 2 C i 麗 可見 滑環(huán)下滑時間與細桿 的傾角大小無關(guān) 正 確選項為 D 由例 1我們可以得出下面的結(jié)論 解析 圖 A所示 的是 點電荷 產(chǎn)生的電場 根據(jù) 立體幾何知識 可知 a b兩點關(guān)于正方體 中心對稱 產(chǎn)生的電場強度恰好抵消 因此 n b兩點電場方向不 同但電勢相同 圖 B中 b 點相當(dāng)于麗異種點電荷的中 垂面上 的點 即 也 可 以看 成 中垂 線 上 的 點 而 a點 距 正 電荷 比較 近 故 兩 點 電勢 肯定 不 同 圖 C 中 a b兩 點也相 當(dāng)于兩點 電荷 中垂線上 的點 場強和電勢均是 相同的 而圖 D中僅僅根據(jù)合場強的方向即可判斷是 錯誤的 所 以 在正方體 中 a b兩點電場強度和電勢 均相 同 的是選項 C 選項 C正確 點評本題是正方體中的靜電場分布情況 主要考 查的是對立體幾何 中的中垂面和中垂線 的基本分析 四 求 中垂 面 上粒 子受 力 問題 例 4 如圖 5所示 n b為兩個距離恒 為L 帶等 量 正 電荷 q的點 電荷 過 兩 電 荷連線的中點 O作此線段的 垂 直平分 面 在 此 平 面上 有 一 個 以 0為 半徑 為 的 E ma i l p h y c f e 2 1 1 6 3 c o r n 圖 5 圓周 圓 周 上 有 一個 質(zhì) 量 為 m 電荷 量 為 一q的 點 電 荷 C做勻速圓周運動 求點電荷 C 的速率 解析 根據(jù)題 意知 電荷 C受力分析 如圖 6所 到 0 點 的 距 離 R一 L 所 以三角 形 a b c 是 等邊 三角 形 a b對 c的作 用 力 F 一F 一 暉 合 力 2 F c s 3 0 一 7 圖 6 志 善 由 牛 第 二 定 律 得 F 臺 一 妥 即 是 一 憊 所 以 k 一 4 點評本題 以帶 電粒子做勻速圓周運動的物理 情景為例 以立體幾何知識 中的線面垂直為知識背景 設(shè)問 構(gòu)思巧妙 值得借鑒 6 一 Vo 1 4 0 NO 6 J u n 2 01 l 中 j b 圣 參考 結(jié)論 1 物 體 沿 著位 于 同一 豎 直 圓上 的 不 同光 滑 弦 由靜 止 下滑 滑至 圓周 最低 點的 用 時都相 等 所示 明方 的最 C 下滑 滑至 圓周 上各 點 的用 時都 團 相 等 上述 結(jié)論 中所 涉及 的豎 直 圓稱 之為 等時 圓 將 上述 兩個 結(jié)論 應(yīng) 用 于解 題 往 往 能 避 繁 就 簡 出奇 制 勝 請 看下 面例 題 例 2如 圖 4所 示 在 同 一 豎 直 線 上 有 A B 兩 點 相距 h B點離地高度 為 H 現(xiàn) 要 在 地 面 上 找 到 一 點 C 從 A B 兩 點 分 別 向 C 點 安 放 兩 光 滑 直 木 板 使 得 物 體 沿 兩 滑 板 由 靜止下滑 的時間相等 求 C 點到 0點 的距 離 圖4 解析 由結(jié)論 1可 知 題 中的 A B C三 點 應(yīng) 處 在 同一豎 直 圓周 上 且 C點 是 圓周 的最 低 點 AC BC 是 該 圓 的兩條 弦 畫 出 AB C 的外接 圓 圓與地 面相 切于 c點 過 0 點作o D上AB 由幾何關(guān)系可得 圓的 半 徑為 R H h 在矩 形 O C O D 和直 角三 角形 0 DB 中 可得 一 一 二 一 二 相交 圓 當(dāng)把一個 已知矢量分解 為兩個大小一定而方 向 未知 的矢量 時 我們 可 以通過 畫 圓 的方 法確 定 兩個 分 矢 量 的具體 方 向 例 3 如 圖 5所 示 有 一 水平 向右 