（挑戰(zhàn)）中考數(shù)學(xué)壓軸題精講特訓(xùn) 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題（含試題含詳解）.doc

第一部分 函數(shù)圖象中點(diǎn)的存在性問(wèn)題 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題 例1 2013年上海市中考第24題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，頂點(diǎn)為m的拋物線(xiàn)yax2bx（a0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)a和x軸正半軸上的點(diǎn)b，aobo2，aob120（1）求這條拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）連結(jié)om，求aom的大小；（3）如果點(diǎn)c在x軸上，且abc與aom相似，求點(diǎn)c的坐標(biāo)圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“13上海24”，拖動(dòng)點(diǎn)c在x軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)c在點(diǎn)b的右側(cè)，有兩種情況，abc與aom相似請(qǐng)打開(kāi)超級(jí)畫(huà)板文件名“13上海24”，拖動(dòng)點(diǎn)c在x軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)c在點(diǎn)b的右側(cè)，有兩種情況，abc與aom相似點(diǎn)擊按鈕的左部和中部，可到達(dá)相似的準(zhǔn)確位置。思路點(diǎn)撥1第（2）題把求aom的大小，轉(zhuǎn)化為求bom的大小2因?yàn)閎omabo30，因此點(diǎn)c在點(diǎn)b的右側(cè)時(shí)，恰好有abcaom3根據(jù)夾角相等對(duì)應(yīng)邊成比例，分兩種情況討論abc與aom相似滿(mǎn)分解答（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)a作ahy軸，垂足為h在rtaoh中，ao2，aoh30，所以ah1，oh所以a因?yàn)閽佄锞€(xiàn)與x軸交于o、b(2,0)兩點(diǎn)，設(shè)yax(x2)，代入點(diǎn)a，可得 圖2所以?huà)佄锞€(xiàn)的表達(dá)式為（2）由，得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)m的坐標(biāo)為所以所以bom30所以aom150（3）由a、b(2,0)、m，得，所以abo30，因此當(dāng)點(diǎn)c在點(diǎn)b右側(cè)時(shí)，abcaom150abc與aom相似，存在兩種情況：如圖3，當(dāng)時(shí)，此時(shí)c(4,0)如圖4，當(dāng)時(shí)，此時(shí)c(8,0) 圖3 圖4考點(diǎn)伸展在本題情境下，如果abc與bom相似，求點(diǎn)c的坐標(biāo)如圖5，因?yàn)閎om是30底角的等腰三角形，abo30，因此abc也是底角為30的等腰三角形，abac，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，點(diǎn)c的坐標(biāo)為(4,0)圖5例2 2012年蘇州市中考第29題如圖1，已知拋物線(xiàn)（b是實(shí)數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)a、b（點(diǎn)a位于點(diǎn)b是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)c（1）點(diǎn)b的坐標(biāo)為_(kāi)，點(diǎn)c的坐標(biāo)為_(kāi)（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)p，使得四邊形pcob的面積等于2b，且pbc是以點(diǎn)p為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)p的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)q，使得qco、qoa和qab中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“12蘇州29”，拖動(dòng)點(diǎn)b在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)p到兩坐標(biāo)軸的距離相等，存在四邊形pcob的面積等于2b的時(shí)刻雙擊按鈕“第（3）題”，拖動(dòng)點(diǎn)b，可以體驗(yàn)到，存在oqab的時(shí)刻，也存在oqab的時(shí)刻思路點(diǎn)撥1第（2）題中，等腰直角三角形pbc暗示了點(diǎn)p到兩坐標(biāo)軸的距離相等2聯(lián)結(jié)op，把四邊形pcob重新分割為兩個(gè)等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示3第（3）題要探究三個(gè)三角形兩兩相似，第一直覺(jué)這三個(gè)三角形是直角三角形，點(diǎn)q最大的可能在經(jīng)過(guò)點(diǎn)a與x軸垂直的直線(xiàn)上滿(mǎn)分解答（1）b的坐標(biāo)為(b, 0)，點(diǎn)c的坐標(biāo)為(0, )（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)p作pdx軸，pey軸，垂足分別為d、e，那么pdbpec因此pdpe設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x, x)如圖3，聯(lián)結(jié)op所以s四邊形pcobspcospbo2b解得所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為()圖2 圖3（3）由，得a(1, 0)，oa1如圖4，以oa、oc為鄰邊構(gòu)造矩形oaqc，那么oqcqoa當(dāng)，即時(shí)，bqaqoa所以解得所以符合題意的點(diǎn)q為()如圖5，以oc為直徑的圓與直線(xiàn)x1交于點(diǎn)q，那么oqc90。因此ocqqoa當(dāng)時(shí)，bqaqoa此時(shí)oqb90所以c、q、b三點(diǎn)共線(xiàn)因此，即解得此時(shí)q(1,4)圖4 圖5考點(diǎn)伸展第（3）題的思路是，a、c、o三點(diǎn)是確定的，b是x軸正半軸上待定的點(diǎn)，而qoa與qoc是互余的，那么我們自然想到三個(gè)三角形都是直角三角形的情況這樣，先根據(jù)qoa與qoc相似把點(diǎn)q的位置確定下來(lái)，再根據(jù)兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例確定點(diǎn)b的位置如圖中，圓與直線(xiàn)x1的另一個(gè)交點(diǎn)會(huì)不會(huì)是符合題意的點(diǎn)q呢？如果符合題意的話(huà)，那么點(diǎn)b的位置距離點(diǎn)a很近，這與ob4oc矛盾例3 2012年黃岡市中考模擬第25題如圖1，已知拋物線(xiàn)的方程c1： (m0)與x軸交于點(diǎn)b、c，與y軸交于點(diǎn)e，且點(diǎn)b在點(diǎn)c的左側(cè)（1）若拋物線(xiàn)c1過(guò)點(diǎn)m(2, 2)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求bce的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)h，使得bheh最小，求出點(diǎn)h的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線(xiàn)c1上是否存在點(diǎn)f，使得以點(diǎn)b、c、f為頂點(diǎn)的三角形與bce相似？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“12黃岡25”，拖動(dòng)點(diǎn)c在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，觀察左圖，可以體驗(yàn)到，ec與bf保持平行，但是bfc在無(wú)限遠(yuǎn)處也不等于45觀察右圖，可以體驗(yàn)到，cbf保持45，存在bfcbce的時(shí)刻思路點(diǎn)撥1第（3）題是典型的“牛喝水”問(wèn)題，當(dāng)h落在線(xiàn)段ec上時(shí)，bheh最小2第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫(huà)直線(xiàn)bf，作cbfebc45，或者作bf/ec再用含m的式子表示點(diǎn)f的坐標(biāo)然后根據(jù)夾角相等，兩邊對(duì)應(yīng)成比例列關(guān)于m的方程滿(mǎn)分解答（1）將m(2, 2)代入，得解得m4（2）當(dāng)m4時(shí)，所以c(4, 0)，e(0, 2)所以sbce（3）如圖2，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x1，當(dāng)h落在線(xiàn)段ec上時(shí)，bheh最小設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為p，那么因此解得所以點(diǎn)h的坐標(biāo)為（4）如圖3，過(guò)點(diǎn)b作ec的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于f，過(guò)點(diǎn)f作ffx軸于f由于bcefbc，所以當(dāng)，即時(shí)，bcefbc設(shè)點(diǎn)f的坐標(biāo)為，由，得解得xm2所以f(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程無(wú)解圖2 圖3 圖4如圖4，作cbf45交拋物線(xiàn)于f，過(guò)點(diǎn)f作ffx軸于f，由于ebccbf，所以，即時(shí)，bcebfc在rtbff中，由ffbf，得解得x2m所以f所以bf2m2，由，得解得綜合、，符合題意的m為考點(diǎn)伸展第（4）題也可以這樣求bf的長(zhǎng)：在求得點(diǎn)f、f的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求bf的長(zhǎng)例4 2010年義烏市中考第24題如圖1，已知梯形oabc，拋物線(xiàn)分別過(guò)點(diǎn)o（0，0）、a（2，0）、b（6，3）（1）直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸、解析式及頂點(diǎn)m的坐標(biāo)；（2）將圖1中梯形oabc的上下底邊所在的直線(xiàn)oa、cb以相同的速度同時(shí)向上平移，分別交拋物線(xiàn)于點(diǎn)o1、a1、c1、b1，得到如圖2的梯形o1a1b1c1設(shè)梯形o1a1b1c1的面積為s，a1、 