的力 F一7 N 現(xiàn) 將它 分解 為大 小分 別 為 F 一3 N F 一5 N 的兩 個 分 力 試 通 過 作 圖 法 確 定 這 兩 個 分力 的方 向 解 析 以線段 的長 短來 表 0 F 圖 5 示力的大小 選取合適 的標度 作出力 F的圖示 分別 以矢量 F的箭頭 箭尾為圓心 以分力 F F 的大小 為半 徑 畫 圓 如 圖 6所 示 兩 圓相 交 于 M N 點 則 O M MF就 是力 F 的一 組 分 力 F F O N NF就是 力 F 的 另一組 分力 F F 習(xí) 蠢 研 究 圖 6 圖 7 需要注意的是 千萬別以為力 F的分解只有上述 兩種情況 實際上 力 F的分解方式有無 限種 在圖 6 中 我們 只 需把 圖 中的 0MF 以 0 F 邊 為軸 旋轉(zhuǎn) 如 圖 7所示 轉(zhuǎn) 動 成 兩 個 同底 同軸 的 圓錐 面 則 兩 錐 面 上任 一相 連 的母線 0 M MF都 能 表 示力 F 的兩 個 分 力 所 以說力 F 的分解 方式 有無 限種 三 相切 圓 我們 知道 帶 電粒 子可 以在 勻強 磁 場 中做 勻速 圓 周 運 動 當(dāng)帶 電粒 子 垂 直 穿 越 兩 相 鄰 的 方 向相 反 的 勻強磁場區(qū)域時 其旋轉(zhuǎn)的方 向會發(fā)生變化 在兩磁 場 中所 形成 的兩 個 軌跡 圓相外 切 切 點 與兩 軌跡 圓所 對應(yīng) 的圓 心 在 同 一 條 直 線 上 兩 圓心 位 于 切 點 的 兩 側(cè) 利用這 三點一線 的關(guān)系 往往能順 利解 決粒 子 穿越 反 向磁 場 的問題 例 4 2 0 0 7 年 全 國 高考 理 綜 卷 兩平 面熒 光 屏 互相 垂 直 放 置 在 兩 屏 內(nèi) 分別取 垂 直 于兩 屏 交 線 的 直線 為 軸 和 Y 軸 交 點 0為 原點 如 圖 8所 示 在 0 0 0 z 口區(qū)域 有 一 0 0 圖 8 垂 直于 紙 面向外 的勻 強磁 場 兩 區(qū)域 內(nèi) 的勻強 磁 場 大 小均為 B 在 0點處有一小孔 一束質(zhì)量為 m 帶電量 為 q q 0 的粒子 沿 z軸經(jīng) t J L 射人 磁 場 最 后 打在 豎直 和水 平 的屏 上 使 熒 光 屏 發(fā) 亮 入 射 粒 子 的速 度 可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值 已知速度最 大 的粒子 在 O x a區(qū)域 中運動 的 時間與在 n的 區(qū)域 中運 動 的時 間 之 比為 2 5 在磁 場 中 運 動 的 總 7 時間 為 T 其 中 T為該 粒 子在磁 感應(yīng) 強度 為 B 的勻 1 厶 強 磁場 中做 圓周運 動 的周期 試求 兩 個熒 光 屏上 亮 線 的范 圍 不計 重 力 的影 響 解 析該題 的難 點 是 如 何 確 定 速 度 最 大 的 帶 電 粒 子做 圓周 運 動時 圓心 的位 置 粒 子在 磁 感 應(yīng) 強 度 為 B 的 勻 強 磁 場 中運 動 半 徑 為 翡 E ma il p h y c f e 2 1 s in a c o r n 翻完 下火 不 醐脘 姒轎 蚶柵 舭 物 闈 靜 圖況 2 由 習(xí) 怎 研 究 中 j b 理 參考 u 速度小的粒子將在 x a區(qū)域走完半周 射到豎 直熒光屏上 半圓的直徑在 軸上 半徑范 圍從 0到 口 豎 直屏 上發(fā) 亮范 圍從 0到 2 n 軌道 半徑 大于 a的粒 子 將 進 入右 側(cè) 磁 場 考 慮 r 一 的臨界情況 這種粒子在右側(cè)的圓軌跡與 軸在 D 點相 切 如 圖 9所示 中 的虛線 圓 O D 2 a D點 是 水平 屏 上 發(fā) 亮 范 圍 的 左 邊 界 速 度最 大粒 子 的 軌 跡如 圖 9中 實 線 所 示 如何確 定 這 一 臨 界 狀 態(tài) 下 粒 子 打 在 屏 上 的 位 圖 9 置 找 到粒 子的軌 跡 圓心是 關(guān)鍵 它 的軌跡 由兩 段 圓 弧組成 即兩 圓相切于 M 點 根據(jù)相切圓的特點 兩 相切圓的圓心與切點必在 同一直線上 由此 可知 兩 段圓弧的圓心必在過 M 點的直線上 設(shè)圓心分別為 C和 C 又 由于左邊 圓弧 的 圓 心在 軸 上 兩 圓弧 半 徑相 等 由對稱 性可 知 C 在 一2 a直線 上 設(shè) t 為 粒 子 在 0 za在 區(qū)域 中的運動 時 間 由題 意 可知 一 孝 z 一 T 一 1 十 2 一 個 解 得 一 言 z 一 T 由上述所 得結(jié) 果和對 稱性 可得 OCM 6 0 M C N 一 6 0 M C P 一 1 5 0 所 以 NC P一1 5 0 一6 0 一9 0 即NP為 圓周 因此 圓心C 必在z軸上 設(shè) 速度 最大值 粒子 的軌 跡 半徑 為 R 由直 角 三角 形C O C 可 得2 R s i n 6 0 一 2 口 則R 一 半 日 由 圖可知 O P一2 a R 因 此 水 平 熒 光 屏 發(fā) 亮 范 圍的右邊界坐標為 廳 一 2 1 口 0 四 參考 圓 我們知道 做勻速圓周運動的物體在其直徑方 向 上 的投影所 做 的運 動是 簡 諧 運 動 既然 如 此 我 們 不 妨把它倒過來看 任何的簡諧運動都必然有一個勻速 圓周運動與之相對應(yīng) 因此 當(dāng)我們研究簡諧 運動的 問題遇到困難時 不妨轉(zhuǎn)換一下 思路 去探究 它所對 E ma i l p h y c f e Z 1 1 6 3 c o r n 第4 O 卷第6 期 2 0 1 1 年6 月 應(yīng) 的那 個勻 速 圓周運 動 的情況 例 5 一水平方向做簡諧運 動的彈簧振子 振幅 為 A 周期為 T 平衡位置 4望 一 為 O 如 圖 1 0所 示 求 質(zhì) 點從 處 沿 z軸負 方 向運 動 到 一 一 A 處 所 用 時 間 這 一 過 程 中速 度 的方 向沒有改 變 圖1 O 解析我們先作 出該 振動所對應(yīng)的參考圓 如圖 1 O所示 與簡諧運動所對 應(yīng)的參考圓的圓心為 0 以振 幅 A為半徑 作 o0 當(dāng)振 子從 一百A運 動 到 一 百 A 的 同時 其對應(yīng) 的 圓周 運 動的質(zhì) 點也 從 M 沿 圓弧運 動 到 了 M 點 設(shè) 轉(zhuǎn) 過的圓心角為 質(zhì)點從 z 到 z 所用時間等于對應(yīng) 質(zhì)點 沿 圓弧從 M 到 M 點所 用 的 時 間 設(shè) 此 段 時 間 為 由參 考 圓可得 CO S l一 署 一 專 一 6 0 CO S z一 署 一 一 寺 一 1 2 0 0 0 2 0 l 一 1 2 0 一 6 0 一 6 0 由于質(zhì)點做勻速圓周運動的角速度保持不變 則 一 有 些 同學(xué)會 想 當(dāng)然地 這 么推 導(dǎo) 簡諧 運 動 的質(zhì) 點 在一個周期 T內(nèi)走過的路程為 4倍 的振 幅 即 4 A 則 在 的時間走過的路程應(yīng)為一個振幅A 題 目中質(zhì)點 從 運動到一 處的路程剛好等于一個振幅 所 以它 所用的時間也應(yīng)該為 這顯然是錯誤的 因為簡諧 運 動 的質(zhì) 