b1的坐標(biāo)分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含s的代數(shù)式表示x2x1，并求出當(dāng)s=36時(shí)點(diǎn)a1的坐標(biāo)；（3）在圖1中，設(shè)點(diǎn)d的坐標(biāo)為(1，3)，動(dòng)點(diǎn)p從點(diǎn)b出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著線(xiàn)段bc運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)q從點(diǎn)d出發(fā)，以與點(diǎn)p相同的速度沿著線(xiàn)段dm運(yùn)動(dòng)p、q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)q到達(dá)點(diǎn)m時(shí)，p、q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)p、q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，是否存在某一時(shí)刻t，使得直線(xiàn)pq、直線(xiàn)ab、x軸圍成的三角形與直線(xiàn)pq、直線(xiàn)ab、拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸圍成的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 圖1 圖2動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“10義烏24”，拖動(dòng)點(diǎn)i上下運(yùn)動(dòng)，觀察圖形和圖象，可以體驗(yàn)到，x2x1隨s的增大而減小雙擊按鈕“第（3）題”，拖動(dòng)點(diǎn)q在dm上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，如果gafgqe，那么gaf與gqe相似思路點(diǎn)撥1第（2）題用含s的代數(shù)式表示x2x1，我們反其道而行之，用x1，x2表示s再注意平移過(guò)程中梯形的高保持不變，即y2y13通過(guò)代數(shù)變形就可以了2第（3）題最大的障礙在于畫(huà)示意圖，在沒(méi)有計(jì)算結(jié)果的情況下，無(wú)法畫(huà)出準(zhǔn)確的位置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說(shuō)理計(jì)算，后驗(yàn)證3第（3）題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線(xiàn)ab與x軸的夾角不變，直線(xiàn)ab與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的夾角不變變化的直線(xiàn)pq的斜率，因此假設(shè)直線(xiàn)pq與ab的交點(diǎn)g在x軸的下方，或者假設(shè)交點(diǎn)g在x軸的上方滿(mǎn)分解答（1）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，解析式為，頂點(diǎn)為m（1，）（2） 梯形o1a1b1c1的面積，由此得到由于，所以整理，得因此得到當(dāng)s=36時(shí)， 解得 此時(shí)點(diǎn)a1的坐標(biāo)為（6，3）（3）設(shè)直線(xiàn)ab與pq交于點(diǎn)g，直線(xiàn)ab與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)e，直線(xiàn)pq與x軸交于點(diǎn)f，那么要探求相似的gaf與gqe，有一個(gè)公共角g在geq中，geq是直線(xiàn)ab與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的夾角，為定值在gaf中，gaf是直線(xiàn)ab與x軸的夾角，也為定值，而且geqgaf因此只存在gqegaf的可能，gqegaf這時(shí)gafgqepqd由于，所以解得 圖3 圖4考點(diǎn)伸展第（3）題是否存在點(diǎn)g在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說(shuō)理過(guò)程相同，求得的t的值也是相同的事實(shí)上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖，實(shí)際的圖形更接近圖3例5 2009年臨沂市中考第26題如圖1，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(4，0)、b（1，0)、c（0，2）三點(diǎn)（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；（2）p是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)p作pmx軸，垂足為m，是否存在點(diǎn)p，使得以a、p、m為頂點(diǎn)的三角形與oac相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的 