點做 非 勻 變 速 運 動 并 非 勻 速 所 以路 程 與 所用的時間當(dāng)然也不會是簡單的正比關(guān)系 五 區(qū)域 圓 利用磁場可以調(diào)整帶電粒子的運動方 向 適當(dāng)調(diào) 控磁場的區(qū)域范圍 可以讓帶電粒子按照我們的要求 加以偏轉(zhuǎn) 有的題 目要求我們確定的是 圓形磁場區(qū)域 的大小 例 6 1 9 9 4年全 國高考物理卷 一質(zhì)量為 的 帶電質(zhì)點 電量為 q 以平行于 O x軸的速度 從 軸 上的口點射人圖 1 1中第一象 限所示 的區(qū)域 為了使 VO1 40 N0 6 J un 20l 1 中 三 j b 學(xué)參考 該 質(zhì)點 能從 z軸上 的 b點 以垂直 于 O x軸 的 速度 射 出 可在適 當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于 x Oy平面 磁感應(yīng) 強 度 為 B 的 勻 強 磁 場 若 此 磁 場 僅 分 布 在 一 個 圓形 區(qū)域 內(nèi) 試求 這 個 圓 形 磁場 區(qū)域 的最 小半 徑 重 力忽 略不 計 解 析 設(shè) 帶 電 質(zhì) 點 在 洛倫 茲 力 作 用 下 的 軌 道半 徑為 尺 則 圖 1 1 q B 一 丟 由 題 意 知 質(zhì) 點 在 磁 場 區(qū) 域 中 的 軌 道 為 丟 圓 周 該段 圓弧兩 端應(yīng) 分別 與入 射速 度 方 向 出射 速度 方 向 相切 過 a點作平行于x軸的直線 過 b點做平行于y 軸 的直線 則 與這 兩 條直 線 相距均 為 R 的點 0 就 是 軌 道 圓 的 圓 心 如 圖 1 2所 示 顯 然 M N 兩 點既 是軌 道 圓上 的點 也 是 圓形 磁 場 區(qū) 域 邊 界 上 的點 所 以 M N 是 磁 場 圖1 2 圓 的一 條 弦 在 以 M N 為 弦 的所 有 圓 中以 MN 為 直 徑的圓最小 由幾何關(guān)系得 最小圓的半徑為 r一 寺 麗一 一 尺 一 等 一 所求 磁場 區(qū)域 為 圖 中的虛線 所 圍 的區(qū)域 六 同心 圓 在光的折射現(xiàn)象中 如果已知入射光線 的方 向和 兩種介質(zhì)的折射率 我們可 以用幾何作圖法 借 助畫 同心圓來作 出折射光線的方向 當(dāng)光線 由介質(zhì)射人空 氣 中時 入射 角增大到一 定程度就會發(fā) 生全 反射現(xiàn) 象 對 于發(fā) 生全 反 射 現(xiàn) 象 的 臨 界 角 的 大 小 類 似 地 可 以用 畫 同心 圓 的辦法 求得 1 利 用 同心 圓求作折 射 光線 例 7如 圖 1 3所示 一 束光 由真 空射 向折 射率 為 的某種介 質(zhì) 入 射 點 為 0 試 用 圓規(guī) 刻度尺 三角板等工具 作 出折 射光 線 的方 向 u 解析 作 圖法作 折射光 線 圖1 3 的步 驟如 下 1 以入射點為圓心 以 1和介質(zhì) 的折射率 為 半徑 做兩 個 圓oP 和oQ 如 圖 1 4所示 習(xí) 愛 研 究 2 延 長入 射光線 與 三 P交 于點 D 過 D 點做 界 面直線的垂線 或法線的平行線 交oQ于 c點 3 連 接 O C 即 為 折 射 光線 上述 作 圖法 的證 明 由圖 1 4中 的幾 何 關(guān) 系 可 知入射角 i 等于 ODE 折射 角 r 等 于 O C E 在 直 角 0 ED 和 直 角 0 E C中 可得 圖 1 4 s i n LODE 面O E O E OD 1 s i n OCE OE一