點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在直線(xiàn)ac上方的拋物線(xiàn)是有一點(diǎn)d，使得dca的面積最大，求出點(diǎn)d的坐標(biāo),圖1動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“09臨沂26”，拖動(dòng)點(diǎn)p在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，pam的形狀在變化，分別雙擊按鈕“p在b左側(cè)”、“ p在x軸上方”和“p在a右側(cè)”，可以顯示pam與oac相似的三個(gè)情景雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動(dòng)點(diǎn)d在x軸上方的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，觀察dca的形狀和面積隨d變化的圖象，可以體驗(yàn)到，e是ac的中點(diǎn)時(shí)，dca的面積最大思路點(diǎn)撥1已知拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求解析式時(shí)，設(shè)交點(diǎn)式比較簡(jiǎn)便2數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線(xiàn)段的長(zhǎng)3按照兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，分兩種情況列方程4把dca可以分割為共底的兩個(gè)三角形，高的和等于oa滿(mǎn)分解答 （1）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)與x軸交于a(4，0)、b（1，0)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，代入點(diǎn)c的 坐標(biāo)（0，2），解得所以?huà)佄锞€(xiàn)的解析式為（2）設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為如圖2，當(dāng)點(diǎn)p在x軸上方時(shí)，1x4，如果，那么解得不合題意如果，那么解得此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（2，1）如圖3，當(dāng)點(diǎn)p在點(diǎn)a的右側(cè)時(shí)，x4，解方程，得此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為解方程，得不合題意如圖4，當(dāng)點(diǎn)p在點(diǎn)b的左側(cè)時(shí)，x1，解方程，得此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為解方程，得此時(shí)點(diǎn)p與點(diǎn)o重合，不合題意綜上所述，符合條件的 點(diǎn)p的坐標(biāo)為（2，1）或或 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，過(guò)點(diǎn)d作x軸的垂線(xiàn)交ac于e直線(xiàn)ac的解析式為設(shè)點(diǎn)d的橫坐標(biāo)為m，那么點(diǎn)d的坐標(biāo)為，點(diǎn)e的坐標(biāo)為所以因此當(dāng)時(shí)，dca的面積最大，此時(shí)點(diǎn)d的坐標(biāo)為（2，1） 圖5 圖6考點(diǎn)伸展第（3）題也可以這樣解：如圖6，過(guò)d點(diǎn)構(gòu)造矩形oamn，那么dca的面積等于直角梯形camn的面積減去cdn和adm的面積設(shè)點(diǎn)d的橫坐標(biāo)為（m，n），那么由于，所以例6 2008年蘇州市中考第29題圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“08蘇州29”，拖動(dòng)表示a的點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)e1和e3時(shí)，直線(xiàn)ne1、ne3和直線(xiàn)ab交于同一個(gè)點(diǎn)g，此時(shí)pobpgn當(dāng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)e2和e4時(shí)，直線(xiàn)ne2、ne4和直線(xiàn)ab交于同一個(gè)點(diǎn)g，可以體驗(yàn)到，這個(gè)點(diǎn)g在點(diǎn)n右側(cè)較遠(yuǎn)處思路點(diǎn)撥1求等腰直角三角形oab斜邊上的高oh，解直角三角形poh求k、b的值2以dn為邊畫(huà)正方形及對(duì)角線(xiàn)，可以體驗(yàn)到，正方形的頂點(diǎn)和對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)中，有符合題意的點(diǎn)e，寫(xiě)出點(diǎn)e的坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)的解析式就可以求出a3當(dāng)e在x軸上方時(shí)，gnp45，pobpgn，把轉(zhuǎn)化為4當(dāng)e在x軸下方時(shí)，通過(guò)估算得到大于10滿(mǎn)分解答（1），（2）由拋物線(xiàn)的解析式，得點(diǎn)m的坐標(biāo)為，點(diǎn)n的坐標(biāo)為因此mn的中點(diǎn)d的坐標(biāo)為（2，0），dn3因?yàn)閍ob是等腰直角三角形，如果dne與aob相似，那么dne也是等腰直角三角形如圖2，如果dn為直角邊，那么點(diǎn)e的坐標(biāo)為e1（2，3）